역도함수 분수. 분수-유리 함수 통합하기

적분을 찾아야 하는 함수를 입력하세요.

부정적분을 계산한 후 입력한 적분에 대한 자세한 솔루션을 무료로 받을 수 있습니다.

함수 f(x)(함수의 역도함수)의 부정적분에 대한 해를 찾아봅시다.

예

정도를 사용하여
(정사각형 및 정육면체) 및 분수

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

제곱근

제곱(x)/(x + 1)

큐브 루트

Cbrt(x)/(3*x + 2)

사인과 코사인 사용

2*사인(x)*코사인(x)

아크사인

X*아르크신(x)

아크코사인

X*아르코스(x)

로그의 응용

X*로그(x, 10)

자연로그

출품자

Tg(x)*sin(x)

코탄젠트

Ctg(x)*cos(x)

무리수

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

아크탄젠트

X*arctg(x)

역탄젠트

X*arсctg(x)

쌍곡선 사인과 코사인

2*sh(x)*ch(x)

쌍곡선 탄젠트와 코탄젠트

Ctgh(x)/tgh(x)

쌍곡선 아크사인 및 아크코사인

X^2*아크사인(x)*아크코시(x)

쌍곡선 아크탄젠트 및 아크코탄젠트

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

표현식 및 함수 입력 규칙

표현식은 함수로 구성될 수 있습니다(기호는 알파벳 순서): 절대값(x)절대값 엑스
(기준 치수 엑스또는 |x|) 아르코스(x)함수 - 아크코사인 엑스 아크코쉬(x)아크 코사인 쌍곡선 엑스 아크신(x)아크사인 엑스 아크신(x)아크사인 쌍곡선 엑스 아크탄(x)함수 - 아크탄젠트 엑스 아크tgh(x)아크탄젠트 쌍곡선 엑스 이자형 이자형대략 2.7과 같은 숫자 특급(x)함수 - 지수 엑스(처럼 이자형^엑스) 로그(x)또는 ln(x)자연 로그 엑스
(얻기 위해 로그7(x), log(x)/log(7)을 입력해야 합니다(또는 예를 들어 로그10(x)=로그(x)/로그(10)) 파이숫자는 "Pi"이며 대략 3.14와 같습니다. 죄(x)함수 - 사인 엑스 왜냐하면(x)함수 - 코사인 엑스 신(x)기능 - 사인 쌍곡선 엑스 코시(x)기능 - 코사인 쌍곡선 엑스 제곱(x)기능 - 제곱근~에서 엑스 평방(x)또는 x^2기능 - 정사각형 엑스 황갈색(x)기능 - 탄젠트 엑스 tgh(x)기능 - 탄젠트 쌍곡선 엑스 cbrt(x)함수 - 세제곱근 엑스

표현식에서는 다음 작업을 사용할 수 있습니다. 실수다음으로 입력 7.5 , 아니다 7,5 2*x- 곱셈 3/x- 분할 x^3- 지수화 x+7- 덧셈 x - 6- 빼기
다른 기능들: 층(x)기능 - 반올림 엑스하향 (예: Floor(4.5)==4.0) 천장(x)기능 - 반올림 엑스 V 큰 면(예 천장(4.5)==5.0) 기호(x)기능 - 서명 엑스 erf(x)오류 함수(또는 확률 적분) 라플라스(x)라플라스 함수

분수라고 불리는 옳은, 분자의 최고 차수가 분모의 최고 차수보다 작은 경우. 적절한 유리 분수의 적분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

통합 공식 유리 분수분모의 다항식의 근에 따라 달라집니다. 다항식 $ ax^2+bx+c $가 다음을 갖는 경우:

1. 복소수 근만 그렇다면 그로부터 완전한 정사각형을 추출해야 합니다: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. 다른 실수 근 $ x_1 $ 및 $ x_2 $, 그러면 적분을 확장하고 부정 계수 $ A $ 및 $ B $를 찾아야 합니다. $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. 하나의 다중근 $ x_1 $, 그런 다음 적분을 확장하고 다음 공식에 대한 부정 계수 $ A $ 및 $ B $를 찾습니다. $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

분수가 잘못된즉, 분자의 최고 차수가 분모의 최고 차수보다 크거나 같으면 먼저 다음과 같이 줄여야 합니다. 옳은분자의 다항식을 분모의 다항식으로 나누어서 형성됩니다. 이 경우 유리 분수를 통합하는 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

솔루션의 예

가장 단순한 분수, 기본 분수, 네 가지 유형의 분수의 적분을 계산하기 위한 공식 유도가 제공됩니다. 네 번째 유형의 분수에서 나오는 더 복잡한 적분은 축소 공식을 사용하여 계산됩니다. 네 번째 유형의 분수를 통합하는 예가 고려됩니다.

또한보십시오: 부정 적분 표
부정 적분 계산 방법

알려진 바와 같이, 일부 변수 x의 모든 유리 함수는 다항식과 가장 단순한 기본 분수로 분해될 수 있습니다. 단순 분수에는 네 가지 유형이 있습니다.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
여기서 a, A, B, b, c는 실수입니다. 방정식 x 2 + bx + c = 0진짜 뿌리가 없어요.

처음 두 유형의 분수 통합

처음 두 분수의 통합은 적분표의 다음 공식을 사용하여 수행됩니다.
,
, n ≠ - 1 .

1. 첫 번째 유형의 분수 통합

첫 번째 유형의 분수는 t = x - a 대체에 의해 테이블 ​​적분으로 축소됩니다.
.

2. 두 번째 유형의 분수 통합

두 번째 유형의 분수는 동일한 대체 t = x - a에 의해 테이블 ​​적분으로 축소됩니다.

.

3. 세 번째 유형의 분수 통합

세 번째 유형의 분수의 적분을 고려해 보겠습니다.
.
우리는 그것을 두 단계로 계산할 것입니다.

3.1. 1단계. 분자에서 분모의 도함수를 선택하세요.

분수의 분자에서 분모의 미분을 분리해 보겠습니다. 다음을 나타내자: u = x 2 + bx + c. 구별해 봅시다: u' = 2x+b. 그 다음에
;
.
하지만
.
때문에 모듈러스 기호를 생략했습니다.

그 다음에:
,
어디
.

3.2. 2단계. A = 0, B=1로 적분을 계산합니다.

이제 나머지 적분을 계산합니다.
.

분수의 분모를 제곱합으로 가져옵니다.
,
어디 .
우리는 방정식 x 2 + bx + c = 0뿌리가 없습니다. 그렇기 때문에 .

교체를 해보자
,
.
.

그래서,
.

따라서 우리는 세 번째 유형의 분수의 적분을 찾았습니다.

,
어디 .

4. 네 번째 유형의 분수 통합

마지막으로 네 번째 유형의 분수의 적분을 고려하십시오.
.
우리는 그것을 세 단계로 계산합니다.

4.1) 분자에서 분모의 미분을 선택합니다.
.

4.2) 적분 계산
.

4.3) 적분 계산
,
축소 공식을 사용하여:
.

4.1. 1단계. 분자에서 분모의 도함수 분리하기

에서 했던 것처럼 분자에서 분모의 미분을 분리해 보겠습니다. u = x를 나타내자 2 + bx + c. 구별해 봅시다: u' = 2x+b. 그 다음에
.

.
하지만
.

마지막으로 우리는 다음을 갖습니다:
.

4.2. 2단계. n = 1인 적분 계산

적분 계산
.
그 계산은 에 설명되어 있습니다.

4.3. 3단계. 환원식 도출

이제 적분을 고려하십시오.
.

이차 삼항식을 제곱합으로 줄입니다.
.
여기 .
대체를 해보자.
.
.

우리는 변형을 수행하고 부분적으로 통합합니다.




.

곱하기 2(n - 1):
.
x와 I n으로 돌아가자.
,
;
;
.

따라서 I n에 대해 우리는 축소 공식을 얻었습니다.
.
이 공식을 일관되게 적용하면 적분 I n을 I로 줄입니다. 1 .

예

적분 계산

1. 분자에서 분모의 미분을 분리해 보겠습니다.
;
;


.
여기
.

2. 우리는 가장 간단한 분수의 적분을 계산합니다.

.

3. 우리는 축소 공식을 적용합니다:

적분을 위해.
우리의 경우 b = 1 , c = 1 , 4c - b 2 = 3. n =에 대해 이 공식을 작성합니다. 2 그리고 n = 3 :
;
.
여기에서

.

마지막으로 우리는 다음을 갖습니다:

.
에 대한 계수를 구합니다.
.

이전 단락의 위의 모든 내용을 통해 유리 분수 통합을 위한 기본 규칙을 공식화할 수 있습니다.

1. 유리 분수가 부적절한 경우 다항식과 진 유리 분수의 합으로 표시됩니다(문단 2 참조).

이는 부적절한 유리 분수의 적분을 다항식과 적절한 유리 분수의 적분으로 줄입니다.

2. 분모 분해 적절한 분수승수로.

3. 진유리분수는 단순분수의 합으로 분해됩니다. 이는 적절한 유리 분수의 적분을 단순 분수의 적분으로 줄입니다.

예를 살펴 보겠습니다.

예 1. 찾기 .

해결책. 적분 아래에는 부적절한 유리 분수가 있습니다. 전체 부분을 선택하면,

따라서,

에 주목하여, 적절한 유리분수를 전개해 보겠습니다.

간단한 분수로:

(식 (18) 참조). 그렇기 때문에

따라서 우리는 마침내

예 2. 찾기

해결책. 적분 아래에는 적절한 유리 분수가 있습니다.

이를 간단한 분수(식 (16) 참조)로 확장하면 다음을 얻습니다.

이 주제에 제시된 자료는 "유리 분수. 유리 분수를 기본(단순) 분수로 분해" 주제에 제시된 정보를 기반으로 합니다. 이 자료를 읽기 전에 최소한 이 주제를 훑어보는 것이 좋습니다. 또한, 부정 적분 표가 필요합니다.

몇 가지 용어를 상기시켜 드리겠습니다. 해당 주제에서 논의되었으므로 여기서는 간략한 공식화로 제한하겠습니다.

두 다항식의 비율 $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$를 유리함수 또는 유리분수라고 합니다. 합리적인 분수는 다음과 같습니다. 옳은, $n인 경우< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется 잘못된.

기본(가장 단순한) 유리 분수는 유리 분수입니다. 네 가지 유형:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

참고(텍스트를 보다 완벽하게 이해하는 데 바람직함): 표시\숨기기

$p^2-4q 조건이 필요한 이유는 무엇입니까?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

예를 들어 $x^2+5x+10$ 표현식의 경우 $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$를 얻습니다. $p^2-4q=-15 이후< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

그런데 이 검사에서는 $x^2$ 이전의 계수가 1과 같을 필요가 전혀 없습니다. 예를 들어 $5x^2+7x-3=0$의 경우 $D=7^을 얻습니다. 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. $D > 0$이므로 $5x^2+7x-3$ 표현식은 인수분해 가능합니다.

유리 분수(올바른 분수와 부적절한 분수)의 예와 유리 분수를 기본 분수로 분해하는 예를 찾을 수 있습니다. 여기서 우리는 통합 문제에만 관심을 가질 것입니다. 기본 분수의 적분부터 시작하겠습니다. 따라서 위의 네 가지 유형의 기본 분수 각각은 아래 공식을 사용하여 쉽게 적분할 수 있습니다. 유형 (2)와 (4)의 분수를 통합할 때 $n=2,3,4,\ldots$가 가정된다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 공식 (3)과 (4)는 $p^2-4q 조건을 충족해야 합니다.< 0$.

\begin(방정식) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(방정식) \begin(방정식) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(방정식) \begin(방정식) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(방정식)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$에 대해 $t=x+\frac(p)(2)$ 대체가 수행되고 그 후 결과 간격은 다음과 같습니다. 두 개로 나누어져 있습니다. 첫 번째는 미분 기호 아래에 입력하여 계산되고 두 번째는 $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ 형식을 갖습니다. 이 적분은 반복 관계를 사용하여 취해집니다.

\begin(방정식) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(방정식)

이러한 적분의 계산은 예제 7(세 번째 부분 참조)에서 논의됩니다.

유리 함수(유리 분수)의 적분을 계산하는 방식:

1. 피적분 함수가 기본이면 공식 (1)-(4)를 적용합니다.
2. 피적분 함수가 요소분수가 아닌 경우 요소분수의 합으로 표현한 후 (1)~(4)식을 이용하여 적분합니다.

위의 유리수 적분 알고리즘은 부인할 수 없는 장점이 있습니다. 이는 보편적입니다. 저것들. 이 알고리즘을 사용하면 통합할 수 있습니다. 어느합리적인 분수. 이것이 바로 무기한 적분(Euler, Chebyshev, Universal Trigonometric Substitution)에서 변수의 거의 모든 변경이 이러한 변경 후에 구간에서 유리 분수를 얻는 방식으로 이루어지는 이유입니다. 그리고 거기에 알고리즘을 적용해 보세요. 우리는 간단한 메모를 한 후 예제를 사용하여 이 알고리즘의 직접적인 적용을 분석할 것입니다.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

원칙적으로 이 적분은 공식을 기계적으로 적용하지 않고도 쉽게 얻을 수 있습니다. 적분 부호에서 상수 $7$를 취하고 $dx=d(x+9)$를 고려하면 다음을 얻습니다.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

자세한 내용은 해당 주제를 살펴보는 것이 좋습니다. 이러한 적분을 어떻게 해결하는지 자세히 설명합니다. 그건 그렇고, 공식은 "수동으로" 풀 때 이 단락에 적용된 것과 동일한 변환으로 증명됩니다.

2) 다시 말하지만, 기성 공식을 사용하거나 공식 없이 사용하는 두 가지 방법이 있습니다. 공식을 적용하면 $x$(4번) 앞에 있는 계수를 제거해야 한다는 점을 고려해야 합니다. 이렇게 하려면 괄호에서 다음 4개를 간단히 선택해 보겠습니다.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\왼쪽(x+\frac(19)(4)\오른쪽)^8). $$

이제 공식을 적용할 차례입니다.

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

공식을 사용하지 않고도 할 수 있습니다. 그리고 괄호에서 상수 $4$를 빼지 않고도 말이죠. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$를 고려하면 다음을 얻습니다.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

이러한 적분을 찾는 방법에 대한 자세한 설명은 "대체 적분(미분 부호 아래 대체)" 주제에 나와 있습니다.

3) 분수 $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$를 적분해야 합니다. 이 분수의 구조는 $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$입니다. 여기서 $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$입니다. 그러나 이것이 실제로 세 번째 유형의 기본 분수인지 확인하려면 $p^2-4q 조건이 충족되는지 확인해야 합니다.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

동일한 예를 풀어 봅시다. 단, 미리 만들어진 공식을 사용하지 마십시오. 분자에서 분모의 도함수를 분리해 봅시다. 이것은 무엇을 의미 하는가? 우리는 $(x^2+10x+34)"=2x+10$라는 것을 알고 있습니다. 분자에서 분리해야 하는 것은 $2x+10$ 표현식입니다. 지금까지 분자에는 $4x+7$만 포함되어 있습니다. 그러나 이것은 오래 지속되지 않을 것입니다. 분자에 다음 변환을 적용해 보겠습니다.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

이제 필수 표현식 $2x+10$가 분자에 나타납니다. 그리고 적분은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

피적분함수를 2개로 나누어 보겠습니다. 음, 따라서 적분 자체도 "분기"되어 있습니다.

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

먼저 첫 번째 적분에 대해 이야기해 보겠습니다. 약 $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$이므로 적분의 분자에는 분모의 미분이 포함됩니다. 간단히 말해서, 대신 $( 2x+10)dx$ 표현식의 $d(x^2+10x+34)$를 씁니다.

이제 두 번째 적분에 대해 몇 마디 말해 보겠습니다. 분모에서 완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. 또한 $dx=d(x+5)$도 고려합니다. 이제 이전에 얻은 적분의 합을 약간 다른 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

첫 번째 적분에서 $u=x^2+10x+34$를 치환하면 $\int\frac(du)(u)$ 형식을 취하고 사용하기 쉬운의 두 번째 공식 두 번째 적분의 경우 $u=x+5$ 변경이 가능하며 그 후에는 $\int\frac(du)(u^2+9)$ 형식을 취합니다. 이것 순수한 물부정 적분 표의 열한 번째 공식입니다. 따라서 적분의 합으로 돌아가면 다음과 같습니다.

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

우리는 공식을 적용했을 때와 동일한 답변을 얻었는데, 이는 엄밀히 말하면 놀라운 일이 아닙니다. 일반적으로 공식은 이 적분을 찾는 데 사용한 것과 동일한 방법으로 증명됩니다. 주의 깊은 독자라면 여기서 한 가지 질문이 있을 것이라고 생각합니다. 그래서 나는 다음과 같이 공식화하겠습니다.

질문 1번

부정 적분 표의 두 번째 공식을 적분 $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$에 적용하면 다음을 얻습니다.

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

솔루션에 모듈이 없는 이유는 무엇입니까?

질문 #1에 대한 답변

질문은 완전히 자연 스럽습니다. $x\in R$에 대한 표현식 $x^2+10x+34$가 0보다 크기 때문에 모듈이 누락되었습니다. 이것은 여러 가지 방법으로 보여주기가 매우 쉽습니다. 예를 들어 $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ 및 $(x+5)^2 ≥ 0$이므로 $(x+5)^2+9 > 0$입니다. . 완전한 사각형을 선택하지 않고도 다르게 생각할 수 있습니다. $10^2-4\cdot 34=-16 이후< 0$, то $x^2+10x+34 >$x\in R$에 대해 0$(이 논리 체인이 놀랍다면 그래픽 솔루션 방법을 살펴보는 것이 좋습니다. 이차 부등식). 어쨌든 $x^2+10x+34 > 0$이므로 $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$입니다. 즉, 모듈 대신 일반 괄호를 사용할 수 있습니다.

예제 1번의 모든 사항이 해결되었으므로 답을 적는 것만 남았습니다.

답변:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

예 2

적분 $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$를 구합니다.

언뜻 보기에, 적분 분수 $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$는 세 번째 유형의 기본 분수와 매우 유사합니다. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$로. 유일한 차이점은 $x^2$ 앞에 있는 $3$의 계수인 것 같지만, 계수를 제거하는 데는 오랜 시간이 걸리지 않습니다(괄호 안에 넣기). 그러나 이러한 유사성은 분명합니다. 분수 $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$의 경우 $p^2-4q 조건이 필수입니다.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ 이전의 계수는 1과 같지 않으므로 $p^2-4q 조건을 확인하세요.< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант 0보다 작음이면 $x^2+px+q$ 표현식을 인수분해할 수 없습니다. 분수의 분모인 $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$에 있는 다항식 $3x^2-5x-2$의 판별식을 계산해 보겠습니다. 따라서 $D > 0$이므로 $3x^2-5x-2$ 표현식을 인수분해할 수 있습니다. 이는 분수 $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$가 세 번째 유형의 요소 분수가 아니며 $\int\frac(7x+12)(3x^2- )를 적분 5x-2)dx$ 공식에 적용하는 것은 불가능합니다.

음, 주어진 유리 분수가 기본 분수가 아닌 경우 기본 분수의 합으로 표현한 다음 적분해야 합니다. 즉, 트레일을 활용하십시오. 유리 분수를 기본 분수로 분해하는 방법이 자세히 설명되어 있습니다. 분모를 인수분해하는 것부터 시작해 보겠습니다.

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(정렬) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(정렬)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\왼쪽(x+\frac(1)(3)\오른쪽)(x-2). $$

우리는 다음 형식으로 하위 간격 분수를 제시합니다.

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

이제 분수 $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$를 기본 분수로 분해해 보겠습니다.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\오른쪽). $$

계수 $A$ 및 $B$를 찾는 데는 두 가지 표준 방법, 즉 미정 계수 방법과 부분 값 대체 방법이 있습니다. $x=2$와 $x=-\frac(1)(3)$를 대체하는 부분 값 대체 방법을 적용해 보겠습니다.

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

계수가 발견되었으므로 남은 것은 완성된 전개를 기록하는 것뿐입니다.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

원칙적으로 이 항목을 그대로 둘 수 있지만 더 정확한 옵션이 마음에 듭니다.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

원래 적분으로 돌아가서 결과 확장을 여기에 대체합니다. 그런 다음 적분을 두 개로 나누고 각각에 공식을 적용합니다. 나는 적분 부호 외부에 상수를 즉시 배치하는 것을 선호합니다.

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

답변: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

예 3

적분 $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$를 구합니다.

분수 $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$를 적분해야 합니다. 분자에는 2차 다항식이 포함되고, 분모에는 3차 다항식이 포함됩니다. 분자의 다항식 차수는 분모의 다항식 차수보다 작기 때문에, 즉 $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

우리가 해야 할 일은 주어진 적분을 3개로 나누고 각각에 공식을 적용하는 것뿐입니다. 나는 적분 부호 외부에 상수를 즉시 배치하는 것을 선호합니다.

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

답변: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

이 주제의 사례 분석은 두 번째 부분에 계속됩니다.