중요하지 않은 해결책이 존재하는지 알아보기 위해 동종 시스템을 조사합니다. 선형 방정식의 균질 시스템이란 무엇입니까?

선형 시스템 솔루션 대수 방정식(SLAE)는 선형대수학 과정에서 의심할 여지 없이 가장 중요한 주제입니다. 엄청난 양수학의 모든 분야의 문제가 시스템 해결로 축소됩니다. 선형 방정식. 이러한 요소가 이 기사의 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성되었습니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
선택한 방법의 이론을 연구하고,
일반적인 예와 문제에 대한 자세한 솔루션을 고려하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

기사 자료에 대한 간략한 설명입니다.

먼저 필요한 모든 정의, 개념을 제공하고 표기법을 소개합니다.

다음으로, 방정식의 수가 미지 변수의 수와 동일하고 고유한 해를 갖는 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 방법을 고려할 것입니다. 첫째, Cramer 방법에 초점을 맞추고, 둘째, 이러한 방정식 시스템을 해결하기 위한 행렬 방법을 보여주고, 셋째, Gauss 방법을 분석합니다. 순차적 제거알 수 없는 변수). 이론을 통합하기 위해 여러 SLAE를 다양한 방식으로 해결할 것입니다.

그런 다음 방정식의 수가 미지 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주 행렬이 단수인 일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 방법으로 넘어갑니다. SLAE의 호환성을 확립할 수 있는 Kronecker-Capelli 정리를 공식화해 보겠습니다. 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환 가능한 경우)을 분석해 보겠습니다. 기본 부전공행렬. 또한 가우스 방법을 고려하고 예제에 대한 솔루션을 자세히 설명합니다.

우리는 선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션의 구조에 대해 확실히 설명할 것입니다. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제시하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션이 어떻게 작성되는지 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로 우리는 선형 방정식으로 축소될 수 있는 방정식 시스템을 고려할 것입니다. 다양한 업무, SLAE가 발생하는 솔루션에서.

페이지 탐색.

정의, 개념, 지정.

우리는 다음 형식의 n개의 미지 변수(p는 n과 동일할 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수 - 계수(일부 실수 또는 복소수) - 자유 항(실수 또는 복소수).

이러한 형태의 녹음 SLAE를 SLAE라고 합니다. 동등 어구.

안에 행렬 형태이 방정식 시스템을 작성하면 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디 - 시스템의 주 행렬 - 알 수 없는 변수의 열 행렬 - 자유 항의 열 행렬

자유 항의 행렬 열을 행렬 A에 (n+1)번째 열로 추가하면 소위 다음을 얻습니다. 확장 행렬선형 방정식 시스템. 일반적으로 확장 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 용어 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다.

선형 대수 방정식 시스템 풀기시스템의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 알 수 없는 변수의 값 집합이라고 합니다. 알 수 없는 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식이 됩니다.

연립방정식에 적어도 하나의 해가 있는 경우 이를 다음이라고 합니다. 관절.

방정식 시스템에 해가 없으면 이를 호출합니다. 비관절.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 SLAE라고 합니다. 확실한; 솔루션이 두 개 이상인 경우 – 불확실한.

시스템의 모든 방정식의 자유 항이 0인 경우 , 시스템이 호출됩니다. 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템을 해결합니다.

시스템의 방정식 수가 알 수 없는 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 SLAE가 호출됩니다. 초등학교. 이러한 방정식 시스템은 고유한 해를 가지며, 동차 시스템의 경우 모든 미지 변수는 0과 같습니다.

우리는 그러한 SLAE를 연구하기 시작했습니다. 고등학교. 문제를 풀 때 우리는 하나의 방정식을 선택하고, 하나의 미지 변수를 다른 방정식으로 표현하고 이를 나머지 방정식에 대입한 다음, 다음 방정식을 선택하고, 다음 미지 변수를 표현하고 이를 다른 방정식에 대체하는 등의 작업을 수행했습니다. 또는 그들은 추가 방법을 사용했습니다. 즉, 일부 알려지지 않은 변수를 제거하기 위해 두 개 이상의 방정식을 추가했습니다. 이러한 방법은 본질적으로 Gauss 방법을 수정한 것이므로 자세히 설명하지 않겠습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법으로는 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법이 있습니다. 그것들을 정리해보자.

Cramer의 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 한다고 가정합니다.

여기서 방정식의 수는 미지 변수의 수와 같고 시스템의 주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

시스템의 주요 행렬의 결정자가 되도록 하고, - 대체에 의해 A로부터 얻은 행렬의 행렬식 첫째, 둘째, ..., n번째열을 자유 멤버 열에 각각:

이 표기법을 사용하면 다음과 같은 Cramer 방법의 공식을 사용하여 미지 변수가 계산됩니다. . 이것이 Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템의 해를 구하는 방법입니다.

예.

크레이머의 방법 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 행렬식을 계산해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주 행렬의 행렬식은 0이 아니므로 시스템은 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 해를 갖습니다.

필요한 행렬식을 구성하고 계산해 봅시다 (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬식은 두 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬 A의 세 번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다.) :

수식을 사용하여 알려지지 않은 변수 찾기 :

답변:

Cramer 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있는 경우)은 시스템의 방정식 수가 3개보다 많은 경우 행렬식을 계산하는 것이 복잡하다는 것입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어지며, 여기서 행렬 A는 n x n 차원을 갖고 행렬식은 0이 아닙니다.

, 행렬 A는 가역행렬이므로, 즉 역행렬이 있습니다. 등식의 양쪽에 왼쪽을 곱하면 알 수 없는 변수의 행렬 열을 찾는 공식을 얻습니다. 이것이 행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 얻은 방법입니다.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 매트릭스 방법.

해결책.

방정식 시스템을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

왜냐하면

그러면 SLAE는 행렬 방법을 사용하여 풀 수 있습니다. 사용하여 역행렬이 시스템에 대한 해결책은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A 요소의 대수적 추가로 얻은 행렬을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

역행렬을 곱하여 알려지지 않은 변수의 행렬을 계산하는 것이 남아 있습니다. 무료 회원의 매트릭스 열에 (필요한 경우 기사 참조):

답변:

또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해를 찾을 때 주요 문제는 특히 역행렬을 찾는 것이 복잡하다는 것입니다. 정사각형 행렬세 번째보다 높은 순서.

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다.

n개의 알 수 없는 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다.
주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 먼저, 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 x 1을 제외하고, 세 번째부터 시작하여 x 2를 모든 방정식에서 제외하는 식으로, 알 수 없는 변수 x n만 남을 때까지 계속됩니다. 마지막 방정식에서. 미지의 변수를 순차적으로 제거하기 위해 시스템 방정식을 변환하는 과정을 호출합니다. 직접 가우스 방법. 가우시안 방법의 전진 스트로크를 완료한 후 마지막 방정식에서 xn을 찾고, 두 번째 방정식에서 이 값을 사용하여 xn-1을 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x1을 찾습니다. 계의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지수를 계산하는 과정을 소위 가우스 방법의 반대.

알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 항상 시스템의 방정식을 재배열함으로써 이를 달성할 수 있기 때문에 이라고 가정합니다. 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 알 수 없는 변수 x 1을 제거해 보겠습니다. 이를 위해 시스템의 두 번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 세 번째 방정식에 추가하고 첫 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지 변수로 표현하고 결과 표현식을 다른 모든 방정식에 대입했다면 동일한 결과에 도달했을 것입니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 비슷한 방식으로 진행하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이를 위해 시스템의 세 번째 방정식에 를 곱한 두 번째 방정식을 네 번째 방정식에 추가하고 두 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 두 번째 방정식을 곱한 를 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 . 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로, 알려지지 않은 x 3 제거를 진행하면서 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 작동합니다.

따라서 우리는 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 진행을 계속합니다.

이 순간부터 우리는 가우스 방법의 반대를 시작합니다. 마지막 방정식에서 xn을 다음과 같이 계산하고, 얻은 xn 값을 사용하여 두 번째 방정식에서 xn-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1을 찾습니다. .

예.

선형 방정식 시스템 풀기 가우스 방법.

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지 변수 x 1을 제외해 보겠습니다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 양쪽에 첫 번째 방정식의 해당 부분을 각각 곱한 값을 추가합니다.

이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제거합니다.

이로써 가우스 방법의 전방향 스트로크가 완료되고 역방향 스트로크가 시작됩니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식으로부터 우리는 를 얻습니다.

첫 번째 방정식에서 나머지 미지의 변수를 찾아 가우스 방법의 역을 완성합니다.

답변:

X 1 = 4, X 2 = 0, X 3 = -1.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

일반적으로 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 정사각형 및 단수인 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커-카펠리 정리.

선형 방정식 시스템의 해를 찾기 전에 호환성을 확립해야 합니다. SLAE가 호환되는 경우와 일관성이 없는 경우에 대한 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 동일할 수 있음)가 있는 p 방정식 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같아야 합니다. 즉, , 순위(A)=순위(T).

일례로 선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위해 Kronecker-Capelli 정리를 적용하는 것을 고려해 보겠습니다.

예.

선형 방정식 시스템이 다음을 가지고 있는지 알아보세요. 솔루션.

해결책.

. 미성년자를 경계하는 방법을 활용해보자. 두 번째 순서의 마이너 제로와는 다릅니다. 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

3차 경계에 있는 모든 마이너는 0이므로 주 행렬의 순위는 2와 같습니다.

확장된 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 미성년자는 3차이므로 3과 같습니다.

제로와는 다릅니다.

따라서, 따라서 Rang(A)는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 원래 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변:

시스템에는 해결책이 없습니다.

그래서 우리는 크로네커-카펠리 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 확립하는 방법을 배웠습니다.

하지만 호환성이 확립된 경우 SLAE에 대한 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기저 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.

미성년자 최고 순위 0이 아닌 행렬 A를 호출합니다. 기초적인.

기초 마이너의 정의에 따르면 그 순서는 행렬의 순위와 동일합니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 여러 개의 기본 마이너가 있을 수 있습니다. 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.

예를 들어, 행렬을 고려해보세요 .

이 행렬의 세 번째 행 요소는 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이므로 이 행렬의 모든 3차 마이너는 0과 같습니다.

다음 2차 미성년자는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차 행렬의 순위가 r과 같으면 선택된 기저 마이너를 형성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 다음을 형성하는 해당 행(및 열) 요소로 선형적으로 표현됩니다. 기초 마이너.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 말해주는가?

Kronecker-Capelli 정리에 따라 시스템의 호환성을 확립한 경우 시스템의 기본 행렬의 기본 마이너(차수는 r과 동일)를 선택하고 다음을 수행하는 모든 방정식을 시스템에서 제외합니다. 선택된 기초 미성년자를 형성하지 않습니다. 이러한 방식으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래 방정식과 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합입니다).

결과적으로 시스템의 불필요한 방정식을 버린 후에는 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템의 방정식 r의 수가 미지 변수의 수와 같으면 이는 명확해지며 유일한 해는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 찾을 수 있습니다.

예.

해결책.

시스템의 주요 매트릭스 순위 마이너가 2차이므로 2와 같습니다. 제로와는 다릅니다. 확장된 매트릭스 순위 유일한 3차 마이너가 0이기 때문에 는 2와 같습니다.

위에서 고려한 2차 마이너는 0과 다릅니다. 크로네커-카펠리 정리에 기초하여 순위(A)=순위(T)=2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

기본 미성년자로서 우리는 . 이는 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.

시스템의 세 번째 방정식은 기초 마이너 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위에 대한 정리를 기반으로 하는 시스템에서 이를 제외합니다.

이것이 우리가 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻은 방법입니다. Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.

답변:

x 1 = 1, x 2 = 2.

결과 SLAE에서 방정식의 개수 r인 경우 적은 수알려지지 않은 변수 n, 방정식의 왼쪽에 기저 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 반대 부호를 사용하여 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다.

방정식의 왼쪽에 남아 있는 미지 변수(r개)를 호출합니다. 기본.

오른쪽에 있는 알 수 없는 변수(n – r개 조각이 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 우리는 자유 미지 변수가 임의의 값을 취할 수 있는 반면, r개의 주요 미지 변수는 고유한 방식으로 자유 미지 변수를 통해 표현될 것이라고 믿습니다. 그 표현은 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 결과 SLAE를 풀어서 찾을 수 있습니다.

예를 들어 살펴 보겠습니다.

예.

선형 대수 방정식 시스템 풀기 .

해결책.

시스템의 주요 행렬의 순위를 찾아봅시다 미성년자를 경계하는 방법으로. 1 1 = 1을 1차의 0이 아닌 마이너로 가정해 보겠습니다. 이 마이너와 경계를 이루는 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너 검색을 시작해 보겠습니다.

이것이 우리가 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너를 찾은 방법입니다. 세 번째 순서의 0이 아닌 경계 미성년자를 검색해 보겠습니다.

따라서 메인 매트릭스의 랭크는 3이다. 확장 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관성이 있습니다.

발견된 3차의 0이 아닌 마이너를 기본으로 사용합니다.

명확성을 위해 기본 마이너를 구성하는 요소를 표시합니다.

우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기저 마이너와 관련된 항을 남겨두고 반대 기호가 있는 나머지를 오른쪽으로 옮깁니다.

무료로 알려지지 않은 변수 x 2 및 x 5에 임의의 값을 부여해 보겠습니다. 즉, 다음을 받아들입니다. , 임의의 숫자는 어디에 있습니까? 이 경우 SLAE는 다음과 같은 형식을 취합니다.

Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식의 결과 기본 시스템을 풀어 보겠습니다.

따라서, .

답변에 알 수 없는 무료 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

답변:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약하다.

일반 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 결정합니다. 기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 호환되지 않는다고 결론을 내립니다.

기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 마이너를 선택하고 선택된 기본 마이너의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 폐기합니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기초 미성년자의 차수가 알려지지 않은 변수의 수보다 적다면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 알려지지 않은 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 제공합니다. 무료 알려지지 않은 변수. 선형 방정식의 결과 시스템에서 우리는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 주요 미지 변수를 찾습니다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법은 일관성을 먼저 테스트하지 않고도 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 비호환성에 대한 결론을 도출할 수 있으며, 솔루션이 존재하면 이를 찾는 것도 가능해집니다.

계산적인 관점에서는 가우스 방법이 더 바람직합니다.

조심해 상세 설명일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 가우스 방법 기사의 예를 분석했습니다.

기본 해 시스템의 벡터를 사용하여 동차 및 비동차 선형 대수 시스템에 대한 일반 해를 작성합니다.

이 섹션에서는 무한한 수의 해를 갖는 선형 대수 방정식의 동차 및 비동차 동시 시스템에 대해 설명합니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

솔루션의 기본 시스템 n개의 미지 변수를 갖는 p 선형 대수 방정식의 동차 시스템은 이 시스템의 (n – r) 선형 독립 해의 모음입니다. 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기저 마이너 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 해를 X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) 은 차원 n의 열 행렬로 나타냅니다. 1)에 의해 이 동종 시스템의 일반 해는 기본 해 시스템의 벡터와 임의의 해의 선형 조합으로 표현됩니다. 상수 계수 C 1, C 2, ..., C (n-r), 즉 .

동질적인 선형 대수 방정식 시스템의 일반해(oroslau)라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식이 모든 것을 설정합니다. 가능한 해결책즉, 원래 SLAE, 즉 공식에 따라 임의의 상수 C 1, C 2, ..., C (n-r) 값 세트를 취하면 원래의 동종 SLAE에 대한 솔루션 중 하나를 얻을 수 있습니다.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

동질적인 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템을 구축하는 과정을 보여드리겠습니다.

우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기초 마이너를 선택하고 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고 자유 미지 변수를 포함하는 모든 항을 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 무료 미지수 변수에 1,0,0,...,0 값을 부여하고 예를 들어 Cramer 방법을 사용하여 어떤 방식으로든 선형 방정식의 기본 시스템을 풀어 주요 미지수를 계산해 보겠습니다. 그러면 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)이 생성됩니다. 무료 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 제공하고 주요 미지수를 계산하면 X(2)를 얻습니다. 등등. 0.0,…,0.1 값을 자유 미지수에 할당하고 주요 미지수를 계산하면 X(n-r)을 얻습니다. 이렇게 구축될 예정입니다 기본 시스템동종 SLAE의 솔루션과 일반 솔루션은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 불균일 시스템의 경우 일반 해는 다음 형식으로 표시됩니다. 여기서 는 해당 동차 시스템의 일반 해이고 는 원래 불균일 SLAE의 특정 해입니다. 이는 자유 미지수에 값을 제공하여 얻습니다. 0,0,...,0 및 주요 미지수의 값을 계산합니다.

예를 살펴 보겠습니다.

예.

해의 기본 시스템과 선형 대수 방정식의 동차 시스템의 일반 해 찾기 .

해결책.

선형 방정식의 동차 시스템의 기본 행렬의 순위는 항상 확장 행렬의 순위와 같습니다. 마이너 경계법을 이용하여 메인행렬의 랭크를 구해보자. 1차의 0이 아닌 마이너로서 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 사용합니다. 두 번째 차수의 0이 아닌 경계에 있는 마이너를 찾아보겠습니다.

0이 아닌 2차의 마이너가 발견되었습니다. 0이 아닌 것을 찾기 위해 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

모든 3차 경계 마이너는 0이므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2입니다. 해 보자 . 명확성을 위해 이를 구성하는 시스템 요소를 살펴보겠습니다.

원본 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 마이너 구성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다.

주요 미지수를 포함하는 항은 방정식의 우변에 남겨두고 자유 미지수가 있는 항은 우변으로 옮깁니다.

원래의 동차 선형 방정식 시스템에 대한 기본 해 시스템을 구축해 보겠습니다. 이 SLAE의 기본 솔루션 시스템은 두 가지 솔루션으로 구성됩니다. 원래 SLAE에는 4개의 미지 변수가 포함되어 있고 기본 마이너의 차수는 2와 같기 때문입니다. X (1)을 찾기 위해 무료 미지 변수에 x 2 = 1, x 4 = 0 값을 제공한 다음 방정식 시스템에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

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그것이 무엇인지 이해하려면 기본 의사결정 시스템클릭하면 동일한 예에 대한 비디오 튜토리얼을 볼 수 있습니다. 이제 필요한 모든 작업에 대한 실제 설명으로 넘어 갑시다. 이는 이 문제의 본질을 더 자세히 이해하는 데 도움이 될 것입니다.

선형 방정식에 대한 기본 해법 시스템을 찾는 방법은 무엇입니까?

다음과 같은 선형 방정식 시스템을 예로 들어 보겠습니다.

이에 대한 해결책을 찾아보자 선형 시스템방정식 우선, 우리는 시스템의 계수 행렬을 작성해야 합니다.

이 행렬을 삼각형 행렬로 변환해 보겠습니다.변경 없이 첫 번째 줄을 다시 작성합니다. 그리고 $a_(11)$ 아래에 있는 모든 요소는 0으로 만들어야 합니다. $a_(21)$ 요소 대신 0을 만들려면 두 번째 줄에서 첫 번째 값을 빼고 두 번째 줄에 그 차이를 써야 합니다. $a_(31)$ 요소 대신 0을 만들려면 세 번째 줄에서 첫 번째 값을 빼고 그 차이를 세 번째 줄에 써야 합니다. $a_(41)$ 요소 대신 0을 만들려면 네 번째 줄에서 첫 번째 곱셈 2를 빼고 그 차이를 네 번째 줄에 써야 합니다. $a_(31)$ 요소 대신 0을 만들려면 다섯 번째 줄에서 첫 번째 곱셈 2를 빼고 그 차이를 다섯 번째 줄에 써야 합니다.

첫 번째와 두 번째 줄은 변경 없이 다시 작성합니다. 그리고 $a_(22)$ 아래에 있는 모든 요소는 0으로 만들어야 합니다. $a_(32)$ 요소 대신 0을 만들려면 세 번째 줄에서 두 번째 값에 2를 곱한 값을 빼고 그 차이를 세 번째 줄에 써야 합니다. $a_(42)$ 요소 대신 0을 만들려면 네 번째 줄에서 두 번째 곱하기 2를 빼고 그 차이를 네 번째 줄에 써야 합니다. $a_(52)$ 요소 대신 0을 만들려면 다섯 번째 줄에서 두 번째 곱하기 3을 빼고 그 차이를 다섯 번째 줄에 써야 합니다.

우리는 그것을 본다 마지막 3줄은 똑같습니다이므로 네 번째와 다섯 번째에서 세 번째를 빼면 0이 됩니다.

이 매트릭스에 따르면 새로운 방정식 시스템을 작성하다.

우리는 단지 3개의 선형 독립 방정식과 5개의 미지수만 가지고 있으므로 해의 기본 시스템은 2개의 벡터로 구성된다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 우리는 마지막 두 개의 미지수를 오른쪽으로 이동해야 합니다..

이제 우리는 오른쪽에 있는 것을 통해 왼쪽에 있는 미지수를 표현하기 시작합니다. 마지막 방정식으로 시작하여 먼저 $x_3$을 표현한 다음 결과 결과를 두 번째 방정식에 대체하고 $x_2$를 표현한 다음 첫 번째 방정식에 $x_1$을 표현합니다. 따라서 오른쪽에 있는 미지수를 통해 왼쪽에 있는 모든 미지수를 표현했습니다.

그런 다음 $x_4$ 및 $x_5$ 대신 숫자를 대체하여 $x_1$, $x_2$ 및 $x_3$을 찾을 수 있습니다. 이 숫자 각각은 원래 방정식 시스템의 근이 됩니다. 포함된 벡터를 찾으려면 FSR$x_4$ 대신 1을 대체하고 $x_5$ 대신 0을 대체해야 합니다. $x_1$, $x_2$ 및 $x_3$을 찾은 다음 그 반대로 $x_4=0$ 및 $x_5=1$을 찾습니다.

선형 대수 방정식의 동차 시스템

수업의 일환으로 가우스 방법그리고 공통 솔루션과 호환되지 않는 시스템/시스템우리는 고려했다 선형 방정식의 불균일 시스템, 어디 무료 회원(보통 오른쪽에 있음) 적어도 하나방정식에서 0과 달랐습니다.
그리고 지금은 워밍업을 잘 마친 후 행렬 순위, 우리는 계속해서 기술을 연마할 것입니다 기본 변환~에 동차 선형 방정식 시스템.
첫 번째 단락에 따르면 자료가 지루하고 평범해 보일 수 있지만 이러한 인상은 기만적입니다. 기술이 더욱 발전하는 것 외에도 많은 새로운 정보가 있을 것이므로 이 기사의 예를 무시하지 마십시오.

선형 방정식의 동차 시스템이란 무엇입니까?

대답은 그 자체를 암시합니다. 자유 항이 다음과 같은 경우 선형 방정식 시스템은 동차입니다. 모든 사람시스템의 방정식은 0입니다. 예를 들어:

그것은 절대적으로 분명합니다 동질적인 시스템은 항상 일관적이다즉, 항상 해결책이 있습니다. 그리고 우선, 눈길을 끄는 것은 소위 말하는 것입니다. 하찮은해결책 . Trivial은 형용사의 의미를 전혀 이해하지 못하는 사람들에게 과시하지 않는 것을 의미합니다. 물론 학술적으로는 아니지만 이해하기 쉽게 =) ...왜 이리저리 헤매는지 이 시스템에 다른 솔루션이 있는지 알아봅시다.

실시예 1

해결책: 동종 시스템을 해결하려면 다음을 작성해야 합니다. 시스템 매트릭스그리고 기본적인 변형을 통해 계단식 형태로 만듭니다. 여기에는 자유 용어의 수직 막대와 0 열을 기록할 필요가 없습니다. 결국 0으로 무엇을 하든 0으로 유지됩니다.

(1) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되고 –3이 곱해졌습니다.

(2) 두 번째 줄을 세 번째 줄에 추가하고 -1을 곱했습니다.

세 번째 줄을 3으로 나누는 것은 별 의미가 없습니다.

기본 변환의 결과로 등가의 균질 시스템이 얻어집니다. , 그리고 가우스 방법의 역을 사용하면 솔루션이 고유하다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

답변:

확실한 기준을 세워보자: 선형 방정식의 균질 시스템은 다음을 갖습니다. 그냥 사소한 해결책, 만약에 시스템 매트릭스 순위(이 경우 3)은 변수 수(이 경우 – 3개)와 같습니다.

기본적인 변화의 물결에 맞춰 라디오를 준비하고 조정해 봅시다.

실시예 2

선형 방정식의 동차 시스템 풀기

기사에서 행렬의 순위를 찾는 방법은 무엇입니까?행렬 수를 동시에 줄이는 합리적인 기술을 떠올려 보겠습니다. 그렇지 않으면 크고 자주 물어뜯는 물고기를 잘라야 합니다. 수업이 끝나면 작업의 대략적인 예입니다.

0은 훌륭하고 편리하지만 실제로는 시스템 행렬의 행이 다음과 같은 경우에 훨씬 더 일반적입니다. 선형 종속. 그리고 일반적인 해결책의 출현은 불가피합니다.

실시예 3

선형 방정식의 동차 시스템 풀기

해결책: 시스템의 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계적 형태로 가져옵니다. 첫 번째 작업은 단일 값을 얻는 것뿐만 아니라 첫 번째 열의 숫자를 줄이는 것도 목표로 합니다.

(1) 첫 번째 줄에 세 번째 줄을 추가하고 –1을 곱했습니다. 세 번째 줄이 두 번째 줄에 추가되고 –2가 곱해졌습니다. 왼쪽 상단에는 추가 변환에 훨씬 더 편리한 "마이너스"가 있는 단위가 있습니다.

(2) 처음 두 줄은 동일하며 그 중 하나가 삭제되었습니다. 솔직히 저는 해결책을 강요하지 않았습니다. 결과는 그렇게 되었습니다. 템플릿 방식으로 변환을 수행하는 경우 선형 의존성라인은 조금 나중에 공개되었을 것입니다.

(3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 3을 곱했습니다.

(4) 첫 번째 줄의 부호가 변경되었습니다.

기본 변환의 결과로 동등한 시스템이 얻어졌습니다.

알고리즘은 다음과 정확히 동일하게 작동합니다. 이기종 시스템. "계단에 앉아 있는" 변수가 주요 변수이고, "계단"을 얻지 못한 변수는 무료입니다.

기본 변수를 자유 변수를 통해 표현해 보겠습니다.

답변: 일반적인 결정:

사소한 해결책은 다음과 같습니다. 일반식이며, 별도로 기재할 필요는 없습니다.

검사는 또한 일반적인 계획에 따라 수행됩니다. 결과 일반 해는 시스템의 각 방정식의 왼쪽에 대체되어야 하며 모든 대체에 대해 법적 0을 얻어야 합니다.

이 작업을 조용하고 평화롭게 마무리하는 것은 가능하지만 동질적인 방정식 시스템에 대한 해를 표현해야 하는 경우가 많습니다. 벡터 형태로사용하여 솔루션의 기본 시스템. 지금은 잊어주세요 분석 기하학, 이제 우리는 일반적인 대수적 의미의 벡터에 대해 이야기 할 것입니다. 이에 대한 기사에서 조금 열었습니다. 행렬 순위. 용어를 얼버무릴 필요가 없으며 모든 것이 매우 간단합니다.

우리는 계속해서 기술을 연마해 나갈 것입니다. 기본 변환~에 동차 선형 방정식 시스템.
첫 번째 단락에 따르면 자료가 지루하고 평범해 보일 수 있지만 이러한 인상은 기만적입니다. 기술이 더욱 발전하는 것 외에도 많은 새로운 정보가 있을 것이므로 이 기사의 예를 무시하지 마십시오.

선형 방정식의 동차 시스템이란 무엇입니까?

대답은 그 자체를 암시합니다. 자유 항이 다음과 같은 경우 선형 방정식 시스템은 동차입니다. 모든 사람시스템의 방정식은 0입니다. 예를 들어:

실시예 1

(1) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되고 –3이 곱해졌습니다.

(2) 두 번째 줄을 세 번째 줄에 추가하고 -1을 곱했습니다.

세 번째 줄을 3으로 나누는 것은 별 의미가 없습니다.

기본 변환의 결과로 등가의 균질 시스템이 얻어집니다. , 그리고 가우스 방법의 역을 사용하면 솔루션이 고유한지 쉽게 확인할 수 있습니다.

답변:

기본적인 변화의 물결에 맞춰 라디오를 준비하고 조정해 봅시다.

실시예 2

선형 방정식의 동차 시스템 풀기

최종적으로 알고리즘을 통합하기 위해 최종 작업을 분석해 보겠습니다.

실시예 7

동종 시스템을 풀고 답을 벡터 형식으로 작성합니다.

해결책: 시스템의 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계적 형식으로 가져옵니다.

(1) 첫 번째 줄의 부호가 변경되었습니다. 다시 한 번 여러 번 접한 기술에 주목하여 다음 작업을 크게 단순화할 수 있습니다.

(1) 2번째, 3번째 라인에 첫 번째 라인이 추가되었습니다. 첫 번째 줄에 2를 곱한 값이 네 번째 줄에 추가되었습니다.

(3) 마지막 3줄은 비례관계로, 그 중 2줄은 삭제되었습니다.

결과적으로 표준 단계 행렬이 얻어지고 솔루션은 널링 트랙을 따라 계속됩니다.

– 기본 변수
– 자유 변수.

기본변수를 자유변수로 표현해보자. 두 번째 방정식에서:

– 첫 번째 방정식으로 대체:

따라서 일반적인 해결책은 다음과 같습니다.

고려 중인 예에는 세 개의 자유 변수가 있으므로 기본 시스템에는 세 개의 벡터가 포함됩니다.

세 개의 값을 대체해 보겠습니다. 일반 해에 대입하고 동차 시스템의 각 방정식을 만족하는 좌표를 갖는 벡터를 얻습니다. 그리고 다시 한번, 수신된 각 벡터를 확인하는 것이 매우 바람직하다는 점을 반복합니다. 시간이 많이 걸리지는 않지만 오류로부터 완전히 보호됩니다.

세 배의 가치를 위해 벡터를 찾아라

그리고 마지막으로 세 사람에게 세 번째 벡터를 얻습니다.

답변: , 어디

분수 값을 피하려는 사람들은 삼중항을 고려할 수 있습니다. 동등한 형식으로 답변을 얻으십시오.

분수에 대해 말하면. 문제에서 얻은 행렬을 살펴보자 그리고 우리 스스로에게 물어봅시다: 추가 솔루션을 단순화하는 것이 가능합니까? 결국 여기서 우리는 먼저 기본 변수를 분수로 표현한 다음 분수를 통해 기본 변수를 표현했는데, 이 과정은 가장 간단하지도 않았고 가장 즐겁지도 않았습니다.

두 번째 해결책:

시도해보자는 생각이다 다른 기본 변수 선택. 행렬을 살펴보고 세 번째 열에 두 개의 행렬이 있는지 살펴보겠습니다. 그렇다면 상단에 0을 두는 것은 어떨까요? 또 하나의 기본 변환을 수행해 보겠습니다.

선형 방정식은 다음과 같습니다. 동종의, 자유 항이 0이면, 그렇지 않으면 비동질적입니다. 다음으로 구성된 시스템 동차방정식, 동종이라고 불리며 일반적인 형태:

모든 동종 시스템은 일관성이 있고 제로(사소한) 솔루션이 있다는 것은 명백합니다. 따라서 선형 방정식의 균질 시스템에 적용할 때 종종 0이 아닌 해의 존재에 대한 질문에 대한 답을 찾아야 합니다. 이 질문에 대한 답은 다음 정리로 공식화될 수 있다.

정리 . 선형 방정식의 동차 시스템은 순위가 미지수의 수보다 작은 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다. .

증거: 순위가 동일한 시스템에 0이 아닌 솔루션이 있다고 가정해 보겠습니다. 당연히 를 초과하지 않습니다. 시스템에 고유한 솔루션이 있는 경우. 동차 선형 방정식 시스템은 항상 영점 해를 갖기 때문에 영점 해는 이 고유한 해가 됩니다. 따라서 0이 아닌 솔루션은 에 대해서만 가능합니다.

추론 1 : 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 적은 동차 방정식 시스템은 항상 0이 아닌 해를 갖습니다.

증거: 방정식 시스템이 다음을 갖는 경우 시스템의 순위는 방정식 수를 초과하지 않습니다. 즉, . 따라서 조건이 충족되므로 시스템은 0이 아닌 해를 갖습니다.

추론 2 : 미지수가 있는 동차 방정식 시스템은 행렬식이 0인 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다.

증거: 행렬식을 갖는 행렬인 선형 균질 방정식 시스템이 0이 아닌 해를 갖는다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 입증된 정리에 따르면 이는 행렬이 단수임을 의미합니다. .

크로네커-카펠리 정리: SLU는 시스템 행렬의 순위가 이 시스템의 확장 행렬의 순위와 동일한 경우에만 일관성이 있습니다. 시스템에 적어도 하나의 솔루션이 있으면 일관성이 있다고 합니다.

선형 대수 방정식의 동차 시스템.

n개의 변수를 갖는 m개의 선형 방정식 시스템은 모든 자유 항이 0인 경우 선형 균질 방정식 시스템이라고 합니다. 선형 균질 방정식 시스템은 항상 일관성이 있습니다. 왜냐하면 항상 최소한 0의 해가 있습니다. 선형 동차 방정식 시스템은 변수에 대한 계수 행렬의 순위가 변수 수보다 작은 경우에만 0이 아닌 해를 갖습니다. 즉, 순위 A의 경우 (n. 모든 선형 조합

린 시스템 솔루션. 동종의. ur-ii는 이 시스템에 대한 솔루션이기도 합니다.

선형 독립 해 시스템 e1, e2,...,еk는 시스템의 각 해가 해의 선형 조합인 경우 기본이라고 합니다. 정리: 선형 균질 방정식 시스템의 변수에 대한 계수 행렬의 순위 r이 변수 n의 수보다 작으면 시스템에 대한 모든 기본 솔루션 시스템은 다음으로 구성됩니다. n-r 솔루션. 따라서 선형 시스템의 일반적인 솔루션입니다. 어느 날 ur-th의 형식은 c1e1+c2e2+...+skek입니다. 여기서 e1, e2,..., ek는 기본 해 시스템이고, c1, c2,...,ck는 임의의 숫자이고 k=n-r입니다. n개의 변수를 갖는 m개의 선형 방정식 시스템의 일반 해는 다음과 같습니다.

이에 대응하는 시스템의 일반적인 해는 균질합니다. 선형 방정식과 이 시스템의 임의의 특정 솔루션.

7. 선형 공간. 부분 공간. 기준, 차원. 선형 껍질. 선형 공간이 호출됩니다. n차원, 선형 독립 벡터 시스템을 포함하고 더 많은 수의 벡터로 구성된 시스템이 선형 종속인 경우. 번호가 불려요 차원(차원의 수)선형 공간이며 로 표시됩니다. 즉, 공간의 차원은 이 공간의 선형 독립 벡터의 최대 개수입니다. 그러한 숫자가 존재하면 공간을 유한차원이라고 합니다. 누구에게나 있다면 자연수 n 공간에는 선형 독립 벡터로 구성된 시스템이 있으며 이러한 공간을 무한 차원이라고 합니다(작성: ). 다음에서는 달리 명시하지 않는 한 유한차원 공간을 고려합니다.

n차원 선형 공간의 기본은 선형 독립 벡터의 순서화된 모음입니다( 기본 벡터).

기저 측면에서 벡터의 확장에 관한 정리 8.1. 가 n차원 선형 공간의 기저인 경우 모든 벡터는 기저 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
게다가 유일한 방법은 다음과 같습니다. 계수는 고유하게 결정됩니다.즉, 모든 공간 벡터는 기본으로, 더욱이 독특한 방식으로 확장될 수 있습니다.

실제로 공간의 차원은 . 벡터 시스템은 선형 독립입니다(이것이 기저임). 기저에 임의의 벡터를 추가한 후 선형 종속 시스템을 얻습니다(이 시스템은 n차원 공간의 벡터로 구성되므로). 7개의 선형 종속 벡터와 선형 독립 벡터의 특성을 사용하여 정리의 결론을 얻습니다.