잘린 원뿔은 회전에 의해 얻은 몸체입니다. 직선 원형 원뿔

작은 원뿔이 밑면과 평행한 평면에 의해 원뿔에서 잘려지면 잘린 원뿔이 얻어집니다(그림 8.10). 잘린 원뿔에는 두 개의 밑면이 있습니다. 원래 원뿔의 밑면인 "아래쪽"과 원뿔 단면의 정리에 따르면 잘린 원뿔의 밑면은 비슷합니다. .

잘린 원뿔의 고도는 한 밑면의 한 점에서 다른 밑면의 평면까지 그린 수직입니다. 이러한 수직선은 모두 동일합니다(섹션 3.5 참조). 높이는 길이라고도 합니다. 베이스 평면 사이의 거리.

절단된 회전 원뿔은 회전 원추로부터 얻어집니다(그림 8.11). 따라서 밑면과 평행한 모든 단면은 축에서 동일한 직선에 중심이 있는 원입니다. 잘린 원뿔은 측면을 중심으로 직사각형 사다리꼴을 회전시켜 얻습니다. 베이스에 수직또는 회전

대칭축을 중심으로 이등변 사다리꼴입니다 (그림 8.12).

잘린 회전 원추의 측면

이것은 그것이 파생되는 회전 원뿔의 측면 표면의 일부입니다. 잘린 원뿔의 표면(또는 전체 표면)은 밑면과 측면으로 구성됩니다.

8.5. 회전 원뿔과 잘린 회전 원뿔의 이미지.

이렇게 직선형 원뿔이 그려집니다. 먼저 밑면의 원을 나타내는 타원을 그립니다(그림 8.13). 그런 다음 밑면의 중심인 O점을 찾고 원뿔의 높이를 나타내는 수직 세그먼트 PO를 그립니다. 점 P에서 타원에 대한 접선(참조) 선을 그리고(실질적으로 이는 눈금자를 적용하여 눈으로 수행됨) 점 P에서 접선 A 및 B 지점까지 이 선의 세그먼트 RA 및 PB를 선택합니다. 세그먼트 AB에 유의하십시오. 는 밑면 원뿔의 지름이 아니며 삼각형 ARV는 원뿔의 축 단면이 아닙니다. 원뿔의 축 단면은 삼각형 APC입니다. 세그먼트 AC는 점 O를 통과합니다. 보이지 않는 선은 스트로크로 그려집니다. 세그먼트 OP는 종종 그려지지 않지만 밑면 중심(점 O) 바로 위에 원뿔 P의 상단을 묘사하기 위해 정신적으로만 윤곽을 그립니다.

회전 원뿔을 묘사할 때, 잘린 원뿔이 얻어지는 원뿔을 먼저 그리는 것이 편리합니다(그림 8.14).

8.6. 원추형 섹션. 우리는 이미 그렇게 말했습니다. 측면회전 실린더는 타원을 따라 평면과 교차합니다(섹션 6.4). 또한 밑면과 교차하지 않는 평면에 의한 회전 원뿔의 측면 단면은 타원입니다 (그림 8.15). 따라서 타원을 원뿔 단면이라고 합니다.

원뿔 단면에는 쌍곡선 및 포물선과 같은 잘 알려진 다른 곡선도 포함됩니다. 회전 원뿔의 측면을 확장하여 얻은 무한한 원뿔을 생각해 보겠습니다(그림 8.16). 꼭지점을 통과하지 않는 평면 a와 교차시켜 보겠습니다. a가 원뿔의 모든 생성기와 교차하면 이미 말한 것처럼 섹션에서 타원을 얻습니다(그림 8.15).

OS 평면을 회전함으로써 원뿔 K의 모든 생성선(OS가 평행한)을 제외하고 교차하는지 확인할 수 있습니다. 그런 다음 단면에서 포물선을 얻습니다(그림 8.17). 마지막으로 평면 OS를 더 회전시켜 원뿔 K 생성기의 교차 부분인 a가 다른 생성기의 무한한 수와 교차하지 않고 그 중 두 개와 평행한 위치로 이동합니다(그림 8.18). ). 그런 다음 평면 a가 있는 원뿔 K의 단면에서 쌍곡선(더 정확하게는 "가지" 중 하나)이라는 곡선을 얻습니다. 그래서, 쌍곡선은 함수의 그래프입니다. 특별한 경우쌍곡선 - 원이 타원의 특별한 경우인 것과 마찬가지로 등변 쌍곡선입니다.

모든 쌍곡선은 원의 평행 투영으로 타원을 얻는 것과 같은 방식으로 투영을 사용하여 등변 쌍곡선에서 얻을 수 있습니다.

쌍곡선의 두 가지를 모두 얻으려면 두 개의 "공동"이 있는 원뿔의 단면, 즉 광선이 아닌 원뿔의 옆면의 모선을 포함하는 직선으로 형성된 원뿔을 취해야 합니다. 혁명(그림 8.19).

원뿔 단면은 고대 그리스 기하학자들에 의해 연구되었으며, 그들의 이론은 고대 기하학의 정점 중 하나였습니다. 최대 완전한 연구고대의 원추형 단면은 Perga의 Apollonius (기원전 3세기)에 의해 수행되었습니다.

타원, 쌍곡선, 포물선을 하나의 클래스로 결합하는 중요한 속성이 많이 있습니다. 예를 들어, 그들은 "비축퇴(non-degenerate)", 즉 평면에 정의된 점, 선 또는 선 쌍으로 환원될 수 없는 곡선을 소진합니다. 데카르트 좌표형태의 방정식

원뿔 단면은 자연에서 중요한 역할을 합니다. 물체는 타원형, 포물선 및 쌍곡선 궤도의 중력장에서 움직입니다(케플러의 법칙을 기억하세요). 원추형 단면의 놀라운 특성은 특정 광학 기기 또는 탐조등 제조와 같은 과학 및 기술에서 자주 사용됩니다(탐조등의 거울 표면은 포물선 축을 중심으로 포물선 호를 회전시켜 얻습니다) ). 원뿔형 단면은 둥근 갓 그림자의 경계로 관찰할 수 있습니다(그림 8.20).

한 지점에서 나오는 모든 광선을 결합하여 얻습니다. 봉우리원뿔) 평평한 표면을 통과합니다. 때때로 원뿔은 평평한 표면의 꼭지점과 점을 연결하는 모든 세그먼트를 결합하여 얻은 몸체의 일부입니다(이 경우 후자를 호출함). 기초원뿔, 그리고 원뿔이라고 불립니다. 경향이를 토대로). 이는 달리 명시되지 않는 한 아래에서 고려되는 경우입니다. 원뿔의 밑면이 다각형이면 원뿔은 피라미드가 됩니다.

"== 관련 정의 ==

• 꼭지점과 밑면의 경계를 연결하는 선분을 이라고 합니다. 원뿔의 생성자.
• 원뿔 생성기의 결합을 호출합니다. 발생기(또는 옆) 원뿔 표면. 원뿔의 형성 표면은 원뿔형 표면입니다.
• 꼭지점에서 밑면까지 수직으로 떨어진 세그먼트(및 해당 세그먼트의 길이)를 호출합니다. 원뿔 높이.
• 원뿔의 밑면에 대칭 중심(예: 원 또는 타원)이 있고 밑면 평면에 대한 원뿔 꼭지점의 직교 투영이 이 중심과 일치하는 경우 원뿔을 호출합니다. 직접. 이 때 밑면의 윗면과 밑면의 중심을 잇는 직선을 라 한다. 원뿔 축.
• 비스듬한 (기울어진) 원뿔 - 꼭지점의 밑면에 대한 직교 투영이 대칭 중심과 일치하지 않는 원뿔입니다.
• 원형 원뿔- 밑면이 원인 원뿔.
• 직선 원형 원뿔(종종 간단하게 원뿔이라고 함)은 다리를 포함하는 선(이 선은 원뿔의 축을 나타냄)을 중심으로 직각 삼각형을 회전하여 얻을 수 있습니다.
• 타원, 포물선 또는 쌍곡선 위에 놓인 원뿔을 각각 호출합니다. 타원형, 비유담 같은그리고 쌍곡선원뿔(마지막 두 개는 볼륨이 무한합니다).
• 밑면과 밑면에 평행한 평면 사이에 있고 꼭대기와 밑면 사이에 위치한 원뿔의 부분을 호출합니다. 잘린 원뿔.

속성

• 밑면의 면적이 유한하면 원뿔의 부피도 유한하며 밑면 면적과 높이의 곱의 1/3과 같습니다. 따라서 주어진 밑면 위에 놓여 있고 밑면과 평행한 주어진 평면에 꼭지점을 갖는 모든 원뿔은 높이가 동일하므로 부피가 동일합니다.
• 유한한 부피를 가진 원뿔의 무게 중심은 밑면으로부터 높이의 1/4에 위치합니다.
• 직원뿔 꼭지점의 입체각은 다음과 같습니다.

• 이러한 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다.

• 원뿔의 부피는 다음과 같습니다.

• 직원뿔과 평면의 교차점은 원뿔 단면 중 하나입니다(비퇴화의 경우 절단 평면의 위치에 따라 타원, 포물선 또는 쌍곡선).

일반화

대수 기하학에서 원뿔필드에 대한 벡터 공간의 임의 하위 집합입니다.

또한보십시오

• 원뿔(토폴로지)

위키미디어 재단. 2010.

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직원뿔 원뿔은 한 점(원뿔의 꼭지점)에서 나와 평평한 표면을 통과하는 모든 광선을 결합하여 얻은 몸체입니다. 때때로 원뿔은 연결된 모든 세그먼트를 결합하여 얻은 몸체의 일부입니다 ... Wikipedia

원뿔- 직선 원형 원뿔. CONE(라틴어 conus, 그리스어 konos cone), 기하학적인 몸체, 라운드로 제한됨 원추형 표면원추형 표면의 꼭지점을 통과하지 않는 평면. 정점이 다음에 놓여 있으면 ... ... 그림 백과사전

-(라틴어 conus, 그리스어 konos). 한쪽 끝은 움직이지 않고(원뿔의 꼭지점) 다른 쪽 끝은 주어진 곡선의 원주를 따라 움직이는 직선의 반전으로 형성된 표면으로 둘러싸인 몸체입니다. 설탕 덩어리처럼 보입니다. 사전 외국어,… … 러시아어 외국어 사전

원뿔- (1) 기본 기하학에서 가이드(원뿔의 밑면)를 따라 고정된 점(원뿔의 상단)을 통과하는 직선(원뿔을 생성)의 움직임으로 형성된 표면에 의해 제한되는 기하학적 몸체입니다. 형성된 표면은 사이에 둘러싸여 있습니다... 대형 폴리테크닉 백과사전

- (직선형 원형) 회전으로 형성된 기하학적 몸체 정삼각형다리 중 하나 근처. 빗변을 생성기라고 합니다. 고정 다리 높이; 베이스가 있는 회전하는 다리로 설명되는 원입니다. 측면 K.... ... 브록하우스와 에프론의 백과사전

-(직선 원형 K.) 다리 중 하나를 중심으로 직각 삼각형을 회전시켜 형성된 기하학적 몸체. 빗변을 생성기라고 합니다. 고정 다리 높이; 베이스가 있는 회전하는 다리로 설명되는 원입니다. 측면…

- (직선 원형) 다리 중 하나를 중심으로 직각 삼각형을 회전시켜 형성된 기하학적 몸체. 빗변을 생성기라고 합니다. 고정 다리 높이; 베이스가 있는 회전하는 다리로 설명되는 원입니다. 측면 K... 백과사전에프. 브록하우스와 I.A. 에브론

- (라틴어 conus, 그리스어 konos에서 유래) (수학), 1) K. 또는 원추형 표면, 특정 선(가이드)의 모든 점을 주어진 점(정점)과 연결하는 공간의 직선(생성기)의 기하학적 궤적 공간의.… 위대한 소련 백과사전

원뿔(그리스어 "konos"에서 유래)- 솔방울. 원뿔은 고대부터 사람들에게 알려져 왔습니다. 1906년에 아르키메데스(기원전 287-212년)가 쓴 "방법론"이라는 책이 발견되었습니다. 이 책은 교차하는 원통의 공통 부분의 부피 문제에 대한 해결책을 제공합니다. 아르키메데스는 이 발견이 고대 그리스 철학자 데모크리토스(기원전 470-380년)의 것이라고 말합니다. 이 원칙피라미드와 원뿔의 부피를 계산하는 공식을 받았습니다.

원뿔(원뿔)은 원뿔의 밑면, 이 원의 평면에 속하지 않는 점, 원뿔의 꼭지점과 원뿔의 꼭지점과 점을 연결하는 모든 세그먼트로 구성된 몸체입니다. 기본 원. 원뿔의 꼭지점과 밑원의 점을 연결하는 선분을 원뿔 생성기라고 합니다. 원뿔의 표면은 밑면과 측면으로 구성됩니다.

원뿔의 꼭지점과 밑면의 중심을 연결하는 직선이 밑면에 수직인 경우를 직선이라고 합니다. 직원뿔은 다리를 축으로 하여 직각삼각형을 회전시켜 얻은 몸체로 볼 수 있다.

원뿔의 높이는 원뿔의 꼭대기에서 밑면의 평면까지 내려가는 수직선입니다. 유 직선 콘높이의 밑면은 밑면의 중심과 일치합니다. 직각 원뿔의 축은 높이를 포함하는 직선입니다.

원뿔의 모선을 통과하고 이 모선을 통해 그려진 축 단면에 수직인 평면에 의한 원뿔의 단면을 원뿔의 접평면이라고 합니다.

원뿔 축에 수직인 평면은 원뿔과 원뿔과 교차하고, 측면은 원뿔 축을 중심으로 하는 원과 교차합니다.

원뿔의 축에 수직인 평면은 더 작은 원뿔을 잘라냅니다. 나머지 부분을 잘린 원뿔이라고 합니다.

원뿔의 부피는 높이와 밑면 면적의 곱의 1/3과 같습니다. 따라서 주어진 밑면 위에 놓여 있고 밑면과 평행한 주어진 평면에 정점이 위치한 모든 원뿔은 높이가 동일하므로 부피가 동일합니다.

원뿔의 측면 표면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

S측 = πRl,

원뿔의 전체 표면적은 다음 공식으로 구합니다.

S con = πR1 + πR2,

여기서 R은 밑면의 반경, l은 모선의 길이입니다.

원뿔의 부피는 다음과 같습니다.

V = 1/3πR2H,

여기서 R은 밑면의 반경, H는 원뿔의 높이입니다.

잘린 원뿔의 측면 표면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

S측 = π(R + r)l,

잘린 원뿔의 전체 표면적은 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

여기서 R은 하단 베이스의 반경, r은 상단 베이스의 반경, l은 모선의 길이입니다.

용량 잘린 원뿔다음과 같이 찾을 수 있습니다.

V = 1/3πH(R 2 + Rr + r 2),

여기서 R은 아래쪽 밑면의 반경, r은 위쪽 밑면의 반경, H는 원뿔의 높이입니다.

웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.

한 지점에서 나오는 모든 광선을 결합하여 얻습니다. 봉우리원뿔) 평평한 표면을 통과합니다. 때때로 원뿔은 평평한 표면의 꼭지점과 점을 연결하는 모든 세그먼트를 결합하여 얻은 몸체의 일부입니다(이 경우 후자를 호출함). 기초원뿔, 그리고 원뿔이라고 불립니다. 경향이를 토대로). 이는 달리 명시되지 않는 한 아래에서 고려되는 경우입니다. 원뿔의 밑면이 다각형이면 원뿔은 피라미드가 됩니다.

"== 관련 정의 ==

• 꼭지점과 밑면의 경계를 연결하는 선분을 이라고 합니다. 원뿔의 생성자.
• 원뿔 생성기의 결합을 호출합니다. 발생기(또는 옆) 원뿔 표면. 원뿔의 형성 표면은 원뿔형 표면입니다.
• 꼭지점에서 밑면까지 수직으로 떨어진 세그먼트(및 해당 세그먼트의 길이)를 호출합니다. 원뿔 높이.
• 원뿔의 밑면에 대칭 중심(예: 원 또는 타원)이 있고 밑면 평면에 대한 원뿔 꼭지점의 직교 투영이 이 중심과 일치하는 경우 원뿔을 호출합니다. 직접. 이 때 밑면의 윗면과 밑면의 중심을 잇는 직선을 라 한다. 원뿔 축.
• 비스듬한 (기울어진) 원뿔 - 꼭지점의 밑면에 대한 직교 투영이 대칭 중심과 일치하지 않는 원뿔입니다.
• 원형 원뿔- 밑면이 원인 원뿔.
• 직선 원형 원뿔(종종 간단하게 원뿔이라고 함)은 다리를 포함하는 선(이 선은 원뿔의 축을 나타냄)을 중심으로 직각 삼각형을 회전하여 얻을 수 있습니다.
• 타원, 포물선 또는 쌍곡선 위에 놓인 원뿔을 각각 호출합니다. 타원형, 비유담 같은그리고 쌍곡선원뿔(마지막 두 개는 볼륨이 무한합니다).
• 밑면과 밑면에 평행한 평면 사이에 있고 꼭대기와 밑면 사이에 위치한 원뿔의 부분을 호출합니다. 잘린 원뿔.

속성

• 밑면의 면적이 유한하면 원뿔의 부피도 유한하며 밑면 면적과 높이의 곱의 1/3과 같습니다. 따라서 주어진 밑면 위에 놓여 있고 밑면과 평행한 주어진 평면에 꼭지점을 갖는 모든 원뿔은 높이가 동일하므로 부피가 동일합니다.
• 유한한 부피를 가진 원뿔의 무게 중심은 밑면으로부터 높이의 1/4에 위치합니다.
• 직원뿔 꼭지점의 입체각은 다음과 같습니다.

• 이러한 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다.

• 원뿔의 부피는 다음과 같습니다.

• 직원뿔과 평면의 교차점은 원뿔 단면 중 하나입니다(비퇴화의 경우 절단 평면의 위치에 따라 타원, 포물선 또는 쌍곡선).

일반화

대수 기하학에서 원뿔필드에 대한 벡터 공간의 임의 하위 집합입니다.

또한보십시오

• 원뿔(토폴로지)

위키미디어 재단. 2010.

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강의: 원뿔. 베이스, 높이, 측면, 모선, 발달

원뿔- 이것은 원의 모든 점에서 등거리에 있는 점과 이 점(정점)을 원 위에 있는 모든 점과 연결하는 직선으로부터 밑면에 있는 원으로 구성된 몸체입니다.

앞서 몇 가지 질문에서 우리는 피라미드를 살펴보았습니다. 따라서 원뿔은 밑면에 원이 있는 피라미드의 특별한 경우입니다. 피라미드의 거의 모든 속성이 원뿔에 적용됩니다.

콘은 어떻게 얻을 수 있나요? 마지막 질문과 우리가 실린더를 어떻게 얻었는지 기억하세요. 이제 받아 이등변 삼각형축을 중심으로 회전하면 원뿔이 생깁니다.

원뿔 생성기-원의 점과 원뿔의 꼭지점 사이에 둘러싸인 세그먼트입니다. 원뿔의 생성기는 서로 동일합니다.

모선의 길이를 찾으려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

모든 구성 요소가 서로 연결되면 원뿔의 측면을 얻을 수 있습니다. 일반적인 표면은 원형 형태의 측면과 밑면으로 구성됩니다.

콘은 키. 그것을 얻으려면 수직을 위에서부터 바닥 중앙까지 직접 낮추는 것으로 충분합니다.

측면 표면적을 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.

원뿔의 전체 표면적을 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.