피라미드의 측면을 계산하는 공식입니다. 피라미드

임의의 피라미드의 측면 면적은 측면 면적의 합과 같습니다. 일반 피라미드의 경우 이 영역을 표현하기 위한 특별한 공식을 제공하는 것이 합리적입니다. 그럼, 밑면에 변이 a인 정n각형이 있는 정뿔뿔이 있다고 가정해 보겠습니다. h를 옆면의 높이라고 하자. 변심피라미드. 한 측면의 면적은 1/2ah이고 피라미드의 측면 전체 면적은 n/2ha와 같습니다. na는 피라미드 밑면의 둘레이므로 찾은 공식을 쓸 수 있습니다. 의 형태의:

측면 표면적일반 피라미드의 크기는 변심과 밑면 둘레의 절반의 곱과 같습니다.

에 관하여 총 표면적, 그런 다음 기본 영역을 측면 영역에 추가하기만 하면 됩니다.

내접 및 외접 구와 공. 피라미드에 새겨진 구의 중심은 피라미드의 내부 2면각의 이등분면의 교차점에 있다는 점에 유의해야 합니다. 피라미드 근처에 설명된 구의 중심은 피라미드 모서리의 중간점을 통과하고 이에 수직인 평면의 교차점에 있습니다.

잘린 피라미드.피라미드를 밑면과 평행한 평면으로 자르면 절단면과 밑면 사이에 둘러싸인 부분을 피라미드라고 합니다. 잘린 피라미드.그림은 피라미드를 보여줍니다. 절단 평면 위에 있는 부분을 버리면 잘린 피라미드가 생성됩니다. 버려진 작은 피라미드는 정점에 동질성의 중심이 있는 큰 피라미드와 동질적이라는 것이 분명합니다. 유사성 계수는 ​​높이의 비율과 같습니다: k=h 2 /h 1, 측면 가장자리 또는 두 피라미드의 기타 해당 선형 치수. 우리는 유사한 도형의 면적이 선형 차원의 제곱과 유사하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 두 피라미드의 밑면 영역(즉, 잘린 피라미드의 밑면 영역)은 다음과 같이 관련됩니다.

여기서 S1은 밑변의 면적이고, S2는 잘린 피라미드의 윗밑면의 면적이다. 피라미드의 측면도 동일한 관계에 있습니다. 볼륨에도 비슷한 규칙이 있습니다.

유사한 신체의 부피선형 차원의 큐브처럼 관련되어 있습니다. 예를 들어, 피라미드의 부피는 높이와 밑면의 면적의 곱으로 관련되며, 이로부터 우리의 규칙이 즉시 얻어집니다. 그것은 절대적으로 일반 성격그리고 이는 부피가 항상 길이의 3제곱의 차원을 갖는다는 사실로부터 직접적으로 도출됩니다. 이 규칙을 사용하여 밑면의 높이와 면적을 통해 잘린 피라미드의 부피를 표현하는 공식을 유도합니다.

높이가 h이고 밑면적이 S1과 S2인 잘린 피라미드가 있다고 가정합니다. 전체 피라미드로 확장된다고 상상하면 전체 피라미드와 작은 피라미드 사이의 유사성 계수는 ​​S 2 /S 1 비율의 근으로 쉽게 찾을 수 있습니다. 잘린 피라미드의 높이는 h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k)로 표현됩니다. 이제 우리는 잘린 피라미드의 부피를 얻었습니다(V 1 및 V 2는 전체 피라미드와 작은 피라미드의 부피를 나타냄).

잘린 피라미드의 부피 공식

밑면의 둘레 P 1 및 P 2와 변심점 a의 길이를 통해 정절단 피라미드의 옆면 면적 S에 대한 공식을 도출해 보겠습니다. 우리는 부피 공식을 도출할 때와 똑같은 방식으로 추론합니다. 우리는 피라미드를 윗부분으로 보완합니다. P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1입니다. 여기서 k는 유사 계수이고, P 1과 P 2는 밑면의 둘레이고, S 1과 S 2입니다. 전체 결과 피라미드의 측면 표면 영역과 이에 따른 상단 부분입니다. 측면 표면에 대해 (a 1과 a 2는 피라미드의 변종, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

정절두뿔의 측면 표면적에 대한 공식

• 문제 1. 피라미드의 전체 표면적을 구하십시오.
• 문제 2. 정삼각뿔의 옆면적 구하기

문제 1. 일반 피라미드의 전체 표면적 찾기

해결책.

정삼각형 피라미드의 밑면에는 정삼각형이 있습니다.
따라서 문제를 해결하기 위해 정삼각형의 속성을 사용합니다.

우리는 면적을 찾을 수 있는 삼각형의 높이를 알고 있습니다.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

베이스의 면적은 다음과 같습니다.
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
에스 = 3√3

측면의 면적을 구하기 위해 높이 KM을 계산합니다. 문제에 따르면 OKM 각도는 45도입니다.
따라서:
OK / MK = cos 45
삼각 함수의 값 표를 사용하고 대체합시다 알려진 값.

OK / MK = √2/2

OK는 내접원의 반경과 같다는 점을 고려해 봅시다. 그 다음에
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

그 다음에
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

그러면 옆면의 면적은 높이와 삼각형 밑변의 곱의 절반과 같습니다.
S변 = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

따라서 피라미드의 전체 표면적은 다음과 같습니다.
S = 3√3 + 3 * 6/√6
에스 = 3√3 + 18/√6

답변: 3√3 + 18/√6

문제 2. 정다각형 피라미드의 옆면적 구하기

해결책.

정삼각뿔의 밑변은 정삼각형이므로 AO는 밑변에 외접하는 원의 반지름입니다.
(다음부터 이어집니다)

우리는 그 속성으로부터 정삼각형 주위에 외접하는 원의 반지름을 찾습니다.

정삼각형 피라미드의 모서리 길이는 다음과 같습니다.
AM 2 = MO 2 + AO 2
피라미드의 높이는 조건(10cm), AO = 16√3/3으로 알 수 있습니다.
오전 2 = 100 + 256/3
오전 = √(556/3)

피라미드의 각 변은 이등변삼각형입니다. 정사각형 이등변 삼각형우리는 아래에 제시된 첫 번째 공식에서 찾습니다.

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 제곱((556/3) - 64)
S = 8제곱미터(364/3)
S = 16제곱미터(91/3)

정다각형의 세 면이 모두 같으므로 옆면적은 다음과 같습니다.
3S = 48 √(91/3)

답변: 48 √(91/3)

문제 3. 정삼각형의 전체 표면적을 구하라

정삼각형 피라미드의 한 변은 3cm이고, 옆면과 피라미드 밑면 사이의 각도는 45도입니다. 피라미드의 전체 표면적 찾기.

해결책.
피라미드는 정삼각형이므로 밑면에 정삼각형이 있습니다. 따라서 밑면의 면적은


따라서 = 9 * √3/4

측면의 면적을 구하기 위해 높이 KM을 계산합니다. 문제에 따르면 OKM 각도는 45도입니다.
따라서:
OK / MK = cos 45
이점을 활용하자

정의. 측면 가장자리- 이것은 한 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.

정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.

정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.

정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.

정의. 대각선 부분- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.

정의. 올바른 피라미드밑면이 피라미드이다. 정다각형, 높이는 베이스 중심으로 떨어집니다.

피라미드의 부피와 표면적

공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:

피라미드의 속성

만약 모두 측면 갈비뼈가 동일하면 피라미드의 밑면 주위에 원이 설명될 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.

모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.

측면 모서리는 밑면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.

만약에 옆면밑면의 평면에 대해 한 각도로 기울어지면 피라미드의 바닥에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중앙에 투영됩니다.

측면이 베이스 평면에 대해 동일한 각도로 기울어져 있으면 측면의 변위점이 동일합니다.

일반 피라미드의 속성

1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.

2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.

3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.

4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.

5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.

6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.

7. 피라미드 주위에 구가 설명될 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.

8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.

9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.

피라미드와 구의 연결

피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 모서리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.

삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.

피라미드의 내부 2면각의 이등분면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구가 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.

피라미드와 원뿔의 관계

꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있는 경우 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.

피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.

꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.

피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.

피라미드와 원통의 관계

피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.

원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.

사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.

각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도.

정사면체의 꼭지점과 반대면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 사면체의 중앙값(GM).

바이미디어접촉하지 않는 반대쪽 모서리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.

사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.

정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.

정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.

정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 정다각형 5개 중 하나입니다. 정사면체에서는 모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(꼭지점)가 동일합니다.

정의. 직사각형 사면체꼭지점의 세 모서리 사이에 직각이 있는(모서리가 수직임) 사면체라고 합니다. 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도그리고 가장자리는 직각삼각형, 밑변은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.

정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.

정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 낮아진 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.

정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 불린다.

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어떤 인물을 피라미드라고 부르나요? 첫째, 다면체입니다. 둘째, 이 다면체의 바닥에는 임의의 다각형이 있고 피라미드의 측면 (측면)은 반드시 하나의 공통 꼭지점에 수렴하는 삼각형 모양을 갖습니다. 이제 용어를 이해했으니 피라미드의 표면적을 구하는 방법을 알아봅시다.

표면적은 이렇다는 것이 분명하다. 기하학적인 몸체베이스 면적과 전체 측면의 합으로 구성됩니다.

피라미드 밑면의 면적 계산

계산 공식의 선택은 피라미드 밑에 있는 다각형의 모양에 따라 다릅니다. 즉, 변의 길이가 같은 규칙적이거나 불규칙할 수 있습니다. 두 가지 옵션을 모두 고려해 보겠습니다.

밑면에는 정다각형이 있습니다.

에서 학교 과정모두 다 아는:

• 정사각형의 면적은 변의 길이를 제곱한 것과 같습니다.
• 정삼각형의 면적은 변의 제곱을 4로 나누고 루트 3을 곱한 것과 같습니다.

그러나 또한 있다 일반 공식, 정다각형(Sn)의 면적을 계산하려면 이 다각형의 둘레(P)에 그 안에 새겨진 원의 반경(r)을 곱한 다음 결과를 2로 나누어야 합니다. Sn= 1/2P*r.

밑면에는 불규칙한 다각형이 있습니다.

면적을 찾는 방법은 먼저 전체 다각형을 삼각형으로 나누고 다음 공식을 사용하여 각 면적을 계산하는 것입니다. 1/2a*h (여기서 a는 삼각형의 밑면이고 h는 높이입니다. 이 베이스), 모든 결과를 더하세요.

피라미드의 측면 표면적

이제 피라미드의 측면 표면적을 계산해 보겠습니다. 모든 측면의 면적의 합입니다. 여기에는 2가지 옵션도 있습니다.

1. 임의의 피라미드를 만들어 보겠습니다. 하나는 밑면에 불규칙한 다각형이 있습니다. 그런 다음 각 면의 면적을 별도로 계산하고 결과를 추가해야 합니다. 피라미드의 변은 정의에 따라 삼각형만 될 수 있으므로 위에서 언급한 공식 S=1/2a*h를 사용하여 계산이 수행됩니다.
2. 우리의 피라미드가 정확하자, 즉 밑면에는 정다각형이 있고 피라미드 꼭대기의 투영은 중심에 있습니다. 그런 다음 측면의 면적(Sb)을 계산하려면 밑면 다각형의 둘레(P)와 측면의 높이(h)의 곱의 절반을 구하면 충분합니다(모든 면에 대해 동일함). ): Sb = 1/2P*h. 다각형의 둘레는 모든 변의 길이를 더하여 결정됩니다.

일반 피라미드의 전체 표면적은 밑면의 면적과 전체 측면 표면의 면적을 합산하여 구합니다.

예

예를 들어 여러 피라미드의 표면적을 대수적으로 계산해 보겠습니다.

삼각뿔의 표면적

그러한 피라미드의 바닥에는 삼각형이 있습니다. So=1/2a*h 공식을 사용하여 밑면의 면적을 구합니다. 동일한 공식을 사용하여 삼각형 모양인 피라미드의 각 면의 면적을 구하고 S1, S2 및 S3의 3가지 면적을 얻습니다. 피라미드 측면의 면적은 모든 면적의 합입니다: Sb = S1+ S2+ S3. 측면과 밑면의 면적을 합산하여 원하는 피라미드의 전체 표면적을 얻습니다. Sp= So+ Sb.

사각뿔의 표면적

측면의 면적은 4개 항의 합입니다: Sb = S1+ S2+ S3+ S4. 각 항은 삼각형 면적 공식을 사용하여 계산됩니다. 그리고 밑면의 면적은 사변형의 모양 (정규 또는 불규칙)에 따라 찾아야합니다. 피라미드의 전체 표면적은 밑면의 면적과 주어진 피라미드의 전체 표면적을 더하여 다시 구해집니다.