직사각형 개념의 다섯 가지 필수 속성. 직사각형이란 무엇입니까? 직사각형의 특별한 경우

직사각형은 모든 각도가 직각(90도와 동일)인 평행사변형입니다. 직사각형의 면적은 인접한 변의 곱과 같습니다. 직사각형의 대각선은 같습니다. 직사각형의 넓이를 구하는 두 번째 공식은 대각선을 사용하여 사각형의 넓이를 구하는 공식에서 나옵니다.

직사각형각 각이 맞는 사각형입니다.

정사각형은 직사각형의 특별한 경우입니다.

직사각형에는 두 쌍의 동일한 변이 있습니다. 가장 긴 변 쌍의 길이를 이라고 합니다. 직사각형 길이, 가장 짧은 것의 길이는 다음과 같습니다. 직사각형 너비.

직사각형 속성

1. 직사각형은 평행사변형이다.

이 속성은 평행사변형 특징 3(즉, \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) )의 작용으로 설명됩니다.

2. 반대편은 동일합니다.

\(AB = CD,\enspace BC = AD\)

3. 반대쪽 변은 평행합니다.

\(AB \병렬 CD,\enspace BC \병렬 AD\)

4. 인접한 변은 서로 수직입니다.

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB \)

5. 직사각형의 대각선은 동일합니다.

\(AC = BD\)

에 따르면 속성 1직사각형은 평행사변형으로 \(AB = CD\) 를 의미합니다.

따라서, \(\삼각형 ABD = \삼각형 DCA\)두 개의 다리(\(AB = CD\) 및 \(AD\) - 관절)에 있습니다.

두 숫자 - \(ABC \) 및 \(DCA \)가 동일하면 빗변 \(BD \) 및 \(AC \)도 동일합니다.

따라서 \(AC = BD\) 입니다.

모든 도형 중에서(평행사변형만!) 직사각형만이 대각선의 길이가 동일합니다.

이것도 증명해보자.

\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) 조건에 따라. \(\오른쪽 화살표 \삼각형 ABD = \삼각형 DCA \)이미 3면에 있어요.

\(\angle A = \angle D\)(평행사변형의 각도와 유사)임이 밝혀졌습니다. 그리고 \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) 입니다.

우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. \(\각 A = \각 B = \각 C = \각 D\). 모두 \(90^(\circ) \) 입니다. 전체적으로 - \(360^(\circ) \) .

7. 대각선은 직사각형을 두 개의 동일한 직각삼각형으로 나눕니다.

\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

8. 대각선의 교차점은 대각선을 반으로 나눕니다.

\(AO = BO = CO = DO \)

9. 대각선의 교차점은 직사각형과 외접원의 중심입니다.

정의.

직사각형은 긴 변과 짧은 변의 비율만 서로 다르지만 네 모서리가 모두 직각, 즉 90도입니다.

직사각형의 긴 변을 직사각형이라고 합니다. 직사각형 길이, 그리고 짧은 것은 - 직사각형 너비.

직사각형의 변의 높이도 높이입니다.

직사각형의 기본 속성

직사각형은 평행사변형, 정사각형 또는 마름모일 수 있습니다.

1. 직사각형의 반대쪽 변의 길이가 같습니다. 즉, 동일합니다.

AB = CD, BC = AD

2. 직사각형의 반대쪽은 평행합니다.

3. 직사각형의 인접한 변은 항상 수직입니다.

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. 직사각형의 네 모서리는 모두 직선입니다.

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. 직사각형의 내각의 합은 360도입니다.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. 직사각형의 대각선 길이는 다음과 같습니다.

7. 직사각형 대각선의 제곱의 합은 변의 제곱의 합과 같습니다.

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. 직사각형의 각 대각선은 직사각형을 두 개의 동일한 도형, 즉 직각삼각형으로 나눕니다.

9. 직사각형의 대각선이 교차하고 교차점에서 반으로 나뉩니다.

10. 대각선의 교점을 직사각형의 중심이라 하고 외접원의 중심이기도 하다

11. 직사각형의 대각선은 외접원의 지름이다

12. 반대각의 합이 180도이므로 언제든지 직사각형 주위의 원을 묘사할 수 있습니다.

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. 원은 길이가 너비와 같지 않은 직사각형에 새겨질 수 없습니다. 왜냐하면 반대쪽 변의 합이 서로 같지 않기 때문입니다(원은 직사각형의 특별한 경우인 정사각형에만 새겨질 수 있습니다). .

직사각형의 변

정의.

직사각형의 변의 길이를 결정하는 공식

1. 대각선과 반대쪽 변을 통과하는 직사각형의 변(직사각형의 길이와 너비)에 대한 공식:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - 2

2. 직사각형의 변(직사각형의 길이와 너비)과 면적 및 반대쪽 변에 대한 공식:

직사각형의 대각선

정의.

직사각형의 대각선 길이를 구하는 공식

1. 직사각형의 두 변을 사용하여 직사각형의 대각선을 구하는 공식(피타고라스 정리를 통해):

d = √ a 2 + b 2

2. 면적과 변을 사용한 직사각형의 대각선 공식:

4. 외접원의 반지름을 기준으로 한 직사각형의 대각선 공식:

d = 2R

5. 외접원의 지름을 기준으로 한 직사각형의 대각선 공식:

d = 도

6. 대각선에 인접한 각도의 사인과 이 각도의 반대쪽 변의 길이를 사용하여 직사각형의 대각선에 대한 공식:

8. 대각선과 직사각형 면적 사이의 예각의 사인을 통한 직사각형의 대각선 공식

d = √2S: 죄 β

직사각형의 둘레

정의.

직사각형의 둘레 길이를 결정하는 공식

1. 직사각형의 두 변을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

피 = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. 면적과 변을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

3. 대각선과 변을 이용한 직사각형의 둘레 공식:

P = 2(a + √ d 2 - 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. 외접원과 임의의 변의 반지름을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

P = 2(a + √4R 2 - 2) = 2(b + √4R 2 - 비 2)

5. 외접원과 변의 지름을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

P = 2(a + √D o 2 - 2) = 2(b + √D o 2 - 비 2)

직사각형의 면적

정의.

직사각형의 면적을 결정하는 공식

1. 양면을 사용하는 직사각형의 면적에 대한 공식:

S = ab

2. 둘레와 변을 사용하여 직사각형 면적을 계산하는 공식:

5. 외접원과 변의 반경을 사용하여 직사각형 면적을 구하는 공식:

S = a √4R 2 - 2= b √4R 2 - 비 2

6. 외접원과 변의 지름을 사용하여 직사각형 면적을 구하는 공식:

S = a √D o 2 - 2= b √D o 2 - 비 2

직사각형 주위에 외접하는 원

정의.

직사각형 주위에 외접하는 원의 반지름을 결정하는 공식

1. 두 변을 통해 직사각형 주위에 외접하는 원의 반지름 공식:

수업 목표

주제 직사각형에 대한 학생들의 지식을 통합합니다.
계속해서 학생들에게 직사각형의 정의와 속성을 소개합니다.
문제를 해결할 때 학생들에게 이 주제에 대해 습득한 지식을 사용하도록 가르치십시오.
수학 주제에 대한 관심, 주의력, 논리적 사고;
자기 분석 및 규율 능력을 개발하십시오.

수업 목표

이전 학년에서 습득한 지식을 바탕으로 직사각형과 같은 개념에 대한 학생들의 지식을 반복하고 통합합니다.
직사각형의 속성과 특성에 대한 학생들의 지식을 계속해서 향상시킵니다.
과제 해결 과정에서 계속해서 기술을 개발합니다.
수학 수업에 대한 관심을 불러일으킵니다.
관심을 키워라 정확한 과학그리고 수학 수업에 대한 긍정적인 태도.

강의 계획

1. 이론적인 부분, 일반 정보, 정의.
2. "직사각형"이라는 주제를 반복합니다.
3. 직사각형의 속성.
4. 직사각형의 징후.
5. 흥미로운 사실삼각형의 삶에서.
6. 황금 직사각형, 일반 개념.
7. 질문과 과제.

직사각형이란 무엇입니까?

이전 수업에서 당신은 이미 직사각형에 관한 주제를 공부했습니다. 이제 기억을 되살려 직사각형이라고 불리는 것이 어떤 도형인지 기억해 봅시다.

직사각형은 네 각이 직각이고 90도인 평행사변형입니다.

직사각형은 4개의 변과 4개의 직각으로 구성된 기하학적 도형입니다.

직사각형의 반대쪽은 항상 동일합니다.

유클리드 기하학에 따라 직사각형의 정의를 고려한다면, 사변형을 직사각형으로 간주하려면 이 기하학적 도형에서 적어도 세 개의 각도가 맞아야 합니다. 따라서 네 번째 각도도 90도가 됩니다.

사각형의 각의 합이 360도가 아닌 것은 분명하지만 이 그림은 직사각형이 아닙니다.

일반 직사각형의 모든 변이 서로 같으면 이러한 직사각형을 정사각형이라고 합니다.

어떤 경우에는 마름모가 같은 변에 더해 모두 직각을 갖는 경우 정사각형이 마름모 역할을 할 수 있습니다.

직사각형에 기하학적 도형이 포함되어 있음을 증명하려면 이 기하학적 도형이 다음 요구 사항 중 하나 이상을 충족하면 충분합니다.

1. 이 그림의 대각선의 제곱은 공통점이 있는 두 변의 제곱의 합과 같아야 합니다.
2. 기하학적 도형의 대각선 길이는 동일해야 합니다.
3. 기하학적 도형의 모든 각도는 90도와 같아야 합니다.

이러한 조건이 하나 이상의 요구 사항을 충족하면 직사각형이 됩니다.

기하학의 직사각형은 고유한 속성과 특징을 가진 많은 하위 유형을 갖는 주요 기본 도형입니다.

운동:이름 기하학적 인물, 이는 직사각형을 나타냅니다.

직사각형과 그 속성

이제 직사각형의 속성을 기억해 봅시다.

직사각형은 모든 대각선이 동일합니다.
직사각형은 반대편이 평행한 평행사변형입니다.
직사각형의 측면도 높이가 됩니다.
직사각형은 반대쪽 변과 각도가 동일합니다.
원은 모든 직사각형 주위에 외접할 수 있으며 직사각형의 대각선은 외접하는 원의 지름과 같습니다.
직사각형의 대각선은 직사각형을 2개로 나눕니다. 등삼각형;
피타고라스의 정리에 따르면 직사각형의 대각선의 제곱은 반대쪽이 아닌 두 변의 제곱의 합과 같습니다.

운동:

1. 직사각형에는 2개의 동일한 직사각형으로 분할될 수 있는 두 가지 가능성이 있습니다. 노트에 두 개의 직사각형을 그리고 이를 나누어 2개의 동일한 직사각형을 얻습니다.

2. 직사각형 주위에 원을 그립니다. 이 원의 지름은 직사각형의 대각선과 같습니다.

3. 직사각형에 원을 내접하여 모든 면에 닿도록 할 수 있습니까? 단, 이 직사각형은 정사각형이 아닙니다.

직사각형 표지판

평행사변형은 다음과 같이 제공된 직사각형입니다.

1. 각도 중 적어도 하나가 올바른 경우
2. 네 각이 모두 맞을 경우
3. 대변이 같은 경우
4. 적어도 세 개의 각이 맞을 경우;
5. 대각선이 같은 경우;
6. 대각선의 제곱이 반대쪽 변의 제곱의 합과 같은 경우.

아는 것이 흥미롭다

인접한 변이 고르지 않은 직사각형에서 모서리의 이등분선을 그리면 교차할 때 결국 직사각형이 된다는 것을 알고 계셨습니까?

그러나 그려진 직사각형의 이등분선이 그 변 중 하나와 교차하면 이 직사각형에서 이등변 삼각형이 잘립니다.

1882년 말레비치가 뛰어난 "검은 사각형"을 그리기 전에도 파리 전시회에서 폴 빌로(Paul Bilo)의 그림이 발표되었는데, 그 캔버스에는 "흑인의 전투"라는 독특한 이름이 붙은 검은 직사각형이 그려져 있었습니다. 터널".

검은색 직사각형을 사용한 이 아이디어는 다른 문화적 인물들에게 영감을 주었습니다. 프랑스 작가유머 작가 Alphonse Allais는 그의 작품 전체 시리즈를 발표했으며 시간이 지남에 따라 "홍해 연안에서 토마토를 수확하는 추기경에 의한 토마토 수확"이라는 제목의 급진적 인 붉은 색의 직사각형 풍경이 나타났습니다.

운동

1. 직사각형에만 고유한 속성을 지정하시겠습니까?
2. 임의의 평행사변형과 직사각형의 차이점은 무엇입니까?
3. 모든 직사각형이 평행사변형이 될 수 있다는 것이 사실인가요? 그렇다면 왜 그런지 증명해 보세요.
4. 직사각형인 사각형을 나열하세요.
5. 직사각형의 속성을 기술하십시오.

사실

유클리드의 직사각형

황금비라고 불리는 유클리드 직사각형은 오랜 기간 동안 종교적 의미를 지닌 모든 건물에 사용되었으며 당시 건축의 완벽하고 비례적인 기초였다는 사실을 알고 계셨습니까? 그것의 도움으로 고대 그리스의 대부분의 르네상스 건물과 고전 사원이 지어졌습니다.

"황금색" 직사각형은 일반적으로 기하학적 직사각형이라고 불립니다. 더 큰 쪽더 작은 것은 황금 비율과 같습니다.

이 직사각형의 변의 비율은 382 대 618, 즉 대략 19 대 31이었습니다. 당시 유클리드의 직사각형은 가장 편리하고, 편리하고, 안전했으며, 정사각형모든 기하학적 모양의 이러한 특성으로 인해 유클리드 직사각형 또는 이에 대한 근사치가 전체적으로 사용되었습니다. 그것은 집, 그림, 가구, 창문, 문, 심지어 책에도 사용되었습니다.

나바호 인디언들 사이에서 직사각형은 이 집을 소유한 여성을 상징하는 집의 일반적인 표준 모양으로 간주되었기 때문에 여성 형태와 비교되었습니다.

직사각형각 각이 맞는 사각형입니다.

증거

이 속성은 평행사변형의 특징 3(즉, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )의 작용으로 설명됩니다.

2. 반대편은 동일합니다.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. 반대쪽 변은 평행합니다.

AB \병렬 CD,\enspace BC \병렬 AD

4. 인접한 변은 서로 수직입니다.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. 직사각형의 대각선은 동일합니다.

AC = BD

증거

에 따르면 속성 1직사각형은 평행사변형이므로 AB = CD를 의미합니다.

따라서 두 다리(AB = CD 및 AD - 관절)에서 \triangle ABD = \triangle DCA입니다.

두 도형 ABC와 DCA가 동일하면 빗변 BD와 AC도 동일합니다.

따라서 AC = BD입니다.

모든 도형 중에서(평행사변형만!) 직사각형만이 대각선의 길이가 동일합니다.

이것도 증명해보자.

ABCD는 조건에 따라 평행사변형 \Rightarrow AB = CD, AC = BD입니다. \오른쪽 화살표 \삼각형 ABD = \삼각형 DCA이미 3면에 있어요.

\angle A = \angle D(평행사변형의 각도와 유사)임이 밝혀졌습니다. 그리고 \angle A = \angle C , \angle B = \angle D 입니다.

우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. \각 A = \각 B = \각 C = \각 D. 그것들은 모두 90^(\circ) 입니다. 총 - 360^(\circ) .

입증됨!

6. 대각선의 제곱은 인접한 두 변의 제곱의 합과 같습니다.

이 속성은 피타고라스의 정리로 인해 참입니다.

AC^2=AD^2+CD^2

7. 대각선은 직사각형을 두 개의 동일한 직각삼각형으로 나눕니다.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. 대각선의 교차점은 대각선을 반으로 나눕니다.

AO = BO = CO = DO

9. 대각선의 교차점은 직사각형과 외접원의 중심입니다.

10. 모든 각의 합은 360도이다.

\각 ABC + \각 BCD + \각 CDA + \각 DAB = 360^(\circ)

11. 직사각형의 모든 각이 맞습니다.

\각 ABC = \각 BCD = \각 CDA = \각 DAB = 90^(\circ)

12. 직사각형 주위에 외접하는 원의 지름은 직사각형의 대각선과 같습니다.

13. 직사각형 주위에 원을 묘사할 수 있습니다.

이 성질은 직사각형의 반대각의 합이 180^(\circ)라는 사실 때문에 참입니다.

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. 직사각형은 내접원을 포함할 수 있으며 변의 길이가 같은 경우(정사각형) 하나만 포함할 수 있습니다.

"사각형 및 해당 속성" 주제에 대한 강의

수업 목표:

1~6학년 수학 과정에서 학생들이 습득한 지식을 바탕으로 직사각형의 개념을 반복합니다.

직사각형의 속성을 특별한 유형의 평행사변형으로 생각해 보세요.

직사각형의 특정 속성을 고려하십시오.

문제 해결에 속성을 적용하는 방법을 보여줍니다.

수업 중.

나 영형조직적인 순간.

수업의 목적, 수업 주제를 알려주세요. (슬라이드 1)

II새로운 자료를 학습.

· 반복하다:

1. 평행사변형이라고 불리는 도형은 무엇입니까?

2. 평행사변형에는 어떤 속성이 있나요? (슬라이드 2)

● 직사각형의 개념을 소개한다.

직사각형이라고 부를 수 있는 평행사변형은 무엇입니까?

정의: 직사각형은 모든 각도가 직각인 평행사변형입니다.(슬라이드 3)

이는 직사각형이 평행사변형이므로 평행사변형의 모든 속성을 갖는다는 것을 의미합니다. 직사각형은 이름이 다르기 때문에 고유한 속성을 가지고 있어야 합니다(슬라이드 4).

● 학생 활동(독립): 평행사변형과 직사각형의 변, 각도, 대각선을 탐색하고 그 결과를 표에 기록합니다.

결론을 도출: 직사각형의 대각선은 같습니다.

● 이 출력은 직사각형의 개인 속성입니다.

정리. 디 직사각형의 대각선은 같습니다.(슬라이드 5)

증거:

1) Δ ACD 및 Δ ABD를 고려하십시오.

a) ADC = https://pandia.ru/text/78/059/images/image005_65.jpg" width="120" height="184 src="> 가) 나) 181">

2. 둘레가 24cm라는 것을 알고 직사각형의 변을 구합니다.

1)ACD - 직사각형, CAD = 30°,

CD = 0.5AC = 6cm를 의미합니다.

2) AB = CD = 6cm.

3) 직사각형에서 대각선은 동일하며 교차점으로 반으로 나뉩니다. 즉, AO = BO = 6cm입니다.

4) p(aov) = AO + VO + AB = 6 +6+ 6 = 18cm.

답: 18cm.

IV 수업을 요약합니다.

직사각형에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1. 직사각형의 내각의 합은 360°입니다.

2. 직사각형의 반대쪽 변은 동일합니다.

3. 직사각형의 대각선은 교차하며 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

4. 직사각형 각도의 이등분선은 이등변 삼각형을 잘라냅니다.

5. 직사각형의 대각선은 동일합니다.

V 숙제.

P.45, 질문 12,13. 000, 401 a), 404 (슬라이드 16)

집에서 직접 직사각형의 표시를 생각해 보세요.