Dérivation de l'équation de la parabole. Parabole - propriétés et graphique d'une fonction quadratique

Tout au long de ce chapitre, on suppose qu'une certaine échelle a été choisie dans le plan (dans lequel se trouvent toutes les figures considérées ci-dessous) ; Seuls les systèmes de coordonnées rectangulaires avec cette échelle sont pris en compte.

§ 1. Parabole

La parabole est connue du lecteur depuis cours scolaire les mathématiques comme une courbe qui est le graphique d'une fonction

(Fig. 76). (1)

Graphique de n'importe quel trinôme quadratique

est aussi une parabole ; est possible en déplaçant simplement le système de coordonnées (par un vecteur OO), c'est-à-dire en transformant

assurez-vous que le graphique de la fonction (dans le deuxième système de coordonnées) coïncide avec le graphique (2) (dans le premier système de coordonnées).

En fait, substituons (3) à l'égalité (2). On a

On veut choisir pour que le coefficient at et le terme libre du polynôme (par rapport à ) du côté droit de cette égalité soient égaux à zéro. Pour ce faire, on détermine à partir de l'équation

qui donne

Maintenant, nous déterminons à partir de la condition

dans lequel nous substituons la valeur déjà trouvée. On a

Ainsi, au moyen du décalage (3), dans lequel

nous sommes passés à un nouveau système de coordonnées, dans lequel l'équation de la parabole (2) a pris la forme

(Fig. 77).

Revenons à l'équation (1). Cela peut servir de définition d’une parabole. Rappelons ses propriétés les plus simples. La courbe a un axe de symétrie : si un point satisfait à l'équation (1), alors un point symétrique au point M par rapport à l'axe des ordonnées satisfait également à l'équation (1) - la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Fig. 76) .

Si , alors la parabole (1) se situe dans le demi-plan supérieur et a un seul point commun O avec l'axe des abscisses.

Avec une augmentation illimitée de la valeur absolue de l'abscisse, l'ordonnée augmente également sans limite. Forme générale donner une courbe sur la Fig. 76, a.

Si (Fig. 76, b), alors la courbe est située dans le demi-plan inférieur symétriquement par rapport à l'axe des abscisses de la courbe.

Si nous passons à un nouveau système de coordonnées, obtenu à partir de l'ancien en remplaçant la direction positive de l'axe des ordonnées par la direction opposée, alors la parabole, qui a l'équation y dans l'ancien système, recevra l'équation y dans le nouveau système de coordonnées. Par conséquent, lors de l'étude des paraboles, nous pouvons nous limiter aux équations (1), dans lesquelles .

Changeons enfin les noms des axes, c'est-à-dire que nous passerons à un nouveau système de coordonnées, dans lequel l'axe des ordonnées sera l'ancien axe des abscisses, et l'axe des abscisses sera l'ancien axe des ordonnées. Dans ce nouveau système, l'équation (1) s'écrira sous la forme

Ou, si le nombre est noté , sous la forme

L'équation (4) est appelée en géométrie analytique l'équation canonique d'une parabole ; le système de coordonnées rectangulaires dans lequel une parabole donnée a l'équation (4) est appelé système de coordonnées canonique (pour cette parabole).

Maintenant, nous allons installer signification géométrique coefficient Pour ce faire, nous prenons le point

appelée foyer de la parabole (4), et la droite d, définie par l'équation

Cette droite est appelée directrice de la parabole (4) (voir Fig. 78).

Soit un point arbitraire de la parabole (4). De l'équation (4), il s'ensuit que Par conséquent, la distance du point M à la directrice d est le nombre

La distance du point M au foyer F est

Mais donc

Ainsi, tous les points M de la parabole sont équidistants de son foyer et de sa directrice :

Inversement, tout point M satisfaisant la condition (8) se trouve sur la parabole (4).

En effet,

Ainsi,

et, après avoir ouvert les parenthèses et apporté des termes semblables,

Nous avons prouvé que chaque parabole (4) est le lieu des points équidistants du foyer F et de la directrice d de cette parabole.

Parallèlement, nous avons établi la signification géométrique du coefficient dans l'équation (4) : le nombre est égal à la distance entre le foyer et la directrice de la parabole.

Supposons maintenant qu'un point F et une droite d ne passant pas par ce point soient donnés arbitrairement sur le plan. Montrons qu'il existe une parabole de foyer F et de directrice d.

Pour ce faire, tracez une ligne g passant par le point F (Fig. 79), perpendiculaire à la ligne d ; notons D le point d'intersection des deux droites ; la distance (c'est-à-dire la distance entre le point F et la droite d) sera notée .

Transformons la droite g en axe, en prenant la direction DF comme positive. Faisons de cet axe l'axe des abscisses d'un repère rectangulaire dont l'origine est le milieu O du segment

Alors la droite d reçoit également l’équation .

Nous pouvons maintenant écrire l'équation canonique de la parabole dans le système de coordonnées sélectionné :

où le point F sera le foyer, et la droite d sera la directrice de la parabole (4).

Nous avons établi plus haut qu'une parabole est le lieu des points M équidistants du point F et de la droite d. Ainsi, nous pouvons donner une telle définition géométrique (c’est-à-dire indépendante de tout système de coordonnées) d’une parabole.

Définition. Une parabole est le lieu de points équidistants de certains un point fixe(« foyer » de la parabole) et une ligne fixe (« directrice » de la parabole).

En désignant la distance entre le foyer et la directrice d'une parabole par , on peut toujours trouver un système de coordonnées rectangulaires canonique pour une parabole donnée, c'est-à-dire dans lequel l'équation de la parabole a la forme canonique :

À l’inverse, toute courbe qui possède une telle équation dans un système de coordonnées rectangulaires est une parabole (au sens géométrique que nous venons d’établir).

La distance entre le foyer et la directrice d'une parabole est appelée paramètre focal, ou simplement paramètre de la parabole.

La droite passant par le foyer perpendiculaire à la directrice de la parabole est appelée son axe focal (ou simplement axe) ; c'est l'axe de symétrie de la parabole - cela découle du fait que l'axe de la parabole est l'axe des abscisses dans le système de coordonnées, par rapport auquel l'équation de la parabole a la forme (4).

Si un point satisfait à l'équation (4), alors un point symétrique au point M par rapport à l'axe des abscisses satisfait également à cette équation.

Le point d'intersection d'une parabole avec son axe est appelé sommet de la parabole ; c'est l'origine du système de coordonnées canonique pour une parabole donnée.

Donnons une autre interprétation géométrique du paramètre de parabole.

Traçons une ligne droite passant par le foyer de la parabole, perpendiculaire à l'axe de la parabole ; il coupera la parabole en deux points (voir Fig. 79) et déterminera la corde dite focale de la parabole (c'est-à-dire la corde passant par le foyer parallèle à la directrice de la parabole). La moitié de la longueur de la corde focale est le paramètre de la parabole.

En fait, la moitié de la longueur de la corde focale est la valeur absolue de l'ordonnée de l'un des points dont l'abscisse de chacun est égale à l'abscisse du foyer, c'est-à-dire Donc pour l’ordonnée de chaque point on a

Q.E.D.

Tâche n°1. Déterminer les coordonnées des foyers et composer l'équation de la directrice de la parabole

En comparant cette équation avec l'équation
, on trouve que 2p=4, d'où . Donc le point
- les foyers d'une parabole, et la droite
, c'est-à-dire que x=-1 ou x+1=0 est sa directrice.

Réponse : (1;0)

Problème n°2. Le foyer d'une parabole dont le sommet est à l'origine se situe au point F(0;-4). Écrivez l'équation de cette parabole.

Problème n°3. La directrice d'une parabole ayant un sommet à l'origine est la droite 2x+5=0

Écrivez une équation et trouvez les coordonnées du foyer de la parabole.

R.
Solution : Puisque la directrice d'une parabole avec un sommet à l'origine est la droite 2x+5=0 ou
, alors son foyer a des coordonnées

, donc la courbe recherchée est symétrique par rapport à l'axe Ox F( )
et ses branches sont dirigées vers la droite (l'abscisse du foyer est positive). L’équation de la parabole a donc la forme

Parce que
Que
et l'équation de la parabole sera :
, et les coordonnées de son foyer sont F(2.5;0)

Répondre:
; F(2,5;0)

Tâche n°4. Écrire l'équation d'une parabole, symétrique par rapport à l'axe Oy, de centre à l'origine du repère, si elle passe par le point B(1;-2).

Puisque la parabole est symétrique par rapport à l'axe Oy et possède un sommet à l'origine du repère, son équation a la forme
. Puisque le point B(1;-2) se trouve sur une parabole, ses coordonnées satisfont les paraboles, c'est-à-dire
,

Où
, et donc
- équation d'une parabole.

Répondre:

Problème n°5. Trouver la hauteur de l'arc d'un pont de 24 m de long, si l'arc a la forme d'une parabole dont l'équation est

Esquissons une parabole
dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes. Notons h la hauteur du pont, et par =24 - longueur de l'arc du pont. Alors, A(12;-h) P :
.

T
comment le point A appartient à une parabole
, alors ses coordonnées satisfont à l'équation d'une parabole. Cela permet de substituer les coordonnées d'un point donné dans l'équation de la parabole au lieu des coordonnées actuelles (x; y). Ensuite nous avons

Ainsi, la hauteur de l'arche du pont est de 3 m.

Problème n°6. Un jet d'eau dirigé selon un angle par rapport au plan de l'horizon s'élève à une hauteur de 2 m et tombe à 12 m de l'extrémité du tuyau. Trouvez la trajectoire parabolique du jet.

Solution : Associons la trajectoire parabolique du jet à un repère cartésien rectangulaire pour que la trajectoire parabolique soit symétrique à l'axe Oy, que les branches soient dirigées vers le bas et que son sommet se trouve à l'origine des coordonnées.

Alors l’équation d’une telle trajectoire parabolique a la forme
, point A(6;-2) P :
, par conséquent, ses coordonnées satisfont à l’équation de la parabole. Remplacement des coordonnées du point A au lieu des coordonnées x et y actuelles de la parabole
, donne l'égalité

. Ainsi,
- équation de la trajectoire parabolique du jet.

Répondre:

Décider vous-même:

Problème n°7. La section transversale d'un réflecteur par un plan passant par l'axe du réflecteur est une parabole. Écrivez son équation si la largeur du réflecteur est de 30 cm et la profondeur est de 20 cm (l'axe du réflecteur coïncide avec l'axe Ox)

Répondre:

Problème n°8. L'eau s'écoule d'un trou à la surface de la terre dans un ruisseau représentant une branche de parabole
. A quelle distance du bord du réservoir le ruisseau tombe-t-il au sol si la hauteur du trou

Réponse : 3 m.

Problème n°9. La section axiale d'un miroir parabolique est une parabole

Déterminez le diamètre du miroir si sa « profondeur » est de 18,75 cm.

Réponse : 30 cm.

Problème n°10. Une pierre lancée à un angle aigu par rapport au plan de l'horizon a atteint une hauteur maximale de 16 m. Après avoir décrit une trajectoire parabolique, la pierre est tombée à 48 m du point de lancement. Trouvez la trajectoire de la pierre.

Répondre:
.

Problème n°11 Trouver une parabole avec un sommet à l'origine si son foyer se situe au point a) F(3;0) ; b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)

Réponse : a)
; b)
; V)
; G)

Problème n°12 Trouver des paraboles avec un sommet à l'origine si les directrices sont données : a)
; b) x = -5 ; c) y = 3 ; d) y = -2 ;

Réponse : a)
; b)
; V)
; G)
.

Problème n°13. Trouver les coordonnées du foyer et écrire l'équation directrice de chacune des paraboles.

UN)
; b)
; V)
; G)
. Construisez ces paraboles.

Réponse : a) F(2;0); x+2=0 ; b)F(-3;0); x-3=0 ; c) F(0;); 2 ans+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Problème n°14. Vérifiez si les points A(2;-2) et B(1;2) se trouvent sur la parabole

Réponse : A le sont, B ne le sont pas.

Problème n°15. Écrire une équation pour une parabole avec un sommet à l'origine, symétrique par rapport à l'axe Ox et passant par le point

Répondre:

Problème n°16. Écrire l'équation d'une parabole avec un sommet à l'origine si :

A) la parabole est située dans le demi-plan supérieur symétriquement par rapport à l'axe des ordonnées, et son paramètre focal est égal à 4 ;

B) la parabole est située dans le demi-plan inférieur symétriquement par rapport à l'axe des ordonnées, et son paramètre focal est égal à 6 ;

B) la parabole est située dans le demi-plan droit symétriquement par rapport à l'axe des ordonnées, et son paramètre focal est égal à 3 ;

d) la parabole est située dans le demi-plan gauche symétriquement par rapport à l'axe des ordonnées, et son paramètre focal est égal à 5.

Réponse a)
; b)
; V)
; G)
.

Je suggère au reste des lecteurs d'élargir considérablement leurs connaissances scolaires sur les paraboles et les hyperboles. Hyperbole et parabole : sont-elles simples ? ...Je ne peux pas attendre =)

Hyperbole et son équation canonique

La structure générale de la présentation du matériel ressemblera au paragraphe précédent. Commençons avec concept général hyperboles et problèmes pour sa construction.

L'équation canonique d'une hyperbole a la forme , où sont des nombres réels positifs. Veuillez noter que, contrairement à ellipse, la condition n’est pas imposée ici, c’est-à-dire que la valeur « a » peut être inférieur à la valeur"bébé".

Je dois dire, de manière assez inattendue... l'équation de l'hyperbole « scolaire » ne ressemble même pas beaucoup à la notation canonique. Mais ce mystère devra encore nous attendre, mais pour l’instant, grattons-nous la tête et rappelons-nous quoi. traits caractéristiques a la courbe en question ? Diffusons-le sur l'écran de notre imagination graphique d'une fonction ….

Une hyperbole a deux branches symétriques.

Pas mal de progrès ! Toute hyperbole a ces propriétés, et maintenant nous allons regarder avec une véritable admiration le décolleté de cette ligne :

Exemple 4

Construire l'hyperbole donnée par l'équation

Solution: dans un premier temps, nous mettons cette équation sous forme canonique. N'oubliez pas la procédure standard. Sur la droite, vous devez obtenir « un », nous divisons donc les deux côtés de l'équation originale par 20 :

Ici, vous pouvez réduire les deux fractions, mais il est plus optimal de faire chacune d'elles trois étages:

Et seulement après cela, effectuez la réduction :

Sélectionnez les carrés dans les dénominateurs :

Pourquoi est-il préférable de réaliser des transformations de cette façon ? Après tout, les fractions du côté gauche peuvent être immédiatement réduites et obtenues. Le fait est que dans l'exemple considéré, nous avons eu un peu de chance : le nombre 20 est divisible à la fois par 4 et par 5. Dans le cas général, un tel nombre ne fonctionne pas. Considérons, par exemple, l'équation . Ici avec la divisibilité tout est plus triste et sans fractions de trois étages ce n'est plus possible :

Alors, utilisons le fruit de notre travail - l'équation canonique :

Comment construire une hyperbole ?

Il existe deux approches pour construire une hyperbole : géométrique et algébrique.
D'un point de vue pratique, dessiner au compas... Je dirais même utopique, il est donc bien plus rentable de recourir encore une fois à des calculs simples pour s'aider.

Il est conseillé de respecter l'algorithme suivant, d'abord le dessin terminé, puis les commentaires :

En pratique, on rencontre souvent une combinaison de rotation d'un angle arbitraire et de translation parallèle de l'hyperbole. Cette situation discuté en classe Réduire l'équation de la droite du 2ème ordre à la forme canonique.

Parabole et son équation canonique

C'est fini! C'est la bonne. Prêt à révéler de nombreux secrets. L'équation canonique d'une parabole a la forme , où est un nombre réel. Il est facile de remarquer que dans sa position standard la parabole « repose sur le côté » et que son sommet est à l'origine. Dans ce cas, la fonction spécifie la branche supérieure de cette ligne, et la fonction – la branche inférieure. Il est évident que la parabole est symétrique par rapport à l’axe. En fait, pourquoi s'embêter :

Exemple 6

Construire une parabole

Solution: le sommet est connu, trouvons des points supplémentaires. L'équation détermine l'arc supérieur de la parabole, l'équation détermine l'arc inférieur.

Afin de raccourcir l'enregistrement des calculs, nous effectuerons les calculs « avec un seul pinceau » :

Pour un enregistrement compact, les résultats pourraient être résumés dans un tableau.

Avant d’effectuer un dessin élémentaire point par point, formulons un schéma strict

définition de la parabole :

Une parabole est l'ensemble de tous les points du plan qui sont équidistants d'un point donné et d'une ligne donnée qui ne passe pas par ce point.

Le point s'appelle se concentrer paraboles, ligne droite - directrice (écrit avec un "es") paraboles. La constante "pe" de l'équation canonique est appelée paramètre focal, qui est égale à la distance du foyer à la directrice. Dans ce cas . Dans ce cas, le foyer a des coordonnées , et la directrice est donnée par l'équation .
Dans notre exemple :

La définition d’une parabole est encore plus simple à comprendre que celles d’une ellipse et d’une hyperbole. Pour tout point d'une parabole, la longueur du segment (la distance du foyer au point) est égale à la longueur de la perpendiculaire (la distance du point à la directrice) :

Toutes nos félicitations! Vous êtes nombreux à avoir fait une véritable découverte aujourd’hui. Il s'avère qu'une hyperbole et une parabole ne sont pas du tout des graphiques de fonctions « ordinaires », mais ont une origine géométrique prononcée.

Évidemment, à mesure que le paramètre focal augmente, les branches du graphique « monteront » de haut en bas, se rapprochant infiniment de l’axe. À mesure que la valeur « pe » diminue, ils commenceront à se comprimer et à s'étirer le long de l'axe.

L'excentricité de toute parabole est égale à l'unité :

Rotation et translation parallèle d'une parabole

La parabole est l’une des droites les plus courantes en mathématiques et vous devrez la construire très souvent. Par conséquent, veuillez accorder une attention particulière au dernier paragraphe de la leçon, où je discuterai des options typiques pour l'emplacement de cette courbe.

! Note : comme dans les cas des courbes précédentes, il est plus correct de parler de rotation et de translation parallèle des axes de coordonnées, mais l'auteur se limitera à une version simplifiée de la présentation afin que le lecteur ait une compréhension de base de ces transformations.

Tout le monde sait probablement ce qu'est une parabole. Mais nous verrons ci-dessous comment l'utiliser correctement et avec compétence pour résoudre divers problèmes pratiques.

Tout d’abord, décrivons les concepts de base que l’algèbre et la géométrie donnent à ce terme. Considérons tous les types possibles de ce graphique.

Découvrons toutes les principales caractéristiques de cette fonction. Comprenons les bases de la construction de courbes (géométrie). Apprenons comment trouver les valeurs maximales et autres valeurs de base d'un graphique de ce type.

Découvrons : comment construire correctement la courbe souhaitée à l'aide de l'équation, à quoi vous devez faire attention. Voyons les bases utilisation pratique cette valeur unique dans la vie humaine.

Qu'est-ce qu'une parabole et à quoi ressemble-t-elle ?

Algèbre : ce terme fait référence à la représentation graphique fonction quadratique.

Géométrie : il s'agit d'une courbe du second ordre qui présente un certain nombre de particularités :

Équation canonique de la parabole

La figure montre un système de coordonnées rectangulaires (XOY), un extremum, la direction des branches de la fonction tracée le long de l'axe des abscisses.

L'équation canonique est :

oui 2 = 2 * p * x,

où le coefficient p est le paramètre focal de la parabole (AF).

En algèbre cela s’écrira différemment :

y = a x 2 + b x + c (motif reconnaissable : y = x 2).

Propriétés et graphique d'une fonction quadratique

La fonction a un axe de symétrie et un centre (extremum). Le domaine de définition est constitué de toutes les valeurs de l'axe des abscisses.

La plage de valeurs de la fonction – (-∞, M) ou (M, +∞) dépend du sens des branches de la courbe. Le paramètre M signifie ici la valeur de la fonction en haut de la ligne.

Comment déterminer où sont dirigées les branches d'une parabole

Pour trouver la direction d'une courbe de ce type à partir d'une expression, il faut déterminer le signe devant le premier paramètre de l'expression algébrique. Si un ˃ 0, alors ils sont dirigés vers le haut. Si c'est l'inverse, vers le bas.

Comment trouver le sommet d'une parabole à l'aide de la formule

Trouver l'extremum est l'étape principale pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. Bien sûr, vous pouvez ouvrir des calculatrices en ligne, mais il vaut mieux pouvoir le faire soi-même.

Comment le déterminer ? Il existe une formule spéciale. Lorsque b n’est pas égal à 0, il faut chercher les coordonnées de ce point.

Formules pour trouver le sommet :

x 0 = -b / (2 * une);
oui 0 = oui (x 0).

Exemple.

Il existe une fonction y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Trouvons les sommets de cette fonction.

Pour une ligne comme celle-ci :

x = -16 / (2 * 4) = -2 ;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

On obtient les coordonnées du sommet (-2, -41).

Déplacement de la parabole

Le cas classique est celui où dans une fonction quadratique y = a x 2 + b x + c, les deuxième et troisième paramètres sont égaux à 0, et = 1 - le sommet est au point (0 ; 0).

Le mouvement le long des axes des abscisses ou des ordonnées est dû aux changements des paramètres b et c, respectivement. La ligne sur le plan sera décalée exactement du nombre d'unités égal à la valeur du paramètre.

Exemple.

On a : b = 2, c = 3.

Cela signifie que la forme classique de la courbe se décalera de 2 segments unitaires le long de l'axe des abscisses et de 3 le long de l'axe des ordonnées.

Comment construire une parabole à l'aide d'une équation quadratique

Il est important que les écoliers apprennent à dessiner correctement une parabole en utilisant des paramètres donnés.

En analysant les expressions et les équations, vous pouvez voir ce qui suit :

Le point d'intersection de la ligne souhaitée avec le vecteur ordonnée aura la valeur égale à la valeur Avec.
Tous les points du graphique (le long de l'axe des x) seront symétriques par rapport à l'extremum principal de la fonction.

De plus, les points d'intersection avec OX peuvent être trouvés en connaissant le discriminant (D) d'une telle fonction :

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pour ce faire, vous devez assimiler l'expression à zéro.

La présence de racines d'une parabole dépend du résultat :

D ˃ 0, alors x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a) ;
D = 0, alors x 1, 2 = -b / (2 * a) ;
D ˂ 0, alors il n’y a pas de points d’intersection avec le vecteur OX.

On obtient l'algorithme de construction d'une parabole :

déterminer la direction des branches ;
trouver les coordonnées du sommet ;
trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées ;
trouver l'intersection avec l'axe des x.

Exemple 1.

Étant donné la fonction y = x 2 - 5 * x + 4. Il faut construire une parabole. Nous suivons l'algorithme :

a = 1, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
coordonnées extremum : x = - (-5) / 2 = 5/2 ; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4 ;
coupe l'axe des ordonnées à la valeur y = 4 ;
trouvons le discriminant : D = 25 - 16 = 9 ;
à la recherche de racines :

X1 = (5 + 3) / 2 = 4 ; (4, 0);
X2 = (5 - 3) / 2 = 1 ; (dix).

Exemple 2.

Pour la fonction y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 vous devez construire une parabole. Nous agissons selon l'algorithme donné :

a = 3, donc les branches sont dirigées vers le haut ;
coordonnées extremum : x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3 ; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3 ;
croisera l'axe y à la valeur y = -1 ;
trouvons le discriminant : D = 4 + 12 = 16. Donc les racines sont :

X1 = (2 + 4) / 6 = 1 ; (1;0);
X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3 ; (-1/3 ; 0).

En utilisant les points obtenus, vous pouvez construire une parabole.

Directrice, excentricité, foyer d'une parabole

D'après l'équation canonique, le foyer de F a des coordonnées (p/2, 0).

La droite AB est une directrice (une sorte de corde d'une parabole d'une certaine longueur). Son équation est x = -p/2.

Excentricité (constante) = 1.

Conclusion

Nous avons examiné un sujet dans lequel les écoliers étudient lycée. Vous savez maintenant, en regardant la fonction quadratique d'une parabole, comment trouver son sommet, dans quelle direction les branches seront dirigées, s'il y a un déplacement le long des axes et, disposant d'un algorithme de construction, vous pouvez dessiner son graphique.

Cours d'algèbre et de géométrie. Semestre 1.

Conférence 17. Parabole.

Chapitre 17. Parabole.

article 1. Définitions basiques.

Définition. Une parabole est le GMT d'un plan équidistant d'un point fixe du plan, appelé foyer, et d'une ligne fixe, appelée directrice.

Définition. La distance d'un point arbitraire M du plan au foyer de la parabole est appelée rayon focal du point M.

Désignations : F – foyer de la parabole, r – rayon focal points M,d– distance du point M à la directrice D.

Par la définition d'une parabole, un point M est un point d'une parabole si et seulement si
.

Par définition d'une parabole, son foyer et sa directrice sont des objets fixes, donc la distance du foyer à la directrice est une valeur constante pour une parabole donnée.

Définition. La distance entre le foyer d'une parabole et sa directrice est appelée paramètre focal de la parabole.

Désignation:
.

Introduisons sur ce plan un système de coordonnées que nous appellerons canonique pour la parabole.

Définition. L'axe passant par le foyer de la parabole perpendiculaire à la directrice est appelé axe focal de la parabole.

Construisons un PDSC canonique pour la parabole, voir Fig. 2.

Comme axe des abscisses, on sélectionne l'axe focal, la direction sur laquelle on sélectionne de la directrice au foyer.

L'axe des ordonnées passe par le milieu du segment FN perpendiculaire à l'axe focal. Alors le focus a des coordonnées
.

article 2. Équation canonique d'une parabole.

Théorème. Dans le système de coordonnées canonique d'une parabole, l'équation de la parabole a la forme :

. (1)

Preuve. Nous effectuons la preuve en deux étapes. Dans un premier temps, nous prouverons que les coordonnées de tout point situé sur la parabole satisfont à l'équation (1). Dans un deuxième temps, nous prouverons que toute solution de l'équation (1) donne les coordonnées d'un point situé sur la parabole. Il s'ensuivra que l'équation (1) est satisfaite par les coordonnées de ceux et seulement de ces points du plan de coordonnées qui se trouvent sur la parabole.

De cela et de la définition de l’équation d’une courbe il résultera que l’équation (1) est l’équation d’une parabole.

1) Soit le point M(x, y) un point d'une parabole, c'est-à-dire

Utilisons la formule de la distance entre deux points sur le plan de coordonnées et utilisons cette formule pour trouver le rayon focal d'un point M donné :

De la figure 2, nous voyons qu'un point de parabole ne peut pas avoir une abscisse négative, car dans ce cas
. C'est pourquoi
Et
. De là, nous obtenons l'égalité

Mettons au carré les deux côtés de l'équation :

et après réduction on obtient :

2) Soit maintenant une paire de nombres (x, y) satisfaisant l'équation (1) et soit M(x, y) le point correspondant sur le plan de coordonnées Oxy.

Ensuite, nous substituons l'égalité (1) dans l'expression du rayon focal du point M :

, d'où, par la définition d'une parabole, il s'ensuit que le point M(x, y) se trouve sur la parabole.

Nous avons ici profité du fait que de l'égalité (1) il résulte que
et donc
.

Le théorème a été prouvé.

Définition. L’équation (1) est appelée équation canonique de la parabole.

Définition. L'origine du système de coordonnées canonique d'une parabole est appelée le sommet de la parabole.

article 3. Propriétés d'une parabole.

Théorème. (Propriétés d'une parabole.)

1. Dans le repère canonique d'une parabole, dans la bande

pas de points de parabole.

2. Dans le système de coordonnées canonique d'une parabole, le sommet de la parabole O(0; 0) se trouve sur la parabole.

3. Une parabole est une courbe symétrique par rapport à l’axe focal.

Preuve. 1, 2) Découle immédiatement de l'équation canonique de la parabole.

3) Soit M(x, y) un point arbitraire de la parabole. Alors ses coordonnées satisfont à l’équation (1). Mais alors les coordonnées du point
satisfont également l’équation (1) et, par conséquent, ce point est également un point d’une parabole, d’où découle l’énoncé du théorème.

Le théorème a été prouvé.

article 4. Construction d'une parabole.

Par symétrie, il suffit de construire une parabole au premier trimestre, où c'est le graphique de la fonction

puis affichez le graphique résultant symétriquement par rapport à l'axe des x.

On construit un graphique de cette fonction, en tenant compte du fait que cette fonction est croissante sur l'intervalle
.

article 5. Le paramètre focal d'une hyperbole.

Théorème. Le paramètre focal d'une parabole est égal à la longueur de la perpendiculaire à son axe de symétrie, restituée au foyer de la parabole avant son intersection avec la parabole.

Preuve. Depuis le point
est le point d'intersection de la parabole
avec perpendiculaire
(voir Fig. 3), alors ses coordonnées satisfont à l'équation de la parabole :

De là, nous trouvons
, d'où découle l'énoncé du théorème.

Le théorème a été prouvé.

article 6. Définition unifiée de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole.

En utilisant les propriétés éprouvées de l’ellipse et de l’hyperbole, ainsi que la définition d’une parabole, nous pouvons donner une définition unique pour les trois courbes.

Définition. Les plans HMT pour lesquels le rapport de la distance à un point fixe du plan, appelé foyer, à la distance à une ligne droite fixe, appelée directrice, est une valeur constante s'appelle :

a) une ellipse si cette valeur constante est inférieure à 1 ;

b) une hyperbole si cette valeur constante est supérieure à 1 ;

c) une parabole si cette valeur constante est égale à 1.

Cette valeur constante mentionnée dans la définition est appelée excentricité et est notée , la distance d'un point donné au foyer est son rayon focal r, la distance d'un point donné à la directrice est notée d.

De la définition, il résulte que les points du plan pour lesquels la relation il existe une quantité constante qui forme une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon l'ampleur de ce rapport.

Si
, alors on obtient une ellipse si
, alors on obtient une hyperbole si
, alors nous obtenons une parabole.

article 7. Tangente à une parabole.

Théorème. Laisser
– point arbitraire de la parabole

Alors l’équation de la tangente à cette parabole est

à ce point
a la forme :

. (2)

Preuve. Il suffit de considérer le cas où le point de contact se situe au premier trimestre. L’équation de la parabole ressemble alors à :

et il peut être considéré comme un graphique de la fonction
.

Utilisons l'équation tangente au graphique de la fonction
à ce point
:

Où
– la valeur de la dérivée d'une fonction donnée en un point
.

Trouvons la dérivée de la fonction
et sa valeur au point de contact :

,
.

Ici, nous avons profité du fait que le point tangent
est un point d'une parabole et donc ses coordonnées satisfont à l'équation de la parabole, c'est-à-dire

Nous substituons la valeur dérivée trouvée dans l'équation tangente :

où on obtient :

Depuis le point
appartient à une parabole, alors ses coordonnées satisfont son équation, c'est-à-dire
, où nous obtenons

ou
.

cela implique

Le théorème a été prouvé.

article 8. Propriété miroir d’une parabole.

Théorème. La tangente à une parabole forme des angles égaux avec son axe de symétrie et avec le rayon focal du point de tangence.

Preuve. Laisser
- point de contact, – son rayon focal. Notons N le point d'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses. L'ordonnée du point N est égale à zéro et le point N se trouve sur la tangente, ses coordonnées satisfont donc à l'équation de la tangente. En substituant les coordonnées du point N dans l'équation tangente, on obtient :

d'où l'abscisse du point N est égale à
.

Considérons un triangle
. Montrons qu'elle est isocèle.

Vraiment,
. Ici, nous avons utilisé l'égalité obtenue lors de la dérivation de l'équation canonique de la parabole :

Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux. D'ici

, etc.

Le théorème a été prouvé.

Commentaire. Le théorème prouvé peut être formulé sous la forme de la propriété miroir d'une parabole.

Un rayon de lumière émis par le foyer d'une parabole, après réflexion sur le miroir de la parabole, va parallèlement à l'axe de symétrie de la parabole.

En effet, puisque l'angle d'incidence du rayon sur la tangente est égal à l'angle de réflexion sur celle-ci, l'angle entre la tangente et le rayon réfléchi est égal à l'angle entre la tangente et l'axe des abscisses, ce qui signifie que le rayon réfléchi le rayon est parallèle à l’axe des abscisses.

Commentaire. Cette propriété d’une parabole a été largement utilisée en technologie. Si l’on fait tourner une parabole autour de son axe de symétrie, on obtient une surface appelée paraboloïde de révolution. Si vous réalisez une surface réfléchissante en forme de paraboloïde de révolution et placez une source de lumière au foyer, alors les rayons réfléchis sont parallèles à l'axe de symétrie du paraboloïde. C’est ainsi que sont conçus les projecteurs et les phares de voiture. Si un appareil recevant des oscillations électromagnétiques (ondes) est placé au foyer, elles sont alors réfléchies par la surface du paraboloïde et pénètrent dans cet appareil récepteur. Les antennes paraboliques fonctionnent sur ce principe.

Il existe une légende selon laquelle, dans les temps anciens, un commandant alignait ses guerriers le long du rivage, donnant à leur formation une forme de parabole. La lumière du soleil, réfléchie par les boucliers des guerriers polis, était collectée dans un faisceau (au foyer de la parabole construite). Les navires ennemis furent ainsi incendiés. Certaines sources attribuent cela à Archimède. D’une manière ou d’une autre, les Arabes appelaient le paraboloïde de rotation un « miroir incendiaire ».

À propos, le mot « foyer » est latin et signifie feu, foyer. À l’aide du « miroir brûlant », vous pouvez allumer un feu et faire bouillir de l’eau par une journée ensoleillée. L’origine de ce terme devient alors claire.

Le mot « truc » signifie également un tour ou un tour. Auparavant, le cirque s'appelait un stand. Ainsi, les artistes farfelus ont également utilisé la propriété miroir de l’ellipse et, en allumant une lumière dans un foyer de l’ellipse, ils ont enflammé quelque chose d’inflammable placé dans son autre foyer. Ce spectacle est également appelé un tour de magie. (Lisez le merveilleux livre de N.Ya. Vilenkin « Derrière les pages d'un manuel de mathématiques »)

article 9. Équation polaire d'ellipse, d'hyperbole et de parabole.

Soient un point F du plan, que nous appellerons le foyer, et une droite D, que nous appellerons la directrice. Traçons une ligne perpendiculaire à la directrice (axe focal) passant par le foyer et introduisons un système de coordonnées polaires. Plaçons le pôle au foyer, et comme rayon polaire nous prenons la partie de la droite qui ne coupe pas la directrice (voir fig. 5).

Supposons que le point M se trouve sur une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Dans ce qui suit, nous appellerons simplement une hyperbole ou une parabole une courbe.

Théorème. Laisser
– coordonnées polaires d'un point sur une courbe (ellipse, hyperbole ou parabole). Alors

, (3)

où p est le paramètre focal de la courbe, – excentricité de la courbe (pour une parabole on suppose
).

Preuve. Soit Q la projection du point M sur l'axe focal de la courbe, B – sur la directrice de la courbe. Laissez l'angle polaire le point M est obtus, comme sur la figure 5. Alors

où par construction,
– distance du point M à la directrice, et

. (4)

D'autre part, selon la définition commune d'une ellipse, d'une hyperbole et d'une parabole, le rapport

(5)

égale à l'excentricité de la courbe correspondante pour tout point M d'une courbe donnée. Laissons le point
– le point d'intersection de la courbe avec la perpendiculaire à l'axe focal, restitué aux foyers F et A – sa projection sur la directrice. Alors