역행렬의 요소를 찾습니다. 역행렬 정의 존재 및 고유성

행렬을 사용한 동작에 대한 대화를 계속해 보겠습니다. 즉, 이 강의를 공부하는 동안 역행렬을 찾는 방법을 배우게 됩니다. 배우다. 수학이 어려워도.

역행렬이란 무엇입니까? 여기서 우리는 역수로 비유를 그릴 수 있습니다. 예를 들어 낙관적인 숫자 5와 그 역수를 생각해 보세요. 이 숫자들의 곱은 1과 같습니다: . 모든 것이 행렬과 비슷합니다! 행렬과 역행렬의 곱은 다음과 같습니다. 단위 행렬, 이는 수치 단위의 행렬 아날로그입니다. 그러나 가장 먼저 중요한 실제 문제를 해결해 보겠습니다. 즉, 이 역행렬을 찾는 방법을 알아보세요.

역행렬을 찾으려면 무엇을 알아야 하고 무엇을 할 수 있어야 합니까? 결정할 수 있어야 합니다. 예선. 그것이 무엇인지 이해해야합니다. 행렬그들과 함께 몇 가지 작업을 수행할 수 있습니다.

역행렬을 찾는 두 가지 주요 방법은 다음과 같습니다.
사용하여 대수적 추가그리고 기본 변환 사용.

오늘 우리는 첫 번째로 더 간단한 방법을 공부할 것입니다.

가장 끔찍하고 이해하기 어려운 것부터 시작합시다. 고려해 봅시다 정사각형행렬. 역행렬은 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.:

행렬의 행렬식은 행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수의 전치된 행렬입니다.

역행렬의 개념은 정방행렬에만 존재합니다., 행렬 "2x2", "3x3" 등

명칭: 이미 눈치채셨겠지만, 역행렬은 위 첨자로 표시됩니다.

가장 간단한 경우인 2x2 행렬부터 시작해 보겠습니다. 물론 대부분의 경우 "3x3"이 필요하지만 그럼에도 불구하고 마스터하려면 더 간단한 작업을 공부하는 것이 좋습니다. 일반 원칙솔루션.

예:

역행렬 찾기

결정합시다. 일련의 작업을 하나씩 분류하는 것이 편리합니다.

1) 먼저 행렬의 행렬식을 찾습니다..

이 동작에 대한 이해가 좋지 않은 경우 자료를 읽으십시오. 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?

중요한!행렬의 행렬식이 다음과 같은 경우 영– 역행렬 존재하지 않는다.

고려중인 예에서 밝혀진 바와 같이 모든 것이 정상임을 의미합니다.

2) 미성년자 행렬 찾기.

문제를 해결하기 위해 미성년자가 무엇인지 알 필요는 없지만 기사를 읽는 것이 좋습니다. 행렬식을 계산하는 방법.

미성년자 행렬은 행렬과 동일한 차원을 갖습니다. 즉, 이 경우입니다.
이제 남은 일은 4개의 숫자를 찾아 별표 대신에 넣는 것뿐입니다.

매트릭스로 돌아가자
먼저 왼쪽 상단 요소를 살펴보겠습니다.

찾는 방법 미성년자?
그리고 이것은 다음과 같이 수행됩니다. 이 요소가 있는 행과 열을 정신적으로 지웁니다.

남은 숫자는 이 요소의 부, 미성년자 매트릭스에 다음과 같이 작성합니다.

다음 행렬 요소를 고려하십시오.

이 요소가 나타나는 행과 열을 정신적으로 지웁니다.

남은 것은 이 요소의 마이너이며, 이를 매트릭스에 작성합니다.

마찬가지로 두 번째 행의 요소를 고려하고 해당 요소를 찾습니다.


준비가 된.

간단 해. 미성년자 매트릭스에서 필요한 변화 신호두 개의 숫자:

제가 동그라미 친 숫자들이에요!

– 행렬의 해당 요소에 대한 대수적 추가 행렬.

그리고 그냥...

4) 대수적 덧셈의 전치행렬 찾기.

– 행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수의 전치된 행렬.

5) 답변.

공식을 기억해두자
모든 것이 발견되었습니다!

따라서 역행렬은 다음과 같습니다.

대답은 그대로 두는 것이 좋습니다. 필요 없음다음과 같이 행렬의 각 요소를 2로 나눕니다. 분수. 이 뉘앙스는 같은 기사에서 더 자세히 설명됩니다. 행렬을 사용한 작업.

솔루션을 확인하는 방법은 무엇입니까?

행렬 곱셈을 수행해야 하거나

시험:

이미 언급된 내용을 받았습니다. 단위 행렬는 1로 구성된 행렬입니다. 주 대각선다른 곳에서는 0이 됩니다.

따라서 역행렬이 올바르게 발견됩니다.

작업을 수행하면 결과도 단위 행렬이 됩니다. 이는 행렬 곱셈이 치환 가능한 몇 안 되는 경우 중 하나입니다. 자세한 정보기사에서 확인 가능 행렬에 대한 연산의 속성입니다. 행렬 표현식. 또한 확인하는 동안 상수(분수)가 앞으로 가져와서 맨 끝(행렬 곱셈 후)에서 처리된다는 점에 유의하세요. 이것은 표준 기술입니다.

실제로 더 일반적인 경우인 3x3 행렬로 넘어가겠습니다.

예:

역행렬 찾기

알고리즘은 "2x2"의 경우와 정확히 동일합니다.

우리는 다음 공식을 사용하여 역행렬을 찾습니다. , 여기서 는 행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수의 전치된 행렬입니다.

1) 행렬의 행렬식 찾기.

여기서 행렬식이 밝혀진다 첫 번째 줄에.

또한, 이는 모든 것이 괜찮다는 것을 의미한다는 것을 잊지 마세요. 역행렬이 존재함.

2) 미성년자 행렬 찾기.

미성년자의 행렬은 "3 x 3" 차원을 갖습니다. , 그리고 우리는 9개의 숫자를 찾아야 합니다.

몇 가지 미성년자를 자세히 살펴보겠습니다.

다음 행렬 요소를 고려하십시오.

이 요소가 위치한 행과 열을 정신적으로 지웁니다.

나머지 4개의 숫자를 "2x2" 행렬식에 씁니다.

이 2x2 행렬식과 이 요소의 마이너입니다. 다음과 같이 계산해야 합니다.


그게 다입니다. 미성년자가 발견되었습니다. 미성년자 매트릭스에 작성합니다.

짐작하셨겠지만, 2x2 행렬식 9개를 계산해야 합니다. 물론 그 과정은 지루하지만 경우가 가장 심각한 것은 아니며 더 나쁠 수도 있습니다.

음, 통합하려면 – 사진에서 또 다른 미성년자를 찾으세요.

나머지 미성년자는 직접 계산해 보세요.

최종 결과:
– 행렬의 해당 요소의 미성년자 행렬.

미성년자 전원이 음성 판정을 받은 것은 순전히 우연이다.

3) 대수적 덧셈의 행렬 찾기.

미성년자 매트릭스에서는 필요합니다 변화 신호다음 요소에만 엄격하게 적용됩니다.

이 경우:

우리는 "4x4" 행렬에 대한 역행렬을 찾는 것을 고려하지 않습니다. 왜냐하면 그러한 작업은 가학적인 교사만이 제공할 수 있기 때문입니다(학생이 하나의 "4x4" 행렬식과 16개의 "3x3" 행렬식을 계산하는 경우) ). 실제로는 그런 경우가 딱 한 번 있었는데 고객이 테스트 작업내 고통에 대한 대가를 꽤 많이 지불했습니다 =).

많은 교과서와 매뉴얼에서 역행렬을 찾는 데 약간 다른 접근 방식을 찾을 수 있지만 위에서 설명한 솔루션 알고리즘을 사용하는 것이 좋습니다. 왜? 계산과 기호가 혼동될 가능성이 훨씬 적기 때문입니다.

A*A -1 = E인 경우 행렬 A -1을 행렬 A에 대한 역행렬이라고 합니다. 여기서 E는 n차 단위 행렬입니다. 역행렬정사각 행렬에만 존재할 수 있습니다.

서비스 목적. 이 서비스를 사용하는 경우 온라인 모드대수적 보수, 전치 행렬 A T, 연합 행렬 및 역행렬을 찾을 수 있습니다. 결정은 웹사이트(온라인)에서 직접 이루어지며 비용은 무료입니다. 계산 결과는 Word 및 Excel 형식의 보고서로 표시됩니다. 즉, 솔루션 확인이 가능합니다. 디자인 예를 참조하세요.

지침. 해를 구하려면 행렬의 차원을 지정해야 합니다. 다음으로 새 대화 상자에서 행렬 A를 채웁니다.

Jordano-Gauss 방법을 사용한 역행렬도 참조하세요.

역행렬을 찾는 알고리즘

1. 전치행렬 A T 찾기.
2. 대수적 보완의 정의. 행렬의 각 요소를 대수적 보수로 바꿉니다.
3. 대수적 덧셈에서 역행렬 컴파일: 결과 행렬의 각 요소는 원래 행렬의 행렬식으로 나뉩니다. 결과 행렬은 원래 행렬의 역행렬입니다.

1. 행렬이 정사각형인지 확인합니다. 그렇지 않은 경우 역행렬이 없습니다.
2. 행렬 A의 행렬식 계산 0이 아니면 해를 계속합니다. 그렇지 않으면 역행렬이 존재하지 않습니다.
3. 대수적 보완의 정의.
4. 합집합(상호, 인접) 행렬 C를 작성합니다.
5. 대수적 덧셈에서 역행렬 컴파일: 수반 행렬 C의 각 요소는 원래 행렬의 행렬식으로 나뉩니다. 결과 행렬은 원래 행렬의 역행렬입니다.
6. 그들은 검사를 합니다: 원본과 결과 행렬을 곱합니다. 결과는 단위 행렬이어야 합니다.

예 1. 행렬을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

역행렬을 찾는 또 다른 알고리즘

1. 주어진 정사각 행렬 A의 행렬식을 구합니다.
2. 우리는 행렬 A의 모든 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.
3. 행 요소를 열에 대한 대수적 추가(전치)를 작성합니다.
4. 결과 행렬의 각 요소를 행렬 A의 행렬식으로 나눕니다.

특별한 경우: 단위 행렬 E의 역행렬은 단위 행렬 E입니다.

많은 속성의 반대와 유사합니다.

백과사전 유튜브

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✪ 역행렬을 찾는 방법 - bezbotvy

✪ 역행렬(찾는 2가지 방법)

✪ 역행렬 #1

✪ 2015-01-28. 역 3x3 행렬

✪ 2015-01-27. 역행렬 2x2

자막

역행렬의 속성

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), 어디 det (\displaystyle \\det )행렬식을 나타냅니다.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))두 개의 정사각형 역행렬의 경우 A (\디스플레이스타일 A)그리고 B (\표시스타일 B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), 어디 (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))전치된 행렬을 나타냅니다.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))모든 계수에 대해 k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• 선형 방정식 시스템을 풀어야 하는 경우 , (b - 0이 아닌 벡터) 어디 x (\디스플레이스타일 x)은 원하는 벡터이고, 만약 A − 1 (\displaystyle A^(-1))존재한다면 x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). 그렇지 않으면 솔루션 공간의 차원이 0보다 크거나 솔루션이 전혀 없습니다.

역행렬을 찾는 방법

행렬이 역행렬인 경우 역행렬을 찾으려면 다음 방법 중 하나를 사용할 수 있습니다.

정확한(직접) 방법

가우스-요르단 방법

두 개의 행렬을 살펴보겠습니다. ㅏ그리고 싱글 이자형. 매트릭스를 제시해보자 ㅏ Gauss-Jordan 방법을 사용하여 단위 행렬에 행을 따라 변환을 적용합니다(열을 따라 변환을 적용할 수도 있지만 혼합할 수는 없음). 첫 번째 행렬에 각 연산을 적용한 후 두 번째 행렬에도 동일한 연산을 적용합니다. 첫 번째 행렬이 단위 형태로 축소되면 두 번째 행렬은 다음과 같습니다. A−1.

가우시안 방법을 사용하는 경우 첫 번째 행렬은 왼쪽에서 기본 행렬 중 하나와 곱해집니다. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(한 위치를 제외하고 주 대각선에 있는 변환 또는 대각 행렬):

모든 연산을 적용한 후 두 번째 행렬은 다음과 같습니다. Λ (\디스플레이스타일\Lambda), 즉, 원하는 것이 될 것입니다. 알고리즘 복잡성 - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

대수적 보수 행렬 사용

행렬의 역행렬 A (\디스플레이스타일 A), 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다

A − 1 = 조정 (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

어디 조정 (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- 인접 행렬;

알고리즘의 복잡도는 행렬식 O det를 계산하는 알고리즘의 복잡도에 따라 달라지며 O(n²)·O det와 같습니다.

LU/LUP 분해 사용

행렬방정식 A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))역행렬의 경우 X (\디스플레이스타일 X)컬렉션이라고 볼 수 있어요 n (\표시스타일 n)형태의 시스템 A x = b (\displaystyle Ax=b). 나타내자 나는 (\displaystyle i)행렬의 번째 열 X (\디스플레이스타일 X)~을 통해 X i (\displaystyle X_(i)); 그 다음에 A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), 왜냐하면 나는 (\displaystyle i)행렬의 번째 열 I n (\displaystyle I_(n))단위 벡터입니다 e i (\displaystyle e_(i)). 즉, 역행렬을 찾는 것은 동일한 행렬과 서로 다른 우변을 사용하여 n 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다. LUP 분해(O(n³) 시간)를 수행한 후 n 방정식 각각을 푸는 데 O(n²) 시간이 걸리므로 이 작업 부분에도 O(n³) 시간이 필요합니다.

행렬 A가 비특이 행렬인 경우 이에 대해 LUP 분해를 계산할 수 있습니다. P A = L U (\displaystyle PA=LU). 허락하다 P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). 그런 다음 역행렬의 속성을 사용하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다. D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). 이 평등에 U와 L을 곱하면 다음 형식의 두 평등을 얻을 수 있습니다. U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))그리고 D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). 이러한 평등 중 첫 번째는 n² 시스템을 나타냅니다. 선형 방정식을 위한 n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))우변은 (삼각 행렬의 속성으로부터) 알려져 있습니다. 두 번째는 또한 다음에 대한 n² 선형 방정식 시스템을 나타냅니다. n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))우변을 알 수 있습니다(삼각 행렬의 속성에서도 알 수 있음). 그들은 함께 n² 평등 시스템을 나타냅니다. 이러한 등식을 사용하여 행렬 D의 모든 n² 요소를 재귀적으로 결정할 수 있습니다. 그런 다음 등식(PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D에서 등식을 얻습니다. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU 분해를 사용하는 경우 행렬 D의 열에 대한 순열은 필요하지 않지만, 행렬 A가 특이 행렬이 아니더라도 해가 발산할 수 있습니다.

알고리즘의 복잡도는 O(n³)입니다.

반복적 방법

슐츠 방법

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(건수)))

오류 추정

초기 근사값 선택

여기에서 고려된 반복 행렬 반전 프로세스에서 초기 근사치를 선택하는 문제는 이를 예를 들어 행렬의 LU 분해에 기반한 직접 반전 방법과 경쟁하는 독립적인 범용 방법으로 처리하는 것을 허용하지 않습니다. 선택에 대한 몇 가지 권장 사항이 있습니다. U 0 (\displaystyle U_(0)), 조건 충족 보장 ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (매트릭스의 스펙트럼 반경은 1보다 작습니다) 이는 프로세스의 수렴에 필요하고 충분합니다. 그러나 이 경우 먼저 역행렬 A나 행렬의 스펙트럼에 대한 추정치를 위에서부터 알아야 한다. A A T (\displaystyle AA^(T))(즉, A가 양의 정부호 대칭 행렬이고 ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), 그럼 당신은 걸릴 수 있습니다 U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), 어디 ; A가 임의의 비특이 행렬이고 ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), 그러면 그들은 믿는다 U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), 어디에서도 α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); 물론 상황을 단순화하고 다음과 같은 이점을 활용할 수 있습니다. ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), 놓다 U 0 = A T │ A A T `` (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). 둘째, 이러한 방식으로 초기 행렬을 지정할 때 다음이 보장되지 않습니다. `` Ψ 0 `` (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)작을 것입니다 (아마도 그렇게 될 것입니다) `` Ψ 0 `` > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), 그리고 높은 순서수렴 속도는 즉시 공개되지 않습니다.

예

매트릭스 2x2

2x2 행렬의 반전은 다음 조건에서만 가능합니다. a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

주어지게 하라 정사각 행렬. 역행렬을 찾아야 합니다.

첫 번째 방법. 역행렬의 존재와 고유성에 대한 정리 4.1은 이를 찾는 방법 중 하나를 나타냅니다.

1. 이 행렬의 행렬식을 계산합니다. 그렇다면 역행렬이 존재하지 않습니다(행렬은 특이행렬입니다).

2. 행렬 요소의 대수적 보수로 행렬을 구성합니다.

3. 행렬을 전치하여 수반 행렬을 얻습니다. .

4. 수반 행렬의 모든 요소를 ​​행렬식으로 나누어 역행렬(4.1)을 구합니다.

두 번째 방법. 역행렬을 찾으려면 기본 변환을 사용할 수 있습니다.

1. 주어진 행렬에 동일한 차수의 단위 행렬을 할당하여 블록 행렬을 구성합니다.

2. 행렬의 행에 대해 수행된 기본 변환을 사용하여 왼쪽 블록을 가장 간단한 형태로 만듭니다. 이 경우 블록 행렬은 단위 행렬의 변환 결과로 얻은 정사각 행렬의 형태로 축소됩니다.

3. 이면 블록은 행렬의 역행렬과 같습니다. 즉, 그렇다면 행렬에는 역행렬이 없습니다.

실제로 행렬 행의 기본 변환을 사용하면 왼쪽 블록을 단순화된 형태로 줄일 수 있습니다(그림 1.5 참조). 이 경우, 블록 행렬은 등식을 만족하는 기본 행렬인 형태로 변환된다. 행렬이 퇴화되지 않은 경우 비고 3.3의 단락 2에 따르면 단순화된 형식이 단위 행렬과 일치합니다. 그런 다음 평등에서 다음과 같습니다. 행렬이 특이 행렬인 경우 단순화된 형식은 단위 행렬과 다르며 행렬에는 역행렬이 없습니다.

11. 행렬 방정식과 그 해법. SLAE를 기록하는 매트릭스 형태. SLAE를 해결하기 위한 매트릭스 방법(역행렬 방법) 및 적용 조건.

행렬 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. A*X=C; X*A=C; A*X*B=C 여기서 매트릭스 A,B,C행렬 A와 B가 특이점이 아닌 경우 행렬 X는 알려져 있지 않으며 원래 행렬에 대한 해는 다음과 같은 적절한 형식으로 작성됩니다. X = A -1 * C; X=C*A -1; X=A -1 *C*B -1 선형 대수 방정식의 쓰기 시스템의 행렬 형식입니다.각 SLAE에는 여러 행렬이 연결될 수 있습니다. 또한 SLAE 자체는 행렬 방정식의 형태로 작성될 수 있습니다. SLAE (1)의 경우 다음 행렬을 고려하십시오.

행렬 A가 호출됩니다. 시스템의 매트릭스. 이 행렬의 요소는 지정된 SLAE의 계수를 나타냅니다.

행렬 A~는 다음과 같습니다. 확장 매트릭스 시스템. 이는 자유항 b1,b2,...,bm을 포함하는 열을 시스템 행렬에 추가하여 얻습니다. 일반적으로 이 열은 명확성을 위해 수직선으로 구분됩니다.

열 행렬 B는 다음과 같습니다. 무료 회원 매트릭스이고, 열 행렬 X는 다음과 같습니다. 미지의 행렬.

위에 소개된 표기법을 사용하여 SLAE(1)은 행렬 방정식 A⋅X=B 형식으로 작성할 수 있습니다.

메모

시스템과 관련된 행렬은 다양한 방식으로 작성될 수 있습니다. 모든 것은 고려 중인 SLAE의 변수 및 방정식의 순서에 따라 달라집니다. 그러나 어떤 경우에도 주어진 SLAE의 각 방정식에서 미지수의 순서는 동일해야 합니다.

행렬 방법은 방정식의 수가 미지 변수의 수와 일치하고 시스템의 주 행렬의 행렬식이 0과 다른 SLAE를 푸는 데 적합합니다. 시스템에 3개 이상의 방정식이 포함된 경우 역행렬을 찾는 데 상당한 계산 노력이 필요하므로 이 경우에는 다음을 사용하는 것이 좋습니다. 가우스 방법.

12. 동종 SLAE, 0이 아닌 솔루션이 존재하기 위한 조건입니다. 동종 SLAE의 부분 솔루션 속성.

선형 방정식의 자유 항이 0이면 동차 방정식이라고 하고, 그렇지 않으면 비동차 방정식이라고 합니다. 균질 방정식으로 구성된 시스템을 균질이라고 하며 다음과 같은 일반적인 형태를 갖습니다.

13 .동종 SLAE의 부분 솔루션의 선형 독립성과 종속성 개념. FSD(기본 솔루션 시스템) 및 그 결정. FSR을 통한 동종 SLAE의 일반적인 솔루션을 나타냅니다.

기능 시스템 와이 1 (엑스 ), 와이 2 (엑스 ), …, 와이 N (엑스 ) 라고 한다 선형 종속간격으로 ( ㅏ , 비 ), 세트가 있는 경우 상수 계수, 동시에 0이 아니므로 이러한 함수의 선형 조합은 ( ㅏ , 비 ): 을 위한 . 에 대해서만 동등이 가능하다면 기능 체계는 다음과 같습니다. 와이 1 (엑스 ), 와이 2 (엑스 ), …, 와이 N (엑스 ) 라고 한다 선형독립간격으로 ( ㅏ , 비 ). 즉, 기능 와이 1 (엑스 ), 와이 2 (엑스 ), …, 와이 N (엑스 ) 선형 종속간격으로 ( ㅏ , 비 ), 0과 같은 값이 있는 경우 ( ㅏ , 비 ) 그들의 사소하지 않은 선형 조합. 기능 와이 1 (엑스 ),와이 2 (엑스 ), …, 와이 N (엑스 ) 선형독립간격으로 ( ㅏ , 비 ), 사소한 선형 조합만이 (에서 0과 동일하게 동일한 경우) ㅏ , 비 ).

기본 의사결정 시스템(FSR)동종 SLAE는 이 열 시스템의 기초입니다.

FSR의 요소 수는 시스템의 알려지지 않은 수에서 시스템 행렬의 순위를 뺀 것과 같습니다. 원래 시스템의 모든 솔루션은 FSR 솔루션의 선형 조합입니다.

정리

비균질 SLAE의 일반 해는 비균질 SLAE의 특정 해와 다음의 합과 같습니다. 일반 솔루션해당 동종 SLAE.

1 . 열이 솔루션인 경우 동종 시스템방정식을 사용하면 선형 조합도 동종 시스템에 대한 솔루션이 됩니다.

실제로, 평등으로부터 다음이 따른다:

저것들. 솔루션의 선형 조합은 동종 시스템에 대한 솔루션입니다.

2. 동종 시스템의 행렬 순위가 와 같으면 시스템은 선형 독립 솔루션을 갖습니다.

실제로, 동종 시스템의 일반 해에 대한 공식(5.13)을 사용하여 우리는 자유 변수에 다음을 제공하는 특정 해를 찾습니다. 표준 값 세트 (자유 변수 중 하나가 1이고 나머지는 0이라고 가정할 때마다):

이는 선형독립입니다. 실제로 이러한 열에서 행렬을 생성하면 마지막 행이 단위 행렬을 형성합니다. 결과적으로 마지막 줄에 있는 미성년자는 0이 아닙니다(1과 같습니다). 기본이다. 따라서 행렬의 순위는 동일합니다. 이는 이 행렬의 모든 열이 선형 독립임을 의미합니다(정리 3.4 참조).

동종 시스템의 선형 독립 솔루션 모음을 호출합니다. 솔루션의 기본 시스템(세트) .

14 차수의 마이너, 기본 마이너, 행렬의 순위입니다. 행렬의 순위를 계산합니다.

행렬 A의 k차 단차는 k차의 일부 정사각 부분행렬의 행렬식입니다.

m x n 차원의 행렬 A에서 r차 마이너가 0이 아닌 경우 기본이라고 하며, 더 높은 차수의 모든 마이너가 존재하는 경우 0과 같습니다.

기저 마이너가 있는 교차점에 있는 행렬 A의 열과 행을 A의 기저 열과 행이라고 합니다.

정리 1. (행렬의 순위에 따라) 모든 행렬의 경우 마이너 순위는 행 순위 및 열 순위와 같습니다.

정리 2. (기본적으로 마이너). 각 행렬 열은 기본 열의 선형 조합으로 분해됩니다.

행렬의 순위(또는 마이너 순위)는 다음과 같습니다. 기본 부전공즉, 0이 아닌 미성년자가 있는 가장 큰 순서입니다. 영행렬의 순위는 정의에 따라 0으로 간주됩니다.

마이너 랭크의 두 가지 명백한 속성에 주목해 보겠습니다.

1) 행렬이 전치되면 모든 하위 행렬이 전치되고 마이너는 변경되지 않으므로 전치 중에 행렬의 순위는 변경되지 않습니다.

2) A'가 행렬 A의 부분행렬이라면 A'에 포함된 0이 아닌 마이너도 A에 포함되므로 A'의 순위는 A의 순위를 초과하지 않습니다.

15. 차원 산술 벡터의 개념. 벡터의 평등. 벡터에 대한 연산(더하기, 빼기, 숫자 곱하기, 행렬 곱하기) 벡터의 선형 조합.

주문된 컬렉션 N실수 또는 복소수를 호출합니다. n차원 벡터. 숫자가 불려요 벡터 좌표.

2개의(0이 아닌) 벡터 ㅏ그리고 비방향이 동일하고 모듈이 동일하면 동일합니다. 모든 0 벡터는 동일한 것으로 간주됩니다. 다른 모든 경우에는 벡터가 동일하지 않습니다.

벡터 추가. 벡터를 추가하는 방법에는 두 가지가 있습니다: 1. 평행사변형 규칙. 벡터를 추가하기 위해 두 벡터의 원점을 동일한 지점에 배치합니다. 우리는 평행사변형을 만들고 같은 지점에서 평행사변형의 대각선을 그립니다. 이것은 벡터의 합이 됩니다.

2. 벡터를 추가하는 두 번째 방법은 삼각형 규칙입니다. 동일한 벡터와 을 사용하겠습니다. 두 번째 벡터의 시작 부분을 첫 번째 벡터의 끝에 추가하겠습니다. 이제 첫 번째의 시작과 두 번째의 끝을 연결해 보겠습니다. 이는 벡터와 의 합입니다. 동일한 규칙을 사용하여 여러 벡터를 추가할 수 있습니다. 우리는 그것들을 차례로 배열한 다음 첫 번째의 시작 부분과 마지막 부분의 끝 부분을 연결합니다.

벡터 빼기. 벡터는 벡터의 반대 방향으로 향합니다. 벡터의 길이는 동일합니다. 이제 벡터 빼기가 무엇인지 분명해졌습니다. 벡터 차이는 벡터와 벡터의 합입니다.

벡터에 숫자 곱하기

벡터에 숫자 k를 곱하면 길이가 길이의 k배인 벡터가 생성됩니다. k가 0보다 크면 벡터와 같은 방향이고, k가 0보다 작으면 반대 방향입니다.

벡터의 스칼라 곱은 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것입니다.벡터가 수직인 경우 스칼라 곱은 0입니다. 그리고 이렇게 스칼라 곱는 벡터와 의 좌표를 통해 표현됩니다.

벡터의 선형 조합

벡터의 선형 조합 벡터라고 불림

어디 - 선형 조합 계수. 만약에 사소한 조합이 아닌 경우 사소한 조합이라고 합니다.

16 .산술 벡터의 스칼라 곱. 벡터 길이와 벡터 사이의 각도. 벡터 직교성의 개념.

벡터 a와 b의 스칼라 곱은 다음과 같습니다.

스칼라 곱은 1) 벡터 사이의 각도 찾기, 2) 벡터의 투영 찾기, 3) 벡터의 수직성 조건 계산에 사용됩니다.

선분 AB의 길이를 점 A와 B 사이의 거리라고 합니다. 벡터 A와 B 사이의 각도를 각도 α = (a, b), 0≤ α ≤P라고 합니다. 방향이 다른 벡터와 일치하도록 1개의 벡터를 회전해야 합니다. 그들의 기원이 일치한다면.

Ortom a는 단위 길이와 방향이 a인 벡터 a입니다.

17. 벡터 시스템과 선형 조합. 벡터 시스템의 선형 의존성과 독립성의 개념. 벡터 시스템의 선형 의존성에 대한 필요 충분 조건에 대한 정리.

벡터 a1,a2,...,an의 연립방정식은 숫자 λ1,λ2,...,λn이 있고 그 중 적어도 하나가 0이 아니고 λ1a1+λ2a2+...+λnan=0인 경우 선형 종속이라고 합니다. . 그렇지 않으면 시스템을 선형 독립이라고 합니다.

두 벡터 a1과 a2의 방향이 같거나 반대이면 동일선상이라고 합니다.

세 개의 벡터 a1, a2, a3이 어떤 평면과 평행하면 동일 평면이라고 합니다.

선형 의존성에 대한 기하학적 기준:

a) 시스템 (a1,a2)는 벡터 a1과 a2가 동일선상에 있는 경우에만 선형 종속입니다.

b) 시스템 (a1,a2,a3)은 벡터 a1,a2 및 a3이 동일 평면에 있는 경우에만 선형 종속입니다.

정리. (선형 의존성의 필요충분조건 시스템벡터.)

벡터 시스템 벡터 공간~이다 선의시스템의 벡터 중 하나가 다른 벡터의 관점에서 선형으로 표현되는 경우에만 종속됩니다. 벡터이 시스템.

결과 1. 벡터 공간의 벡터 시스템은 시스템의 벡터 중 어느 것도 이 시스템의 다른 벡터로 선형적으로 표현되지 않는 경우에만 선형 독립입니다.2. 0 벡터 또는 두 개의 동일한 벡터를 포함하는 벡터 시스템은 선형 종속입니다.

일반적으로 역연산은 복잡한 대수식을 단순화하는 데 사용됩니다. 예를 들어 문제가 분수로 나누는 연산과 관련된 경우 분수의 역수를 곱하는 연산, 즉 역연산으로 대체할 수 있습니다. 게다가 행렬은 나눌 수 없기 때문에 역행렬을 곱해야 합니다. 3x3 행렬의 역함수를 계산하는 것은 꽤 지루하지만 수동으로 계산할 수 있어야 합니다. 좋은 그래프 계산기를 사용하여 역수를 찾을 수도 있습니다.

단계

수반 행렬 사용

원래 행렬을 전치합니다.전치는 행렬의 주대각선을 기준으로 행을 열로 바꾸는 것입니다. 즉, 요소 ​​(i,j)와 (j,i)를 바꿔야 합니다. 이 경우 주대각선의 요소(왼쪽 위 모서리에서 시작하여 오른쪽 아래 모서리에서 끝남)는 변경되지 않습니다.

• 행을 열로 변경하려면 첫 번째 행의 요소를 첫 번째 열에 쓰고, 두 번째 행의 요소를 두 번째 열에, 세 번째 행의 요소를 세 번째 열에 씁니다. 요소의 위치를 ​​변경하는 순서는 그림에 표시되어 있으며 해당 요소는 색칠된 원으로 둘러싸여 있습니다.