초기 수학 과정의 기본 개념의 특징. 초등학교의 대수학 요소

2. 수학적 표현과 그 의미.

3. 방정식 작성을 기반으로 문제를 해결합니다.

대수학은 집합이나 양의 정량적 특성의 수치 값을 문자 기호로 대체합니다. 일반적으로 대수학은 특정 연산(덧셈, 곱셈 등)의 기호를 대수 연산의 일반 기호로 대체하고 이러한 연산(답)의 특정 결과가 아니라 해당 속성을 고려합니다.

방법론적으로, 이 과정에서 대수학 요소의 주요 역할은 다음과 같습니다. 기본 수업수학의 목적은 "양"의 개념과 산술 연산의 의미에 대한 어린이의 일반화 된 아이디어 형성에 기여하는 것입니다.

오늘날 수학 과정에서 대수 자료의 내용량을 결정하는 데에는 근본적으로 반대되는 두 가지 추세가 있습니다. 초등학교. 한 가지 추세는 초등학교 수학 과정의 초기 대수화와 관련이 있으며, 1학년 때 이미 대수학 자료가 포화되어 있습니다. 또 다른 추세는 초등학교 마지막 단계인 4학년 말에 수학 과정에 대수학 자료를 도입하는 것과 관련이 있습니다. 첫 번째 경향의 대표자는 L.V. 시스템의 대체 교과서의 저자로 간주될 수 있습니다. Zankova (I.I. Arginskaya), 시스템 V.V. Davydov(E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina 등), "School 2100" 시스템(L.G. Peterson), "21세기 학교" 시스템(V.N. Rudnitskaya). 하모니(Harmony) 시스템의 대안 교과서의 저자인 N.B.는 두 번째 경향의 대표자로 간주될 수 있습니다. 이스토민.

전통적인 학교의 교과서는 "중간" 견해의 대표자로 간주될 수 있습니다. 이는 N.Ya의 수학 교과서 사용에 초점을 맞추고 있기 때문에 상당히 많은 대수 자료를 포함하고 있습니다. Vilenkina는 중등학교 5~6학년이지만 2학년부터 아이들에게 대수 개념을 소개하고 3년에 걸쳐 자료를 배포했으며 지난 20년 동안 대수 개념 목록을 실질적으로 확장하지 않았습니다.

초등학교 수학 교육의 필수 최소 내용(2001년 최종판)에는 대수 자료가 포함되어 있지 않습니다. 그들은 초등학교 졸업생이 대수 개념을 다룰 수 있는 능력과 초등학교 교육을 마친 후 준비 수준에 대한 요구 사항을 언급하지 않습니다.

1. 수학적 표현과 그 의미

일련의 문자와 숫자가 동작 기호로 연결된 것을 수학적 표현이라고 합니다.

수학적 표현은 등호와 부등호를 문자로 사용하는 등호, 부등호와 구별할 필요가 있다.

예를 들어:

3 + 2 - 수학적 표현;

7 - 5; 5 6 - 20; 64: 8 + 2 - 수학적 표현;

a + b; 7 - 초; 23 - 및 4 - 수학적 표현.

3 + 4 = 7과 같은 표기법은 수학적 표현이 아니라 등식입니다.

레코드 유형 5< 6 или 3 + а >7 - 수학적 표현이 아니라 불평등입니다.

숫자 표현식

숫자와 동작 기호만 포함된 수학 표현식을 숫자 표현식이라고 합니다.

1학년 문제의 교과서에서는 이러한 개념을 사용하지 않습니다. 아이들은 2학년 때 명시적인 숫자 표현(이름 포함)을 접하게 됩니다.

가장 간단한 숫자 표현에는 덧셈과 뺄셈 기호만 포함됩니다(예: 30 - 5 + 7). 45 + 3; 8 - 2 - 1 등 위의 단계를 완료하면 표현식의 값을 얻습니다. 예: 30 - 5 + 7 = 32. 여기서 32는 표현식의 값입니다.

아이들이 초등학교 수학 과정에서 배우는 일부 표현에는 고유한 이름이 있습니다. 4 + 5 - 합계;

6 - 5 - 차이;

7 6 - 제품; 63:7 - 몫.

이러한 표현식에는 각 구성 요소에 대한 이름이 있습니다. 합계 구성 요소 - 가수; 차이의 구성 요소 - 감산 및 감산; 제품의 구성 요소는 요소입니다. 나눗셈의 구성 요소는 배당금과 제수입니다. 이 표현식의 값 이름은 표현식 이름과 일치합니다. 예를 들어 금액 값을 "sum"이라고 합니다. 몫의 의미는 "몫" 등으로 불립니다.

다음 유형의 수치식은 1단계 연산(덧셈과 뺄셈)과 괄호를 포함하는 표현식입니다. 아이들은 1학년이 되면 알게 됩니다. 이 유형의 표현식과 관련된 것은 괄호가 있는 표현식의 작업 실행 순서에 대한 규칙입니다. 즉, 괄호 안의 작업이 먼저 수행됩니다.

그 다음에는 괄호 없이 2단계 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)을 포함하는 수치식이 나옵니다. 이러한 유형의 표현식과 관련된 것은 괄호 없이 모든 산술 연산을 포함하는 표현식의 연산 순서에 대한 규칙입니다. 즉, 곱셈과 나눗셈의 연산은 덧셈과 뺄셈보다 먼저 수행됩니다.

마지막 유형의 숫자 ​​표현식은 괄호가 있는 2단계 연산을 포함하는 표현식입니다. 이러한 유형의 표현식과 관련된 것은 모든 산술 연산과 괄호를 포함하는 표현식의 연산 순서에 대한 규칙입니다. 즉, 괄호 안의 동작이 먼저 수행되고 그 다음 곱셈과 나눗셈 연산이 수행되고 그 다음 덧셈과 뺄셈 연산이 수행됩니다.

1. 대수 자료의 의미 초등교육수학.

2. 대수학 자료 공부의 문제점.

3. 대수 개념 작업 방법론.

4. 수학적 표현을 연구하는 방법.

5. 수치적 평등과 불평등을 연구하는 방법.

6. 방정식과 문제를 대수적으로 해결하도록 가르치는 방법.

7. 변수를 사용한 부등식 작업 방법론.

8. 초등 수학 교육의 기능적 예방학.

1. 초등 수학 교육에서 대수 자료의 중요성

a) 수학적 표현의 의미를 찾는 것;

b) 방정식과 부등식을 푸는 것;

a) 법칙 a×(b+c)=a×b+a×c;

b) 종속성, 규칙 a+b=c

4. 논리적, 이론적 사고의 발달.

5. 수학 추가 연구를 위한 준비.

저것. 대수학 자료는 산술 자료 연구에서 보조 기능을 수행합니다.

대수 자료는 산술 내용에 종속적인 위치를 차지하지만, 우선 대수 요소 도입 순서에서 나타나는 어느 정도 독립성을 갖습니다.

어떤 대수 개념이 소개되어 있습니까? 초기 코스수학? 수학에서는 어떻게 정의되나요? (OS No. 22 참조)

수학의 초등 과정에서는 그 어느 것도 공식적인 정의 수준에 이르지 못합니다. 그러므로 “무엇을 뭐라고 부르나요..?”라는 질문을 할 수 없습니다.

학생들은 용어를 올바르게 이해하고 실제 활동에서 올바르게 사용해야 합니다.

이해하다

용어 개체

적용하다

대수 개념 형성에 대한 작업은 단계적으로 수행됩니다.

1. 준비 작업.

2. 개념(용어) 소개.

3. 실제 활동의 통합.

준비 작업용어를 사용하지 않고 해당 객체로 작업하는 것을 포함합니다. 예를 들어:

가) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2?5; (51-48):(27:9) 등→“수학적 표현”의 개념을 소개한다.

나) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8?7=56 и т.п.→понятий “ равенство”, “ неравенство ”.

V) ? +4=6, a+4=6, x+4=12→eq.

따라서 준비단계에서는 구체적인 아이디어가 축적되고, 이는 다음 단계에서 일반화된다.

대수 개념이 소개됩니다.

a) 문맥상, 즉 새로운 용어의 의미가 본문 구절의 의미로부터 명확해진다. 예: “문자 x(x)는 알 수 없는 숫자를 나타냅니다. x+2=5는 방정식입니다. 방정식을 푸는 것은 알려지지 않은 숫자를 찾는 것을 의미합니다.”

b) 표면적으로, 대상에 단순히 이름을 붙이고 설명하는 경우. 예: "수학적 수학 표현"

이 경우에는 비교, 분석, 종합, 분류 등의 활용이 필요하다. 예를 들면: "평등은 불평등이다."

동화대수 개념은 특정 대표자와 함께 실제 활동에서 수행됩니다.

학생들은 적절한 단어, 즉 용어를 올바르게 이해하고 적용하는 방법을 배웁니다.

수학적 표현을 공부한다는 것은 무엇을 의미합니까? (OS N22 참조)

- 받아쓰기나 교과서를 통해 읽고 쓰는 법을 배웁니다.

— 조치를 수행하기 위한 절차 규칙에 대한 숙지;

- 계획에 따라 작업에 대한 표현을 작성합니다.

- 표현값의 계산

- 표현의 변환(동일)에 대한 숙지

- 표현의 비교.

오랫동안 심리학계에서는 중학생의 사고의 특성과 추상화를 형성할 수 없는 능력 때문에 대수학 요소를 초등학교가 아니라 고학년에서 공부해야 한다는 것이 지배적인 의견이었습니다. 더 높은 단계. 그러나 P.Ya Galperin, V.V. Davydov, D.B. Elkonin 등과 교사-A.I. Merkushevich, A.M. Pyshkalo 등은 특정 훈련 조직을 통해 일부 대수 개념의 내용을 완전히 익히십시오. 이를 바탕으로 1969년 초등학교 수학 교육과정에 대수학 자료가 포함되었다.

대수학 요소를 공부할 때 어린 학생들은 수치 표현, 수치 평등 및 부등식, 변수가 있는 부등식, 변수가 있는 표현, 두 개의 변수가 있는 방정식 및 방정식에 대한 초기 정보를 받습니다.

대수학 자료는 1학년부터 공부합니다. 산술 및 기하학과 밀접한 관련이 있습니다. 대수학 요소의 도입은 숫자, 산술 연산, 수학적 관계에 대한 개념의 일반화에 기여하는 동시에 아이들이 다음 학년에서 대수학을 공부할 수 있도록 준비시킵니다.

대수학 자료의 학습 및 내용의 주요 단계

1. 수치 표현 연구 방법론

숫자 표현 -

1. 모든 숫자는 숫자 표현입니다.

2. a와 b가 수치 표현식이면 그 합 a+b, 차이 a-b, 곱 a∙b 및 몫 a:b도 수치 표현식입니다.

수치식 값- 모든 작업을 수행한 결과 얻은 숫자입니다. 숫자로 표시됩니다.

수학 프로그램은 다음을 제공합니다.

행동 순서에 대한 규칙을 소개하고 이를 계산에 사용하는 방법을 가르칩니다.

학생들에게 표현의 동일한 변형을 소개합니다.

CV에 익숙해지는 방법은 3단계로 나눌 수 있습니다.

스테이지 1. 하나의 동작을 포함하는 표현 익히기 (합, 차이, 곱, 두 숫자의 몫).

첫 번째 표현인 합계에 대한 지식은 1학년 때 발생합니다. 농도 "10"을 공부할 때.

1. 세트에 대한 작업을 수행할 때 어린이는 먼저 덧셈과 뺄셈의 구체적인 의미를 배우므로 5 + 1,6-2 형식의 표기법에서 "추가"라는 단어의 짧은 지정으로 동작의 징후를 이해합니다. , "뺄셈"(읽기: 5에 1을 더하면 6이 되고, 6에서 2를 빼면 6이 됩니다. 4).

2. 앞으로는 이러한 행동의 개념이 더욱 심화될 것입니다. 학생들은 몇 단위를 더하면 같은 단위만큼 숫자가 늘어나고, 숫자를 빼면 같은 단위만큼 숫자가 줄어든다는 것을 배웁니다.

(독서: 5는 1씩 증가, 6은 2씩 감소).

3. 그런 다음 아이들은 "더하기", "빼기"라는 동작 기호의 이름을 배웁니다.

(독서: 5 더하기 1,6 빼기 1).

4. 아이들은 이력서 구성 요소의 이름을 배웁니다.

(읽기: 1항. 5, 2항 1, 합은 6과 같음).

거의 같은 방식으로 차이(1등급), 곱 및 몫(2등급) 표현식에 대한 작업이 진행 중입니다.

2단계. 한 단계의 작업이 포함된 CV 숙지 .

괄호가 있는 표현식을 공부하기 전에 학생들에게 8+1-7 10-5+4 형식의 표현식이 제공됩니다.

이 경우 타원으로 둘러싸인 표현식의 값을 먼저 찾은 다음 결과 결과에서 사각형의 숫자를 뺍니다. 이 경우 학생들은 암시적 형식의 작업 순서에 대한 규칙을 사용하고 처음으로 동일한 변환(8+1-7=9-7=2)을 수행합니다.

나중에 대괄호 6+4-1=(6+4)-1이 도입됩니다.

규칙은 다음과 같이 구성됩니다. 괄호 안에 적힌 작업이 먼저 수행됩니다..

도입된 규칙을 익히기 위해 다양한 훈련 연습이 포함되어 있습니다. 동시에 아이들은 다음 표현을 올바르게 읽고 쓰는 법을 배웁니다.

작성 및 계산: .

1. 9와 7의 합에서 10을 뺍니다.

2. 9와 7의 차이를 10에 더합니다.

이어서, 수치 표현의 개념(표현형, 표시)과 수치 표현의 의미를 소개합니다. 2개 수업 와 함께. 68

그 후 아이들은 표현을 읽거나 적고, 그 의미를 찾아 스스로 표현을 만들어 냅니다.

새로운 용어를 익히면 표현을 새로운 방식으로 읽을 수 있습니다( 표현 쓰기, 표현의 의미 찾기, 표현 비교하기등) 2학년 p.58 No. 1,2,6; p.69 2호.

복잡한 표현에서는 표현을 연결하는 동작 기호가 이중 의미를 가지며 이는 학생들에게 드러납니다.

강의 7. 다각형의 둘레 개념

1. 대수학 요소를 고려하는 방법론.

2. 수치적 평등과 불평등.

3. 변수에 익숙해질 준비를 합니다. 문자 기호의 요소입니다.

4. 변수와의 부등식.

5. 방정식

1. 초기 수학 과정에 대수학 요소를 도입하면 훈련 초기부터 표현, 평등, 불평등, 방정식과 같은 중요한 수학적 개념을 어린이에게 개발하는 것을 목표로 하는 체계적인 작업을 수행할 수 있습니다. 아이들에게 알려진 숫자 분야의 숫자를 나타내는 기호로 문자를 사용하는 것에 익숙해지는 것은 초기 과정에서 산술 이론의 많은 문제를 일반화하기 위한 조건을 만들고 미래에 아이들에게 수학 개념을 소개하기 위한 좋은 준비가 됩니다. 함수의 변수. 문제 해결을 위한 대수적 방법의 사용에 대한 사전 지식을 통해 아이들에게 다양한 단어 문제를 해결하도록 가르치는 전체 시스템을 크게 개선할 수 있습니다.

작업: 1. 숫자식을 읽고, 쓰고, 비교하는 능력을 길러줍니다.2. 학생들에게 수치 표현에서 동작 순서를 수행하는 규칙을 소개하고 이 규칙에 따라 표현의 값을 계산하는 능력을 개발합니다.3. 학생들의 읽기 능력, 글자 표현 쓰기, 글자의 의미를 고려하여 그 의미를 계산하는 능력을 개발합니다.4. 학생들에게 1단계와 2단계의 동작을 포함하는 1차 방정식을 익히고, m/y 구성요소와 산술 연산의 결과.

초등학교 프로그램은 학생들에게 문자 기호의 사용을 소개하고, 1차 방정식을 미지수로 풀고, 이를 한 단계로 문제에 적용하는 방법을 제공합니다. 이러한 질문은 숫자의 형성과 산술 연산에 기여하는 산술 자료와 긴밀히 연관되어 연구됩니다.

훈련 첫날부터 학생들 간의 평등 개념을 개발하기 시작합니다. 처음에 아이들은 많은 물건을 비교하고, 불평등한 그룹을 동일하게 만들고, 동일한 그룹을 불평등한 그룹으로 변환하는 방법을 배웁니다. 이미 12개의 숫자를 공부할 때 비교 연습이 도입되었습니다. 첫째, 객체에 대한 지원을 받아 수행됩니다.

표현의 개념은 산술 연산의 개념과 밀접하게 관련되어 어린 학생들에게서 형성됩니다. 표현 작업 방법에는 두 단계가 포함됩니다. 1에서는 가장 간단한 표현(합, 차이, 곱, 두 수의 몫)의 개념이 형성되고, 2에서는 복잡한 표현(곱과 수의 합, 두 몫의 차이 등)에 대한 개념이 형성됩니다. . "수학적 표현"과 "수학적 표현의 의미"라는 용어가 소개됩니다(정의 없이). 하나의 활동에 여러 가지 예를 기록한 후 교사는 이러한 예를 메타수학적 표현이라고 부른다고 알려줍니다. 산술 연산을 공부할 때 표현식 비교 연습이 포함됩니다. 절차 규칙을 연구합니다. 이 단계의 목표는 학생들의 실용적인 기술을 바탕으로 그러한 표현에서 동작을 수행하는 순서에 주의를 기울이고 적절한 규칙을 공식화하는 것입니다. 학생들은 교사가 선택한 예를 독립적으로 풀고 각 예에서 작업을 수행한 순서를 설명합니다. 그런 다음 그들은 스스로 결론을 공식화하거나 교과서에서 읽습니다. 표현식의 동일 변환은 주어진 표현식을 주어진 표현식의 값과 같은 값을 갖는 다른 표현식으로 대체하는 것입니다. 학생들은 산술 연산의 속성과 그로 인해 발생하는 결과(숫자에 합을 더하는 방법, 합에서 숫자를 빼는 방법, 숫자에 곱을 곱하는 방법 등)에 의존하여 이러한 표현식 변환을 수행합니다. ). 각 속성을 공부할 때 학생들은 특정 유형의 표현에서 동작이 다른 방식으로 수행될 수 있지만 표현의 의미는 변하지 않는다는 것을 확신하게 됩니다.

2. 숫자 표현은 처음부터 숫자가 같음과 같지 않음과 불가분의 관계로 간주됩니다. 수치적 등식과 부등식은 "참"과 "거짓"으로 구분됩니다. 작업: 숫자 비교, 산술 표현식 비교, 미지수로 단순 불평등 풀기, 불평등에서 평등으로, 평등에서 불평등으로 이동

1. 산술 연산에 대한 학생들의 지식과 그 적용을 명확히 하기 위한 연습입니다. 학생들에게 산술 연산을 소개할 때 5+3과 5-3 형식의 표현이 비교됩니다. 8*2 및 8/2. 먼저 각각의 값을 찾고 결과 숫자를 비교하여 표현식을 비교합니다. 앞으로는 두 숫자의 합이 차이보다 크고 결과가 몫보다 크다는 사실을 기반으로 작업이 수행됩니다. 계산은 결과를 확인하는 데에만 사용됩니다. 덧셈과 곱셈의 관계에 대한 학생들의 지식을 강화하기 위해 7+7+7과 7*3 형식의 표현을 비교합니다.

비교 과정에서 학생들은 산술 연산을 수행하는 순서에 익숙해집니다. 먼저 16 - (1+6) 형식의 괄호를 포함하는 표현식을 고려합니다.

2. 이후에는 1도와 2도의 동작을 포함하는 괄호 없는 표현의 동작 순서를 고려합니다. 학생들은 예제를 완성하면서 이러한 의미를 배웁니다. 먼저, 한 수준의 동작을 포함하는 표현의 동작 순서가 고려됩니다(예: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3). 동시에 아이들은 표현에 덧셈과 뺄셈만 포함되거나 곱셈만 포함되어 있는지 배워야 합니다. 그리고 나눗셈을 수행한 후, 기록한 순서대로 수행됩니다. 그런 다음 두 단계의 동작을 포함하는 표현이 소개됩니다. 학생들에게 이러한 표현식에서는 먼저 곱셈과 나눗셈 연산을 순서대로 수행한 다음 덧셈과 뺄셈을 수행해야 한다는 점을 알려줍니다. 예: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. 학생들에게 동작 순서를 따라야 한다는 점을 설득하려면 동일한 표현을 다른 순서로 수행하고 결과를 비교하는 것이 유용합니다.

3. 학생들이 산술 연산의 구성 요소와 결과 사이의 관계에 대한 지식을 배우고 통합하는 연습입니다. 숫자 10을 배울 때 이미 켜집니다.

이 연습 그룹에서 학생들은 구성 요소 중 하나의 변경에 따라 작업 결과가 변경되는 사례를 소개합니다. 항 중 하나를 바꾸거나(6+3, 6+4) 8-2, 9-2 등으로 줄여서 표현한 것을 비교합니다. 표의 곱셈과 나눗셈을 공부할 때도 유사한 작업이 포함되며 계산(5*3 및 6*3, 16:2 및 18:2) 등을 사용하여 수행됩니다. 앞으로는 계산에 의존하지 않고 이러한 표현식을 비교할 수 있습니다.

고려된 연습은 프로그램 자료와 밀접하게 관련되어 있으며 프로그램의 동화에 기여합니다. 이와 함께 숫자와 표현을 비교하는 과정에서 학생들은 첫 번째 아이디어를 얻습니다. 평등과 불평등에 대해.

따라서 "평등"과 "불평등"이라는 용어가 아직 사용되지 않은 1학년에서 교사는 어린이가 수행한 계산의 정확성을 확인할 때 다음 형식으로 질문할 수 있습니다. “Kolya는 8을 6에 더했습니다. 15점을 얻었습니다. 이 결정이 맞나요, 틀렸나요? 또는 아이들에게 주어진 예에 대한 답을 확인하고 올바른 항목을 찾는 등의 연습을 제공하세요. 마찬가지로, 5형식의 수치적 부등식을 고려할 때<6,8>4개 이상의 복잡한 항목의 경우 교사는 "이 항목이 정확합니까?"라는 형식으로 질문할 수 있으며, 불평등을 도입한 후 "이 불평등이 정확합니까?"라고 질문할 수 있습니다.

1학년부터 아이들은 산술 이론의 학습 요소(번호 매기기, 동작의 의미 등)를 적용하여 수행되는 수치 표현의 변형에 익숙해집니다. 예를 들어, 숫자 계산에 대한 지식과 숫자의 자릿값을 바탕으로 학생들은 숫자를 자릿수 부분의 합으로 표현할 수 있습니다. 이 기술은 많은 계산 기술의 표현과 관련하여 표현 변환을 고려할 때 사용됩니다.

이러한 변화와 관련하여 이미 1학년이 된 아이들은 평등의 "체인"에 직면합니다.