Le remplacement des lignes d'une matrice par les colonnes correspondantes est appelé. Matrices

Définition 1. Taille de la matrice Am n est un tableau rectangulaire de m lignes et n colonnes, composé de nombres ou d'autres expressions mathématiques (appelées éléments matriciels), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, ou

Définition 2. Deux matrices
Et
même taille sont appelés égal, s'ils coïncident élément par élément, c'est-à-dire =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

A l'aide de matrices, il est facile d'enregistrer certaines dépendances économiques, par exemple des tableaux de répartition des ressources pour certains secteurs de l'économie.

Définition 3. Si le nombre de lignes d'une matrice coïncide avec le nombre de ses colonnes, c'est-à-dire m = n, alors la matrice s'appelle ordre carrén, sinon rectangulaire.

Définition 4. La transition de la matrice A à la matrice A m, dans laquelle les lignes et les colonnes sont permutées tout en maintenant l'ordre, est appelée transposition matrices.

Types de matrices : carrée (taille 33) -
,

rectangulaire (taille 25) -
,

diagonale -
, célibataire -
, zéro -
,

ligne-matrice -
, matrice-colonne -.

Définition 5. Les éléments d'une matrice carrée d'ordre n avec les mêmes indices sont appelés éléments de la diagonale principale, c'est-à-dire voici les éléments :
.

Définition 6. Les éléments d'une matrice carrée d'ordre n sont appelés éléments de la diagonale secondaire si la somme de leurs indices est égale à n + 1, c'est-à-dire voici les éléments : .

1.2. Opérations sur les matrices.

1 0 . Montant deux matrices
Et
de même taille est appelée une matrice C = (avec ij), dont les éléments sont déterminés par l'égalité avec ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Propriétés de l'opération d'addition matricielle.

Pour toute matrices A, B, C de même taille, les égalités suivantes sont vraies :

1) A + B = B + A (commutativité),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (associativité).

2 0 . Le travail matrices
par numéro  appelé matrice
la même taille que la matrice A, et b ij =  (je = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Propriétés de l'opération de multiplication d'une matrice par un nombre.

(A) = ()A (associativité de multiplication) ;

(A+B) = A+B (distributivité de la multiplication par rapport à l'addition matricielle) ;

(+)A = A+A (distributivité de la multiplication relative à l'addition des nombres).

Définition 7. Combinaison linéaire de matrices
Et
de même taille est appelée une expression de la forme A+B, où  et  sont des nombres arbitraires.

3 0 . Produit A  Dans les matrices A et B, respectivement, de taille mn et nk, sont appelés une matrice C de taille mk, telle que l'élément avec ij est égal à la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de la matrice A et la j-ième colonne de la matrice B, c'est-à-dire avec ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Le produit AB n'existe que si le nombre de colonnes de la matrice A coïncide avec le nombre de lignes de la matrice B.

Propriétés de l'opération de multiplication matricielle :

(AB)C = A(BC) (associativité) ;

(A+B)C = AC+BC (distributivité par rapport à l'addition matricielle) ;

A(B+C) = AB+AC (distributivité par rapport à l'addition matricielle) ;

AB  BA (non commutatif).

Définition 8. Les matrices A et B, pour lesquelles AB = BA, sont appelées navettage ou navettage.

Multiplier une matrice carrée de n'importe quel ordre par la matrice d'identité correspondante ne change pas la matrice.

Définition 9. Transformations élémentaires Les opérations suivantes sont appelées matrices :

Échangez deux lignes (colonnes).

Multiplier chaque élément d'une ligne (colonne) par un nombre autre que zéro.

Ajouter aux éléments d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne).

Définition 10. La matrice B obtenue à partir de la matrice A à l'aide de transformations élémentaires est appelée équivalent(noté BA).

Exemple 1.1. Trouver une combinaison linéaire des matrices 2A – 3B si

,
.

,
,

.

Exemple 1.2. Trouver le produit des matrices
, Si

.

Solution : puisque le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes de la deuxième matrice, alors le produit des matrices existe. En conséquence, nous obtenons une nouvelle matrice
, Où

En conséquence nous obtenons
.

Conférence 2. Déterminants. Calcul des déterminants du deuxième et du troisième ordre. Propriétés des déterminantsn-ième ordre.

Diverses opérations sont effectuées sur de telles matrices : elles se multiplient les unes par les autres, trouvent des déterminants, etc. Matrice - cas particulier tableau : si un tableau peut avoir n'importe quel nombre de dimensions, alors seul un tableau à deux dimensions est appelé une matrice.

En programmation, une matrice est également appelée tableau à deux dimensions. N'importe lequel des tableaux du programme a un nom, comme s'il s'agissait d'une seule variable. Pour clarifier de quelle cellule du tableau il s'agit, lorsqu'elle est mentionnée dans le programme, le numéro de la cellule qu'il contient est utilisé avec la variable. Une matrice bidimensionnelle et un tableau à n dimensions dans un programme peuvent contenir non seulement des informations numériques, mais également symboliques, des chaînes, des booléennes et d'autres informations, mais toujours les mêmes dans l'ensemble du tableau.

Les matrices sont désignées par les lettres majuscules A : MxN, où A est le nom de la matrice, M est le nombre de lignes de la matrice et N est le nombre de colonnes. Les éléments sont représentés par des lettres minuscules correspondantes avec des indices indiquant leur numéro dans la ligne et la colonne a (m, n).

Les matrices les plus courantes sont de forme rectangulaire, bien que dans un passé lointain, les mathématiciens considéraient également les matrices triangulaires. Si le nombre de lignes et de colonnes d’une matrice est le même, on l’appelle carré. Dans ce cas, M=N porte déjà le nom de l’ordre matriciel. Une matrice comportant une seule ligne est appelée une ligne. Une matrice comportant une seule colonne est appelée matrice en colonnes. Une matrice diagonale est une matrice carrée dans laquelle seuls les éléments situés le long de la diagonale sont non nuls. Si tous les éléments sont égaux à un, la matrice est appelée identité ; si tous les éléments sont égaux à zéro, elle est appelée zéro.

Si vous échangez des lignes et des colonnes dans une matrice, celle-ci devient transposée. Si tous les éléments sont remplacés par des conjugués complexes, cela devient un conjugué complexe. De plus, il existe d'autres types de matrices, déterminés par les conditions imposées aux éléments de la matrice. Mais la plupart de ces conditions s’appliquent uniquement aux conditions carrées.

Vidéo sur le sujet

Instructions. Pour solutions en ligne vous devez spécifier une expression matricielle. Dans un deuxième temps, il faudra préciser la dimension des matrices.

Opérations valides : multiplication (*), addition (+), soustraction (-), matrice inverse A^(-1), exponentiation (A^2, B^3), transposition matricielle (A^T).
Pour effectuer une liste d'opérations, utilisez un séparateur point-virgule (;). Par exemple, pour effectuer trois opérations :
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (AB) -1
vous devrez l'écrire comme ceci : 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Une matrice est un tableau numérique rectangulaire avec m lignes et n colonnes, la matrice peut donc être représentée schématiquement comme un rectangle.
Matrice zéro (matrice nulle) est une matrice dont les éléments sont tous égaux à zéro et sont notés 0.
Matrice d'identité est appelée une matrice carrée de la forme

Définissons opérations de base sur les matrices.

Ajout de matrice

Exemple 6. .
L’opération d’addition matricielle s’étend au cas d’un nombre quelconque de termes. Évidemment A+0=A .
Soulignons encore une fois que seules des matrices de même taille peuvent être ajoutées ; Pour des matrices de tailles différentes, l'opération d'addition n'est pas définie.

Soustraction de matrices

Multiplication matricielle

Exemple 7. Matrices données Et . Trouvez les matrices C = A·B et D = B·A.
Solution. Tout d’abord, notons que le produit A·B existe car le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Exemple 8. Étant donné une matrice . Trouvez 3A 2 – 2A.
Solution.

.
; .
.
Notons le fait intéressant suivant.
Comme vous le savez, le produit de deux nombres non nuls n’est pas égal à zéro. Pour les matrices, une circonstance similaire peut ne pas se produire, c'est-à-dire que le produit de matrices non nulles peut s'avérer égal à la matrice nulle.

La matrice est désignée par des lettres latines majuscules ( UN, DANS, AVEC,...).

Définition 1. Vue table rectangulaire,

composé de m lignes et n les colonnes sont appelées matrice.

Élément matriciel, i – numéro de ligne, j – numéro de colonne.

Types de matrices :

éléments sur la diagonale principale :

trA=une 11 +une 22 +une 33 +…+une nn .

§2. Déterminants du 2e, 3e et nième ordre

Soit deux matrices carrées :

Définition 1. Déterminant de la matrice du second ordre UN 1 est un nombre noté ∆ et égal à , Où

Exemple. Calculez le déterminant du 2ème ordre :

Définition 2. Déterminant du 3ème ordre d'une matrice carrée UN 2 est appelé un nombre de la forme :

C'est une façon de calculer le déterminant.

Exemple. Calculer

Définition 3. Si un déterminant est constitué de n lignes et de n colonnes, alors il est appelé déterminant d’ordre n.

Propriétés des déterminants :

Le déterminant ne change pas lorsqu'il est transposé (c'est-à-dire si les lignes et les colonnes qu'il contient sont permutées tout en conservant l'ordre).

Si vous échangez deux lignes ou deux colonnes dans le déterminant, celui-ci ne changera que le signe.

Le facteur commun de n'importe quelle ligne (colonne) peut être pris au-delà du signe du déterminant.

Si tous les éléments d’une ligne (colonne) d’un déterminant sont égaux à zéro, alors le déterminant est égal à zéro.

Le déterminant est nul si les éléments de deux lignes quelconques sont égaux ou proportionnels.

Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne) sont ajoutés aux éléments d'une ligne (colonne), multipliés par le même nombre.

Exemple.

Définition 4. Le déterminant obtenu à partir d'un déterminé en barrant une colonne et une ligne s'appelle mineure l'élément correspondant. M ij élément a ij .

Définition 5. Complément algébrique l'élément a ij est appelé l'expression

§3. Actions sur les matrices

Opérations linéaires

1) Lors de l'ajout de matrices, leurs éléments du même nom sont ajoutés.

Lors de la soustraction de matrices, leurs éléments du même nom sont soustraits.

Lors de la multiplication d'une matrice par un nombre, chaque élément de la matrice est multiplié par ce nombre :

3.2.Multiplication matricielle.

Travail matrices UNà la matrice DANS il existe une nouvelle matrice dont les éléments sont égaux à la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de la matrice UN aux éléments correspondants de la jème colonne de la matrice DANS. Produit matriciel UNà la matrice DANS ne peut être trouvé que si le nombre de colonnes de la matrice UNégal au nombre de lignes de la matrice DANS. Sinon, le travail est impossible.

Commentaire:

(n'obéit pas à la propriété commutative)

§ 4. Matrice inverse

La matrice inverse n'existe que pour une matrice carrée et la matrice doit être non singulière.

Définition 1. Matrice UN appelé non dégénéré, si le déterminant de cette matrice n'est pas égal à zéro

Définition 2. UN-1 est appelé matrice inverse pour une matrice carrée non singulière donnée UN, si en multipliant cette matrice par celle donnée, à droite et à gauche, on obtient la matrice identité.

Algorithme de calcul de la matrice inverse

1 voie (en utilisant des additions algébriques)

Exemple 1:

Notez que les éléments matriciels ne peuvent pas être uniquement des nombres. Imaginons que vous décriviez les livres qui se trouvent dans votre bibliothèque. Laissez votre étagère être en ordre et tous les livres se trouvent à des endroits strictement définis. Le tableau, qui contiendra une description de votre bibliothèque (par étagères et par ordre des livres sur l'étagère), sera également une matrice. Mais une telle matrice ne sera pas numérique. Un autre exemple. Au lieu de nombres, il existe différentes fonctions, unies par une certaine dépendance. Le tableau résultant sera également appelé matrice. Autrement dit, une Matrice est toute table rectangulaire composée de homogèneéléments. Ici et plus loin, nous parlerons de matrices constituées de nombres.

Au lieu de parenthèses, des crochets ou des doubles lignes verticales droites sont utilisées pour écrire des matrices.

(2.1*)

Définition 2. Si dans l'expression(1) m = n, puis ils parlent de Matrice Carrée, et si , alors oh rectangulaire.

Selon les valeurs de m et n, il existe types spéciaux matrices :

La caractéristique la plus importante carré la matrice c'est elle déterminant ou déterminant, qui est constitué d’éléments matriciels et est noté

Évidemment, D E = 1 ; .

Définition 3. Si , alors la matrice UN appelé non dégénéré ou pas spécial.

Définition 4. Si detA = 0 , alors la matrice UN appelé dégénérer ou spécial.

Définition 5. Deux matrices UN Et B sont appelés égal et écrire A = B s'ils ont les mêmes dimensions et que leurs éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire.

Par exemple, les matrices et sont égales, car ils sont de taille égale et chaque élément d'une matrice est égal à l'élément correspondant de l'autre matrice. Mais les matrices ne peuvent pas être qualifiées d'égales, bien que les déterminants des deux matrices soient égaux et que les tailles des matrices soient les mêmes, mais tous les éléments situés aux mêmes endroits ne sont pas égaux. Les matrices sont différentes car elles ont des tailles différentes. La première matrice a une taille de 2x3 et la seconde est de 3x2. Bien que le nombre d'éléments soit le même - 6 et que les éléments eux-mêmes soient les mêmes 1, 2, 3, 4, 5, 6, mais ils reposent sur différents lieux dans chaque matrice. Mais les matrices sont égales, selon la définition 5.

Définition 6. Si vous corrigez un certain nombre de colonnes matricielles UN et le même nombre de lignes, alors les éléments se trouvant à l'intersection des colonnes et des lignes indiquées forment Matrice Carrée n- ème ordre, dont le déterminant appelé mineure k- matrice d'ordre UN.

Exemple. Notez trois mineurs du second ordre de la matrice