Calculer le rang d'une matrice par définition. Rang matriciel et base matricielle mineure

Soit A une matrice de tailles m\times n et k soit entier naturel, n'excédant pas m et n : k\leqslant\min\(m;n\). Ordre mineur du kième la matrice A est le déterminant d'une matrice d'ordre k formée par les éléments à l'intersection de k lignes et k colonnes arbitrairement choisies de la matrice A. Lors de la désignation des mineurs, nous indiquerons les numéros des lignes sélectionnées comme indices supérieurs et les numéros des colonnes sélectionnées comme indices inférieurs, en les classant par ordre croissant.

Exemple 3.4.Écrire des mineurs de différents ordres de la matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Solution. La matrice A a des dimensions 3\times4 . Il compte : 12 mineurs du 1er ordre, par exemple mineur M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 mineurs de 2ème ordre, par exemple, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 mineurs de 3ème ordre, par exemple,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Dans une matrice A de dimensions m\times n, le mineur d'ordre r est appelé basique, s'il est non nul et que tous les mineurs d'ordre (r+1)-ro sont égaux à zéro ou n'existent pas du tout.

Rang matriciel est appelé l'ordre de la base mineure. Il n’y a pas de base mineure dans une matrice nulle. Par conséquent, le rang d’une matrice nulle est, par définition, égal à zéro. Le rang de la matrice A est noté \nom de l'opérateur(rg)A.

Exemple 3.5. Trouver tous les mineurs de base et le rang matriciel

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Solution. Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque ces déterminants ont une troisième ligne nulle. Par conséquent, seul un mineur du second ordre situé dans les deux premières lignes de la matrice peut être basique. En parcourant 6 mineurs possibles, on sélectionne non nul

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Chacun de ces cinq mineurs est un mineur de base. Le rang de la matrice est donc 2.

Remarques 3.2

1. Si tous les mineurs d’ordre k dans une matrice sont égaux à zéro, alors les mineurs d’ordre supérieur sont également égaux à zéro. En effet, en développant le mineur d'ordre (k+1)-ro sur n'importe quelle ligne, on obtient la somme des produits des éléments de cette ligne par les mineurs d'ordre k, et ils sont égaux à zéro.

2. Le rang d'une matrice est égal à l'ordre le plus élevé du mineur non nul de cette matrice.

3. Si une matrice carrée est non singulière, alors son rang est égal à son ordre. Si une matrice carrée est singulière, alors son rang est inférieur à son ordre.

4. Les désignations sont également utilisées pour le rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Rang de la matrice de blocs est défini comme le rang d'une matrice régulière (numérique), c'est-à-dire quelle que soit sa structure de bloc. Dans ce cas, le rang d'une matrice de blocs n'est pas inférieur aux rangs de ses blocs : \nom de l'opérateur(rg)(A\mid B)\geqslant\nom de l'opérateur(rg)A Et \nom de l'opérateur(rg)(A\mid B)\geqslant\nom de l'opérateur(rg)B, puisque tous les mineurs de la matrice A (ou B ) sont également des mineurs de la matrice bloc (A\mid B) .

Théorèmes sur la base mineure et le rang de la matrice

Considérons les principaux théorèmes exprimant les propriétés de dépendance linéaire et d'indépendance linéaire des colonnes (lignes) d'une matrice.

Théorème 3.1 sur la base mineure. Dans une matrice arbitraire A, chaque colonne (ligne) est une combinaison linéaire des colonnes (lignes) dans lesquelles se trouve la base mineure.

En effet, sans perte de généralité, nous supposons que dans une matrice A de taille m\times n la base mineure est située dans les r premières lignes et les r premières colonnes. Considérez le déterminant

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

qui s'obtient en affectant à la base mineure de la matrice A le correspondant qch éléments lignes et k-ème colonne. Notez que pour tout 1\leqslant s\leqslant m et ce déterminant est égal à zéro. Si s\leqslant r ou k\leqslant r , alors le déterminant D contient deux lignes identiques ou deux colonnes identiques. Si s>r et k>r, alors le déterminant D est égal à zéro, puisqu'il est mineur d'ordre (r+l)-ro. En développant le déterminant le long de la dernière ligne, on obtient

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

où D_(r+1\,j) sont les compléments algébriques des éléments de la dernière ligne. Notez que D_(r+1\,r+1)\ne0 puisqu'il s'agit d'une base mineure. C'est pourquoi

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Où \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

ceux. kième colonne (pour tout 1\leqslant k\leqslant n) est une combinaison linéaire des colonnes de la base mineure, ce que nous devions prouver.

Le théorème mineur de base sert à prouver les théorèmes importants suivants.

Condition pour que le déterminant soit nul

Théorème 3.2 (condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant soit nul). Pour qu'un déterminant soit égal à zéro, il faut et suffisant qu'une de ses colonnes (une de ses lignes) soit une combinaison linéaire des colonnes (lignes) restantes.

En effet, la nécessité découle du théorème mineur de base. Si le déterminant Matrice Carrée le nième ordre est égal à zéro, alors son rang est inférieur à n, c'est-à-dire au moins une colonne n'est pas incluse dans la base mineure. Alors cette colonne choisie, par le Théorème 3.1, est une combinaison linéaire des colonnes dans lesquelles se situe la base mineure. En ajoutant, si nécessaire, à cette combinaison d'autres colonnes à coefficients nuls, on obtient que la colonne sélectionnée est une combinaison linéaire des colonnes restantes de la matrice. La suffisance découle des propriétés du déterminant. Si par exemple la dernière colonne A_n du déterminant \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) exprimé linéairement à travers le reste

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

puis ajouter à A_n la colonne A_1 multipliée par (-\lambda_1), puis la colonne A_2 multipliée par (-\lambda_2), etc. colonne A_(n-1) multiplié par (-\lambda_(n-1)) on obtient le déterminant \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) avec une colonne nulle égale à zéro (propriété 2 du déterminant).

Invariance du rang matriciel sous transformations élémentaires

Théorème 3.3 (sur l'invariance du rang sous transformations élémentaires). Lors des transformations élémentaires des colonnes (lignes) d'une matrice, son rang ne change pas.

En effet, qu’il en soit ainsi. Supposons qu'à la suite d'une transformation élémentaire des colonnes de la matrice A nous obtenions la matrice A". Si une transformation de type I a été effectuée (permutation de deux colonnes), alors tout mineur (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" est soit égal au mineur (r+l )-ro correspondant de l'ordre de la matrice A, soit en diffère en signe (propriété 3 du déterminant). Si une transformation de type II a été effectuée (en multipliant la colonne par le nombre \lambda\ne0 ), alors tout mineur (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" est soit égal au mineur correspondant (r+l) -ro de l'ordre de la matrice A ou différent de celle-ci facteur \lambda\ne0 (propriété 6 du déterminant). Si une transformation de type III a été effectuée (en ajoutant à une colonne une autre colonne multipliée par le nombre \Lambda), alors tout mineur du (r+1)ième ordre de la matrice A" est soit égal au mineur (r+1)ième ordre correspondant de la matrice A (propriété 9 du déterminant), soit est égal à la somme de deux mineurs (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A (propriété 8 du déterminant). Donc, sous une transformation élémentaire de tout type, tous les mineurs (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A" sont égaux à zéro, puisque tous les mineurs (r+l)-ro de l'ordre de la matrice A sont égal à zéro. Ainsi, il a été prouvé que sous les transformations élémentaires des colonnes, la matrice de rang ne peut pas augmenter. Puisque les transformations inverses aux transformations élémentaires sont élémentaires, le rang de la matrice ne peut pas diminuer sous les transformations élémentaires des colonnes, c'est-à-dire ne change pas. De même, il est prouvé que le rang de la matrice ne change pas sous les transformations élémentaires des lignes.

Corollaire 1. Si une ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses autres lignes (colonnes), alors cette ligne (colonne) peut être supprimée de la matrice sans changer son rang.

En effet, une telle chaîne peut être rendue nulle à l'aide de transformations élémentaires, et une chaîne nulle ne peut pas être incluse dans la base mineure.

Corollaire 2. Si la matrice se réduit à la forme la plus simple (1.7), alors

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

En effet, la matrice de la forme la plus simple (1.7) a une base mineure du rième ordre.

Corollaire 3. Toute matrice carrée non singulière est élémentaire, autrement dit, toute matrice carrée non singulière est équivalente à une matrice identité du même ordre.

En effet, si A est une matrice carrée non singulière d’ordre n, alors \nom de l'opérateur(rg)A=n(voir paragraphe 3 des commentaires 3.2). Ainsi, en ramenant la matrice A à la forme la plus simple (1.7) par transformations élémentaires, on obtient la matrice identité \Lambda=E_n , puisque \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(voir Corollaire 2). Par conséquent, la matrice A est équivalente à la matrice identité E_n et peut en être obtenue grâce à un nombre fini de transformations élémentaires. Cela signifie que la matrice A est élémentaire.

Théorème 3.4 (sur le rang de la matrice). Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de lignes linéairement indépendantes de cette matrice.

En fait, laissez \nom de l'opérateur(rg)A=r. Alors la matrice A a r lignes linéairement indépendantes. Ce sont les vers dans lesquels se situe la base mineure. S'ils étaient linéairement dépendants, alors ce mineur serait égal à zéro d'après le théorème 3.2, et le rang de la matrice A ne serait pas égal à r. Montrons que r est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes, c'est-à-dire toutes les lignes p dépendent linéairement pour p>r. En effet, on forme la matrice B à partir de ces p lignes. Puisque la matrice B fait partie de la matrice A, alors \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Cela signifie qu'au moins une ligne de la matrice B n'est pas incluse dans la base mineure de cette matrice. Ensuite, d'après le théorème de la base mineure, il est égal à une combinaison linéaire des lignes dans lesquelles se trouve la base mineure. Par conséquent, les lignes de la matrice B sont linéairement dépendantes. Ainsi, la matrice A comporte au plus r lignes linéairement indépendantes.

Corollaire 1. Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes dans une matrice est égal au nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes :

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Cet énoncé découle du théorème 3.4 si on l'applique aux lignes d'une matrice transposée et en tenant compte du fait que les mineurs ne changent pas lors de la transposition (propriété 1 du déterminant).

Corollaire 2. Lors des transformations élémentaires des lignes d'une matrice, la dépendance linéaire (ou indépendance linéaire) de tout système de colonnes de cette matrice est préservée.

En fait, choisissons k colonnes quelconques d’une matrice A donnée et composons à partir d’elles la matrice B. Supposons que la matrice A" soit obtenue à la suite de transformations élémentaires des lignes de la matrice A, et que la matrice B" soit obtenue à la suite des mêmes transformations des lignes de la matrice B. Par le théorème 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Par conséquent, si les colonnes de la matrice B étaient linéairement indépendantes, c'est-à-dire k=\nom de l'opérateur(rg)B(voir Corollaire 1), alors les colonnes de la matrice B" sont également linéairement indépendantes, puisque k=\nom de l'opérateur(rg)B". Si les colonnes de la matrice B étaient linéairement dépendantes (k>\nom de l'opérateur(rg)B), alors les colonnes de la matrice B" dépendent également linéairement (k>\nom de l'opérateur(rg)B"). Par conséquent, pour toutes les colonnes de la matrice A, la dépendance linéaire ou l'indépendance linéaire est préservée sous les transformations de lignes élémentaires.

Remarques 3.3

1. D'après le corollaire 1 du théorème 3.4, la propriété des colonnes indiquée dans le corollaire 2 est également vraie pour tout système de lignes matricielles si les transformations élémentaires sont effectuées uniquement sur ses colonnes.

2. Le corollaire 3 du théorème 3.3 peut être affiné comme suit : toute matrice carrée non singulière, utilisant des transformations élémentaires uniquement de ses lignes (ou uniquement de ses colonnes), peut être réduite à une matrice identité du même ordre.

En fait, en utilisant uniquement des transformations élémentaires de lignes, toute matrice A peut être réduite à la forme simplifiée \Lambda (Fig. 1.5) (voir Théorème 1.1). Puisque la matrice A est non singulière (\det(A)\ne0), ses colonnes sont linéairement indépendantes. Cela signifie que les colonnes de la matrice \Lambda sont également linéairement indépendantes (Corollaire 2 du Théorème 3.4). Par conséquent, la forme simplifiée \Lambda d’une matrice non singulière A coïncide avec sa forme la plus simple (Fig. 1.6) et est la matrice identité \Lambda=E (voir corollaire 3 du théorème 3.3). Ainsi, en transformant uniquement les lignes d’une matrice non singulière, celle-ci peut être réduite à la matrice identité. Un raisonnement similaire est valable pour les transformations élémentaires des colonnes d'une matrice non singulière.

Rang du produit et somme des matrices

Théorème 3.5 (sur le rang du produit des matrices). Le rang du produit des matrices ne dépasse pas le rang des facteurs :

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

En effet, laissez les matrices A et B avoir des tailles m\times p et p\times n . Affectons à la matrice A la matrice C=AB\colon\,(A\mid C). Bien sûr que \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), puisque C fait partie de la matrice (A\mid C) (voir paragraphe 5 des remarques 3.2). A noter que chaque colonne C_j, selon l'opération de multiplication matricielle, est une combinaison linéaire des colonnes A_1,A_2,\ldots,A_p matrices A=(A_1~\cdots~A_p) :

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Une telle colonne peut être supprimée de la matrice (A\mid C) sans changer son rang (Corollaire 1 du Théorème 3.3). En barrant toutes les colonnes de la matrice C, on obtient : \nom de l'opérateur(rg)(A\mid C)=\nom de l'opérateur(rg)A. D'ici, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. De même, on peut prouver que la condition est simultanément satisfaite \nom de l'opérateur(rg)C\leqslant\nom de l'opérateur(rg)B, et tirer une conclusion sur la validité du théorème.

Conséquence. Si A est une matrice carrée non singulière, alors \nom de l'opérateur(rg)(AB)= \nom de l'opérateur(rg)B Et \nom de l'opérateur(rg)(CA)=\nom de l'opérateur(rg)C, c'est à dire. le rang d'une matrice ne change pas lorsqu'elle est multipliée à gauche ou à droite par une matrice carrée non singulière.

Théorème 3.6 sur le rang des sommes des matrices. Le rang de la somme des matrices ne dépasse pas la somme des rangs des termes :

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

En effet, créons une matrice (A+B\milieu A\milieu B). Notez que chaque colonne de la matrice A+B est une combinaison linéaire de colonnes des matrices A et B. C'est pourquoi \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Considérant que le nombre de colonnes linéairement indépendantes dans la matrice (A\mid B) ne dépasse pas \nom de l'opérateur(rg)A+\nom de l'opérateur(rg)B, un \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(voir section 5 des Remarques 3.2), on obtient l'inégalité en cours de démonstration.

Donnons une matrice :

.

Sélectionnons dans cette matrice chaînes arbitraires et colonnes arbitraires
. Alors le déterminant ème ordre, composé d'éléments matriciels
, situé à l'intersection des lignes et des colonnes sélectionnées, est appelé un mineur matrice d'ordre
.

Définition 1.13. Rang matriciel
est le plus grand ordre du mineur non nul de cette matrice.

Pour calculer le rang d'une matrice, il faut considérer tous ses mineurs d'ordre le plus bas et, si au moins l'un d'eux est différent de zéro, procéder à la considération des mineurs d'ordre le plus élevé. Cette approche pour déterminer le rang d'une matrice est appelée la méthode limitrophe (ou méthode des mineurs limitrophes).

Problème 1.4. En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, déterminer le rang de la matrice
.

.

Considérons par exemple les bordures de premier ordre :
. Nous passons ensuite à l’examen de certaines bordures de second ordre.

Par exemple,
.

Enfin, analysons les bordures de troisième ordre.

.

Ainsi, ordre le plus élevé mineur non nul vaut 2, donc
.

Lors de la résolution du problème 1.4, vous pouvez remarquer qu’un certain nombre de mineurs limitrophes du second ordre sont non nuls. À cet égard, le concept suivant s’applique.

Définition 1.14. Une base mineure d'une matrice est tout mineur non nul dont l'ordre est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.2.(Théorème mineur de base). Les lignes de base (colonnes de base) sont linéairement indépendantes.

Notez que les lignes (colonnes) d’une matrice sont linéairement dépendantes si et seulement si au moins l’une d’entre elles peut être représentée comme une combinaison linéaire des autres.

Théorème 1.3. Le nombre de lignes de la matrice linéairement indépendantes est égal au nombre de colonnes de la matrice linéairement indépendantes et est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.4.(Condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant soit égal à zéro). Pour que le déterminant -ième commande était égal à zéro, il est nécessaire et suffisant que ses lignes (colonnes) soient linéairement dépendantes.

Calculer le rang d’une matrice en fonction de sa définition est trop fastidieux. Cela devient particulièrement important pour les matrices d’ordres élevés. A cet égard, en pratique, le rang d'une matrice est calculé sur la base de l'application des théorèmes 10.2 à 10.4, ainsi que de l'utilisation des notions d'équivalence matricielle et de transformations élémentaires.

Définition 1.15. Deux matrices
Et sont dits équivalents si leurs rangs sont égaux, c'est-à-dire
.

Si les matrices
Et sont équivalents, alors notez
 .

Théorème 1.5. Le rang de la matrice ne change pas du fait des transformations élémentaires.

Nous appellerons transformations matricielles élémentaires
n'importe quel prochaines étapes au dessus de la matrice :

Remplacer les lignes par des colonnes et les colonnes par les lignes correspondantes ;

Réorganiser les lignes de la matrice ;

Rayer une ligne dont les éléments sont tous nuls ;

Multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;

Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligne multipliés par le même nombre
.

Corollaire du théorème 1.5. Si matrice
obtenu à partir de la matrice en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, alors la matrice
Et sont équivalents.

Lors du calcul du rang d'une matrice, il convient de la réduire à une forme trapézoïdale en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires.

Définition 1.16. Nous appellerons trapézoïdale une forme de représentation matricielle lorsque, dans le mineur limitrophe de l'ordre le plus élevé non nul, tous les éléments situés en dessous des diagonaux disparaissent. Par exemple:

.

Ici
, éléments matriciels
aller à zéro. Alors la forme de représentation d'une telle matrice sera trapézoïdale.

En règle générale, les matrices sont réduites à une forme trapézoïdale à l'aide de l'algorithme gaussien. L'idée de l'algorithme de Gauss est qu'en multipliant les éléments de la première ligne de la matrice par les facteurs correspondants, on obtient que tous les éléments de la première colonne situés en dessous de l'élément
, deviendrait nul. Ensuite, en multipliant les éléments de la deuxième colonne par les facteurs correspondants, on s'assure que tous les éléments de la deuxième colonne situés en dessous de l'élément
, deviendrait nul. Procédez ensuite de la même manière.

Problème 1.5. Déterminez le rang d’une matrice en la réduisant à une forme trapézoïdale.

.

Pour faciliter l'utilisation de l'algorithme gaussien, vous pouvez intervertir la première et la troisième lignes.








.

C'est évident qu'ici
. Cependant, pour donner au résultat une forme plus élégante, vous pouvez continuer à transformer les colonnes.










.

Un nombre r est appelé rang de la matrice A si :
1) dans la matrice A il y a un mineur d'ordre r, différent de zéro ;
2) tous les mineurs d'ordre (r+1) et supérieurs, s'ils existent, sont égaux à zéro.
Sinon, le rang d'une matrice est l'ordre mineur le plus élevé autre que zéro.
Désignations : rangA, r A ou r.
De la définition, il résulte que r est un entier positif. Pour une matrice nulle, le rang est considéré comme nul.

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver rang matriciel. Dans ce cas, la solution est enregistrée au format Word et Excel. voir exemple de solution.

Instructions. Sélectionnez la dimension de la matrice, cliquez sur Suivant.

Définition . Soit une matrice de rang r. Tout mineur d'une matrice différent de zéro et d'ordre r est appelé basique, et les lignes et colonnes de ses composants sont appelées lignes et colonnes de base.
Selon cette définition, une matrice A peut avoir plusieurs bases mineures.

Le rang de la matrice identité E est n (le nombre de lignes).

Exemple 1. Étant donné deux matrices, et leurs mineurs , . Lequel d’entre eux peut être considéré comme celui de base ?
Solution. Mineur M 1 =0, il ne peut donc servir de base à aucune des matrices. Mineur M 2 =-9≠0 et est d'ordre 2, ce qui signifie qu'il peut être considéré comme matrices de base A ou/et B à condition qu'ils aient un rang égal à 2. Puisque detB=0 (en tant que déterminant à deux colonnes proportionnelles), alors rangB=2 et M 2 peuvent être pris comme base mineure de la matrice B. Le rang de la matrice A est 3, du fait que detA=-27≠ 0 et, par conséquent, l'ordre de la base mineure de cette matrice doit être égal à 3, c'est-à-dire que M 2 n'est pas une base pour la matrice A. Notez que la matrice A a une seule base mineure, égale au déterminant de la matrice A.

Théorème (sur la base mineure). Toute ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) de base.
Corollaires du théorème.

1. Chaque (r+1) matrice colonne (ligne) de rang r est linéairement dépendante.
2. Si le rang de la matrice moins de nombre ses lignes (colonnes), puis ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes. Si rangA est égal au nombre de ses lignes (colonnes), alors les lignes (colonnes) sont linéairement indépendantes.
3. Le déterminant d'une matrice A est égal à zéro si et seulement si ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes.
4. Si vous ajoutez une autre ligne (colonne) à une ligne (colonne) d'une matrice, multipliée par un nombre autre que zéro, alors le rang de la matrice ne changera pas.
5. Si vous rayez une ligne (colonne) dans une matrice, qui est une combinaison linéaire d’autres lignes (colonnes), le rang de la matrice ne changera pas.
6. Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes (colonnes) linéairement indépendantes.
7. Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes est le même que le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes.

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice .
Solution. A partir de la définition du rang matriciel, nous rechercherons un mineur d'ordre le plus élevé, différent de zéro. Tout d’abord, transformons la matrice en une forme plus simple. Pour ce faire, multipliez la première ligne de la matrice par (-2) et ajoutez-la à la seconde, puis multipliez-la par (-1) et ajoutez-la à la troisième.

Le rang d'une matrice est une caractéristique numérique importante. Le problème le plus typique qui nécessite de trouver le rang d'une matrice est de vérifier la compatibilité d'un système de linéaire équations algébriques. Dans cet article, nous donnerons le concept de rang matriciel et examinerons les méthodes pour le trouver. Pour mieux comprendre la matière, nous analyserons en détail les solutions à plusieurs exemples.

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Détermination du rang d'une matrice et des concepts complémentaires nécessaires.

Avant d'énoncer la définition du rang d'une matrice, il faut avoir une bonne compréhension de la notion de mineur, et trouver les mineurs d'une matrice implique la capacité de calculer le déterminant. Ainsi, si nécessaire, nous vous recommandons de rappeler la théorie de l'article, les méthodes pour trouver le déterminant d'une matrice et les propriétés du déterminant.

Prenons une matrice A d'ordre . Soit k un nombre naturel n'excédant pas le plus petit des nombres m et n, c'est-à-dire .

Définition.

Ordre mineur du kième la matrice A est le déterminant d'une matrice carrée d'ordre, composée d'éléments de la matrice A, qui sont situés dans k lignes et k colonnes présélectionnées, et la disposition des éléments de la matrice A est conservée.

En d'autres termes, si dans la matrice A nous supprimons (p – k) lignes et (n – k) colonnes, et à partir des éléments restants nous créons une matrice, en préservant la disposition des éléments de la matrice A, alors le déterminant de la matrice résultante est une mineure d'ordre k de la matrice A.

Regardons la définition d'une matrice mineure à l'aide d'un exemple.

Considérons la matrice .

Écrivons plusieurs mineurs du premier ordre de cette matrice. Par exemple, si nous choisissons la troisième ligne et la deuxième colonne de la matrice A, alors notre choix correspond à un mineur du premier ordre . Autrement dit, pour obtenir ce mineur, nous avons barré les première et deuxième lignes, ainsi que les première, troisième et quatrième colonnes de la matrice A, et constitué un déterminant à partir de l'élément restant. Si nous choisissons la première ligne et la troisième colonne de la matrice A, alors nous obtenons un mineur .

Illustrons la procédure d'obtention des mineurs de premier ordre considérés
Et .

Ainsi, les mineurs du premier ordre d’une matrice sont les éléments de la matrice eux-mêmes.

Montrons plusieurs mineurs de second ordre. Sélectionnez deux lignes et deux colonnes. Par exemple, prenons les première et deuxième lignes et les troisième et quatrième colonnes. Avec ce choix nous avons un mineur de second ordre . Cette mineure pourrait également être composée en supprimant la troisième ligne, la première et la deuxième colonne de la matrice A.

Un autre mineur du second ordre de la matrice A est .

Illustrons la construction de ces mineurs de second ordre
Et .

De même, des mineurs du troisième ordre de la matrice A peuvent être trouvés. Puisqu’il n’y a que trois lignes dans la matrice A, nous les sélectionnons toutes. Si nous sélectionnons les trois premières colonnes de ces lignes, nous obtenons un mineur de troisième ordre

Il peut également être construit en barrant la dernière colonne de la matrice A.

Un autre mineur de troisième ordre est

obtenu en supprimant la troisième colonne de la matrice A.

Voici une photo montrant la construction de ces mineurs du troisième ordre
Et .

Pour une matrice A donnée, il n'y a pas de mineurs d'ordre supérieur au tiers, puisque .

Combien y a-t-il de mineurs d'ordre k dans une matrice A d'ordre ?

Le nombre de mineurs d'ordre k peut être calculé comme suit : , où Et - le nombre de combinaisons de p à k et de n à k, respectivement.

Comment construire tous les mineurs d’ordre k de la matrice A d’ordre p par n ?

Nous aurons besoin de nombreux numéros de lignes de matrice et de nombreux numéros de colonnes. Nous écrivons tout combinaisons de p éléments par k(elles correspondront aux lignes sélectionnées de la matrice A lors de la construction d'un mineur d'ordre k). À chaque combinaison de numéros de ligne, nous ajoutons séquentiellement toutes les combinaisons de n éléments de k numéros de colonne. Ces ensembles de combinaisons de numéros de lignes et de numéros de colonnes de la matrice A aideront à composer tous les mineurs d'ordre k.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Trouver tous les mineurs du second ordre de la matrice.

Solution.

Puisque l'ordre de la matrice originale est de 3 sur 3, le total des mineurs du deuxième ordre sera .

Écrivons toutes les combinaisons de 3 à 2 numéros de ligne de la matrice A : 1, 2 ; 1, 3 et 2, 3. Toutes les combinaisons de 3 à 2 numéros de colonne sont 1, 2 ; 1, 3 et 2, 3.

Prenons les première et deuxième lignes de la matrice A. En sélectionnant la première et la deuxième colonnes, les première et troisième colonnes, les deuxième et troisième colonnes pour ces lignes, on obtient respectivement les mineurs

Pour les première et troisième lignes, avec un choix de colonnes similaire, nous avons

Il reste à ajouter les première et deuxième, première et troisième, deuxième et troisième colonnes aux deuxième et troisième lignes :

Ainsi, les neuf mineurs du second ordre de la matrice A ont été trouvés.

Nous pouvons maintenant procéder à la détermination du rang de la matrice.

Définition.

Rang matriciel est l'ordre le plus élevé du mineur non nul de la matrice.

Le rang de la matrice A est noté Rank(A) . Vous pouvez également retrouver les désignations Rg(A) ou Rang(A) .

À partir des définitions du rang matriciel et de la matrice mineure, nous pouvons conclure que le rang d'une matrice nulle est égal à zéro et que le rang d'une matrice non nulle n'est pas inférieur à un.

Trouver le rang d'une matrice par définition.

Ainsi, la première méthode pour trouver le rang d’une matrice est méthode de dénombrement des mineurs. Cette méthode est basée sur la détermination du rang de la matrice.

Il nous faut trouver le rang d'une matrice A d'ordre .

Décrivons brièvement algorithme résoudre ce problème en recensant les mineurs.

S'il y a au moins un élément de la matrice qui est différent de zéro, alors le rang de la matrice est au moins égal à un (puisqu'il existe un mineur du premier ordre qui n'est pas égal à zéro).

Nous examinons ensuite les mineurs du deuxième ordre. Si tous les mineurs du second ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à un. S'il existe au moins un mineur non nul du deuxième ordre, alors on procède à l'énumération des mineurs du troisième ordre, et le rang de la matrice est au moins égal à deux.

De même, si tous les mineurs du troisième ordre sont nuls, alors le rang de la matrice est deux. S'il existe au moins un mineur de troisième ordre autre que zéro, alors le rang de la matrice est d'au moins trois, et on passe à l'énumération des mineurs de quatrième ordre.

Notez que le rang de la matrice ne peut pas dépasser le plus petit des nombres p et n.

Exemple.

Trouver le rang de la matrice .

Solution.

Puisque la matrice est non nulle, son rang n'est pas inférieur à un.

Mineur du second ordre est différent de zéro, donc le rang de la matrice A est au moins deux. Passons au dénombrement des mineurs du troisième ordre. Total d'entre eux des choses.

Tous les mineurs du troisième ordre sont égaux à zéro. Le rang de la matrice est donc deux.

Répondre:

Rang(A) = 2 .

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes.

Il existe d'autres méthodes pour trouver le rang d'une matrice qui vous permettent d'obtenir le résultat avec moins de travail de calcul.

Une de ces méthodes est méthode mineure de bord.

Traitons concept de bord mineur.

On dit qu'un mineur M ok du (k+1)ième ordre de la matrice A borde un mineur M d'ordre k de la matrice A si la matrice correspondant au mineur M ok « contient » la matrice correspondant au mineur M.

Autrement dit, la matrice correspondant au mineur limitrophe M est obtenue à partir de la matrice correspondant au mineur limitrophe M ok en supprimant les éléments d'une ligne et d'une colonne.

Par exemple, considérons la matrice et prendre une mineure de deuxième ordre. Notons tous les mineurs limitrophes :

La méthode des mineurs limitrophes est justifiée par le théorème suivant (nous présentons sa formulation sans démonstration).

Théorème.

Si tous les mineurs bordant le mineur d'ordre k d'une matrice A d'ordre p par n sont égaux à zéro, alors tous les mineurs d'ordre (k+1) de la matrice A sont égaux à zéro.

Ainsi, pour trouver le rang d’une matrice il n’est pas nécessaire de parcourir tous les mineurs suffisamment limitrophes. Le nombre de mineurs bordant le mineur du kème ordre d'une matrice A d'ordre , se trouve par la formule . Notez qu'il n'y a pas plus de mineurs bordant le k-ème mineur d'ordre de la matrice A qu'il n'y a de (k + 1) mineurs d'ordre de la matrice A. Par conséquent, dans la plupart des cas, il est plus rentable d’utiliser la méthode du bornage des mineurs que de simplement recenser tous les mineurs.

Passons à la recherche du rang de la matrice en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Décrivons brièvement algorithme cette méthode.

Si la matrice A est différente de zéro, alors comme mineur du premier ordre nous prenons tout élément de la matrice A qui est différent de zéro. Regardons ses mineurs limitrophes. S'ils sont tous égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à un. S'il existe au moins un mineur limitrophe non nul (son ordre est deux), alors nous considérons ses mineurs limitrophes. S'ils sont tous nuls, alors Rank(A) = 2. Si au moins un mineur limitrophe est non nul (son ordre est trois), alors on considère ses mineurs limitrophes. Et ainsi de suite. En conséquence, Rank(A) = k si tous les mineurs limitrophes du (k + 1)ème ordre de la matrice A sont égaux à zéro, ou Rank(A) = min(p, n) s'il existe un non- zéro mineur bordant un mineur d'ordre (min( p, n) – 1) .

Regardons la méthode de limitrophe des mineurs pour trouver le rang d'une matrice à l'aide d'un exemple.

Exemple.

Trouver le rang de la matrice par la méthode des mineurs limitrophes.

Solution.

Puisque l’élément a 1 1 de la matrice A est non nul, nous le considérons comme mineur du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur limite différent de zéro :

On trouve un bord mineur du deuxième ordre, différent de zéro. Regardons ses mineurs limitrophes (leurs des choses):

Tous les mineurs bordant le mineur du second ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice A est égal à deux.

Répondre:

Rang(A) = 2 .

Exemple.

Trouver le rang de la matrice en utilisant des mineurs limitrophes.

Solution.

Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 1 de la matrice A. Le mineur environnant du deuxième ordre pas égal à zéro. Ce mineur est bordé par un mineur du troisième ordre
. Puisqu’il n’est pas égal à zéro et qu’il n’y a pas un seul mineur limitrophe, le rang de la matrice A est égal à trois.

Répondre:

Rang(A) = 3 .

Trouver le rang à l'aide de transformations matricielles élémentaires (méthode de Gauss).

Considérons une autre façon de trouver le rang d'une matrice.

Les transformations matricielles suivantes sont dites élémentaires :

• réorganiser les lignes (ou colonnes) d'une matrice ;
• multiplier tous les éléments de n'importe quelle ligne (colonne) d'une matrice par un nombre arbitraire k, différent de zéro ;
• ajouter aux éléments d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne) de la matrice, multipliés par un nombre arbitraire k.

La matrice B est dite équivalente à la matrice A, si B est obtenu à partir de A en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires. L'équivalence des matrices est désignée par le symbole « ~ », c'est-à-dire écrit A ~ B.

Trouver le rang d'une matrice à l'aide de transformations matricielles élémentaires est basé sur l'énoncé : si la matrice B est obtenue à partir de la matrice A en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, alors Rank(A) = Rank(B) .

La validité de cette affirmation découle des propriétés du déterminant de la matrice :

• Lors de la réorganisation des lignes (ou colonnes) d'une matrice, son déterminant change de signe. S'il est égal à zéro, alors lorsque les lignes (colonnes) sont réorganisées, il reste égal à zéro.
• Lors de la multiplication de tous les éléments de n'importe quelle ligne (colonne) d'une matrice par un nombre arbitraire k autre que zéro, le déterminant de la matrice résultante est égal au déterminant de la matrice d'origine multiplié par k. Si le déterminant de la matrice d'origine est égal à zéro, alors après avoir multiplié tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par le nombre k, le déterminant de la matrice résultante sera également égal à zéro.
• Ajouter aux éléments d'une certaine ligne (colonne) d'une matrice les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne) de la matrice, multipliés par un certain nombre k, ne change pas son déterminant.

L'essence de la méthode des transformations élémentaires consiste à réduire la matrice dont on cherche le rang à une matrice trapézoïdale (dans un cas particulier, à une matrice triangulaire supérieure) à l'aide de transformations élémentaires.

Pourquoi cela est-il fait ? Le rang des matrices de ce type est très facile à trouver. Il est égal au nombre de lignes contenant au moins un élément non nul. Et comme le rang de la matrice ne change pas lors des transformations élémentaires, la valeur résultante sera le rang de la matrice d'origine.

Nous donnons des illustrations de matrices dont l'une doit être obtenue après transformations. Leur apparition dépend de l'ordre de la matrice.

Ces illustrations sont des modèles vers lesquels nous transformerons la matrice A.

Décrivons algorithme de méthode.

Il nous faut trouver le rang d'une matrice A non nulle d'ordre (p peut être égal à n).

Donc, . Multiplions tous les éléments de la première ligne de la matrice A par . Dans ce cas, on obtient une matrice équivalente, la notant A (1) :

Aux éléments de la deuxième ligne de la matrice résultante A (1) on ajoute les éléments correspondants de la première ligne, multipliés par . Aux éléments de la troisième ligne on ajoute les éléments correspondants de la première ligne, multipliés par . Et ainsi de suite jusqu'à la p-ème ligne. Obtenons une matrice équivalente, notons-la A (2) :

Si tous les éléments de la matrice résultante situés dans les lignes de la seconde à la p-ième sont égaux à zéro, alors le rang de cette matrice est égal à un et, par conséquent, le rang de la matrice d'origine est égal à à une.

Si dans les lignes du deuxième au p-ième il y a au moins un élément non nul, alors nous continuons à effectuer des transformations. D'ailleurs, on agit exactement de la même manière, mais uniquement avec la partie de matrice A (2) repérée sur la figure.

Si , alors nous réorganisons les lignes et (ou) les colonnes de la matrice A (2) pour que le « nouvel » élément devienne non nul.

Définition. Rang matriciel est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes considérées comme vecteurs.

Théorème 1 sur le rang de la matrice. Rang matriciel est appelé l'ordre maximum d'un mineur non nul d'une matrice.

Nous avons déjà évoqué la notion de mineur dans la leçon sur les déterminants, et nous allons maintenant la généraliser. Prenons un certain nombre de lignes et un certain nombre de colonnes dans la matrice, et ce « combien » doit être inférieur au nombre de lignes et de colonnes de la matrice, et pour les lignes et les colonnes ce « combien » doit être le même nombre. Ensuite, à l’intersection du nombre de lignes et du nombre de colonnes, il y aura une matrice d’ordre inférieur à notre matrice d’origine. Le déterminant est une matrice et sera un mineur du kième ordre si le « certains » mentionné (le nombre de lignes et de colonnes) est noté k.

Définition. Mineure ( r+1)ème ordre dans lequel se situe le mineur choisi r-ème ordre est dit limitrophe pour un mineur donné.

Les deux méthodes les plus couramment utilisées sont trouver le rang de la matrice. Ce manière de border les mineurs Et méthode de transformations élémentaires(Méthode Gauss).

Lors de l'utilisation de la méthode des mineurs limitrophes, le théorème suivant est utilisé.

Théorème 2 sur le rang de la matrice. Si une mineure peut être composée d'éléments matriciels rème ordre, non égal à zéro, alors le rang de la matrice est égal à r.

Lors de l'utilisation de la méthode de transformation élémentaire, la propriété suivante est utilisée :

Si, par transformations élémentaires, on obtient une matrice trapézoïdale équivalente à celle d'origine, alors rang de cette matrice est le nombre de lignes autres que les lignes composées entièrement de zéros.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des mineurs limitrophes

Un mineur englobant est un mineur d'ordre supérieur par rapport à celui donné si ce mineur d'ordre supérieur contient le mineur donné.

Par exemple, étant donné la matrice

Prenons un mineur

Les mineurs limitrophes seront :

Algorithme pour trouver le rang d'une matrice suivant.

1. Trouver les mineurs du second ordre qui ne sont pas égaux à zéro. Si tous les mineurs du second ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice sera égal à un ( r =1 ).

2. S'il y a au moins un mineur du deuxième ordre qui n'est pas égal à zéro, alors on compose les mineurs limitrophes du troisième ordre. Si tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à deux ( r =2 ).

3. Si au moins un des mineurs limitrophes du troisième ordre n'est pas égal à zéro, alors on compose les mineurs limitrophes. Si tous les mineurs limitrophes du quatrième ordre sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à trois ( r =2 ).

4. Continuez ainsi tant que la taille de la matrice le permet.

Exemple 1. Trouver le rang d'une matrice

.

Solution. Mineur du second ordre .

Bordons-le. Il y aura quatre mineurs limitrophes :

,

,

Ainsi, tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de cette matrice est égal à deux ( r =2 ).

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est égal à 1, puisque tous les mineurs du second ordre de cette matrice sont égaux à zéro (en cela, comme dans le cas des mineurs limitrophes dans les deux exemples suivants, chers étudiants sont invités à vérifier pour eux-mêmes, peut-être en utilisant les règles de calcul des déterminants), et parmi les mineurs du premier ordre, c'est-à-dire parmi les éléments de la matrice, il y en a des non nuls.

Exemple 3. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le mineur du deuxième ordre de cette matrice est , et tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro. Le rang de cette matrice est donc deux.

Exemple 4. Trouver le rang d'une matrice

Solution. Le rang de cette matrice est 3, puisque le seul mineur du troisième ordre de cette matrice est 3.

Trouver le rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires (méthode de Gauss)

Déjà dans l'exemple 1, il est clair que la tâche de détermination du rang d'une matrice à l'aide de la méthode des mineurs limitrophes nécessite le calcul d'un grand nombre de déterminants. Il existe cependant un moyen de réduire au minimum la quantité de calcul. Cette méthode est basée sur l'utilisation de transformations matricielles élémentaires et est également appelée méthode de Gauss.

Les opérations suivantes sont considérées comme des transformations matricielles élémentaires :

1) multiplier n'importe quelle ligne ou colonne d'une matrice par un nombre autre que zéro ;

2) ajouter aux éléments d'une ligne ou d'une colonne de la matrice les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, multipliés par le même nombre ;

3) échanger deux lignes ou colonnes de la matrice ;

4) supprimer les lignes « nulles », c'est-à-dire celles dont les éléments sont tous égaux à zéro ;

5) supprimer toutes les lignes proportionnelles sauf une.

Théorème. Lors d'une transformation élémentaire, le rang de la matrice ne change pas. Autrement dit, si l’on utilise les transformations élémentaires de la matrice UN je suis allé à la matrice B, Que .