Анализ на типични грешки при решаване на задачи в училищен курс по математика: уравнения, тригонометрия, планиметрия. Квадратни неравенства

Помислете за пример, при който има отрицателен коефициент пред „x 2“ в квадратното неравенство.

Въведение…………………………………………………………… 3

1. Класификация на грешките с примери…………………………… .…… …5

1.1. Класификация по типове задачи…………………………… … ……….5

1.2. Класификация по видове трансформации……………………………10

2. Тестове………………………………………………….… .………………….12

3. Протоколи от решения……………… ……….….………………… ………… 18

3.1. Протоколи за неправилни решения……………………………………… 18

3.2. Отговори (протоколи за правилни решения)………………………………….34

3.3. Грешки, допуснати в решенията…………………………………… 51

Приложение……………………….……………………………………………… 53

Литература………………………………………………………………………………….56

ВЪВЕДЕНИЕ

„Човек се учи от грешките“, казва народна мъдрост. Но за да си извлечете поука от негативния опит, първо трябва да видите грешката. За съжаление, ученикът често не може да го открие, когато решава конкретен проблем. В резултат на това възниква идеята за провеждане на проучване, чиято цел е да идентифицира типичните грешки, допускани от учениците, както и да ги класифицира възможно най-пълно.

Като част от това проучване бяха прегледани и решени голям набор от проблеми от опциите за тестване през април, тестове и писмени задачи за приемни изпити в Омския държавен университет, различни наръчници и колекции от задачи за кандидати за университети и материали от задочно училище във Философския факултет на Омския държавен университет бяха внимателно проучени. Получените данни бяха подложени на подробен анализ, като много внимание беше обърнато на логиката на решенията. Въз основа на тези данни бяха идентифицирани най-често допусканите грешки, тоест типичните.

Въз основа на резултатите от този анализ беше направен опит за систематизиране типични грешкии ги класифицира по видове трансформации и типове задачи, сред които бяха разгледани следните: квадратни неравенства, системи от неравенства, дробни рационални уравнения, уравнения с модул, ирационални уравнения, системи от уравнения, задачи за движение, задачи за работа и производителност на труда , тригонометрични уравнения , системи тригонометрични уравнения, планиметрия.

Класификацията е придружена от илюстрация под формата на протоколи за неправилни решения, което позволява да се помогне на учениците да развият способността да се проверяват и контролират, критично да оценяват дейността си, да откриват грешки и начини за тяхното отстраняване.

Следващият етап беше работа с тестове. За всяка задача са предложени пет възможни отговора, от които един е верен, а останалите четири са грешни, но те не са взети на случаен принцип, а отговарят на решение, в което е допусната конкретна грешка, стандартна за задачи от този тип . Това дава основа за прогнозиране на степента на „сериозност“ на грешката и развитието на основните умствени операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Тестовете имат следната структура:

Кодовете за грешки са разделени на три вида: ОК - верният отговор, цифров код - грешка от класификацията по вид задача, буквен код - грешка от класификацията по вид трансформация. Тяхното декодиране може да се намери в Глава 1. Класификация на грешките с примери.

След това бяха предложени задачи за намиране на грешка в решението. Тези материали са използвани при работа с ученици от кореспондентското училище в Омския държавен университет NOF, както и в курсове за повишаване на квалификацията на учители в Омск и Омска област, провеждани от NOF Омски държавен университет.

В бъдеще въз основа на извършената работа е възможно да се създаде система за наблюдение и оценка на нивото на знания и умения на полагащия теста. Става възможно да се идентифицират проблемните области в работата, да се запишат успешни методи и техники и да се анализира какво съдържание на обучение е подходящо да се разшири. Но за да бъдат тези методи най-ефективни, е необходим интерес на учениците. За тази цел аз, заедно с Chubrik A.V. и беше разработен малък софтуерен продукт, който генерира неправилни решения на линейни и квадратни уравнения(теоретична основа и алгоритми - аз и Chuubrik A.V., помощ при изпълнението - студент MP-803 Филимонов M.V.). Работата с тази програма дава възможност на ученика да действа като учител, чийто ученик е компютърът.

Получените резултати могат да послужат като начало на едно по-сериозно изследване, което в близко и дългосрочно бъдеще ще може да внесе необходимите корекции в системата на обучение по математика.

1. КЛАСИФИКАЦИЯ НА ГРЕШКИТЕ С ПРИМЕРИ

1.1. Класификация по видове задачи

1. Алгебрични уравненияи неравенства.

1.1. Квадратни неравенства. Системи от неравенства:

1.1.1. Корените на квадратния трином са намерени неправилно: теоремата на Виета и формулата за намиране на корените са използвани неправилно;

1.1.2. Графиката на квадратен трином е показана неправилно;

1.1.3. Стойностите на аргумента, при които неравенството е изпълнено, са дефинирани неправилно;

1.1.4. Деление с израз, съдържащ неизвестна величина;

1.1.5. В системи от неравенства неправилно се взема пресечната точка на решенията на всички неравенства;

1.1.6. Краищата на интервалите са включени неправилно или не са включени в крайния отговор;

1.1.7. Закръгляване.

1.2. Дробни рационални уравнения:

1.2.1. ODZ е посочена неправилно или не е посочена: не е взето предвид, че знаменателят на дробта не трябва да бъде равен на нула;

ODZ: .

1.2.2. При получаване на отговор ДЗ не се взема предвид;

Раздели: Математика

клас: 9

Задължителен резултат от обучението е способността да се решават неравенства от вида:

ax 2 + bx + c ><0

въз основа на схематична графика на квадратична функция.

Най-често учениците допускат грешки при решаване на квадратни неравенства с отрицателен първи коефициент. В такива случаи учебникът предлага неравенството да се замени с еквивалентно с положителен коефициент при x 2 (пример № 3). Важно е учениците да разберат, че трябва да „забравят“ за първоначалното неравенство, за да решат проблема , те трябва да нарисуват парабола с клони, сочещи нагоре. Може да се спори различно.

Да кажем, че трябва да решим неравенството:

–x 2 + 2x –5<0

Първо, нека разберем дали графиката на функцията y=-x 2 +2x-5 пресича оста OX. За да направите това, нека решим уравнението:

Уравнението няма корени, следователно графиката на функцията y=-x 2 +2x-5 е разположена изцяло под оста X и неравенството -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.

Умението за решаване се развива върху № 111 и № 119. Задължително е да се разгледат следните неравенства x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0 и т.н.

Разбира се, когато решавате такива неравенства, можете да използвате парабола. Силните ученици обаче трябва да дават отговори веднага, без да прибягват до рисуване. В този случай е необходимо да се изискват обяснения, например: x 2 ≥0 и x 2 +7>0 за всякакви стойности на x. В зависимост от нивото на подготовка на класа можете да се ограничите до тези числа или да използвате № 120 № 121. В тях е необходимо да се извършат прости идентични трансформации, така че тук ще се повтори преминатият материал. Тези стаи са предназначени за силни ученици. Ако се постигне добър резултат и решаването на квадратни неравенства не създава проблеми, тогава можете да помолите учениците да решат система от неравенства, в която едното или и двете неравенства са квадратни (упражнение 193, 194).

Интересно е не само да се решават квадратни неравенства, но и къде другаде може да се приложи това решение: да се намери областта на дефиниция на функцията за изучаване на квадратно уравнение с параметри (упражнение 122-124). За най-напредналите ученици вие може да разглежда квадратни неравенства с параметри от формата:

Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)

Брадва 2 +Bx+C<0 (≤0)

Където A,B,C са изрази в зависимост от параметрите, A≠0,x са неизвестни.

Неравенство Ax 2 +Bx+C>0

Изследва се по следните схеми:

1) Ако A=0, тогава имаме линейно неравенство Bx+C>0

2) Ако A≠0 и дискриминант D>0, тогава можем да разложим квадратния трином и да получим неравенството

A(x-x1) (x-x2)>0

x 1 и x 2 са корените на уравнението Ax 2 +Bx+C=0

3) Ако A≠0 и D<0 то если A>0 решението ще бъде множеството от реални числа R; при А<0 решений нет.

Останалите неравенства могат да се изследват по подобен начин.

Може да се използва за решаване на квадратни неравенства, оттук и свойството на квадратния трином

1) Ако A>0 и D<0 то Ax2+Bx+C>0- за всички x.

2) Ако А<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.

При решаване на квадратно неравенство е по-удобно да се използва схематично представяне на графиката на функцията y=Ax2+Bx+C

Пример: Решете неравенството за всички стойности на параметри

X 2 +2(b+1)x+b 2 >0

D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2

1) Г<0 т.е. 2b+1<0

Коефициентът пред x 2 е 1>0, тогава неравенството е изпълнено за всички x, т.е. X є R

2) D=0 => 2b+1=0

Тогава x 2 +x+¼>0

x є(-∞;-½) U (-½;∞)

3) D>0 =>2b+1>0

Корените на квадратен трином са:

X 1 =-b-1-√2b+1

X 2 =-b-1+√2b+1

Неравенството приема формата

(x-x 1) (x-x 2)>0

Използвайки интервалния метод, получаваме

x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)

За независимо решениедайте следното неравенство

В резултат на решаването на неравенства ученикът трябва да разбере, че за да се решат неравенства от втора степен, се предлага да се изоставят прекомерните детайли в метода за конструиране на графика, от намирането на координатите на върховете на параболата, спазването на мащаб и човек може да се ограничи до чертане на скица на графиката на квадратична функция.

На по-високо ниво решаването на квадратни неравенства практически не е самостоятелна задача, а действа като компонент от решаването на друго уравнение или неравенство (логаритмично, експоненциално, тригонометрично). Следователно е необходимо да научим учениците как да решават свободно квадратни неравенства. Можете да се обърнете към три теореми, заимствани от учебника на A.A. Киселева.

Теорема 1. Нека е даден квадратен тричлен ax 2 +bx+c, където a>0, имащ 2 различни реални корена (D>0).

Тогава: 1) За всички стойности на променливата x, по-малки от по-малкия корен и по-големи от по-големия корен, квадратният трином е положителен

2) За стойности на x между квадратните корени триномът е отрицателен.

Теорема 2. Нека е даден квадратен тричлен ax 2 +bx+c, където a>0 има 2 еднакви реални корена (D=0). Тогава за всички стойности на x, различни от корените на квадратния трином, квадратният трином е положителен .

Теорема 3. Нека е дадена квадратна тричленна брадва 2 +bx+c, където a>0 няма реални корени (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.

Например: трябва да се реши неравенството:

D=1+288=289>0

Решението е

X≤-4/3 и x≥3/2

Отговор (-∞; -4/3] U