Правильный многоугольник. Число сторон правильного многоугольника

Ломаная

Определение

Ломаной линией , или короче, ломаной , называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

Виды ломаной

Ломаная называется замкнутой , если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.

Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой .

Многоугольники

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником .

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

Свойство

У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$.

Доказательство

Пусть дан многоугольник $P$.

Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$).

На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого.

Определение

Многоугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым .

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

Свойства выпуклого многоугольника

У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$.

Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике.

Доказательство

Докажем первое свойство

Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ – прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$.

Докажем второе свойство

Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$.

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Доказательство

Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Теорема (о сумме углов n-угольника)

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$.

Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$.

C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Следствие

Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

Доказательство

Рассмотрим многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, у которого только угол $\angle A_2$ невыпуклый, то есть $\angle A_2>180^\circ$.

Обозначим сумму его улов $S$.

Соединим точки $A_1A_3$ и рассмотрим многоугольник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-(\angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Следовательно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$.

Доказательство

Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$.

Сумма всех внешних углов равна:

$\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.

В основном курсе геометрии доказывается, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n-2). Оказывается, что это утверждение справедливо и для невыпуклых многоугольников.

Теорема 3. Сумма углов произвольного n-угольника равна 180° (n - 2).

Доказательство. Разобьем многоугольник на треугольники, проведением диагоналей (рис. 11). Число таких треугольников равно n-2, и в каждом треугольнике сумма углов равна 180°. Поскольку углы треугольников составляют углы многоугольника, то сумма углов многоугольника равна 180° (n - 2).

Рассмотрим теперь произвольные замкнутые ломаные, возможно с самопересечениями A1A2…AnA1 (рис. 12, а). Такие самопересекающиеся ломаные будем называть звездчатыми многоугольниками (рис. 12, б-г).

Зафиксируем направление подсчета углов против часовой стрелки. Заметим, что углы, образованные замкнутой ломаной, зависят от направления ее обхода. Если направление обхода ломаной меняется на противоположное, то углами многоугольника будут углы, дополняющие углы исходного многоугольника до 360°.

Если M - многоугольник, образован простой замкнутой ломаной, проходимой в направлении по часовой стрелке (рис. 13, а), то сумма углов этого многоугольника будет равна 180° (n - 2). Если же ломаная проходится в направлении против часовой стрелки (рис. 13, б), то сумма углов будет равна 180° (n + 2).

Таким образом, общая формула суммы углов многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, имеет вид = 180° (n 2), где - сумма углов, n - число углов многоугольника, «+» или «-» берется в зависимости от направления обхода ломаной.

Наша задача состоит в том, чтобы вывести формулу суммы углов произвольного многоугольника, образованного замкнутой (возможно самопересекающейся) ломаной. Для этого введем понятие степени многоугольника.

Степенью многоугольника называется число оборотов, совершаемой точкой при полном последовательном обходе его сторон. Причем обороты, совершаемые в направлении против часовой стрелки, считаются со знаком «+», а обороты по часовой стрелке - со знаком «-».

Ясно, что у многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, степень равна +1 или -1 в зависимости от направления обхода. Степень ломаной на рисунке 12, а равна двум. Степень звездчатых семиугольников (рис. 12, в, г) равна соответственно двум и трем.

Аналогичным образом понятие степени определяется и для замкнутых кривых на плоскости. Например, степень кривой, изображенной на рисунке 14 равна двум.

Для нахождения степени многоугольника или кривой можно поступать следующим образом. Предположим, что, двигаясь по кривой (рис. 15, а), мы, начиная с какого-то места A1, совершили полный оборот, и попали в ту же точку A1. Удалим из кривой соответствующий участок и продолжим движение по оставшейся кривой (рис. 15,б). Если, начиная с какого-то места A2, мы снова совершили полный оборот и попали в ту же точку, то удаляем соответствующий участок кривой и продолжаем движение (рис. 15, в). Считая количество удаленных участков со знаками «+» или «-», в зависимости от их направления обхода, получим искомую степень кривой.

Теорема 4. Для произвольного многоугольника имеет место формула

180° (n +2m),

где - сумма углов, n - число углов, m - степень многоугольника.

Доказательство. Пусть многоугольник M имеет степень m и условно изображен на рисунке 16. M1, …, Mk - простые замкнутые ломаные, проходя по которым, точка совершает полные обороты. A1, …, Ak - соответствующие точки самопересечения ломаной, не являющиеся ее вершинами. Обозначим число вершин многоугольника M, входящих в многоугольники M1, …, Mk через n1, …, nk соответственно. Поскольку, помимо вершин многоугольника M, к этим многоугольникам добавляются еще вершины A1, …, Ak, то число вершин многоугольников M1, …, Mk будет равно соответственно n1+1, …, nk+1. Тогда суммы их углов будут равны 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс или минус берется в зависимости от направления обхода ломаных. Сумма углов многоугольника M0, оставшегося от многоугольника M после удаления многоугольников M1, …, Mk, равна 180° (n-n1- …-nk+k2). Суммы углов многоугольников M0, M1, …, Mk дают сумму углов многоугольника M и в каждой вершине A1, …, Ak дополнительно получим 360°. Следовательно, имеем равенство

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

где m - степень многоугольника M.

В качестве примера рассмотрим вычисление суммы углов пятиконечной звездочки (рис. 17, а). Степень соответствующей замкнутой ломаной равна -2. Поэтому искомая сумма углов равна 180.

Треугольник, квадрат, шестиугольник - эти фигуры известны практически всем. Но вот о том, что такое правильный многоугольник, знает далеко не каждый. А ведь это все те же Правильным многоугольником называют тот, что имеет равные между собой углы и стороны. Таких фигур очень много, но все они имеют одинаковые свойства, и к ним применимы одни и те же формулы.

Свойства правильных многоугольников

Любой правильный многоугольник, будь то квадрат или октагон, может быть вписан в окружность. Это основное свойство часто используется при построении фигуры. Кроме того, окружность можно и вписать в многоугольник. При этом количество точек соприкосновения будет равняться количеству его сторон. Немаловажно, что окружность, вписанная в правильный многоугольник, будет иметь с ним общий центр. Эти геометрические фигуры подчинены одним теоремам. Любая сторона правильного n-угольника связана с радиусом описанной около него окружности R. Поэтому ее можно вычислить, используя следующую формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через можно найти не только стороны, но и периметр многоугольника.

Как найти число сторон правильного многоугольника

Любой состоит из некоторого числа равных друг другу отрезков, которые, соединяясь, образуют замкнутую линию. При этом все углы образовавшейся фигуры имеют одинаковое значение. Многоугольники делятся на простые и сложные. К первой группе относятся треугольник и квадрат. Сложные многоугольники имеют большее число сторон. К ним также относят звездчатые фигуры. У сложных правильных многоугольников стороны находят путем вписывания их в окружность. Приведем доказательство. Начертите правильный многоугольник с произвольным числом сторон n. Опишите вокруг него окружность. Задайте радиус R. Теперь представьте, что дан некоторый n-угольник. Если точки его углов лежат на окружности и равны друг другу, то стороны можно найти по формуле: a = 2R ∙ sinα: 2.

Нахождение числа сторон вписанного правильного треугольника

Равносторонний треугольник - это правильный многоугольник. Формулы к нему применяются те же, что и к квадрату, и n-угольнику. Треугольник будет считаться правильным, если у него одинаковые по длине стороны. При этом углы равны 60⁰. Построим треугольник с заданной длиной сторон а. Зная его медиану и высоту, можно найти значение его сторон. Для этого будем использовать способ нахождения через формулу а = х: cosα, где х - медиана или высота. Так как все стороны треугольника равны, то получаем а = в = с. Тогда верным будет следующее утверждение а = в = с = х: cosα. Аналогично можно найти значение сторон в равнобедренном треугольнике, но х будет заданная высота. При этом проецироваться она должна строго на основание фигуры. Итак, зная высоту х, найдем сторону а равнобедренного треугольника по формуле а = в = х: cosα. После нахождения значения а можно вычислить длину основания с. Применим теорему Пифагора. Будем искать значение половины основания c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тогда c = 2xtgα. Вот таким несложным способом можно найти число сторон любого вписанного многоугольника.

Вычисление сторон квадрата, вписанного в окружность

Как и любой другой вписанный правильный многоугольник, квадрат имеет равные стороны и углы. К нему применяются те же формулы, что и к треугольнику. Вычислить стороны квадрата можно через значение диагонали. Рассмотрим этот способ более детально. Известно, что диагональ делит угол пополам. Изначально его значение было 90 градусов. Таким образом, после деления образуются два Их углы при основании будут равны 45 градусов. Соответственно каждая сторона квадрата будет равна, то есть: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, где е - это диагональ квадрата, или основание образовавшегося после деления прямоугольного треугольника. Это не единственный способ нахождения сторон квадрата. Впишем эту фигуру в окружность. Зная радиус этой окружности R, найдем сторону квадрата. Будем вычислять ее следующим образом a4 = R√2. Радиусы правильных многоугольников вычисляют по формуле R = а: 2tg (360 o: 2n), где а - длина стороны.

Как вычислить периметр n-угольника

Периметром n-угольника называют сумму всех его сторон. Вычислить его несложно. Для этого необходимо знать значения всех сторон. Для некоторых видов многоугольников существуют специальные формулы. Они позволяют найти периметр намного быстрее. Известно, что любой правильный многоугольник имеет равные стороны. Поэтому для того, чтобы вычислить его периметр, достаточно знать хотя бы одну из них. Формула будет зависеть от количества сторон фигуры. В общем, она выглядит так: Р = an, где а - значение стороны, а n - количество углов. Например, чтобы найти периметр правильного восьмиугольника со стороной 3 см, необходимо умножить ее на 8, то есть Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестиугольника со стороной 5 см вычисляем так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. И так для каждого многоугольника.

Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба

В зависимости от того, сколько сторон имеет правильный многоугольник, вычисляется его периметр. Это намного облегчает поставленную задачу. Ведь в отличие от прочих фигур, в этом случае не нужно искать все его стороны, достаточно одной. По этому же принципу находим периметр у четырехугольников, то есть у квадрата и ромба. Несмотря на то что это разные фигуры, формула для них одна Р = 4а, где а - сторона. Приведем пример. Если сторона ромба или квадрата равна 6 см, то находим периметр следующим образом: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У параллелограмма равны только противоположные стороны. Поэтому его периметр находят, используя другой способ. Итак, нам необходимо знать длину а и ширину в фигуры. Затем применяем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Параллелограмм, у которого равны все стороны и углы между ними, называется ромб.

Нахождение периметра равностороннего и прямоугольного треугольника

Периметр правильного можно найти по формуле Р = 3а, где а - длина стороны. Если она неизвестна, ее можно найти через медиану. В прямоугольном треугольнике равное значение имеют только две стороны. Основание можно найти через теорему Пифагора. После того как станут известны значения всех трех сторон, вычисляем периметр. Его можно найти, применяя формулу Р = а + в + с, где а и в - равные стороны, а с - основание. Напомним, что в равнобедренном треугольнике а = в = а, значит, а + в = 2а, тогда Р = 2а + с. Например, сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, найдем его основание и периметр. Вычисляем значение гипотенузы по теореме Пифагора с = √а 2 + в 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Вычислим теперь периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Как найти углы правильного многоугольника

Правильный многоугольник встречается в нашей жизни каждый день, например, обычный квадрат, треугольник, восьмиугольник. Казалось бы, нет ничего проще, чем построить эту фигуру самостоятельно. Но это просто только на первый взгляд. Для того чтобы построить любой n-угольник, необходимо знать значение его углов. Но как же их найти? Еще ученые древности пытались построить правильные многоугольники. Они догадались вписать их в окружности. А потом на ней отмечали необходимые точки, соединяли их прямыми линиями. Для простых фигур проблема построения была решена. Формулы и теоремы были получены. Например, Эвклид в своем знаменитом труде «Начало» занимался решением задач для 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. Он нашел способы их построения и нахождения углов. Рассмотрим, как это сделать для 15-угольника. Сначала необходимо рассчитать сумму его внутренних углов. Необходимо использовать формулу S = 180⁰(n-2). Итак, нам дан 15-угольник, значит, число n равно 15. Подставляем известные нам данные в формулу и получаем S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Мы нашли сумму всех внутренних углов 15-угольника. Теперь необходимо получить значение каждого из них. Всего углов 15. Делаем вычисление 2340⁰: 15 = 156⁰. Значит, каждый внутренний угол равен 156⁰, теперь при помощи линейки и циркуля можно построить правильный 15-угольник. Но как быть с более сложными n-угольниками? Много веков ученые бились над решением этой проблемы. Оно было найдено только лишь в 18-м веке Карлом Фридрихом Гауссом. Он смог построить 65537-угольник. С этих пор проблема официально считается полностью решенной.

Расчет углов n-угольников в радианах

Конечно, есть несколько способов нахождения углов многоугольников. Чаще всего их вычисляют в градусах. Но можно выразить их и в радианах. Как это сделать? Необходимо действовать следующим образом. Сначала выясняем число сторон правильного многоугольника, затем вычитаем из него 2. Значит, мы получаем значение: n - 2. Умножьте найденную разность на число п («пи» = 3,14). Теперь остается только разделить полученное произведение на число углов в n-угольнике. Рассмотрим данные вычисления на примере все того же пятнадцатиугольника. Итак, число n равно 15. Применим формулу S = п(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Это, конечно же, не единственный способ рассчитать угол в радианах. Можно просто разделить размер угла в градусах на число 57,3. Ведь именно столько градусов эквивалентно одному радиану.

Расчет значения углов в градах

Помимо градусов и радиан, значение углов правильного многоугольника можно попробовать найти в градах. Делается это следующим образом. Из общего количества углов вычитаем 2, делим полученную разность на число сторон правильного многоугольника. Найденный результат умножаем на 200. К слову сказать, такая единица измерения углов, как грады, практически не используется.

Расчет внешних углов n-угольников

У любого правильного многоугольника, кроме внутреннего, можно вычислить еще и внешний угол. Его значение находят так же, как и для остальных фигур. Итак, чтобы найти внешний угол правильного многоугольника, необходимо знать значение внутреннего. Далее, нам известно, что сумма этих двух углов всегда равна 180 градусам. Поэтому вычисления делаем следующим образом: 180⁰ минус значение внутреннего угла. Находим разность. Она и будет равняться значению смежного с ним угла. Например, внутренний угол квадрата равен 90 градусов, значит, внешний будет составлять 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Как мы видим, найти его несложно. Внешний угол может принимать значение от +180⁰ до, соответственно, -180⁰.

В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Как доказать эту формулу?

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:

Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.

Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .

Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.

1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:

Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .

2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:

Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен :

Тогда сумма всех внешних углов равна . То есть она равна .

То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.

Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.

Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!

Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил , Сергей Валерьевич