황금비율은 간단히 말해서 무엇입니까? 사용 설명서: 황금 비율

참고문헌 설명: Maksimenko O. V., 목사 V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. 황금 섹션의 개념 // 젊은 과학자. 2016. 6.1호. P. 35-39..03.2019).



“기하학에는 두 가지 보물이 있습니다.

그들 중 하나 - 피타고라스의 정리,

또 다른 하나는 평균과 극단 비율로 세그먼트를 나누는 것입니다."

요하네스 케플러

키워드: 황금 비율, 황금 비율, 과학적 현상.

우리 작업의 목적은 다양한 지식 분야에서 "골든 섹션"과 관련된 정보 소스를 연구하고, 패턴을 식별하고 과학 간의 연결을 찾고, 골든 섹션의 실제 의미를 식별하는 것입니다.

이 연구의 타당성은 수학과 예술에서 황금비를 사용한 수세기의 역사에 의해 결정됩니다. 고대인들이 의아해했던 내용은 여전히 ​​관련성이 있으며 동시대인의 관심을 불러일으킵니다.

언제나 사람들은 주변 세계에서 패턴을 찾으려고 노력해 왔습니다. 그들은 자신의 관점에서 볼 때 "올바른" 형태의 대상으로 자신을 둘러쌌습니다. 수학이 발전하면서 사람들은 나중에 "황금 비율"로 알려지게 된 "황금 비율"을 측정할 수 있게 되었습니다. 황금비율».

황금비율- 고조파 비율

황금비는 세그먼트를 동일하지 않은 부분으로 비례적으로 나누는 것입니다. 여기서 전체 세그먼트는 더 큰 부분 자체와 관련됩니다. 대부분의더 작은 것을 의미합니다. 즉, 큰 부분이 전체에 관련되는 것처럼 작은 부분이 큰 부분과 관련됩니다(그림 1).

ㅏ: 비 = 비: 씨

쌀. 1. 황금 비율에 따른 세그먼트 분할

황금 비율이 무엇인지 상기시켜 드리겠습니다. 황금비에 대한 가장 포괄적인 정의는 큰 부분이 전체와 관련이 있듯이 작은 부분이 큰 부분과 관련되어 있다는 것입니다. 대략적인 값은 1.6180339887입니다. 반올림된 백분율 값에서 전체를 구성하는 부분의 비율은 62%~38%에 해당합니다. 이 관계는 공간과 시간의 형태로 작동합니다.

골든 트라이앵글과직사각형

세그먼트를 동일하지 않은 부분(황금 비율)으로 나누는 것 외에도 황금색 삼각형과 황금색 직사각형이 고려됩니다.

황금 직사각형은 변의 길이가 황금 비율인 직사각형입니다(그림 2).

오각형 별의 각 끝은 황금색 삼각형을 나타냅니다. 측면은 꼭지점에서 36°의 각도를 이루고 측면에 놓인 밑면은 황금 비율에 따라 분할됩니다(그림 3).

그림 2. 황금 직사각형

그림 3 황금 삼각형

별 모양

일반적인 다섯개 별에서 각 세그먼트는 황금 비율로 교차하는 세그먼트로 나뉩니다. 즉, 파란색 세그먼트와 녹색, 빨간색과 파란색, 녹색과 보라색의 비율은 1.618입니다(그림 4).

그림 4. 오각형-hygiea

피타고라스는 오각형, 즉 그가 불렀던 히게이아(hygieia)가 황금 비율을 숨기기 때문에 수학적 완벽함을 나타낸다고 주장했습니다. 파란색 부분과 녹색, 빨간색 부분과 파란색 부분, 녹색 부분과 보라색 부분의 비율이 황금비입니다.

피보나치 수열

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 등의 숫자 계열을 피보나치 계열이라고 합니다. 숫자 시퀀스의 특징은 각 멤버가 세 번째부터 시작하여 앞선 두 개를 합한 것과 같다, 그리고 계열에서 인접한 숫자의 비율은 황금 분할 비율에 접근합니다.

따라서 21:34 = 0.617

34: 55 = 0,618.

황금비율의 역사

황금 분할의 개념은 고대 그리스 철학자이자 수학자인 피타고라스(기원전 6세기)에 의해 과학적 용도로 도입되었다는 것이 일반적으로 받아들여지고 있습니다. 피타고라스가 이집트인과 바빌로니아인으로부터 황금 분할에 대한 지식을 빌렸다는 가정이 있습니다. 실제로 투탕카멘의 무덤에서 출토된 쿠프스 피라미드, 사원, 얕은 부조, 가정용품, 보석의 비율은 이집트 장인들이 황금 분할 비율을 사용하여 제작했음을 나타냅니다.

황금 비율인체의 일부

1855년 독일의 황금비 연구자 자이징(Zeising) 교수는 자신의 작품 '미학 연구'를 출판했습니다.

Zeising은 약 2,000명의 인체를 측정한 결과 황금비가 평균 통계법칙을 표현한다는 결론에 도달했습니다(그림 5).

그림 5 인체 부위의 황금 비율

황금비율야생 동물

정말 딱 하나라는게 놀랍다 수학적 개념인간 지식의 여러 분야에서 발견됩니다. 조화와 혼돈, 수학과 예술을 연결하며 세상의 모든 것에 스며드는 것 같습니다.

안에 생물학적 연구바이러스와 식물에서 시작하여 인체로 끝나는 황금 비율이 모든 곳에서 드러나 구조의 비례와 조화를 특징으로 하는 것으로 나타났습니다. 황금비는 생명체의 보편적인 법칙으로 인식됩니다.

언뜻보기에 도마뱀은 우리 눈에 좋은 비율을 가지고 있습니다. 꼬리의 길이는 몸의 나머지 부분의 길이와 관련이 있으며 62 ~ 38입니다 (그림 6).

그림 6 도마뱀 신체 부위의 황금 비율

황금비율건축학

"황금 비율"에 관한 책에서는 회화에서와 마찬가지로 건축에서도 모든 것이 관찰자의 위치에 달려 있으며 건물의 한쪽 측면에서 일부 비율이 "황금 비율"을 형성하는 것처럼 보이면 다음과 같은 설명을 찾을 수 있습니다. 다른 관점에서 보면 다르게 보일 것입니다. "황금 비율"은 특정 길이의 크기 중 가장 편안한 비율을 제공합니다.

고대 그리스 건축의 가장 아름다운 작품 중 하나는 파르테논 신전입니다(그림 7). 건물의 높이와 길이의 비율은 0.618입니다. 파르테논 신전을 "황금 부분"으로 나누면 정면에 특정 돌출부가 생깁니다.

고대 건축물의 또 다른 예는 Cheops 피라미드입니다(그림 8).

대 피라미드의 비율은 "황금 비율"에 있습니다.

고대 건축자들은 거의 완벽한 공학적 정확성과 대칭성을 사용하여 이 장엄한 기념물을 세웠습니다.

그림 7. 파르테논 신전

그림 8. 쿠프스의 피라미드

황금비율조각품

'황금분할'의 비율은 아름다움의 조화를 이루는 느낌을 주기 때문에 조각가들은 이를 작품에 사용했습니다. 예를 들어, 유명한 아폴로 벨베데레(Apollo Belvedere) 동상은 황금 비율에 따라 분할된 부품으로 구성됩니다(그림 9).

그림 9 아폴로 벨베데레 동상

황금비율그림

그림에서 '황금 비율'의 예로 넘어가면 레오나르도 다빈치의 작품에 집중할 수밖에 없습니다. 그림 "La Gioconda"를주의 깊게 살펴 보겠습니다. 초상화의 구성은 황금색 삼각형을 기반으로 합니다(그림 10).

그림 10 레오나르도 다빈치 “라 조콘다”

그림의 황금 비율의 또 다른 예는 Raphael의 그림 "Massacre of the Innocents"(그림 11)입니다. Raphael의 준비 스케치에서는 구성의 의미 중심에서 나오는 빨간색 선이 그려집니다. 이 조각들을 곡선 점선으로 자연스럽게 연결하면 매우 정확하게 황금색 나선형을 얻을 수 있습니다!

그림 11. 라파엘로 <무고한 자들의 학살>

황금비율문학 작품

임시 예술의 형태는 나름대로 황금 분할의 원리를 우리에게 보여줍니다. 황금 분할의 규칙은 러시아 고전의 개별 작품에도 적용됩니다. 그래서 이야기에서 " 스페이드의 여왕"853행, 그리고 535행에서 클라이맥스가 발생합니다(853:535 = 1.6) - 이것이 황금비율의 포인트입니다.

황금비율영화

영화 감독 세르게이 에이젠슈타인은 영화 '전함 포템킨'의 대본을 황금비 법칙에 따라 의도적으로 조정하여 영화를 다섯 부분으로 나누었습니다.

결론

황금비율은 옛날에 알려졌습니다. 고대 이집트인도와 중국의 바빌론. 위대한 피타고라스는 비밀학교를 만들어 공부했습니다. 신비로운 본질"황금비율". Euclid는 기하학을 만들 때 그것을 사용했고 Phidias는 그의 불멸의 조각품을 만들었습니다. 플라톤은 우주가 '황금비'에 따라 배열되어 있다고 말했습니다. 그리고 아리스토텔레스는 "황금 비율"과 윤리법 사이의 일치성을 발견했습니다. 레오나르도 다 빈치와 미켈란젤로는 '황금 비율'의 최고의 조화를 설교할 것입니다. 왜냐하면 아름다움과 '황금 비율'은 하나이고 같은 것이기 때문입니다. 그리고 기독교 신비주의자들은 악마로부터 도망쳐 수도원 벽에 "황금 비율"의 오각형을 그릴 것입니다. 동시에 Pacioli에서 Einstein에 이르기까지 과학자들은 검색을 할 것이지만 정확한 의미를 찾지 못할 것입니다. 소수점 이하의 끝없는 시리즈 - 1.6180339887... 이상하고 신비하며 설명할 수 없는 것: 이 신성한 비율은 신비롭게 모든 생명체를 동반합니다. 무생물의 자연"황금비율"이 무엇인지 모릅니다. 그러나 여러분은 조개껍데기의 곡선, 꽃의 모양, 딱정벌레의 모습, 아름다운 인체에서 이 비율을 확실히 볼 수 있습니다. 살아있는 모든 것과 아름다운 모든 것 - 모든 것이 "황금 비율"이라는 이름의 신성한 법칙을 따릅니다. 그렇다면 '황금비율'은 무엇일까요? 이 완벽하고 신성한 조합은 무엇입니까? 어쩌면 이것이 아름다움의 법칙일까요? 아니면 아직도 그 사람인가... 신비로운 비밀? 과학적 현상아니면 윤리적 원칙인가? 대답은 아직 알려지지 않았습니다. 더 정확하게는 - 아니오, 알려져 있습니다. "황금 비율"은 둘 다이자 세 번째입니다. 따로따로가 아니라 동시에... 그리고 이것이 그의 진정한 신비이자 그의 위대한 비밀이다.

문학:

1. Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. 및 기타 수학 - 6. - M.: Mnemosyne, 2015
2. Korbalan F. 황금 비율. 아름다움의 수학적 언어. (수학의 세계 Vol.1). - M.: DeAgostini, 2014
3. 타이머 G.E. 황금 비율. - M.: 리브로콤, 2009

키워드: 황금비율, 황금비율, 과학적 현상.

주석: 황금비는 구조적 조화의 보편적인 표현입니다. 그것은 자연, 과학, 예술 등 사람이 접촉할 수 있는 모든 것에서 발견됩니다. 이 기사의 저자는 문헌을 조사하고, 황금 비율과 관련된 과학 간의 연관성을 찾고, 황금 비율의 실질적인 의미를 식별합니다.

이집트 피라미드, 레오나르도 다빈치의 모나리자, 트위터와 펩시 로고의 공통점은 무엇일까?

답변을 미루지 마십시오. 모두 황금 비율 규칙을 사용하여 생성되었습니다. 황금비는 서로 같지 않은 두 양 a와 b의 비율입니다. 이 비율은 자연에서 흔히 발견되며, 황금비 법칙은 다음과 같은 분야에서도 활발히 사용됩니다. 미술그리고 디자인 - "신성한 비율"을 사용하여 만들어진 구성은 균형이 잘 잡혀 있고 눈을 즐겁게 해줍니다. 그러나 황금 비율은 정확히 무엇이며 웹 디자인과 같은 현대 분야에서 사용될 수 있습니까? 그것을 알아 봅시다.

약간의 수학

점 C를 기준으로 둘로 나누어진 특정 세그먼트 AB가 있다고 가정해 보겠습니다. 세그먼트 길이의 비율은 AC/BC = BC/AB입니다. 즉, 세그먼트의 더 큰 부분이 더 작은 세그먼트가 더 큰 세그먼트를 구성하는 것처럼 분할되지 않은 전체 세그먼트에서 동일한 공유를 구성하는 방식으로 세그먼트가 동일하지 않은 부분으로 분할됩니다.

이 불평등한 분할을 황금비라고 합니다. 황금비는 기호 ψ로 표시됩니다. ψ의 값은 1.618 또는 1.62입니다. 일반적으로 매우 간단하게 말하면 세그먼트 또는 62%와 38% 비율의 다른 값을 나누는 것입니다.

"신성한 비율"은 고대부터 사람들에게 알려져 왔으며, 이 규칙은 이집트 피라미드와 파르테논 신전 건설에 사용되었습니다. 황금 비율은 시스티나 성당의 그림과 반 고흐의 그림에서 찾을 수 있습니다. 황금 비율은 오늘날에도 여전히 널리 사용되고 있습니다. 우리 눈앞에 끊임없이 나타나는 예로는 Twitter와 Pepsi 로고가 있습니다.

인간의 뇌는 부분의 불평등한 비율이 감지될 수 있는 이미지나 물체를 아름다운 것으로 간주하도록 설계되었습니다. 누군가에 대해 “그 사람은 균형이 잘 잡혀 있다”고 말할 때 우리는 무의식적으로 황금 비율을 의미합니다.

황금비는 다양한 기하학적 형태에 적용될 수 있습니다. 정사각형의 한 변에 1.618을 곱하면 직사각형이 됩니다.

이제 이 직사각형에 정사각형을 겹쳐 놓으면 황금 비율 선을 볼 수 있습니다.

이 비율을 계속 사용하고 직사각형을 더 작은 부분으로 나누면 다음 그림을 얻을 수 있습니다.

이 단편화가 우리를 어디로 데려갈지는 아직 확실하지 않습니다. 기하학적 모양. 조금만 더하면 모든 것이 명확해질 것입니다. 다이어그램의 각 사각형에 원의 1/4에 해당하는 부드러운 선을 그리면 황금 나선을 얻게 됩니다.

이것은 특이한 나선형입니다. 각 숫자가 이전 두 숫자의 합보다 빠른 수열을 연구한 과학자를 기리기 위해 때로는 피보나치 나선이라고도 합니다. 요점은 우리가 시각적으로 나선형으로 인식하는 이 수학적 관계가 말 그대로 해바라기, 조개, 조개 등 모든 곳에서 발견된다는 것입니다. 나선은하그리고 태풍 - 어디에나 황금빛 나선이 있습니다.

디자인에서 황금비율을 어떻게 사용할 수 있나요?

그래서, 이론적인 부분끝났으니 연습을 해보자. 황금비율을 디자인에 활용하는 것이 정말 가능할까요? 그래 넌 할수있어. 예를 들어 웹 디자인에서. 고려하면 이 규칙, 레이아웃 구성 요소의 정확한 비율을 얻을 수 있습니다. 결과적으로 디자인의 모든 부분이 가장 작은 부분까지 서로 조화롭게 결합됩니다.

너비가 960픽셀인 일반적인 레이아웃에 황금 비율을 적용하면 이 그림을 얻을 수 있습니다. 부품 간의 비율은 이미 알려진 1:1.618입니다. 그 결과 두 요소가 조화롭게 조합된 2열 레이아웃이 탄생했습니다.

두 개의 열이 있는 사이트는 매우 일반적이며 이는 우연이 아닙니다. 예를 들어, 내셔널 지오그래픽 웹사이트가 있습니다. 두 개의 열, 황금 비율 규칙. 좋은 디자인, 질서 있고 균형이 잡혀 있으며 시각적 계층 구조의 요구 사항을 존중합니다.

또 하나의 예입니다. 디자인 스튜디오 Moodley는 브레겐츠 공연 예술 축제를 위한 기업 아이덴티티를 개발했습니다. 디자이너는 이벤트 포스터 작업을 할 때 모든 요소의 크기와 위치를 정확하게 결정하고 결과적으로 이상적인 구성을 얻기 위해 황금 비율 규칙을 명확하게 사용했습니다.

Terkaya Wealth Management의 비주얼 아이덴티티를 만든 레몬 그래픽 역시 1:1.618 비율과 황금 나선을 사용했습니다. 세 가지 디자인 요소 명함계획에 완벽하게 맞아서 모든 부품이 매우 잘 맞습니다.

그리고 여기 또 하나가 있어요 흥미로운 용도황금 나선. 우리 앞에는 내셔널 지오그래픽 웹사이트가 있습니다. 디자인을 좀 더 자세히 살펴보면 페이지에 또 다른 NG 로고가 있고 나선형의 중심에 더 가까운 작은 로고가 있는 것을 볼 수 있습니다.

물론 이것은 우연이 아닙니다. 디자이너는 자신이하는 일을 잘 알고있었습니다. 이것 완벽한 장소, 로고를 복제하려면 사이트를 보는 우리의 눈이 자연스럽게 구성의 중심으로 이동하기 때문입니다. 이것이 잠재의식이 작동하는 방식이며 디자인 작업 시 이를 고려해야 합니다.

골든 서클

"신성한 비율"은 원을 포함한 모든 기하학적 모양에 적용될 수 있습니다. 비율이 1:1.618인 사각형에 원을 내접하면 황금색 원이 생성됩니다.

다음은 펩시 로고입니다. 말 없이도 모든 것이 명확합니다. 비율과 방식 모두 흰색 로고 요소의 부드러운 원호를 구현했습니다.

Twitter 로고의 경우 상황이 좀 더 복잡하지만 여기서도 디자인이 골든 서클 사용을 기반으로 한다는 것을 알 수 있습니다. "신성한 비율" 규칙을 약간 따르지는 않지만 대부분의 경우 모든 요소가 이 계획에 맞습니다.

결론

보시다시피 황금 비율 규칙은 옛날부터 알려졌음에도 불구하고 전혀 구식이 아닙니다. 따라서 디자인에 활용이 가능합니다. 계획에 맞추기 위해 최선을 다할 필요는 없습니다. 디자인은 부정확한 분야입니다. 그러나 요소들의 조화로운 조합을 달성해야 한다면 황금 비율의 원칙을 적용해 보는 것도 나쁘지 않을 것입니다.

사람은 모양으로 주변의 물체를 구별합니다. 사물의 형태에 대한 관심은 필수적인 필요성에 의해 결정될 수도 있고, 형태의 아름다움에 의해 유발될 수도 있습니다. 대칭성과 황금비율의 조합을 바탕으로 한 형태는 최고의 디자인에 기여합니다. 시각적 인식그리고 아름다움과 조화의 느낌의 출현. 전체는 항상 부분으로 구성되며, 서로 다른 크기의 부분은 서로, 그리고 전체와 일정한 관계를 맺고 있습니다. 황금비율의 원리 - 가장 높은 발현예술, 과학, 기술 및 자연의 전체와 부분의 구조적, 기능적 완전성.

황금비 - 고조파 비율

직선 세그먼트 AB다음과 같은 방법으로 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

두 개의 동일한 부분으로 - AB : 교류 = AB : 해;





어떤 면에서든 두 개의 불평등한 부분으로 나뉩니다(이러한 부분은 비율을 형성하지 않습니다).





따라서 언제 AB : 교류 = 교류 : 해.

황금 비율은 세그먼트를 동일하지 않은 부분으로 비례적으로 나누는 것입니다. 여기서 큰 부분 자체가 작은 부분과 관련되어 있는 것처럼 전체 세그먼트가 더 큰 부분과 관련됩니다. 즉, 작은 부분이 전체에 비해 큰 부분이 더 큰 부분에 대한 것입니다.

ㅏ : 비 = 비 : 씨또는 와 함께 : 비 = 비 : ㅏ.

쌀. 1.황금비율의 기하학적 이미지

황금비에 대한 실질적인 지식은 나침반과 자를 사용하여 직선 부분을 황금 비율로 나누는 것부터 시작됩니다.

쌀. 2.황금비를 사용하여 직선 부분을 나눕니다. 기원전 = 1/2 AB; CD = 기원전

출발지점 안에절반에 해당하는 수직이 복원됩니다. AB. 받은 포인트 와 함께점과 선으로 연결됨 ㅏ. 결과 선에 세그먼트가 그려집니다. 해점으로 끝나는 디. 선분 기원 후다이렉트로 옮겼다 AB. 결과 포인트 이자형세그먼트를 나눈다 AB황금비율로요.

황금비의 세그먼트는 무한한 무리분수로 표현됩니다. A.E.= 0.618..., 만약 AB하나로 받아들이다 BE= 0.382... 실용적인 목적으로 0.62와 0.38의 대략적인 값이 자주 사용됩니다. 세그먼트의 경우 AB 100개 부분으로 간주하면 세그먼트의 큰 부분은 62개이고 작은 부분은 38개 부분입니다.

황금비의 특성은 다음 방정식으로 설명됩니다.

엑스 2 - 엑스 - 1 = 0.

이 방정식의 해법은 다음과 같습니다.

황금 비율의 특성은 이 숫자 주위에 낭만적인 신비의 분위기와 거의 신비로운 숭배를 만들어냈습니다.

두 번째 황금비율

이 비율은 건축에서 발견되며, 길쭉한 가로 형식의 이미지 구성을 구성할 때도 발생합니다.

쌀. 삼.두 번째 황금 비율의 구축

분할은 다음과 같이 수행됩니다 (그림 3 참조). 선분 AB황금비율에 따라 나누어집니다. 출발지점 와 함께수직이 복원되었습니다 CD. 반지름 AB점이 있다 디, 점과 선으로 연결됨 ㅏ. 직각 ACD반으로 나누어져 있습니다. 출발지점 와 함께선은 선과 교차할 때까지 그려집니다. 기원 후. 점 이자형세그먼트를 나눈다 기원 후 56:44와 관련하여.

쌀. 4.두 번째 황금비의 선으로 직사각형 나누기

그림에서. 그림 4는 두 번째 황금비 선의 위치를 ​​보여줍니다. 황금비 선과 직사각형의 중심선 사이의 중간에 위치합니다.

골든 트라이앵글

쌀. 5.정오각형과 오각형의 구성

오각형을 만들려면 정오각형을 만들어야 합니다. 건축 방법은 독일의 화가이자 그래픽 예술가인 알브레히트 뒤러(Albrecht Durer, 1471~1528)에 의해 개발되었습니다. 허락하다 영형- 원의 중심, ㅏ- 원 위의 점과 이자형- 세그먼트의 중간 OA. 반경에 수직 OA, 그 시점에서 복원됨 에 대한, 점에서 원과 교차합니다. 디. 나침반을 사용하여 지름에 선분을 그립니다. 기원후 = 에드. 원에 새겨진 정오각형의 한 변의 길이는 다음과 같습니다. DC. 원에 세그먼트 배치 DC정오각형을 그리려면 5점을 얻습니다. 오각형의 모서리를 대각선으로 서로 연결하여 오각형을 얻습니다. 오각형의 모든 대각선은 서로를 황금비로 연결된 세그먼트로 나눕니다.

오각형 별의 각 끝은 황금색 삼각형을 나타냅니다. 측면은 꼭지점에서 36°의 각도를 이루고 측면에 놓인 밑면은 황금 비율에 따라 분할됩니다.

쌀. 6.황금삼각형의 건설

우리는 직접 수행합니다 AB. 출발지점 ㅏ그 위에 세그먼트를 세 번 놓으십시오. 에 대한임의의 값, 결과 점을 통해 아르 자형선에 수직을 그리다 AB, 점의 오른쪽과 왼쪽에 수직으로 아르 자형세그먼트를 따로 보관해 두세요 에 대한. 받은 포인트 디그리고 디 1 직선으로 한 점에 연결한다 ㅏ. 선분 dd 1을 라인에 올려라 기원 후 1, 포인트를 얻는다 와 함께. 그녀는 선을 나누었다 기원 후 1 황금비율에 비례한다. 윤곽 기원 후 1과 dd 1은 "황금색" 직사각형을 구성하는 데 사용됩니다.

황금비율의 역사

그리스인들은 숙련된 기하학자들이었습니다. 그들은 심지어 기하학적 도형을 사용하여 아이들에게 산수를 가르쳤습니다. 피타고라스 정사각형과 이 정사각형의 대각선은 동적 직사각형 구성의 기초였습니다.

쌀. 7.동적 직사각형

플라톤(기원전 427~347년)도 황금분할에 대해 알고 있었습니다. 그의 대화 "Timaeus"는 피타고라스 학파의 수학적, 미적 견해, 특히 황금 분할 문제에 전념하고 있습니다.

고대 그리스 파르테논 신전의 정면은 황금빛 비율을 자랑합니다. 발굴 과정에서 고대 세계의 건축가와 조각가가 사용했던 나침반이 발견되었습니다. 폼페이 나침반(나폴리 박물관)에도 황금분할의 비율이 나와 있습니다.

쌀. 8.골동품 황금 비율 나침반

우리에게 전해지는 고대 문헌에서 황금 분할은 유클리드의 원소론에서 처음 언급되었습니다. "원리"의 두 번째 책에는 황금 분할의 기하학적 구성이 나와 있습니다. 유클리드 이후 황금 분할에 대한 연구는 Hypsiles(BC 2세기), Pappus(AD 3세기) 및 기타 사람들에 의해 수행되었습니다. 중세 유럽우리는 유클리드 원소의 아랍어 번역을 통해 황금분할에 대해 알게 되었습니다. Navarre (III 세기)의 번역가 J. Campano가 번역에 대해 논평했습니다. 황금 사단의 비밀은 철저히 보호되고 엄격하게 비밀로 유지되었습니다. 그들은 입문자들에게만 알려졌습니다.

르네상스 시대에는 기하학과 예술, 특히 건축 분야에서 황금 분할이 사용되면서 과학자와 예술가들 사이에 관심이 높아졌습니다. 예술가이자 과학자인 레오나르도 다 빈치는 이탈리아 예술가들이 많은 경험적 경험을 갖고 있지만 거의 없다고 보았습니다. 지식 . 그는 기하학에 관한 책을 구상하고 쓰기 시작했지만 그 당시 수도사 Luca Pacioli의 책이 등장했고 Leonardo는 그의 아이디어를 포기했습니다. 동시대인들과 과학사가들에 따르면, 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 진정한 선구자였습니다. 가장 위대한 수학자피보나치와 갈릴레오 사이의 이탈리아. 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 화가 피에로 델라 프란체스키(Piero della Franceschi)의 학생으로 두 권의 책을 썼는데 그 중 하나는 "회화의 관점에 대하여"였습니다. 그는 기술 기하학의 창시자로 간주됩니다.

Luca Pacioli는 예술에 있어서 과학의 중요성을 완벽하게 이해했습니다. 1496년 모로 공작의 초청으로 밀라노로 건너가 수학을 강의했다. Leonardo da Vinci도 당시 밀라노의 Moro 법원에서 일했습니다. 1509년, 루카 파치올리(Luca Pacioli)의 저서 "신의 비율(The Divine Proportion)"이 훌륭하게 그려진 삽화와 함께 베니스에서 출판되었는데, 이것이 바로 레오나르도 다 빈치의 작품으로 여겨지는 이유입니다. 이 책은 황금비에 대한 열광적인 찬송이었다. 황금 비율의 많은 장점 중에서 수도사 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 신성한 삼위일체, 즉 아들 하나님, 아버지 하나님, 성령 하나님의 표현으로 그 "신성한 본질"을 명명하는 데 실패하지 않았습니다. 부분은 아들 하나님, 더 큰 부분-아버지 하나님, 전체 부분-성령의 하나님의 의인화입니다.

레오나르도 다빈치도 황금분할 연구에 많은 관심을 기울였습니다. 그는 정오각형으로 구성된 입체체의 단면을 만들었고, 매번 황금 분할의 종횡비를 갖는 직사각형을 얻었습니다. 그래서 그는 이 부서에 이름을 붙였습니다 황금비율. 그래서 아직도 가장 인기 있는 작품으로 남아있습니다.

동시에 유럽 북부 독일에서는 알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer)가 같은 문제를 연구하고 있었습니다. 그는 비율에 관한 논문의 첫 번째 버전에 대한 서론을 스케치합니다. 뒤러는 쓴다. “뭔가를 하는 방법을 아는 사람은 그것을 필요로 하는 다른 사람들에게 그것을 가르쳐야 합니다. 이것이 내가 하기로 한 일이다."

Dürer의 편지 중 하나로 판단하면 그는 이탈리아에 있는 동안 Luca Pacioli를 만났습니다. Albrecht Durer는 인체 비율 이론을 자세히 개발했습니다. 요지뒤러는 자신의 관계 체계에서 황금분할을 사용했습니다. 사람의 키는 허리띠의 선, 아래로 내린 손의 중지 끝, 입의 얼굴 아래 부분 등을 통해 그어진 선으로 황금 비율로 나뉩니다. 뒤러의 비례나침반은 잘 알려져 있습니다.

16세기의 위대한 천문학자. 요하네스 케플러는 황금비를 기하학의 보물 중 하나로 불렀습니다. 그는 식물학(식물의 성장과 구조)에서 황금 비율의 중요성에 처음으로 주목했습니다.

케플러가 전화했어요 황금비율그는 이렇게 썼습니다. “이 끝없는 비율의 두 개의 하위 용어가 세 번째 용어를 합산하고 마지막 두 용어가 추가되면 다음 용어가 되며 동일한 비율이 되는 방식으로 구성되어 있습니다. 무한정 유지됩니다.”

황금 비율의 일련의 세그먼트 구성은 증가 방향(증가하는 계열)과 감소하는 방향(내림차순) 모두에서 수행될 수 있습니다.

임의의 길이의 직선 위에 있는 경우 세그먼트를 따로 보관합니다. 중, 그 옆에 세그먼트를 놓으십시오. 중. 이 두 세그먼트를 기반으로 오름차순 및 내림차순 계열의 황금 비율 세그먼트 척도를 구축합니다.

쌀. 9.황금 비율 세그먼트 규모 구축

다음 세기에 황금 비율의 규칙은 학술 표준으로 바뀌었고 시간이 지남에 따라 예술 분야에서 학업 루틴에 대한 투쟁이 시작되었을 때 투쟁의 열기 속에서 "그들은 목욕물과 함께 아기를 버렸습니다." 황금비는 19세기 중반에 다시 '발견'되었습니다. 1855년 독일의 황금비 연구자 자이징(Zeising) 교수는 자신의 작품 '미학 연구'를 출판했습니다. 자이징에게 일어난 일은 다른 현상과의 연관 없이 현상을 그 자체로 생각하는 연구자에게 필연적으로 일어날 수밖에 없는 일이었다. 그는 황금분할의 비율을 절대화하여 그것이 자연과 예술의 모든 현상에 보편적이라고 선언했습니다. Zeising의 추종자는 많았지만 그의 비율론을 '수학적 미학'이라고 주장하는 반대자들도 있었습니다.

쌀. 10.인체 부위의 황금 비율

Zeising은 엄청난 일을 해냈습니다. 그는 약 2,000명의 인체를 측정한 결과 황금비가 평균 통계법칙을 표현한다는 결론에 도달했습니다. 배꼽점으로 몸을 나누는 것이 황금비율의 가장 중요한 지표이다. 남성 신체 비율은 13:8 = 1.625의 평균 비율 내에서 변동하며 여성 신체 비율에 비해 황금비에 다소 가깝습니다. 이에 대해 비율의 평균값은 8:8 비율로 표시됩니다. 5 = 1.6. 신생아의 경우 그 비율은 1:1이고, 13세가 되면 1.6이 되고, 21세가 되면 남성과 같아집니다. 황금 비율의 비율은 신체의 다른 부분(어깨 길이, 팔뚝과 손, 손과 손가락 등)과 관련하여 나타납니다.

쌀. 열하나.인체의 황금 비율

Zeising은 그리스 조각상에 대한 그의 이론의 타당성을 테스트했습니다. 그는 Apollo Belvedere의 비율을 가장 자세하게 개발했습니다. 그리스 꽃병과 건축 구조를 조사했습니다. 다른 시대, 식물, 동물, 새 알, 음악적 음색, 시적 미터. Zeising은 황금비에 대한 정의를 제시하고 이것이 직선과 숫자로 어떻게 표현되는지 보여주었습니다. 세그먼트의 길이를 나타내는 숫자를 얻었을 때 Zeising은 해당 세그먼트가 한 방향 또는 다른 방향으로 무한정 계속될 수 있는 피보나치 수열을 구성한다는 것을 확인했습니다. 그의 다음 책 제목은 "자연과 예술의 기본 형태학적 법칙으로서의 황금 분할"이었습니다. 1876년에 Zeising의 이 작품을 개괄적으로 설명하는 브로셔에 가까운 작은 책이 러시아에서 출판되었습니다. 저자는 Yu.F.V.라는 이니셜로 피난처를 찾았습니다. 이 출판물에는 단 하나의 그림 작품도 언급되어 있지 않습니다.

안에 XIX 후반- 20세기 초 예술과 건축 작품에서 황금비를 사용하는 것에 관한 순전히 형식주의적인 이론이 많이 나타났습니다. 디자인과 기술미학의 발달로 황금비의 법칙은 자동차, 가구 등의 디자인에도 확대되었습니다.

피보나치 수열

일련의 숫자 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 등. 피보나치 수열로 알려져 있습니다. 숫자 시퀀스의 특징은 세 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 두 2 + 3 = 5의 합과 같다는 것입니다. 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 등이며, 계열에서 인접한 숫자의 비율은 황금 분할 비율에 접근합니다. 따라서 21:34 = 0.617, 34:55 = 0.618입니다. 이 관계는 기호로 표시됩니다. 에프. 이 비율(0.618:0.382)만이 황금 비율로 직선 부분을 연속적으로 분할하여 무한대로 늘리거나 줄입니다. 이때 작은 부분이 큰 부분과 관련되어 있고 큰 부분이 전체에 관련되어 있습니다.

피보나치는 또한 무역의 실제 요구 사항도 다루었습니다. 제품의 무게를 측정하는 데 사용할 수 있는 가장 작은 무게는 얼마입니까? 피보나치는 최적의 가중치 시스템이 1, 2, 4, 8, 16임을 증명합니다.

일반화된 황금비율

과학자들은 피보나치 수열과 황금비 이론을 계속해서 적극적으로 개발했습니다. Yu. Matiyasevich는 피보나치 수열을 사용하여 힐베르트의 10번째 문제를 해결합니다. 피보나치 수와 황금비를 사용하여 다양한 사이버네틱스 문제(검색 이론, 게임, 프로그래밍)를 해결하기 위한 우아한 방법이 등장하고 있습니다. 미국에서는 심지어 1963년부터 특별 저널을 출판해 온 수학 피보나치 협회(Mathematical Fibonacci Association)도 만들어지고 있습니다.

이 분야의 성과 중 하나는 일반화된 피보나치 수와 일반화된 황금비의 발견입니다.

피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8)과 그가 발견한 가중치의 "이진" 수열 1, 2, 4, 8, 16... 언뜻 보면 완전히 다릅니다. 그러나 구성 알고리즘은 서로 매우 유사합니다. 첫 번째 경우 각 숫자는 이전 숫자 자체의 합인 2 = 1 + 1입니다. 4 = 2 + 2..., 두 번째에서는 이전 두 숫자의 합입니다. 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... 합계를 찾는 것이 가능합니까? 수학 공식, "이진" 시리즈와 피보나치 시리즈를 모두 얻는 방법은 무엇입니까? 아니면 이 공식이 새로운 고유한 속성을 가진 새로운 수치 집합을 제공할 수도 있을까요?

실제로 숫자 매개변수를 설정해 보겠습니다. 에스, 이는 0, 1, 2, 3, 4, 5... 등 어떤 값이든 취할 수 있습니다. 일련의 숫자를 생각해 보세요. 에스+ 첫 번째 항 중 1개는 단위이고, 후속 항 각각은 이전 항의 두 항의 합과 동일하며 이전 항과 구분됩니다. 에스단계. 만약에 N우리는 이 계열의 번째 항을 Φ S( N) 그러면 우리는 일반 공식∅S( N) = ∅S( N- 1) + ø S ( N - 에스 - 1).

언제인지는 분명하다. 에스= 0 이 공식에서 우리는 "이진" 계열을 얻습니다. 에스= 1 - 피보나치 수열, 에스= 2, 3, 4. 새로운 일련의 숫자. 에스-피보나치 수열.

안에 일반적인 견해황금의 에스-비율은 황금 방정식의 양의 근입니다. 에스-섹션 x S+1 - x S - 1 = 0.

언제인지 보여주는 것은 쉽습니다. 에스= 0이면 세그먼트가 반으로 나뉘며, 에스= 1 - 친숙한 고전 황금비.

이웃 간의 관계 에스- 피보나치 수는 금의 한계에서 절대적인 수학적 정확성과 일치합니다. 에스-크기! 그러한 경우에 수학자들은 금이 에스-섹션은 수치 불변입니다. 에스-피보나치 수열.

금의 존재를 확인하는 사실들 에스-자연의 단면은 벨로루시 과학자 E.M.을 인용합니다. "시스템의 구조적 조화"(민스크, "과학과 기술", 1984)라는 책의 Soroko. 예를 들어, 잘 연구된 이원 합금은 다음과 같은 경우에만 특별하고 뚜렷한 기능적 특성(열 안정성, 견고성, 내마모성, 내산화성 등)을 갖는 것으로 밝혀졌습니다. 비중원래 구성 요소는 금 중 하나로 서로 연결됩니다. 에스-크기. 이를 통해 저자는 금이 다음과 같은 가설을 세울 수 있었습니다. 에스-섹션은 자기 조직화 시스템의 수치적 불변량입니다. 실험적으로 확인되면 이 가설은 시너지 효과 개발에 근본적으로 중요할 수 있습니다. 새로운 지역자기 조직화 시스템의 과정을 연구하는 과학.

골드 코드 사용 에스- 비율은 금의 거듭제곱의 합으로 어떤 실수로도 표현될 수 있습니다. 에스-정수 계수를 갖는 비율.

이 숫자 인코딩 방법의 근본적인 차이점은 새로운 코드의 기반이 황금색이라는 것입니다. 에스-비율 에스> 0은 무리수로 판명됩니다. 따라서, 무리수 기반을 갖는 새로운 수 체계는 유리수와 무리수 사이에 역사적으로 확립된 관계의 계층 구조를 "머리부터 발끝까지" 배치하는 것처럼 보입니다. 사실은 자연수가 처음으로 "발견"되었다는 것입니다. 그 비율은 유리수입니다. 그리고 나중에 피타고라스 사람들이 비교할 수 없는 부분을 발견한 후에야 비합리적인 숫자가 탄생했습니다. 예를 들어, 10진수, 5진수, 2진수 및 기타 고전적인 위치 숫자 시스템에서 자연수는 일종의 기본 원리(10, 5, 2)로 선택되었습니다. 특정 규칙다른 모든 자연수는 유리수와 무리수뿐만 아니라 구성되었습니다.

기존 표기 방법에 대한 일종의 대안은 기본 원리로서 새롭고 비합리적인 시스템으로, 그 시작은 비합리적인 숫자입니다(황금비 방정식의 근본이 됨). 다른 실수는 이미 이를 통해 표현되었습니다.

이러한 숫자 체계에서는 자연수이전에 생각했던 것처럼 무한하지 않고 항상 유한한 것으로 표현 가능합니다! - 금의 등급의 합 에스-크기. 놀라운 수학적 단순성과 우아함을 지닌 '불합리한' 산술이 사람들에게 흡수된 것처럼 보이는 이유 중 하나가 바로 이것이다. 최고의 자질고전 이진법과 피보나치 산술.

자연의 형성 원리

껍질은 나선형으로 꼬여 있습니다. 펼쳐보면 뱀길이보다 살짝 짧은 길이가 나옵니다. 10cm의 작은 껍질은 길이가 35cm인 나선형입니다. 나선형은 자연에서 매우 흔합니다. 나선에 대해 이야기하지 않으면 황금비에 대한 아이디어가 불완전합니다.

쌀. 12.아르키메데스 나선

나선형으로 구부러진 껍질의 모양이 아르키메데스의 관심을 끌었습니다. 그는 그것을 연구하여 나선에 대한 방정식을 생각해 냈습니다. 이 방정식에 따라 그려진 나선은 그의 이름으로 불린다. 그녀의 발걸음의 증가는 항상 일정합니다. 현재 아르키메데스 나선은 기술 분야에서 널리 사용됩니다.

괴테는 또한 자연이 나선형으로 향하는 경향을 강조했습니다. 나뭇가지에 잎이 나선형으로 나선형으로 배열되어 있는 것은 오래 전부터 발견되었습니다. 해바라기씨, 솔방울, 파인애플, 선인장 등의 배열에서 나선형이 보였다. 협동식물학자와 수학자들은 이러한 놀라운 자연 현상에 대해 밝혀냈습니다. 피보나치 수열은 가지의 잎 배열(식물축), 해바라기 씨, 솔방울에서 나타나며, 따라서 황금비의 법칙이 나타나는 것으로 밝혀졌습니다. 거미는 거미줄을 나선형으로 엮습니다. 허리케인이 나선형처럼 회전하고 있습니다. 겁에 질린 무리 순록나선형으로 멀어집니다. DNA 분자는 이중 나선으로 꼬여 있습니다. 괴테는 나선을 '인생의 곡선'이라고 불렀습니다.

길가의 허브 중에는 눈에 띄지 않는 식물인 치커리가 자랍니다. 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 원줄기에서 새싹이 형성되었습니다. 첫 번째 잎은 바로 거기에 있었습니다.

쌀. 13.치커리

새싹은 공간으로 강하게 분출하고 멈추고 잎을 떼어내지만 이번에는 첫 번째 것보다 짧다가 다시 공간으로 분출하지만 더 적은 힘으로 더 작은 크기의 잎을 풀어내고 다시 배출됩니다. . 첫 번째 방출을 100개 단위로 간주하면 두 번째 방출은 62개 단위, 세 번째 방출은 38개, 네 번째 방출은 24개 등이 됩니다. 꽃잎의 길이도 황금 비율에 따라 달라집니다. 공간을 성장하고 정복하는 동안 식물은 일정한 비율을 유지했습니다. 성장의 충동은 황금 비율에 비례하여 점차 감소했습니다.

쌀. 14.태생의 도마뱀

언뜻보기에 도마뱀은 우리 눈에 좋은 비율을 가지고 있습니다. 꼬리 길이는 몸의 나머지 부분 길이와 관련이 있으며 62 ~ 38입니다.

식물과 동물의 세계 모두에서 자연의 형성 경향, 즉 성장과 움직임의 방향에 대한 대칭이 지속적으로 깨집니다. 여기서 황금비는 성장 방향에 수직인 부분의 비율로 나타납니다.

자연은 대칭적인 부분과 황금 비율로 분할을 수행했습니다. 부분은 전체 구조의 반복을 드러낸다.

쌀. 15.새알

시인이자 자연주의자이자 예술가인 위대한 괴테(그는 수채화를 그리고 그렸습니다)는 유기체의 형태, 형성 및 변형에 대한 통일된 교리를 만드는 것을 꿈꿨습니다. 형태학이라는 용어를 과학적 용도로 도입한 사람은 바로 그 사람이었습니다.

금세기 초 피에르 퀴리는 대칭에 관한 수많은 심오한 아이디어를 공식화했습니다. 그는 환경의 대칭을 고려하지 않고는 신체의 대칭을 고려할 수 없다고 주장했습니다.

"황금색" 대칭 패턴은 에너지 전환에서 나타납니다. 기본 입자, 일부 구조에서는 화학물질, 행성 및 우주 시스템, 살아있는 유기체의 유전자 구조. 위에서 지적한 바와 같이 이러한 패턴은 개별 인간 기관과 신체 전체의 구조에 존재하며 생체 리듬과 뇌 기능 및 시각적 인식에서도 나타납니다.

황금비와 대칭

황금 분할은 대칭의 반대인 비대칭의 표현이 아닙니다. 현대 사상에 따르면 황금 분할은 비대칭 대칭입니다. 대칭 과학에는 다음과 같은 개념이 포함됩니다. 공전그리고 동적 대칭. 정적 대칭은 평화와 균형을 특징으로 하며, 동적 대칭은 움직임과 성장을 특징으로 합니다. 따라서 자연에서 정적 대칭은 결정 구조로 표현되며 예술에서는 평화, 균형 및 부동성을 특징으로 합니다. 동적 대칭은 활동을 표현하고 움직임, 발달, 리듬을 특징으로 하며 생명의 증거입니다. 정적 대칭은 동일한 세그먼트가 특징입니다. 동일한 값. 동적 대칭은 세그먼트의 증가 또는 감소를 특징으로 하며 증가하거나 감소하는 계열의 황금분할 값으로 표현됩니다.

사람은 모양으로 주변의 물체를 구별합니다. 사물의 형태에 대한 관심은 필수적인 필요성에 의해 결정될 수도 있고, 형태의 아름다움에 의해 유발될 수도 있습니다. 대칭과 황금 비율의 조합을 기반으로 한 구성의 형태는 최고의 시각적 인식과 아름다움과 조화의 느낌을 표현하는 데 기여합니다. 전체는 항상 부분으로 구성되며, 서로 다른 크기의 부분은 서로, 그리고 전체와 일정한 관계를 맺고 있습니다. 황금 비율의 원리는 예술, 과학, 기술 및 자연에서 전체와 부분의 구조적, 기능적 완전성을 가장 잘 표현한 것입니다.

황금비 - 고조파 비율

수학에서는 비율(lat. 비례) 두 관계의 동등성을 호출합니다.

ㅏ : 비 = 씨 : 디.

직선 세그먼트 AB다음과 같은 방법으로 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

• 두 개의 동일한 부분으로 - AB : A.C. = AB : 기원전;
• 어떤 면에서든 두 개의 불평등한 부분으로 나뉩니다(이러한 부분은 비율을 형성하지 않습니다).
• 따라서 언제 AB : A.C. = A.C. : 기원전.

후자는 극단 및 평균 비율로 세그먼트를 황금 분할 또는 분할하는 것입니다.

황금 비율은 세그먼트를 동일하지 않은 부분으로 비례적으로 나누는 것입니다. 여기서 큰 부분 자체가 작은 부분과 관련되어 있는 것처럼 전체 세그먼트가 더 큰 부분과 관련됩니다. 즉, 작은 부분이 전체에 대한 큰 부분만큼 커집니다.

ㅏ : 비 = 비 : 씨
또는
씨 : 비 = 비 : ㅏ.

쌀. 1.황금비율의 기하학적 이미지

황금비에 대한 실질적인 지식은 나침반과 자를 사용하여 직선 부분을 황금 비율로 나누는 것부터 시작됩니다.

쌀. 2.기원전 = 1/2 AB; CD = 기원전

출발지점 비절반에 해당하는 수직이 복원됩니다. AB. 받은 포인트 씨점과 선으로 연결됨 ㅏ. 결과 선에 세그먼트가 그려집니다. 기원전점으로 끝나는 디. 선분 기원 후다이렉트로 옮겼다 AB. 결과 포인트 이자형세그먼트를 나눈다 AB황금비율로요.

황금비의 세그먼트는 무한한 무리분수로 표현됩니다. A.E.= 0.618..., 만약 AB하나로 받아들이다 BE= 0.382... 실용적인 목적으로 0.62와 0.38의 대략적인 값이 자주 사용됩니다. 세그먼트의 경우 AB 100개 부분으로 간주하면 세그먼트의 큰 부분은 62개이고 작은 부분은 38개 부분입니다.

황금비의 특성은 다음 방정식으로 설명됩니다.

엑스 2 – 엑스 – 1 = 0.

이 방정식의 해법은 다음과 같습니다.

황금 비율의 특성은 이 숫자 주위에 낭만적인 신비의 분위기와 거의 신비로운 숭배를 만들어냈습니다.

두 번째 황금비율

불가리아 잡지 "Fatherland"(1983년 10호)는 Tsvetan Tsekov-Karandash의 "두 번째 황금 섹션에 대하여"라는 기사를 게재했습니다. 이 기사는 메인 섹션에서 이어지며 44:56의 또 다른 비율을 제공합니다.

이 비율은 건축에서 발견되며, 길쭉한 가로 형식의 이미지 구성을 구성할 때도 발생합니다.

쌀. 삼.

분할은 다음과 같이 수행됩니다. 선분 AB황금비율에 따라 나누어집니다. 출발지점 씨수직이 복원되었습니다 CD. 반지름 AB점이 있다 디, 점과 선으로 연결됨 ㅏ. 직각 ACD반으로 나누어져 있습니다. 출발지점 씨선은 선과 교차할 때까지 그려집니다. 기원 후. 점 이자형세그먼트를 나눈다 기원 후 56:44와 관련하여.

쌀. 4.

그림은 두 번째 황금비 선의 위치를 ​​보여줍니다. 황금비 선과 직사각형의 중심선 사이의 중간에 위치합니다.

골든 트라이앵글

오름차순 및 내림차순 계열의 황금 비율 세그먼트를 찾으려면 다음을 사용할 수 있습니다. 오각형.

쌀. 5.정오각형과 오각형의 구성

오각형을 만들려면 정오각형을 만들어야 합니다. 건축 방법은 독일의 화가이자 그래픽 예술가인 알브레히트 뒤러(Albrecht Durer, 1471~1528)에 의해 개발되었습니다. 허락하다 영형– 원의 중심, ㅏ– 원 위의 점과 이자형– 세그먼트의 중간 O.A.. 반경에 수직 O.A., 그 시점에서 복원됨 영형, 점에서 원과 교차합니다. 디. 나침반을 사용하여 지름에 선분을 그립니다. 기원후 = 에드. 원에 새겨진 정오각형의 한 변의 길이는 다음과 같습니다. DC. 원에 세그먼트 배치 DC정오각형을 그리려면 5점을 얻습니다. 오각형의 모서리를 대각선으로 서로 연결하여 오각형을 얻습니다. 오각형의 모든 대각선은 서로를 황금비로 연결된 세그먼트로 나눕니다.

오각형 별의 각 끝은 황금색 삼각형을 나타냅니다. 측면은 꼭지점에서 36°의 각도를 이루고 측면에 놓인 밑면은 황금 비율에 따라 분할됩니다.

쌀. 6.황금삼각형의 건설

우리는 직접 수행합니다 AB. 출발지점 ㅏ그 위에 세그먼트를 세 번 놓으십시오. 영형임의의 값, 결과 점을 통해 피선에 수직을 그리다 AB, 점의 오른쪽과 왼쪽에 수직으로 피세그먼트를 따로 보관해 두세요 영형. 받은 포인트 디그리고 디 1 직선으로 한 점에 연결한다 ㅏ. 선분 dd 1을 라인에 올려라 기원 후 1, 포인트를 얻는다 씨. 그녀는 선을 나누었다 기원 후 1 황금비율에 비례한다. 윤곽 기원 후 1과 dd 1은 "황금색" 직사각형을 구성하는 데 사용됩니다.

황금비율의 역사

황금 분할의 개념은 고대 그리스 철학자이자 수학자인 피타고라스(기원전 6세기)에 의해 과학적 용도로 도입되었다는 것이 일반적으로 받아들여지고 있습니다. 피타고라스가 이집트인과 바빌로니아인으로부터 황금 분할에 대한 지식을 빌렸다는 가정이 있습니다. 실제로, 쿠프스 피라미드, 사원, 얕은 돋을새김, 가정용품, 무덤 장식의 비율은 이집트 장인들이 그것들을 만들 때 황금 분할의 비율을 사용했음을 나타냅니다. 프랑스 건축가 르 코르뷔지에는 아비도스(Abydos)에 있는 파라오 세티 1세(Seti I) 사원의 부조와 람세스 파라오를 묘사한 부조에서 그림의 비율이 황금 분할의 값과 일치한다는 사실을 발견했습니다. 그의 이름을 딴 무덤의 나무 판 부조에 묘사된 건축가 케시라(Khesira)는 황금 분할의 비율이 기록된 측정 도구를 손에 들고 있습니다.

그리스인들은 숙련된 기하학자들이었습니다. 그들은 심지어 기하학적 도형을 사용하여 아이들에게 산수를 가르쳤습니다. 피타고라스 정사각형과 이 정사각형의 대각선은 동적 직사각형 구성의 기초였습니다.

쌀. 7.동적 직사각형

플라톤(기원전 427~347년)도 황금분할에 대해 알고 있었습니다. 그의 대화 "Timaeus"는 피타고라스 학파의 수학적, 미적 관점, 특히 황금 분할 문제에 전념하고 있습니다.

고대 그리스 파르테논 신전의 정면은 황금빛 비율을 자랑합니다. 발굴 과정에서 고대 세계의 건축가와 조각가가 사용했던 나침반이 발견되었습니다. 폼페이 나침반(나폴리 박물관)에도 황금분할의 비율이 나와 있습니다.

쌀. 8.

우리에게 내려온 고대 문헌에서 황금 분할은 유클리드의 원소에서 처음 언급되었습니다. Elements의 두 번째 책에는 황금 분할의 기하학적 구조가 나와 있습니다. 유클리드 이후 황금분할에 대한 연구는 Hypsicles(기원전 2세기), Pappus(기원후 3세기) 등에 의해 수행되었습니다. 중세 유럽에서는 유클리드 원소론의 아랍어 번역을 통해 황금분할에 대해 알게 되었습니다. Navarre (III 세기)의 번역가 J. Campano가 번역에 대해 논평했습니다. 황금 사단의 비밀은 철저히 보호되고 엄격하게 비밀로 유지되었습니다. 그들은 입문자에게만 알려졌습니다.

르네상스 시대에는 기하학과 예술, 특히 건축 분야에서 황금 분할이 사용되면서 과학자와 예술가들 사이에 관심이 높아졌습니다. 예술가이자 과학자인 레오나르도 다 빈치는 이탈리아 예술가들이 많은 경험적 경험을 갖고 있지만 거의 없다고 보았습니다. 지식 . 그는 기하학에 관한 책을 구상하고 쓰기 시작했지만 그 당시 수도사 Luca Pacioli의 책이 등장했고 Leonardo는 그의 아이디어를 포기했습니다. 동시대 사람들과 과학 역사가들에 따르면, 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 피보나치와 갈릴레오 사이의 시대에 이탈리아의 가장 위대한 수학자이자 진정한 선구자였습니다. 루카 파치올리(Luca Pacioli)는 화가 피에로 델라 프란체스키(Piero della Franceschi)의 학생으로 두 권의 책을 썼는데 그 중 하나는 On Perspective in Painting이라는 제목의 책이었습니다. 그는 기술 기하학의 창시자로 간주됩니다.

Luca Pacioli는 예술에 있어서 과학의 중요성을 완벽하게 이해했습니다. 1496년 모로 공작의 초청으로 밀라노로 와서 수학에 대한 강의를 했다. Leonardo da Vinci도 당시 밀라노의 Moro 법원에서 일했습니다. 1509년, 루카 파치올리(Luca Pacioli)의 저서 "신의 비율(The Divine Proportion)"이 훌륭하게 그려진 삽화와 함께 베니스에서 출판되었는데, 이것이 바로 레오나르도 다 빈치의 작품으로 여겨지는 이유입니다. 이 책은 황금비에 대한 열광적인 찬송이었다. 황금 비율의 많은 장점 중에서 수도사 Luca Pacioli는 신성한 삼위 일체, 즉 성부 하나님, 성자 하나님, 성령 하나님의 표현으로 "신성한 본질"을 명명하는 데 실패하지 않았습니다. 부분은 아들 하나님의 의인화이고, 더 큰 부분은 아버지 하나님이고, 전체 부분은 성령 하나님입니다.

전자책:

• 마리오 리비오.

20.05.2017

황금비율은 모든 디자이너가 알아야 할 것입니다. 이것이 무엇인지, 어떻게 사용할 수 있는지 설명하겠습니다.

자연에는 즐겁고 자연스러운 구성을 만들기 위해 디자인에 사용할 수 있는 일반적인 수학적 관계가 있습니다. 이를 황금비 또는 그리스 문자 '파이'라고 합니다. 일러스트레이터, 아트 디렉터 또는 그래픽 디자이너라면 모든 프로젝트에서 반드시 황금 비율을 사용해야 합니다.

이 기사에서는 이를 사용하는 방법을 설명하고 추가 영감과 학습을 위한 몇 가지 훌륭한 도구를 공유합니다.

수학 시간이나 Dan Brown의 다빈치 코드에서 기억할 수 있는 피보나치 수열과 밀접하게 관련된 황금 비율은 두 비율 간의 완벽한 대칭 관계를 설명합니다.

대략 1:1.61 비율과 동일한 황금 비율은 황금 직사각형으로 설명할 수 있습니다. 이는 정사각형(변의 길이가 직사각형의 가장 짧은 변의 길이와 동일)을 포함하는 큰 직사각형과 작은 직사각형입니다.

직사각형에서 정사각형을 제거하면 또 다른 작은 황금색 직사각형이 남게 됩니다. 이 과정은 역으로 작동하는 피보나치 수열처럼 무한정 계속될 수 있습니다. (변이 있는 정사각형 추가 길이와 같음직사각형의 가장 긴 변이 황금 직사각형과 황금 비율에 더 가까워집니다.)

황금비율의 실천

황금비율은 예술과 디자인 분야에서 약 4,000년 동안 사용된 것으로 추정됩니다. 그러나 많은 사람들은 이집트 피라미드의 건설에도 이 원칙이 사용되었다는 데 동의합니다.

더 많은 현대이 규칙은 우리 주변의 음악, 예술, 디자인에서 볼 수 있습니다. 유사한 작업 방법을 사용하면 동일한 디자인 기능을 작업에 적용할 수 있습니다. 몇 가지 감동적인 사례를 살펴보겠습니다.

그리스 건축

고대 그리스 건축에서 황금비는 건물의 폭과 높이, 주랑의 크기, 심지어 구조물을 지탱하는 기둥의 위치 사이의 즐거운 공간적 관계를 결정하는 데 사용되었습니다.

그 결과 완벽하게 비례하는 구조가 탄생했습니다. 신고전주의 건축 운동도 이러한 원칙을 사용했습니다.

최후의 만찬

레오나르도 다 빈치(Leonardo Da Vinci)는 과거의 다른 많은 예술가들처럼 기분 좋은 구성을 만들기 위해 종종 황금 비율을 사용했습니다.

최후의 만찬에서 인물들은 아래쪽 2/3(황금 비율의 두 부분 중 더 큰 부분)에 위치하며, 황금 직사각형 사이에 예수님의 모습이 완벽하게 그려져 있습니다.

자연의 황금비율

자연에는 황금 비율의 예가 많이 있습니다. 주변에서 찾을 수 있습니다. 꽃, 조개, 파인애플, 심지어 벌집도 같은 비율을 보입니다.

황금 비율을 계산하는 방법

황금 비율의 계산은 매우 간단하며 간단한 사각형으로 시작합니다.

01. 사각형을 그린다

직사각형의 짧은 변의 길이를 형성합니다.

02. 사각형 나누기

수직선을 사용하여 정사각형을 반으로 나누어 두 개의 직사각형을 만듭니다.

03. 대각선 그리기

직사각형 중 하나에서 한쪽 모서리에서 반대쪽으로 선을 그립니다.

04. 턴

이 선을 회전하여 첫 번째 직사각형과 수평이 되도록 합니다.

05. 새로운 직사각형 만들기

새 수평선과 첫 번째 직사각형을 사용하여 직사각형을 만듭니다.

황금 비율을 사용하는 방법

이 원리를 사용하는 것은 생각보다 쉽습니다. 레이아웃에 사용할 수 있는 몇 가지 빠른 요령이 있거나 시간을 좀 더 들여 개념을 완전히 구체화할 수 있습니다.

빠른 길

삼등분의 법칙을 접해 본 적이 있다면, 공간을 수직과 수평으로 동일한 3등분으로 나누고, 선이 교차하여 물체에 자연스러운 점을 만드는 아이디어에 익숙할 것입니다.

사진가는 기분 좋은 구도를 만들기 위해 주요 피사체를 교차하는 선 중 하나에 배치합니다. 이 원칙은 페이지 레이아웃과 포스터 디자인에도 사용될 수 있습니다.

삼등분의 법칙은 어떤 도형에나 적용될 수 있지만 대략 1:1.6 비율의 직사각형에 적용하면 금색 직사각형에 매우 가까워져 눈에 더욱 즐거운 구도가 됩니다.

전체 구현

디자인에 황금비율을 완벽하게 구현하고 싶다면 메인 콘텐츠와 사이드바(웹 디자인에서)를 1:1.61의 비율로 배치하면 됩니다.

값을 반올림하거나 더 큰 쪽: 콘텐츠 영역이 640px이고 사이드바가 400px인 경우 이 마크업은 황금 비율에 매우 적합합니다.

물론, 콘텐츠 영역과 사이드바 영역을 동일한 관계로 나눌 수도 있고, 웹페이지의 헤더, 콘텐츠 영역, 바닥글, 내비게이션 간의 관계도 동일한 원리로 설계할 수 있습니다.

유용한 도구

다음은 디자인에 황금 비율을 사용하고 비례적인 디자인을 만드는 데 도움이 되는 몇 가지 도구입니다.

GoldenRATIO는 황금비율에 적합한 웹사이트 디자인, 인터페이스, 템플릿을 제작하기 위한 애플리케이션입니다. Mac App Store에서 $2.99에 구입할 수 있습니다. 시각적인 황금 비율 계산기가 포함되어 있습니다.

이 응용 프로그램에는 반복 작업에 대한 설정을 저장하는 "즐겨찾기" 기능과 Photoshop에서 응용 프로그램을 최소화할 수 있는 "클릭스루" 모드도 있습니다.

Pearsonified의 황금 비율 계산기는 귀하의 웹사이트에 딱 맞는 타이포그래피를 만드는 데 도움이 됩니다. 해당 필드에 글꼴 크기, 컨테이너 너비를 입력하고 버튼을 클릭합니다. 내 유형을 설정하세요!줄당 문자 수를 최적화해야 하는 경우 CPL 값을 추가로 입력할 수 있습니다.

이 간단하고 유용한 무료 앱은 Mac과 PC에서 사용할 수 있습니다. 숫자를 입력하면 애플리케이션이 황금 비율 원칙에 따라 두 번째 숫자를 계산합니다.

이 응용 프로그램을 사용하면 황금 비율로 디자인하여 계산 시간을 많이 절약할 수 있습니다.

프로젝트에 집중할 수 있도록 모양과 크기를 변경할 수 있습니다. 영구 라이선스 비용은 49달러지만 한 달 동안 무료 버전을 다운로드할 수 있습니다.

골든 섹션 교육

다음은 황금 비율(영어)에 대한 유용한 튜토리얼입니다.

이 디지털 아트 튜토리얼에서 Roberto Marras는 예술 작품에서 황금 비율을 사용하는 방법을 보여줍니다.

웹 디자인 프로젝트에서 황금 원칙을 사용하는 방법을 보여주는 Tuts+의 튜토리얼입니다.

Smashing Magazine의 비율과 삼등분의 법칙에 대한 튜토리얼입니다.