선형 방정식: 공식 및 예. 불평등과 그 해결책
중요 사항!
1. 수식 대신 gobbledygook이 표시되면 캐시를 삭제하세요. 브라우저에서 이를 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 네비게이터에 가장 주의를 기울이십시오. 유용한 자원을 위한
"선형 방정식"이란 무엇입니까?
또는 구두로-Vasya가 자신이 가진 모든 사과를 가지고 있다는 근거로 세 명의 친구에게 각각 사과가 주어졌습니다.
그리고 이제 당신은 이미 결정했습니다 일차 방정식
이제 이 용어에 수학적 정의를 부여해 보겠습니다.
일차 방정식 - 는 대수 방정식이며, 전체 학위구성 다항식은 다음과 같습니다.. 다음과 같습니다.
숫자와 숫자는 어디에 있고 어디에 있습니까?
Vasya와 사과의 경우에는 다음과 같이 작성합니다.
- "Vasya가 세 친구 모두에게 같은 수의 사과를 주면 그에게는 사과가 하나도 남지 않을 것입니다."
"숨겨진" 선형 방정식 또는 항등 변환의 중요성
언뜻 보면 모든 것이 매우 간단하다는 사실에도 불구하고 방정식을 풀 때는 조심해야 합니다. 선형 방정식은 이러한 유형의 방정식뿐만 아니라 변환 및 단순화를 통해 이러한 유형으로 축소할 수 있는 모든 방정식이라고도 불리기 때문입니다. 예를 들어:
우리는 이론상으로 이미 방정식이 선형이 아님을 나타내는 오른쪽에 있는 것을 볼 수 있습니다. 게다가 괄호를 열면 두 개의 용어가 더 나옵니다. 하지만 성급하게 결론을 내리지는 마세요! 방정식이 선형인지 여부를 판단하기 전에 모든 변환을 수행하여 원래 예를 단순화해야 합니다. 이 경우 변환이 변경될 수 있습니다. 모습, 그러나 방정식의 본질은 아닙니다.
즉, 변환 데이터는 다음과 같아야 합니다. 동일한또는 동등한. 이러한 변환은 두 가지뿐이지만 문제 해결에 매우 중요한 역할을 합니다. 구체적인 예를 사용하여 두 가지 변환을 모두 살펴보겠습니다.
왼쪽-오른쪽으로 이동합니다.
다음 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
또한 초등학교우리는 "X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로"라는 말을 들었습니다. 오른쪽에 X가 있는 표현은 무엇입니까? 맞습니다. 하지만 그렇지 않은 경우는 없습니다. 그리고 이것이 중요합니다. 겉보기에 간단해 보이는 이 질문을 오해하면 잘못된 답이 나오기 때문입니다. 왼쪽에 X가 있는 표현은 무엇입니까? 오른쪽, .
이제 이것을 알아냈으므로 미지수가 있는 모든 용어는 왼쪽으로, 알려진 모든 용어는 오른쪽으로 이동합니다. 예를 들어 숫자 앞에 부호가 없으면 숫자는 양수라는 점을 기억하세요. , 즉, 앞에 “ " 표시가 있습니다.
이전되었나요? 무엇을 얻었나요?
이제 해야 할 일은 유사한 용어를 가져오는 것뿐입니다. 우리는 다음을 제시합니다:
그래서 우리는 첫 번째 동일한 변환을 성공적으로 분석했습니다. 비록 여러분이 그것을 알고 있었고 나 없이도 적극적으로 사용했다고 확신합니다. 가장 중요한 것은 숫자 기호를 잊지 않고 등호를 통해 전송할 때 반대 기호로 변경하는 것입니다!
곱셈 나눗셈.
예를 들어 바로 시작하겠습니다.
보고 생각해 봅시다. 이 예에서 우리가 마음에 들지 않는 점은 무엇입니까? 미지의 것은 모두 한 부분에 있고 알려진 것은 다른 부분에 있지만 무엇인가가 우리를 막고 있습니다... 그리고 이것은 4입니다. 존재하지 않았다면 모든 것이 완벽할 것이기 때문입니다. x는 숫자와 같습니다. 우리가 필요로 하는 대로!
어떻게 그것을 제거할 수 있습니까? 오른쪽으로 이동할 수는 없습니다. 왜냐하면 전체 승수를 이동해야 하고(가져가서 찢을 수는 없음) 전체 승수를 이동하는 것도 의미가 없기 때문입니다...
나눗셈에 대해 기억할 시간이 되었으니 모든 것을 나눗셈으로 나누어 봅시다! 모든 것 - 이것은 왼쪽과 오른쪽을 모두 의미합니다. 이 길, 오직 이 길만! 우리는 무엇을하고 있습니까?
여기에 답이 있습니다.
이제 또 다른 예를 살펴보겠습니다.
이 경우 어떻게 해야 할지 짐작할 수 있나요? 맞습니다. 왼쪽과 오른쪽을 곱하세요! 어떤 답변을 받으셨나요? 오른쪽. .
확실히 당신은 이미 정체성 변화에 관한 모든 것을 알고 있었습니다. 우리가 당신의 기억 속에 이 지식을 단순히 새로 고쳤으며 이제는 더 많은 것을 해야 할 때라고 생각하십시오. 예를 들어, 우리의 큰 예를 해결하려면:
앞서 말했듯이 이 방정식을 보면 선형이라고 말할 수는 없지만 괄호를 열고 동일한 변환을 수행해야 합니다. 그럼 시작해 보겠습니다!
우선, 약식 곱셈의 공식, 특히 합의 제곱과 차이의 제곱을 기억합니다. 그것이 무엇인지, 괄호가 어떻게 열리는지 기억나지 않는다면, 해당 주제를 읽어 보시기를 적극 권장합니다. 이러한 기술은 시험에서 접하게 되는 거의 모든 예제를 풀 때 유용할 것이기 때문입니다.
노출된? 비교해 봅시다:
이제 비슷한 용어를 가져올 차례입니다. 우리가 어떻게 같은지 기억하니? 초등학교"우리는 커틀릿에 파리를 넣지 않는다"고 하던가요? 여기서 나는 이것을 상기시켜줍니다. 우리는 모든 것을 개별적으로 추가합니다. 즉, 있는 요인, 있는 요인, 알려지지 않은 나머지 요인을 추가합니다. 비슷한 용어를 가져올 때는 알려지지 않은 용어는 모두 왼쪽으로, 알려진 용어는 모두 오른쪽으로 이동합니다. 무엇을 얻었나요?
보시다시피, 사각형의 X가 사라지고 완전히 정상적인 것을 볼 수 있습니다. 일차 방정식. 남은 것은 그것을 찾는 것뿐입니다!
그리고 마지막으로 항등 변환에 관해 매우 중요한 점을 하나 더 말씀드리겠습니다. 항등 변환은 선형 방정식뿐만 아니라 이차 방정식, 분수 유리 방정식 및 기타 방정식에도 적용 가능합니다. 등호를 통해 요소를 전달할 때 부호를 반대 기호로 변경하고 어떤 숫자로 나누거나 곱할 때 방정식의 양쪽에 동일한 숫자를 곱/나누는 것을 기억하면 됩니다.
이 예에서 또 무엇을 얻었습니까? 방정식을 보면 그것이 선형인지 아닌지를 직접적이고 정확하게 결정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 먼저 표현을 완전히 단순화한 다음 그것이 무엇인지 판단해야 합니다.
선형 방정식. 예.
다음은 스스로 연습할 수 있는 몇 가지 예입니다. 방정식이 선형인지 확인하고 선형이면 근을 찾으세요.
답변:
1. 이다.
2. 아니다.
괄호를 열고 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.
동일한 변환을 수행해 보겠습니다. 왼쪽과 오른쪽을 다음과 같이 나눕니다.
방정식이 선형이 아니므로 근을 찾을 필요가 없다는 것을 알 수 있습니다.
3. 이다.
동일한 변환을 수행해 보겠습니다. 왼쪽과 오른쪽에 를 곱하여 분모를 제거해 보겠습니다.
그것이 왜 그렇게 중요한지 생각해보십시오. 이 질문에 대한 답을 알고 있다면 방정식을 더 풀어보세요. 그렇지 않다면 더 복잡한 예에서 실수하지 않도록 주제를 살펴보세요. 그건 그렇고, 보시다시피 상황은 불가능합니다. 왜?
이제 방정식을 다시 정리해 보겠습니다.
모든 것을 어렵지 않게 처리했다면 변수가 두 개인 선형방정식에 대해 이야기해 보겠습니다.
두 변수의 선형 방정식
이제 좀 더 복잡한 두 개의 변수가 있는 선형 방정식으로 넘어가겠습니다.
선형 방정식두 개의 변수를 사용하면 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디서, 그리고 - 숫자와.
보시다시피 유일한 차이점은 방정식에 다른 변수가 추가된다는 것입니다. 따라서 모든 것이 동일합니다. x 제곱도 없고 변수로 나누는 것도 없습니다. 등등.
어떤 종류의 삶의 예를 드릴 수 있습니까? 동일한 Vasya를 예로 들어 보겠습니다. 그가 3명의 친구에게 같은 수의 사과를 주고 그 사과는 자신이 가져가기로 결정했다고 가정해 보겠습니다. Vasya가 각 친구에게 사과를 주면 몇 개의 사과를 사야 합니까? 는 어때? 그렇다면?
각 사람이 받는 사과 개수의 의존성 총 수구매해야 하는 사과는 다음 방정식으로 표현됩니다.
- - 한 사람이 받을 사과의 수(, 또는 또는)
- - Vasya가 스스로 가져갈 사과의 수;
- - 1인당 사과 수를 고려할 때 Vasya는 몇 개의 사과를 사야 합니까?
이 문제를 해결하면 Vasya가 한 친구에게 사과를 주면 친구가 사과를 주면 조각을 사야한다는 것을 알게됩니다.
그리고 일반적으로 말하면. 우리에게는 두 가지 변수가 있습니다. 이 관계를 그래프로 그려보면 어떨까요? 우리는 우리의 가치, 즉 포인트를 좌표로 구축하고 표시합니다.
보시다시피 그들은 서로 의존합니다. 선의, 따라서 방정식의 이름은 - " 선의».
사과에서 추상화하여 다양한 방정식을 그래픽으로 살펴보겠습니다. 구성된 두 그래프, 즉 임의의 함수로 지정된 직선과 포물선을 주의 깊게 살펴보십시오.
두 그림에서 해당 지점을 찾아 표시하세요.
무엇을 얻었나요?
첫 번째 함수의 그래프에서 볼 수 있습니다. 홀로해당 하나즉, 그들은 또한 서로 선형적으로 의존하는데, 이는 두 번째 기능에 대해서는 말할 수 없습니다. 물론 두 번째 그래프에서 x도 대응한다고 주장할 수 있지만 이는 단 하나의 점일 뿐입니다. 특별한 경우, 둘 이상의 일치하는 항목을 찾을 수 있기 때문입니다. 그리고 구성된 그래프는 선과 전혀 유사하지 않고 포물선입니다.
한 번 더 반복합니다. 선형 방정식의 그래프는 직선이어야 합니다..
어느 정도까지 가면 방정식이 선형이 아니라는 사실은 포물선의 예를 사용하면 분명하지만 예를 들어 또는 등 몇 가지 간단한 그래프를 직접 만들 수 있습니다. 하지만 장담하는데, 그 중 어느 것도 직선이 아닐 것입니다.
믿을 수 없어? 그것을 빌드한 다음 내가 얻은 것과 비교하십시오.
예를 들어 어떤 숫자로 무언가를 나누면 어떻게 될까요? 선형적인 관계가 있을까요? 논쟁하지 말고 건설하자! 예를 들어, 함수 그래프를 작성해 보겠습니다.
어쩐지 직선으로 이루어진 것 같지 않은데... 따라서 방정식은 선형이 아닙니다.
요약해보자:
- 일차 방정식 -는 구성 다항식의 전체 차수가 동일한 대수 방정식입니다.
- 일차 방정식하나의 변수를 사용하면 다음과 같은 형식을 갖습니다.
, 여기서 및 는 임의의 숫자입니다.
일차 방정식두 가지 변수로:
, 여기서 및 는 임의의 숫자입니다. - 방정식이 선형인지 아닌지 즉시 결정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 때로는 이를 이해하기 위해 동일한 변환을 수행하거나, 부호를 변경하는 것을 잊지 않고 유사한 항을 왼쪽/오른쪽으로 이동하거나, 방정식의 양쪽에 동일한 숫자를 곱/나누는 것이 필요합니다.
선형 방정식. 주요 사항에 대해 간략하게
1. 1차 방정식
이것은 구성 다항식의 총 차수가 동일한 대수 방정식입니다.
2. 변수가 하나인 1차 방정식형식은 다음과 같습니다.
숫자는 어디에 있고 어디에 있습니까?
3. 변수가 두 개인 선형 방정식형식은 다음과 같습니다.
어디서, 그리고 - 임의의 숫자.
4. 정체성의 변화
방정식이 선형인지 아닌지를 결정하려면 동일한 변환을 수행해야 합니다.
- 유사한 용어를 왼쪽/오른쪽으로 이동하고 기호를 변경하는 것을 잊지 마십시오.
- 방정식의 양쪽에 같은 수를 곱하거나 나눕니다.
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'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 전혀 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.
문제를 찾아 해결해보세요!
먼저 그것이 무엇인지 이해해야합니다.
간단한 정의가 있습니다 일차 방정식, 정규 학교에서 제공되는: "변수가 1제곱에서만 발생하는 방정식." 그러나 그것은 완전히 정확하지 않습니다. 방정식은 선형이 아니며 선형으로 축소되지도 않고 이차적으로 축소됩니다.
보다 정확한 정의는 다음과 같습니다. 일차 방정식는 다음을 사용하는 방정식입니다. 등가 변환형식으로 줄일 수 있습니다. 여기서 title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
실제로 방정식이 선형인지 아닌지를 이해하려면 먼저 방정식을 단순화해야 합니다. 즉, 분류가 모호하지 않은 형식으로 가져와야 합니다. 근본을 바꾸지 않는 한 방정식으로 원하는 것은 무엇이든 할 수 있다는 것을 기억하세요. 그게 바로 방정식입니다. 등가 변환. 가장 간단한 등가 변환은 다음과 같습니다.
- 여는 괄호
- 비슷한 것을 가져오는
- 방정식의 양변에 0이 아닌 숫자를 곱하거나 나누는 것
- 같은 숫자 또는 표현식의 양쪽에 더하기 및/또는 빼기*
*마지막 변환에 대한 특별한 해석은 기호 변경을 통해 한 부분에서 다른 부분으로 용어가 "전이"되는 것입니다.
예시 1:
(괄호를 열어보자)
(두 부분에 더하고 왼쪽에는 숫자의 부호를, 오른쪽에는 변수의 부호를 변경하여 빼기/옮김)
(비슷한 것을 주자)
(방정식의 양변을 3으로 나눕니다)
그래서 우리는 원래 방정식과 동일한 근을 갖는 방정식을 얻습니다. 독자에게 다음을 상기시켜 보자. "방정식을 풀어라"- 모든 뿌리를 찾아 다른 사람이 없음을 증명하는 것을 의미하며, "방정식의 근본"- 이것은 미지수를 대체할 때 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 숫자입니다. 음, 마지막 방정식에서 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 숫자를 찾는 것은 매우 간단합니다. 이것이 바로 숫자입니다. 다른 숫자는 이 방정식에서 동일성을 나타내지 않습니다. 답변:
예 2:
(방정식의 양변에 다음을 곱합니다. 
, 다음을 곱하지 않았는지 확인한 후 : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(괄호를 열어보자)
(용어를 옮겨보자)
(비슷한 것을 주자)
(두 부분을 로 나눕니다)
이것은 대략 모든 선형 방정식이 해결되는 방법입니다. 어린 독자들에게는 이 설명이 복잡해 보일 가능성이 높으므로 버전을 제공합니다. "5학년을 위한 선형 방정식"
등, 다른 유형의 방정식에 대해 알아가는 것이 논리적입니다. 다음 줄은 선형 방정식, 목표 학습은 7학년 대수 수업에서 시작됩니다.
먼저 선형 방정식이 무엇인지 설명하고 선형 방정식의 정의와 계수를 제공하고 보여줘야 한다는 것이 분명합니다. 일반적인 형태. 그런 다음 계수 값에 따라 선형 방정식의 해가 몇 개인지, 근을 찾는 방법을 알아낼 수 있습니다. 이를 통해 예제 해결로 넘어갈 수 있으며 학습된 이론을 통합할 수 있습니다. 이 기사에서 우리는 이것을 할 것입니다: 우리는 선형 방정식과 그 해에 관한 모든 이론적, 실제적 요점에 대해 자세히 설명할 것입니다.
여기서는 변수가 하나인 선형 방정식만 고려하고 별도의 기사에서는 해법의 원리를 연구한다고 가정해 보겠습니다. 변수가 두 개인 선형 방정식.
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선형 방정식이란 무엇입니까?
선형 방정식의 정의는 작성된 방식에 따라 제공됩니다. 또한 다양한 수학과 대수학 교과서에서 선형 방정식 정의 공식에는 문제의 본질에 영향을 미치지 않는 몇 가지 차이점이 있습니다.
예를 들어, Yu. N. Makarychev 등의 7학년 대수 교과서에서 선형 방정식은 다음과 같이 정의됩니다.
정의.
형태의 방정식 x=b, 여기서 x는 변수이고, a와 b는 숫자입니다. 변수가 하나인 선형 방정식.
명시된 정의를 충족하는 선형 방정식의 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어, 5 x = 10은 변수 x가 하나인 선형 방정식입니다. 여기서 계수 a는 5이고 숫자 b는 10입니다. 또 다른 예: −2.3·y=0도 선형 방정식이지만 변수 y가 있고 a=−2.3이고 b=0입니다. 그리고 선형 방정식에서 x=−2 및 −x=3.33 a는 명시적으로 존재하지 않으며 각각 1 및 −1과 같습니다. 반면 첫 번째 방정식에서는 b=−2, 두 번째에서는 b=3.33입니다.
그리고 1년 전, N. Ya. Vilenkin의 수학 교과서에서 a x = b 형식의 방정식 외에도 하나의 미지수가 있는 선형 방정식도 한 부분에서 용어를 전달하여 이 형식으로 가져올 수 있는 방정식을 고려했습니다. 유사한 용어를 줄임으로써 방정식을 반대 부호를 사용하여 다른 방정식으로 변환합니다. 이 정의에 따르면 5 x = 2 x + 6 형식의 방정식 등이 있습니다. 또한 선형.
차례로 A. G. Mordkovich의 7학년 대수 교과서에는 다음 정의가 제공됩니다.
정의.
변수 x가 하나인 선형 방정식는 a·x+b=0 형식의 방정식입니다. 여기서 a와 b는 선형 방정식의 계수라고 불리는 숫자입니다.
예를 들어, 이 유형의 선형 방정식은 2 x−12=0입니다. 여기서 계수 a는 2이고 b는 −12이며 0.2 y+4.6=0이며 계수 a=0.2 및 b =4.6입니다. 그러나 동시에 a·x+b=0이 아닌 a·x=b, 예를 들어 3·x=12의 형태를 갖는 일차방정식의 예도 있다.
미래에 불일치가 없도록 하나의 변수 x와 계수 a와 b가 있는 선형 방정식으로 a x + b = 0 형식의 방정식을 의미합니다. 이러한 유형의 선형 방정식은 가장 정당한 것으로 보입니다. 왜냐하면 선형 방정식은 다음과 같습니다. 대수 방정식 1급. 그리고 위에 표시된 다른 모든 방정식과 등가 변환을 사용하여 a x + b = 0 형식으로 축소되는 방정식을 호출합니다. 선형 방정식으로 축소되는 방정식. 이 접근 방식을 사용하면 방정식 2 x+6=0은 선형 방정식이고 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 등입니다. - 이것은 선형 방정식으로 축소되는 방정식입니다.
선형 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
이제 선형방정식 a·x+b=0이 어떻게 풀리는지 알아 볼 차례입니다. 즉, 일차방정식에 근이 있는지, 그렇다면 근이 몇 개인지, 어떻게 찾는지 알아보는 시간이다.
선형 방정식의 근의 존재는 계수 a와 b의 값에 따라 달라집니다. 이 경우 선형 방정식 a x+b=0은 다음을 갖습니다.
- a≠0의 유일한 근,
- a=0 및 b≠0에 대한 근이 없습니다.
- a=0과 b=0에 대해 무한히 많은 근을 가지며, 이 경우 임의의 숫자는 선형 방정식의 근이 됩니다.
이러한 결과가 어떻게 얻어졌는지 설명해보자.
우리는 방정식을 풀기 위해 원래 방정식에서 등가 방정식으로 이동할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 즉, 근이 같거나 원래 방정식처럼 근이 없는 방정식으로 이동할 수 있습니다. 이를 위해 다음과 같은 동등한 변환을 사용할 수 있습니다.
- 방정식의 한 쪽에서 반대 기호를 사용하여 항을 다른 쪽으로 옮기는 것,
- 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나눌 수도 있습니다.
따라서 a·x+b=0 형식의 하나의 변수가 있는 선형 방정식에서 항 b를 반대 기호를 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 수 있습니다. 이 경우 방정식은 a·x=−b 형식을 취합니다.
그리고 나서 방정식의 양변을 숫자 a로 나누는 문제가 제기됩니다. 그러나 한 가지가 있습니다. 숫자 a는 0과 같을 수 있으며, 이 경우 그러한 나누기는 불가능합니다. 이 문제를 해결하기 위해 먼저 a가 0이 아닌 숫자라고 가정하고, a가 0인 경우에 대해서는 잠시 후에 별도로 살펴보겠습니다.
따라서 a가 0이 아닌 경우 방정식 a·x=−b의 양변을 a로 나눌 수 있으며 그 후 x=(−b):a 형식으로 변환됩니다. 이 결과는 다음과 같습니다. 분수 슬래시를 사용하여 작성되었습니다.
따라서 a≠0의 경우 선형 방정식 a·x+b=0은 근이 표시되는 방정식과 동일합니다.
이 근이 고유하다는 것을 보여주는 것은 쉽습니다. 즉, 선형 방정식에는 다른 근이 없습니다. 이를 통해 반대 방법을 수행할 수 있습니다.
루트를 x 1로 표시합시다. 선형 방정식의 또 다른 근이 x 2 및 x 2 ≠x 1로 표시된다고 가정해 보겠습니다. 차이를 통해 같은 수 결정하기조건 x 1 −x 2 ≠0과 동일합니다. x 1 및 x 2 는 선형 방정식 a·x+b=0의 근이므로, 수치 동등성 a·x 1 +b=0 및 a·x 2 +b=0이 유지됩니다. 우리는 이러한 등식의 해당 부분을 뺄 수 있으며, 수치적 등식의 속성을 통해 우리는 a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0을 가지며, 여기서 a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 그리고 a·(x 1 −x 2)=0 . 그러나 a≠0과 x 1 − x 2 ≠0이 모두 동일하기 때문에 이러한 동일성은 불가능합니다. 그래서 우리는 a≠0에 대한 선형 방정식 a·x+b=0의 근의 고유성을 증명하는 모순에 도달했습니다.
그래서 우리는 a≠0에 대해 선형 방정식 a·x+b=0을 풀었습니다. 이 단락 시작 부분에 제공된 첫 번째 결과는 타당합니다. a=0 조건을 충족하는 두 개가 더 남아 있습니다.
a=0일 때 선형 방정식 a·x+b=0은 0·x+b=0 형식을 취합니다. 이 방정식과 숫자에 0을 곱하는 속성에 따라 x로 취하는 숫자에 관계없이 이를 방정식 0 x + b=0에 대입하면 수치 동등성 b=0이 얻어집니다. 이 동등성은 b=0일 때 참이고, 다른 경우 b≠0일 때 이 동등성은 거짓입니다.
결과적으로, a=0 및 b=0인 경우 임의의 숫자는 선형 방정식 a·x+b=0의 근이 됩니다. 왜냐하면 이러한 조건에서 x를 임의의 숫자로 대체하면 올바른 수치 동등성 0=0이 제공되기 때문입니다. 그리고 a=0이고 b≠0일 때 선형 방정식 a·x+b=0에는 근이 없습니다. 왜냐하면 이러한 조건에서 x 대신 임의의 숫자를 대입하면 잘못된 수치 동등성 b=0이 되기 때문입니다.
주어진 정당화를 통해 우리는 선형 방정식을 풀 수 있는 일련의 동작을 공식화할 수 있습니다. 그래서, 선형 방정식을 푸는 알고리즘이다:
- 먼저 선형 방정식을 작성하여 계수 a와 b의 값을 찾습니다.
- a=0이고 b=0이면 이 방정식은 무한히 많은 근을 가집니다. 즉, 어떤 숫자든 이 선형 방정식의 근이 됩니다.
- a가 0이 아닌 경우
- 계수 b는 반대 부호를 사용하여 우변으로 옮겨지고 선형 방정식은 a·x=−b 형식으로 변환됩니다.
- 그 후 결과 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자 a로 나누어 원래 선형 방정식의 원하는 근을 제공합니다.
작성된 알고리즘은 선형 방정식을 푸는 방법에 대한 질문에 대한 포괄적인 답변입니다.
이 점의 결론적으로 a·x=b 형식의 방정식을 풀기 위해 유사한 알고리즘이 사용된다는 점은 말할 가치가 있습니다. 차이점은 a≠0일 때 방정식의 양쪽이 즉시 이 숫자로 나누어진다는 것입니다. 여기서 b는 이미 방정식의 필수 부분에 있으므로 이를 전송할 필요가 없습니다.
a x = b 형식의 방정식을 풀기 위해 다음 알고리즘이 사용됩니다.
- a=0이고 b=0이면 방정식은 임의의 숫자인 무한히 많은 근을 갖습니다.
- a=0이고 b≠0이면 원래 방정식에는 근이 없습니다.
- a가 0이 아닌 경우 방정식의 양쪽은 0이 아닌 숫자 a로 나누어지며, 여기서 방정식의 유일한 근은 b/a와 같습니다.
선형 방정식 풀기의 예
연습을 계속해 봅시다. 선형 방정식을 푸는 알고리즘이 어떻게 사용되는지 살펴보겠습니다. 다음에 해당하는 일반적인 예에 대한 솔루션을 제공하겠습니다. 다른 의미선형 방정식의 계수.
예.
선형방정식 0·x−0=0을 푼다.
해결책.
이 선형 방정식에서 a=0 및 b=−0 은 b=0 과 동일합니다. 따라서 이 방정식에는 무한히 많은 근이 있습니다. 임의의 숫자가 이 방정식의 근이 됩니다.
답변:
x – 임의의 숫자.
예.
선형 방정식 0 x + 2.7 = 0에 해가 있습니까?
해결책.
이 경우, 이 선형 방정식의 계수 a는 0과 같고, 계수 b는 2.7과 같습니다. 즉, 0과 다릅니다. 따라서 선형 방정식에는 근이 없습니다.
이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.
먼저 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 가장 간단한 방정식은 무엇입니까?
선형 방정식은 단 하나의 변수만 있고 1차까지만 있는 방정식입니다.
가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.
다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.
- 괄호가 있으면 확장하세요.
- 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
- 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 지정하십시오.
- 결과 방정식을 변수 $x$의 계수로 나눕니다.
물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 기계 작업 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명된다는 것입니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.
- 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어, $0\cdot x=8$과 같은 결과가 나올 때, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이러한 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
- 해결책은 모두 숫자입니다. 유일한 경우, 이것이 가능하다면 방정식은 $0\cdot x=0$ 구조로 축소됩니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.
이제 실제 사례를 사용하여 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
방정식 풀기의 예
오늘 우리는 선형 방정식을 다루고 있으며 가장 간단한 방정식만 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.
이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.
- 우선, 괄호가 있으면 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
- 그런 다음 비슷한 것을 결합하십시오.
- 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어를 한쪽으로 옮기고 변수 없이 남아 있는 모든 것을 다른 쪽으로 옮깁니다.
그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 비슷한 것을 가져와야하며 그 후에 남은 것은 "x"계수로 나누는 것뿐입니다. 그러면 최종 답을 얻을 수 있습니다.
이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열거나 "플러스"와 "마이너스"를 계산할 때 오류가 발생합니다.
또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우도 있습니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 살펴 보겠습니다. 그러나 우리는 이미 이해했듯이 바로 시작하겠습니다. 간단한 작업.
간단한 선형 방정식을 푸는 방식
먼저, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 체계를 다시 한 번 작성하겠습니다.
- 대괄호가 있으면 확장합니다.
- 우리는 변수를 분리합니다. 즉, "X"가 포함된 모든 항목을 한쪽으로 이동하고 "X"가 포함되지 않은 모든 항목을 다른 쪽으로 이동합니다.
- 비슷한 용어를 제시합니다.
- 모든 것을 "x" 계수로 나눕니다.
물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아닙니다. 여기에는 특정 미묘함과 트릭이 있으며 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.
간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기
과제 1번
첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 적어 봅시다:
우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 계수로 나누는 단계로 넘어갑니다.
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
그래서 우리는 답을 얻었습니다.
작업 번호 2
이 문제에서 괄호를 볼 수 있으므로 확장해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 디자인을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 변수 분리:
다음은 유사한 것들입니다:
이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.
작업 번호 3
세 번째 선형 방정식이 더 흥미롭습니다.
\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]
여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 어떤 것도 곱해지지 않고 단순히 다른 기호가 앞에 붙습니다. 그것들을 분석해보자:
우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
수학을 해보자:
마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"계수로 나눕니다.
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항
너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.
- 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
- 뿌리가 있더라도 그 중에는 0이 있을 수 있습니다. 이는 아무런 문제가 없습니다.
0은 다른 숫자와 동일합니다. 어떤 식으로든 차별해서는 안 되며, 0이 나온다면 뭔가 잘못했다고 가정해서는 안 됩니다.
또 다른 기능은 괄호 열기와 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.
이것을 이해하다 단순한 사실고등학교에서 그러한 행동을 당연하게 여기는 어리석고 공격적인 실수를 방지할 수 있습니다.
복잡한 선형 방정식 풀기
더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성이 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 계획에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 확실히 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.
예 1
분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.
이제 개인 정보 보호에 대해 살펴보겠습니다.
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답에 다음과 같이 쓸 것입니다.
\[\varnothing\]
아니면 뿌리가 없습니다.
예 2
우리는 동일한 작업을 수행합니다. 첫 번째 단계:
변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성하겠습니다.
\[\varnothing\],
아니면 뿌리가 없습니다.
솔루션의 뉘앙스
두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현을 예로 사용하여 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있다는 것을 다시 한 번 확신했습니다. 근은 하나일 수도 있고 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있습니다. 우리의 경우 두 개의 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 뿌리가 없습니다.
그러나 저는 또 다른 사실, 즉 괄호를 사용하여 작업하는 방법과 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.
개봉하기 전에 모든 항목에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 두 개의 용어가 있습니다. 각각 두 개의 용어와 곱셈입니다.
그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 단순히 기호를 변경한다는 것을 의미합니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.
두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.
내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주의를 기울이는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배우게 되는 일련의 기본 변환이기 때문입니다.
물론, 이러한 기술을 자동으로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 변환을 너무 많이 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.
훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기
지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.
과제 1번
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
첫 번째 부분의 모든 요소를 곱해 보겠습니다.
개인정보 보호를 좀 해보자:
다음은 유사한 것들입니다:
마지막 단계를 완료해 보겠습니다.
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 문제를 푸는 과정에서 2차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 2차 함수가 아닌 선형이 됩니다.
작업 번호 2
\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]
첫 번째 단계를 주의 깊게 수행해 보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 각 요소에 두 번째 대괄호의 각 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 용어가 있어야 합니다.
이제 각 항에서 곱셈을 주의 깊게 수행해 보겠습니다.
"X"가 있는 용어는 왼쪽으로, -가 없는 용어는 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
비슷한 용어는 다음과 같습니다.
다시 한번 최종 답변을 받았습니다.
솔루션의 뉘앙스
이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 항을 포함하는 괄호를 곱하기 시작하자마자 이는 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 취하고 다음의 각 요소를 곱합니다. 두번째; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 용어를 가지게 됩니다.
대수합에 대하여
이 마지막 예를 통해 학생들에게 무엇을 상기시키고 싶습니다. 대수적 합. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구조를 의미합니다. 즉, 1에서 7을 빼는 것입니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 "마이너스 7"이라는 다른 숫자를 추가합니다. 이것이 대수합이 일반적인 산술합과 다른 점입니다.
모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구성이 표시되기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.
마지막으로, 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이 문제를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.
분수로 방정식 풀기
이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리의 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
아아, 이 놀라운 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.
이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 전후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수 제거를 알고리즘에 한 단계 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 분수를 제거하십시오.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모가 숫자입니다. 어디에서나 분모는 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.
예 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 단지 두 개의 괄호가 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 적어보자:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
이제 확장해 보겠습니다.
변수를 격리합니다.
유사한 용어의 축소를 수행합니다.
\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
최종 솔루션을 얻었으니 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.
예 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
문제가 해결되었습니다.
사실 그게 제가 오늘 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다.
키 포인트
주요 결과는 다음과 같습니다.
- 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
- 괄호를 여는 기능.
- 보시면 걱정하지 마세요 이차 함수, 아마도 추가 변환 과정에서 감소할 것입니다.
- 일차방정식에는 세 가지 유형의 근이 있으며, 심지어 가장 단순한 근도 있습니다. 하나의 단일근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.
이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트에 가서 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!
선형 방정식. 솔루션, 예.
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "그렇지 않은..." 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
선형 방정식.
선형 방정식은 가장 어려운 주제가 아닙니다. 학교 수학. 그러나 훈련받은 학생조차 당황하게 할 수 있는 몇 가지 트릭이 있습니다. 알아볼까요?)
일반적으로 선형 방정식은 다음 형식의 방정식으로 정의됩니다.
도끼 + 비 = 0 어디 a와 b– 모든 숫자.
2x + 7 = 0. 여기 a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 여기서는 a=0.1, b=-2.3
여기서는 12x + 1/2 = 0 a=12, b=1/2
복잡한 건 하나도 없지, 그렇지? 특히 다음 단어를 눈치채지 못한다면: "여기서 a와 b는 임의의 숫자입니다"... 그리고 눈치 채고 부주의하게 생각한다면?) 결국, 만약 a=0, b=0(모든 숫자가 가능합니까?) 그러면 다음과 같은 재미있는 표현이 나타납니다.
하지만 그게 전부는 아닙니다! 말하자면, a=0,ㅏ b=5,이는 완전히 평범하지 않은 것으로 밝혀졌습니다.
짜증나고 수학에 대한 자신감을 약화시키는 일이죠. 예...) 특히 시험 중에는요. 하지만 이 이상한 표현들 중에서 X도 찾아야 해요! 전혀 존재하지 않습니다. 그리고 놀랍게도 이 X는 찾기가 매우 쉽습니다. 우리는 이것을 하는 방법을 배울 것입니다. 이번 강의에서는.
모양으로 선형 방정식을 인식하는 방법은 무엇입니까? 모양에 따라 다릅니다.) 비결은 선형 방정식이 다음 형식의 방정식뿐만 아니라 도끼 + 비 = 0 , 변환 및 단순화를 통해 이 형식으로 축소할 수 있는 모든 방정식도 포함됩니다. 그리고 그것이 내려올지 말지 누가 알겠습니까?)
어떤 경우에는 선형 방정식이 명확하게 인식될 수 있습니다. 1차와 숫자에 대한 미지수만 있는 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 방정식에는 분수를 다음으로 나눈 값 알려지지 않은 , 그건 중요해! 그리고 나누기 숫자,또는 숫자 분수 - 환영합니다! 예를 들어:
이것은 선형 방정식입니다. 여기에는 분수가 있지만 정사각형, 정육면체 등에 x가 없고 분모에도 x가 없습니다. 아니요 x로 나누기. 그리고 여기에 방정식이 있습니다
선형이라고 할 수 없습니다. 여기서 X는 모두 1차이지만 다음과 같은 경우도 있습니다. x를 사용한 표현식으로 나누기. 단순화 및 변환 후에 선형 방정식, 이차 방정식 또는 원하는 것을 얻을 수 있습니다.
일부 복잡한 예에서는 선형 방정식을 거의 풀 때까지 이를 인식하는 것이 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 속상하다. 하지만 과제에서는 원칙적으로 방정식의 형태를 묻지 않죠? 과제는 방정식을 요구합니다 결정하다.이것이 나를 행복하게 한다.)
선형 방정식 풀기. 예.
선형 방정식의 전체 해는 방정식의 동일한 변환으로 구성됩니다. 그건 그렇고, 이러한 변환(두 개!)이 솔루션의 기초입니다. 수학의 모든 방정식.즉, 해결책은 어느방정식은 바로 이러한 변환으로 시작됩니다. 선형 방정식의 경우 방정식(해)은 이러한 변환을 기반으로 하며 완전한 답으로 끝납니다. 링크를 따라가는 것이 합리적이죠?) 또한 거기에는 선형 방정식을 푸는 예도 있습니다.
먼저 가장 간단한 예를 살펴보겠습니다. 어떤 함정도 없이. 이 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
x - 3 = 2 - 4x
이것은 선형 방정식입니다. X는 모두 1제곱이므로 X로 나누는 일은 없습니다. 그러나 사실 그것이 어떤 방정식인지는 우리에게 중요하지 않습니다. 우리는 그것을 해결해야 합니다. 여기의 계획은 간단합니다. 방정식의 왼쪽에 X가 있는 모든 것을 모으고, 오른쪽에 X(숫자)가 없는 모든 것을 모으세요.
이렇게 하려면 전송해야 합니다. - 물론 기호가 바뀌면서 왼쪽으로 4x - 3 - 오른쪽으로. 그런데 이것은 방정식의 첫 번째 동일한 변환.놀란? 이는 귀하가 링크를 따르지 않았지만 헛된 일임을 의미합니다...) 우리는 다음을 얻습니다.
x + 4x = 2 + 3
비슷한 것들이 있습니다. 우리는 다음을 고려합니다.
완전한 행복을 위해서는 무엇이 필요합니까? 예, 왼쪽에 순수한 X가 있습니다! 5개가 가는 길입니다. 도움을 받아 다섯 마리를 제거하세요 방정식의 두 번째 동일한 변환.즉, 방정식의 양변을 5로 나눕니다. 준비된 답을 얻습니다.
물론 기본적인 예입니다. 워밍업을 위한 것입니다.) 여기서 동일한 변형을 기억한 이유가 명확하지 않습니까? 좋아요. 황소의 뿔을 잡자.) 좀 더 확실한 것을 결정하자.
예를 들어 방정식은 다음과 같습니다.
어디서부터 시작할까요? X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로? 그럴 수도 있습니다. 작은 단계로 긴 길. 아니면 보편적이고 강력한 방법으로 즉시 수행할 수도 있습니다. 물론 무기고에 동일한 방정식 변환이 있는 경우.
나는 당신에게 중요한 질문을 합니다: 이 방정식에서 가장 마음에 들지 않는 점은 무엇입니까?
100명 중 95명은 이렇게 대답할 것입니다. 분수 ! 대답은 정확합니다. 그러니 그들을 제거합시다. 그러므로 우리는 즉시 다음과 같이 시작합니다. 두 번째 정체성 변화. 분모가 완전히 줄어들도록 왼쪽 분수에 무엇을 곱해야 합니까? 맞습니다. 3시죠. 그리고 오른쪽은요? 4. 하지만 수학을 사용하면 양변에 다음을 곱할 수 있습니다. 같은 번호. 어떻게 나갈 수 있나요? 양변에 12를 곱해 봅시다! 저것들. 공통분모로. 그러면 셋과 넷이 모두 줄어들 것이다. 각 부분을 곱해야한다는 것을 잊지 마십시오 전적으로. 첫 번째 단계는 다음과 같습니다.
대괄호 확장:
메모! 분자 (x+2)괄호 안에 넣었어요! 분수를 곱하면 분자 전체가 곱해지기 때문이죠! 이제 분수를 줄일 수 있습니다:
나머지 대괄호를 확장합니다.
예시는 아니지만 순수한 즐거움!) 이제 의 주문을 기억해 봅시다. 주니어 수업: X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로!그리고 다음 변환을 적용합니다.
다음은 유사한 것들입니다:
그리고 두 부분을 모두 25로 나눕니다. 즉, 두 번째 변환을 다시 적용합니다.
그게 다야. 답변: 엑스=0,16
참고: 원래의 혼란스러운 방정식을 좋은 형식으로 만들기 위해 두 개만 사용했습니다(단 두 개!). 정체성 변화– 같은 숫자로 방정식의 부호 변경 및 곱셈 나눗셈을 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 번역합니다. 이것 보편적인 방법! 우리는 이런 식으로 일할 것입니다 어느 방정식! 물론 누구나. 그렇기 때문에 나는 항상 이러한 동일한 변형에 대해 지루하게 반복합니다.)
보시다시피 선형 방정식을 푸는 원리는 간단합니다. 우리는 방정식을 취하고 다음과 같이 단순화합니다. 정체성 변화응답을 받기 전에. 여기서 주요 문제는 솔루션의 원리가 아니라 계산에 있습니다.
하지만... 가장 기본적인 일차방정식을 푸는 과정에서 당신을 몹시 혼미하게 만들 정도로 놀라운 일이 일어납니다...) 다행히도 그러한 놀라운 일은 딱 두 가지밖에 없습니다. 그것들을 특별한 경우라고 부르자.
선형 방정식 풀기의 특별한 경우.
첫 번째 놀라움.
다음과 같은 매우 기본적인 방정식을 발견했다고 가정해 보겠습니다.
2x+3=5x+5 - 3x - 2
약간 지루해서 X를 사용하여 왼쪽으로 이동하고 X 없이 오른쪽으로 이동합니다... 기호를 변경하면 모든 것이 완벽합니다... 우리는 다음을 얻습니다.
2x-5x+3x=5-2-3
우리는 세어보고... 이런!!! 우리는 다음을 얻습니다:
이러한 평등 자체는 반대할 수 없습니다. 0은 정말 0입니다. 그런데 X가 없어졌어요! 그리고 우리는 답을 적어야 합니다. x는 무엇입니까?그렇지 않으면 해결 방법이 중요하지 않습니다. 그렇죠...) 교착 상태인가요?
침착한! 이러한 의심스러운 경우에는 가장 일반적인 규칙이 도움이 될 것입니다. 방정식을 푸는 방법? 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 이는 다음을 의미합니다. 원래 방정식에 대입하면 올바른 동등성을 제공하는 x의 모든 값을 찾아보세요.
하지만 우리에겐 진정한 평등이 있어요 이미일어난! 0=0, 얼마나 더 정확할까요?! x가 어떤 일이 일어나는지 알아내는 것이 남아 있습니다. X의 어떤 값이 대체될 수 있나요? 원래의방정식, 만약 이 x가 여전히 0으로 줄어들까요?어서 해봐요?)
예!!! X로 대체 가능 어느!어느 것을 원하시나요? 5 이상, 0.05 이상, -220 이상입니다. 그들은 여전히 줄어들 것입니다. 믿을 수 없다면 확인해 보세요.) X의 값을 다음과 같이 대입합니다. 원래의방정식과 계산. 항상 순수한 진실(0=0, 2=2, -7.1=-7.1 등)을 얻게 됩니다.
귀하의 답변은 다음과 같습니다. x - 임의의 숫자.
답은 다양한 수학적 기호로 쓰여질 수 있으며 본질은 변하지 않습니다. 이것은 완전히 정확하고 완전한 답변입니다.
두 번째 놀라움.
동일한 기본 선형 방정식을 사용하여 숫자 하나만 변경해 보겠습니다. 이것이 우리가 결정할 사항입니다:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
동일한 동일한 변환 후에 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.
이와 같이. 우리는 선형 방정식을 풀고 이상한 평등을 얻었습니다. 수학적 용어로 우리는 다음을 얻었습니다. 거짓 평등.그리고 말하기 간단한 언어로, 이것은 사실이 아닙니다. 날뛰다. 그럼에도 불구하고, 이 넌센스는 방정식을 올바르게 풀 수 있는 아주 좋은 이유가 됩니다.)
다시 우리는 다음을 기반으로 생각합니다. 일반 규칙. 원래 방정식에 x를 대입하면 우리는 무엇을 얻게 될까요? 진실평등? 예, 없습니다! 그런 X는 없습니다. 무엇을 넣어도 다 줄어들고 넌센스만 남게 된다.)
귀하의 답변은 다음과 같습니다. 해결책이 없습니다.
이것은 또한 완전히 완전한 답변입니다. 수학에서는 그러한 답이 종종 발견됩니다.
이와 같이. 이제 (선형뿐만 아니라) 방정식을 푸는 과정에서 X가 사라져도 전혀 혼란스럽지 않기를 바랍니다. 이미 익숙한 일이다.)
이제 우리는 선형 방정식의 모든 함정을 다루었으므로 이를 해결하는 것이 합리적입니다.
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