정다각형. 정다각형의 변의 수

고장난

정의

파선또는 짧게 말하면, 파선는 첫 번째 세그먼트의 끝 중 하나가 두 번째 세그먼트의 끝 역할을 하고, 두 번째 세그먼트의 다른 쪽 끝이 세 번째 세그먼트의 끝 역할을 하는 유한한 세그먼트 시퀀스입니다. 이 경우 인접한 세그먼트는 동일한 직선 위에 있지 않습니다. 이러한 세그먼트를 파선의 링크라고 합니다.

폴리라인의 종류

파선이라고 불리는 것은 닫은, 첫 번째 세그먼트의 시작이 마지막 세그먼트의 끝과 일치하는 경우.

파선은 교차하거나, 접촉하거나, 겹칠 수 있습니다. 그러한 특이점이 없으면 그러한 점선을 호출합니다. 단순한.

다각형

정의

간단한 닫힌 파선과 그에 의해 경계를 이루는 평면의 일부를 호출합니다. 다각형.

논평

다각형의 각 꼭지점에서 그 변은 다각형의 특정 각도를 정의합니다. 덜 확장되거나 더 확장될 수 있습니다.

재산

모든 다각형의 각도는 $180^\circ$보다 작습니다.

증거

다각형 $P$가 주어졌다고 가정합니다.

교차하지 않는 직선을 그려 봅시다. 다각형과 평행하게 이동하겠습니다. 어느 시점에서 처음으로 다각형 $P$와 적어도 하나의 공통점을 갖는 $a$ 선을 얻게 됩니다. 다각형은 이 선의 한쪽에 있습니다(일부 점은 $a$ 선에 있습니다).

$a$ 선에는 다각형의 정점이 하나 이상 포함되어 있습니다. $a$ 선의 한쪽에 있는 두 변이 그 선으로 수렴됩니다(둘 중 하나가 이 선에 있는 경우도 포함). 이는 이 정점에서 각도가 펼쳐진 정점보다 작다는 것을 의미합니다.

정의

폴리곤이 호출됩니다. 볼록한, 해당 변을 포함하는 각 줄의 한쪽에 있는 경우. 다각형이 볼록하지 않은 경우라고 합니다. 볼록하지 않은.

논평

볼록 다각형은 다각형의 측면을 포함하는 선으로 둘러싸인 반평면의 교차점입니다.

볼록 다각형의 속성

볼록 다각형은 모든 각도가 $180^\circ$보다 작습니다.

볼록 다각형(특히 대각선)의 두 점을 연결하는 선분은 이 다각형에 포함됩니다.

증거

첫 번째 속성을 증명해보자

볼록 다각형 $P$의 임의의 각도 $A$와 정점 $A$에서 나오는 변 $a$를 취합니다. $l$을 $a$ 면을 포함하는 줄로 설정합니다. 다각형 $P$는 볼록형이므로 선 $l$의 한 변에 위치합니다. 결과적으로 각도 $A$도 이 선의 한쪽에 있습니다. 이는 각도 $A$가 전개된 각도, 즉 $180^\circ$보다 작다는 것을 의미합니다.

두 번째 성질을 증명해보자

볼록 다각형 $P$의 두 점 $A$와 $B$를 선택합니다. 다각형 $P$는 여러 반평면의 교차점입니다. 세그먼트 $AB$는 이러한 각 반평면에 포함되어 있습니다. 따라서 다각형 $P$에도 포함됩니다.

정의

다각형의 대각선인접하지 않은 정점을 연결하는 세그먼트라고 합니다.

정리(n각형의 대각선 수에 관한)

볼록 $n$-gon의 대각선 수는 $\dfrac(n(n-3))(2)$ 공식으로 계산됩니다.

증거

n각형의 각 꼭지점에서 $n-3$ 대각선을 그리는 것이 가능합니다(인접 꼭지점이나 이 꼭지점 자체에는 대각선을 그릴 수 없습니다). 가능한 모든 세그먼트를 계산하면 $n$ 정점이 있으므로 $n\cdot(n-3)$이 됩니다. 그러나 각 대각선은 두 번 계산됩니다. 따라서 n각형의 대각선 수는 $\dfrac(n(n-3))(2)$와 같습니다.

정리(n각형 각도의 합에 대한)

볼록 $n$-gon의 각도의 합은 $180^\circ(n-2)$입니다.

증거

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$을 고려해보세요.

이 다각형 내부에 임의의 점 $O$을 가져가겠습니다.

모든 삼각형 $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$의 각도의 합은 $180^\circ\cdot n$과 같습니다.

한편, 이 합은 다각형의 모든 내부 각도와 전체 각도 $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$의 합입니다.

그러면 고려 중인 $n$-gon 각도의 합은 $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$와 같습니다.

결과

볼록하지 않은 $n$-gon의 각도의 합은 $180^\circ(n-2)$입니다.

증거

$\angle A_2$만이 볼록하지 않은 각도, 즉 $\angle A_2>180^\circ$인 다각형 $A_1A_2\ldots A_n$을 생각해 보세요.

그가 잡은 어획량의 합계를 $S$로 표시하겠습니다.

$A_1A_3$ 점을 연결하고 $A_1A_3\ldots A_n$ 다각형을 고려해 보겠습니다.

이 다각형의 각도의 합은 다음과 같습니다.

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\각도 A_2+\각도 1+\각 2=S-\각 A_2+180^\circ-\각 A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \각 A_1A_2A_3+\각 A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

따라서 $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$입니다.

원래 다각형에 볼록하지 않은 각도가 두 개 이상 있는 경우 각 각도에 대해 위에 설명된 작업을 수행할 수 있으며, 이를 통해 명제는 증명될 수 있습니다.

정리(볼록한 n각형의 외부 각도의 합)

볼록 $n$-gon의 외각의 합은 $360^\circ$입니다.

증거

꼭지점 $A_1$의 외부 각도는 $180^\circ-\angle A_1$과 같습니다.

모든 외부 각도의 합은 다음과 같습니다.

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.

기초 기하학 과정에서 볼록한 n각형의 각도의 합은 180°(n-2)라는 것이 증명되었습니다. 이 진술은 볼록하지 않은 다각형에도 해당되는 것으로 나타났습니다.

정리 3. 임의의 n각형 각도의 합은 180°(n - 2)입니다.

증거. 대각선을 그려 다각형을 삼각형으로 나누어 보겠습니다(그림 11). 그러한 삼각형의 수는 n-2이고, 각 삼각형의 각도의 합은 180°입니다. 삼각형의 각이 다각형의 각을 이루므로 다각형의 각의 합은 180°(n - 2)입니다.

이제 자기교차점 A1A2…AnA1이 있는 임의의 닫힌 파선을 고려해 보겠습니다(그림 12, a). 우리는 이러한 자기교차하는 점선을 별 다각형이라고 부를 것입니다(그림 12, b-d).

각도 계산 방향을 시계 반대 방향으로 고정해 보겠습니다. 닫힌 폴리라인이 이루는 각도는 폴리라인이 이동하는 방향에 따라 달라집니다. 다각형을 횡단하는 방향이 반전되면 다각형의 각도는 최대 360°까지 원래 다각형의 각도를 보완하는 각도가 됩니다.

M이 단순한 닫힌 점선으로 형성된 다각형이고 시계 방향으로 횡단할 수 있는 경우(그림 13, a), 이 다각형의 각도의 합은 180°(n - 2)와 같습니다. 파선이 시계 반대 방향으로 이어지는 경우(그림 13, b) 각도의 합은 180°(n + 2)와 같습니다.

따라서, 일반 공식단순한 닫힌 파선으로 형성된 다각형 각도의 합은 = 180° (n 2) 형식을 갖습니다. 여기서 는 각도의 합이고, n은 다각형의 각도 수, "+" 또는 "-입니다. ”는 파선의 횡단 방향에 따라 결정됩니다.

우리의 임무는 닫힌(아마도 자기교차하는) 파선으로 형성된 임의의 다각형의 각도의 합에 대한 공식을 도출하는 것입니다. 이를 위해 다각형의 각도 개념을 도입합니다.

다각형의 각도는 점의 측면을 완전히 순차적으로 횡단할 때 점이 만드는 회전 수입니다. 또한 시계 반대 방향으로 회전하면 "+" 기호로, 시계 방향으로 회전하면 "-" 기호로 계산됩니다.

단순한 닫힌 폴리라인으로 형성된 다각형은 횡단 방향에 따라 +1 또는 -1의 각도를 갖는다는 것이 분명합니다. 그림 12a의 파선 정도는 2와 같습니다. 별 모양의 칠각형의 각도 (그림 12, c, d)는 각각 2와 3과 같습니다.

각도 개념은 평면의 닫힌 곡선에 대해서도 비슷한 방식으로 정의됩니다. 예를 들어, 그림 14에 표시된 곡선의 각도는 2입니다.

다각형이나 곡선의 각도를 찾으려면 다음과 같이 진행할 수 있습니다. 곡선(그림 15, a)을 따라 이동하면서 A1 지점에서 시작하여 완전히 회전하여 같은 지점 A1에 도달했다고 가정해 보겠습니다. 곡선에서 해당 부분을 제거하고 나머지 곡선을 따라 계속 이동해 보겠습니다(그림 15,b). A2 지점에서 시작하여 다시 완전히 회전하여 동일한 지점에 도달하면 곡선의 해당 섹션을 삭제하고 계속 이동합니다(그림 15, c). 횡단 방향에 따라 "+" 또는 "-" 기호가 있는 원격 섹션의 수를 세어 필요한 곡선 각도를 얻습니다.

정리 4. 임의의 다각형의 경우 공식은 다음과 같습니다.

180° (n +2m),

여기서 는 각도의 합이고, n은 각도의 수이고, m은 다각형의 각도입니다.

증거. 다각형 M의 각도가 m이고 일반적으로 그림 16에 표시됩니다. M1, ..., Mk는 점이 완전히 회전하는 지점을 통과하는 단순한 닫힌 파선입니다. A1, …, Ak는 파선의 해당 자기교차점이며 정점이 아닙니다. 다각형 M1, …, Mk에 포함된 다각형 M의 꼭지점 수를 각각 n1, …, nk로 나타내자. 다각형 M의 꼭지점에 더해 꼭지점 A1, ..., Ak가 이들 다각형에 추가되므로 다각형 M1, ..., Mk의 꼭지점 수는 n1+1,… .., nk+1입니다. 그러면 각도의 합은 180°(n1+12), ..., 180°(nk+12)가 됩니다. 파선을 통과하는 방향에 따라 플러스 또는 마이너스가 결정됩니다. 다각형 M1, ..., Mk를 제거한 후 다각형 M에서 남은 다각형 M0의 각도의 합은 180°(n-n1-...-nk+k2)와 같습니다. 다각형 M0, M1, ..., Mk의 각도의 합은 다각형 M의 각도의 합을 제공하고 각 정점 A1, ..., Ak에서 추가로 360°를 얻습니다. 그러므로 우리는 평등하다.

180°(n1+12)+…+180°(nk+12)+180°(n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180°(n2…2) = 180°(n+2m),

여기서 m은 다각형 M의 각도입니다.

예를 들어, 다섯개 별의 각도의 합을 계산하는 것을 고려하십시오(그림 17, a). 해당 닫힌 파선의 각도는 -2입니다. 따라서 필요한 각도의 합은 180입니다.

삼각형, 정사각형, 육각형 - 이 수치는 거의 모든 사람에게 알려져 있습니다. 그러나 모든 사람이 정다각형이 무엇인지 아는 것은 아닙니다. 그러나 이것들은 모두 동일합니다. 정다각형은 각도와 변이 동일합니다. 이러한 수치는 많이 있지만 모두 동일한 속성을 가지며 동일한 공식이 적용됩니다.

정다각형의 속성

정사각형이든 팔각형이든 모든 정다각형은 원 안에 들어갈 수 있습니다. 이 기본 속성은 그림을 구성할 때 자주 사용됩니다. 또한 원은 다각형에 새겨질 수 있습니다. 이 경우 접점 수는 측면 수와 같습니다. 정다각형에 새겨진 원은 공통 중심을 갖는 것이 중요합니다. 이것들 기하학적 인물동일한 정리가 적용됩니다. 정n각형의 모든 변은 그것을 둘러싼 원 R의 반경과 관련되어 있습니다. 따라서 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다: a = 2R ∙ sin180°. 이를 통해 다각형의 측면뿐만 아니라 둘레도 찾을 수 있습니다.

정다각형의 변의 수를 구하는 방법

어느 하나는 서로 동일한 특정 수의 세그먼트로 구성되며, 연결되면 닫힌 선을 형성합니다. 이 경우 결과 그림의 모든 각도는 동일한 값을 갖습니다. 다각형은 단순하고 복잡한 것으로 구분됩니다. 첫 번째 그룹에는 삼각형과 사각형이 포함됩니다. 복잡한 다각형은 더 큰 숫자측면 여기에는 별 모양의 인물도 포함됩니다. 복잡한 정다각형의 경우 원 안에 내접하여 변을 찾습니다. 증거를 제시해 보겠습니다. 임의의 변 수 n을 갖는 정다각형을 그립니다. 주위에 원을 그립니다. 반지름 R을 설정합니다. 이제 n각형이 주어졌다고 상상해 보세요. 각도의 점이 원 위에 있고 서로 같으면 a = 2R ∙ sinα: 2 공식을 사용하여 측면을 찾을 수 있습니다.

내접된 정삼각형의 변의 수 구하기

정삼각형은 정다각형이다. 정사각형과 n각형에 적용되는 것과 동일한 공식이 적용됩니다. 삼각형은 변의 길이가 같으면 정삼각형으로 간주됩니다. 이 경우 각도는 60⁰입니다. 주어진 변의 길이가 a인 삼각형을 만들어 봅시다. 중앙값과 높이를 알면 변의 값을 알 수 있습니다. 이를 위해 a = x: cosα 공식을 통해 찾는 방법을 사용합니다. 여기서 x는 중앙값 또는 높이입니다. 삼각형의 모든 변이 동일하므로 a = b = c를 얻습니다. 그러면 다음 진술이 참이 됩니다: a = b = c = x: cosα. 마찬가지로 이등변삼각형의 변의 값을 찾을 수 있지만 x는 주어진 높이가 됩니다. 이 경우 그림의 베이스에 엄격하게 투영되어야 합니다. 따라서 높이 x를 알면 변 a를 구합니다. 이등변 삼각형공식 a = b = x: cosα에 따르면. a의 값을 구한 후 밑변 c의 길이를 계산할 수 있습니다. 피타고라스의 정리를 적용해 봅시다. 밑수 c의 절반 값을 찾습니다: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. 그러면 c = 2xtanα입니다. 이 간단한 방법으로 내접 다각형의 변의 수를 찾을 수 있습니다.

원에 새겨진 정사각형의 변 계산하기

다른 내접 정다각형과 마찬가지로 정사각형은 변과 각도가 동일합니다. 삼각형과 동일한 공식이 적용됩니다. 대각선 값을 사용하여 정사각형의 변의 크기를 계산할 수 있습니다. 이 방법을 더 자세히 고려해 보겠습니다. 대각선은 각도를 반으로 나누는 것으로 알려져 있습니다. 처음에는 그 값이 90도였습니다. 따라서 분할 후 두 개가 형성되며 밑면의 각도는 45도와 같습니다. 따라서 정사각형의 각 변은 동일합니다. 즉, a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2입니다. 여기서 e는 정사각형의 대각선 또는 다음에 형성된 직각 삼각형의 밑변입니다. 분할. 아니다 유일한 방법정사각형의 변을 찾는 것. 이 그림을 원 안에 새겨봅시다. 이 원 R의 반지름을 알면 정사각형의 변을 찾을 수 있습니다. 이를 다음과 같이 계산합니다: a4 = R√2. 정다각형의 반지름은 R = a: 2tg(360o: 2n) 공식을 사용하여 계산됩니다. 여기서 a는 변의 길이입니다.

n각형의 둘레를 계산하는 방법

n각형의 둘레는 모든 변의 합입니다. 계산하기 쉽습니다. 그러기 위해서는 모든 면의 의미를 알아야 합니다. 일부 유형의 다각형에는 특별한 공식이 있습니다. 이를 통해 경계선을 훨씬 빠르게 찾을 수 있습니다. 모든 정다각형은 동일한 변을 갖는 것으로 알려져 있습니다. 따라서 둘레를 계산하려면 그 중 적어도 하나를 아는 것으로 충분합니다. 공식은 그림의 변의 수에 따라 달라집니다. 일반적으로 다음과 같습니다: P = an, 여기서 a는 측면 값이고 n은 각도의 수입니다. 예를 들어, 한 변이 3cm인 정팔각형의 둘레를 구하려면 여기에 8을 곱해야 합니다. 즉, 한 변이 5cm인 육각형의 경우 P = 3 ∙ 8 = 24cm입니다. 다음과 같습니다: P = 5 ∙ 6 = 30cm. 각 다각형에 대해서도 마찬가지입니다.

평행사변형, 정사각형, 마름모의 둘레 구하기

정다각형의 변 수에 따라 둘레가 계산됩니다. 이렇게 하면 작업이 훨씬 쉬워집니다. 실제로 다른 그림과 달리 이 경우 모든 측면을 찾을 필요가 없으며 하나만 있으면 충분합니다. 같은 원리로 사각형과 마름모의 둘레를 구합니다. 서로 다른 도형이라는 사실에도 불구하고 공식은 동일합니다. P = 4a, 여기서 a는 변입니다. 예를 들어 보겠습니다. 마름모나 정사각형의 한 변이 6 cm이면 둘레는 다음과 같이 구합니다: P = 4 ∙ 6 = 24 cm 평행사변형의 경우 반대 변만 동일합니다. 따라서 다른 방법을 사용하여 둘레를 찾습니다. 따라서 그림의 길이 a와 너비 b를 알아야 합니다. 그런 다음 공식 P = (a + b) ∙ 2를 적용합니다. 모든 변과 각도가 동일한 평행 사변형을 마름모라고합니다.

정삼각형과 직각삼각형의 둘레 구하기

올바른 둘레는 공식 P = 3a를 사용하여 찾을 수 있습니다. 여기서 a는 변의 길이입니다. 알 수 없는 경우 중앙값을 통해 찾을 수 있습니다. 안에 정삼각형두 측면만이 똑같이 중요합니다. 그 기초는 피타고라스의 정리를 통해 찾을 수 있습니다. 세 변의 값을 모두 알고 나면 둘레를 계산합니다. 이는 P = a + b + c 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 여기서 a와 b는 같은 변이고 c는 밑변입니다. 이등변삼각형 a = b = a에서 이는 a + b = 2a, 그러면 P = 2a + c를 의미합니다. 예를 들어 이등변삼각형의 한 변의 길이가 4cm라면 밑변과 둘레를 구해 봅시다. = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 cm인 피타고라스 정리를 사용하여 빗변의 값을 계산합니다. 이제 둘레 P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm를 계산합니다.

정다각형의 각도를 구하는 방법

예를 들어 정사각형, 삼각형, 팔각형과 같은 정다각형은 우리 삶에서 매일 발생합니다. 이 그림을 직접 만드는 것보다 쉬운 일은 없을 것 같습니다. 그러나 이것은 언뜻보기에 간단합니다. n각형을 구성하려면 해당 각도의 값을 알아야 합니다. 하지만 어떻게 찾을 수 있나요? 고대 과학자들조차 정다각형을 만들려고 시도했습니다. 그들은 그것들을 원에 맞추는 방법을 알아냈습니다. 그런 다음 필요한 점을 표시하고 직선으로 연결했습니다. 간단한 수치의 경우 구성 문제가 해결되었습니다. 공식과 정리가 얻어졌습니다. 예를 들어, 유클리드(Euclid)는 그의 유명한 작품 "인셉션(Inception)"에서 3-, 4-, 5-, 6-, 15각형 문제를 해결하는 방법을 다루었습니다. 그는 그것들을 구성하고 각도를 찾는 방법을 찾았습니다. 15각형에 대해 이 작업을 수행하는 방법을 살펴보겠습니다. 먼저 내부 각도의 합을 계산해야 합니다. S = 180⁰(n-2) 공식을 사용해야 합니다. 따라서 15각형이 주어지며 이는 n이 15임을 의미합니다. 우리가 알고 있는 데이터를 공식에 대입하면 S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰을 얻습니다. 우리는 15각형의 모든 내각의 합을 찾았습니다. 이제 각각의 값을 구해야 합니다. 총 15개의 각도가 있습니다. 2340⁰: 15 = 156⁰로 계산됩니다. 이는 각 내부 각도가 156⁰과 동일하다는 것을 의미합니다. 이제 눈금자와 나침반을 사용하여 일반 15각형을 구성할 수 있습니다. 하지만 더 복잡한 n-gon은 어떻습니까? 수세기 동안 과학자들은 이 문제를 해결하기 위해 노력해 왔습니다. 이는 18세기에 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의해 발견되었습니다. 그는 65537곤을 건설할 수 있었다. 그 이후로 문제는 공식적으로 완전히 해결된 것으로 간주되었습니다.

라디안 단위의 n-gon 각도 계산

물론 다각형의 각도를 구하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 대부분의 경우 각도로 계산됩니다. 그러나 라디안으로 표현될 수도 있습니다. 어떻게 하나요? 다음과 같이 진행해야 합니다. 먼저, 정다각형의 변의 수를 알아낸 다음 그 값에서 2를 뺍니다. 이는 n - 2라는 값을 얻음을 의미합니다. 찾은 차이에 숫자 n을 곱합니다(“pi” = 3.14). 이제 남은 것은 결과 제품을 n각형의 각도 수로 나누는 것입니다. 예를 들어 동일한 십각형을 사용하여 이러한 계산을 고려해 보겠습니다. 따라서 숫자 n은 15입니다. S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72라는 공식을 적용해 보겠습니다. 물론 이것이 라디안 단위로 각도를 계산하는 유일한 방법은 아닙니다. 각도를 57.3도로 간단히 나눌 수 있습니다. 결국 이것은 1라디안과 동일한 각도입니다.

각도 계산

도와 라디안 외에도 정다각형의 각도를 도 단위로 구할 수 있습니다. 이는 다음과 같이 수행됩니다. 에서 총 수각도에서 2를 빼고 결과 차이를 정다각형의 변의 수로 나눕니다. 발견 된 결과에 200을 곱합니다. 그런데 각도 측정 단위는 실제로 사용되지 않습니다.

n각형의 외부 각도 계산

정다각형의 경우 내부 다각형 외에도 외부 각도도 계산할 수 있습니다. 그 값은 다른 수치와 동일한 방식으로 발견됩니다. 따라서 정다각형의 외각을 구하려면 내각의 값을 알아야 합니다. 또한, 우리는 이 두 각도의 합이 항상 180도라는 것을 알고 있습니다. 따라서 우리는 180⁰에서 내부 각도 값을 뺀 다음과 같이 계산합니다. 우리는 차이점을 발견합니다. 인접한 각도의 값과 같습니다. 예를 들어 정사각형의 내부 각도는 90도이므로 외부 각도는 180⁰ - 90⁰ = 90⁰입니다. 보시다시피 찾기가 어렵지 않습니다. 외부 각도는 각각 +180⁰에서 -180⁰까지의 값을 가질 수 있습니다.

8학년 때 학교 기하학 수업 중에 학생들은 처음으로 볼록 다각형의 개념을 접하게 됩니다. 곧 그들은 이 수치가 매우 중요하다는 것을 알게 될 것입니다. 흥미로운 재산. 아무리 복잡하더라도 볼록 다각형의 모든 내부 각도와 외부 각도의 합은 엄격하게 정의된 값을 갖습니다. 이 기사에서 수학과 물리학 교사는 볼록 다각형의 각도의 합이 무엇인지에 대해 이야기합니다.

볼록 다각형의 내각의 합

이 공식을 증명하는 방법은 무엇입니까?

이 진술의 증명으로 넘어가기 전에 어떤 다각형이 볼록하다고 불리는지 기억해 봅시다. 볼록 다각형은 측면 중 하나를 포함하는 선의 한쪽에만 완전히 놓인 다각형입니다. 예를 들어, 이 그림에 표시된 것은 다음과 같습니다.

다각형이 지정된 조건을 만족하지 않으면 볼록하지 않다고 합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

볼록 다각형의 내각의 합은 와 같습니다. 여기서 는 다각형의 변의 수입니다.

이 사실의 증거는 모든 학생들에게 잘 알려진 삼각형 각도의 합에 관한 정리에 기초합니다. 나는 이 정리가 여러분에게도 친숙할 것이라고 확신합니다. 삼각형의 내각의 합은 와 같습니다.

아이디어는 볼록 다각형을 여러 개의 삼각형으로 분할하는 것입니다. 이것은 할 수 있습니다 다른 방법들. 어떤 방법을 선택하느냐에 따라 증거가 조금씩 달라질 것입니다.

1. 일부 꼭지점에서 그려진 가능한 모든 대각선을 사용하여 볼록 다각형을 삼각형으로 나눕니다. 그러면 n-gon이 삼각형으로 나누어진다는 것을 이해하기 쉽습니다.

또한 결과로 생성되는 모든 삼각형의 모든 각도의 합은 n각형의 각도의 합과 같습니다. 결국 결과 삼각형의 각 각도는 볼록 다각형의 부분 각도입니다. 즉, 필요한 금액은 입니다.

2. 볼록 다각형 내부의 한 점을 선택하여 모든 정점에 연결할 수도 있습니다. 그런 다음 n-gon은 삼각형으로 나누어집니다.

또한 이 경우 다각형의 각도의 합은 모든 삼각형의 모든 각도의 합에서 중심각을 뺀 값과 같습니다. 즉, 필요한 금액은 다시 .

볼록 다각형의 외각의 합

이제 질문을 해보자: "볼록 다각형의 외각의 합은 얼마인가?" 이 질문은 다음과 같이 대답할 수 있습니다. 각 외부 모서리는 해당 내부 모서리에 인접합니다. 그러므로 다음과 같습니다:

그러면 모든 외부 각도의 합은 와 같습니다. 즉, 동등합니다.

즉, 매우 재미있는 결과가 얻어집니다. 볼록 n각형의 모든 외부 각도를 차례로 순차적으로 플로팅하면 결과는 정확히 전체 평면이 됩니다.

이것 흥미로운 사실다음과 같이 설명할 수 있다. 볼록 다각형이 하나의 점으로 합쳐질 때까지 모든 면을 비례적으로 줄여보겠습니다. 이런 일이 발생하면 모든 외부 각도가 서로 떨어져 배치되어 전체 평면을 채웁니다.

흥미로운 사실이죠, 그렇죠? 그리고 기하학에는 그러한 사실이 많이 있습니다. 그러니 사랑하는 학생 여러분, 기하학을 배우십시오!

볼록 다각형의 각도의 합이 무엇인지에 대한 자료는 Sergey Valerievich가 준비했습니다.