Допълнителни свойства на логаритмите. Дефиниция на логаритъм, основно логаритмично тъждество

Фокусът на тази статия е логаритъм. Тук ще дадем дефиниция на логаритъм, ще покажем приетата нотация, ще дадем примери за логаритми и ще говорим за естествени и десетични логаритми. След това ще разгледаме основното логаритмично тъждество.

Навигация в страницата.

Дефиниция на логаритъм

Концепцията за логаритъм възниква при решаване на проблем в определен обратен смисъл, когато трябва да намерите експонент в известна стойностстепен и известна основа.

Но достатъчно предисловия, време е да отговорим на въпроса „какво е логаритъм“? Нека дадем съответното определение.

Определение.

Логаритъм от b при основа a, където a>0, a≠1 и b>0 е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b като резултат.

На този етап отбелязваме, че изречената дума „логаритъм“ трябва незабавно да повдигне два последващи въпроса: „какво число“ и „на каква основа“. С други думи, просто няма логаритъм, а само логаритъм на число спрямо някаква основа.

Да влезем веднага логаритмична нотация: логаритъма на число b при основа a обикновено се означава като log a b. Логаритъмът на число b по основа e и логаритъмът по основа 10 имат свои собствени специални обозначения съответно lnb и logb, тоест те пишат не log e b, а lnb и не log 10 b, а lgb.

Сега можем да дадем: .
И записите нямат смисъл, тъй като в първия от тях има отрицателно число под знака на логаритъма, във втория има отрицателно число в основата, а в третия има отрицателно число под знака на логаритъма и единица в базата.

Сега нека поговорим за правила за четене на логаритми. Log a b се чете като "логаритъм от b при основа a". Например log 2 3 е логаритъм от три при основа 2 и е логаритъм от две цяло две трети при основа 2 Корен квадратенот пет. Логаритъмът при основа e се нарича натурален логаритъм, а обозначението lnb се чете "естествен логаритъм от b". Например ln7 е натурален логаритъм от седем и ние ще го прочетем като натурален логаритъм от пи. Логаритъмът с основа 10 също има специално име - десетичен логаритъм, а lgb се чете като "десетичен логаритъм от b". Например lg1 е десетичният логаритъм от едно, а lg2,75 е десетичният логаритъм от две кома седем пет стотни.

Струва си да се спрем отделно на условията a>0, a≠1 и b>0, при които е дадена дефиницията на логаритъма. Нека обясним откъде идват тези ограничения. Равенство на формата, наречено , което директно следва от определението за логаритъм, дадено по-горе, ще ни помогне да направим това.

Нека започнем с a≠1. Тъй като едно на произволна степен е равно на едно, равенството може да е вярно само когато b=1, но log 1 1 може да бъде всяко реално число. За да се избегне тази неяснота, се приема a≠1.

Нека обосновем целесъобразността на условието a>0. При a=0, по дефиницията на логаритъм, ще имаме равенство, което е възможно само при b=0. Но тогава log 0 0 може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. Условието a≠0 ни позволява да избегнем тази неяснота. И когато а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

И накрая, условието b>0 следва от неравенството a>0, тъй като , и стойността на степен с положителна основа a винаги е положителна.

За да завършим тази точка, нека кажем, че посочената дефиниция на логаритъма ви позволява незабавно да посочите стойността на логаритъма, когато числото под знака на логаритъма е определена степен на основата. Наистина, дефиницията на логаритъм ни позволява да заявим, че ако b=a p, тогава логаритъма на числото b по основа a е равен на p. Тоест равенството log a a p =p е вярно. Например знаем, че 2 3 =8, тогава log 2 8=3. Ще говорим повече за това в статията.

Въз основа на числото e: ln x = log e x.

Натуралният логаритъм се използва широко в математиката, тъй като неговата производна има най-простата форма: (ln x)′ = 1/ x.

Базиран дефиниции, основата на естествения логаритъм е числото д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Графика на функцията y = в х.

Графика на натурален логаритъм (функции y = в х) се получава от експоненциалната графика чрез огледално отражение спрямо правата линия y = x.

Натуралният логаритъм е дефиниран при положителни стойностипроменлива x. Той се увеличава монотонно в своята област на дефиниция.

При x → 0 границата на естествения логаритъм е минус безкрайност (-∞).

Когато x → + ∞, границата на естествения логаритъм е плюс безкрайност (+ ∞). За голямо x логаритъма нараства доста бавно. Всякакви степенна функция x a с положителен показател a расте по-бързо от логаритъма.

Свойства на естествения логаритъм

Област на дефиниране, набор от стойности, екстремуми, нарастване, намаляване

Натуралният логаритъм е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на натуралния логаритъм са представени в таблицата.

ln x стойности

ln 1 = 0

Основни формули за естествени логаритми

Формули, следващи от дефиницията на обратната функция:

Основното свойство на логаритмите и последствията от него

Формула за заместване на основата

Всеки логаритъм може да бъде изразен чрез естествени логаритми, като се използва формулата за заместване на основата:

Доказателствата на тези формули са представени в раздела "Логаритъм".

Обратна функция

Обратният на естествения логаритъм е степента.

Ако , тогава

Ако, тогава.

Производна ln x

Производна на натурален логаритъм:
.
Производна на натурален логаритъм от модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извличане на формули >>>

Интеграл

Интегралът се изчислява чрез интегриране по части:
.
Така,

Изрази, използващи комплексни числа

Разгледайте функцията на комплексната променлива z:
.
Нека изразим комплексната променлива zчрез модул rи аргумент φ :
.
Използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или
.
Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Ако поставите
, където n е цяло число,
ще бъде едно и също число за различни n.

Следователно натуралният логаритъм, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.

Разширение на степенни редове

Когато се извършва разширяването:

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са точно редовни числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: log а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. дневник а х+ дневник а г=дневник а (х · г);
2. дневник а х− дневник а г=дневник а (х : г).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Забележка: ключов моментТук - идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не са взети предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно е да забележите това последното правилоследва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

[Надпис към снимката]

Забележете, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека логаритъмът е даден а х. След това за произволен номер ° Стакова, че ° С> 0 и ° С≠ 1, равенството е вярно:

[Надпис към снимката]

По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:

[Надпис към снимката]

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само като се реши логаритмични уравненияи неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай броят нстава показател за степента на позиция в спора. Номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Това се нарича: основна логаритмична идентичност.

Всъщност какво ще се случи, ако броят bповдигнете до такава степен, че числото bна тази степен дава числото а? Точно така: получавате същото число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

[Надпис към снимката]

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. дневник а а= 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъм по произволна основа аот същата тази основа е равно на едно.
2. дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-просто. Например \(\log_(2)(8)\) е равно на степента, на която трябва да се повдигне \(2\), за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Аргумент и основа на логаритъм

Всеки логаритъм има следната „анатомия“:

Аргументът на логаритъм обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис гласи така: „логаритъм от двадесет и пет по основа пет“.

Как да изчислим логаритъм?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: на каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? Каква сила прави всеки номер едно? Нула разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? Първо, всяко число на първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем, че това е дробна степен, което означава, че квадратният корен е степента на \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъм \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи уравнението. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). На какво е равно x? Това е смисълът.

Най-умните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно да напиша това число? За да се отговори на този въпрос, е изобретен логаритъма. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), като всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото ако искахме да го запишем във формуляра десетичен знак, тогава ще изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъм, неговата основа може да бъде всяко положително число освен едно \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Една от тях се нарича „Основна логаритмична идентичност“ и изглежда така:

Това свойство следва пряко от определението. Нека да видим как точно се появи тази формула.

Нека си припомним кратка нотация на дефиницията на логаритъм:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\). Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите други свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава вместо две можете да напишете \(\log_(2)(4)\).

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), което означава, че можем също да запишем \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Така, ако имаме нужда, можем да запишем две като логаритъм с произволна основа навсякъде (било то в уравнение, в израз или в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката – може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \)... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете значението на израза \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

Никак не е лошо, нали? Докато математиците търсят думи, за да ви дадат дълга, объркваща дефиниция, нека разгледаме по-отблизо тази проста и ясна.

Числото e означава растеж

Числото e означава непрекъснат растеж. Както видяхме в предишния пример, e x ни позволява да свържем лихвата и времето: 3 години при 100% ръст е същото като 1 година при 300%, като приемем „сложна лихва“.

Можете да замените произволни процентни и времеви стойности (50% за 4 години), но е по-добре да зададете процента като 100% за удобство (оказва се 100% за 2 години). Преминавайки към 100%, можем да се съсредоточим единствено върху времевия компонент:

e x = e процент * време = e 1,0 * време = e време

Очевидно e x означава:

• колко ще нарасне моят принос след x единици време (приемайки 100% непрекъснат растеж).
• например след 3 интервала от време ще получа e 3 = 20,08 пъти повече „неща“.

e x е коефициент на мащабиране, който показва до какво ниво ще нараснем за x период от време.

Натурален логаритъм означава време

Натуралният логаритъм е обратен на e, фантастичен термин за противоположност. Говорейки за странности; на латински се нарича logarithmus naturali, оттук и съкращението ln.

И какво означава тази инверсия или противоположност?

• e x ни позволява да заменим времето и да получим растеж.
• ln(x) ни позволява да вземем растеж или доход и да намерим времето, необходимо за генерирането му.

Например:

• e 3 е равно на 20,08. След три периода от време ще имаме 20,08 пъти повече от това, с което започнахме.
• ln(08/20) ще бъде приблизително 3. Ако се интересувате от растеж от 20,08 пъти, ще ви трябват 3 периода от време (отново, като се приеме 100% непрекъснат растеж).

Все още четете? Натуралният логаритъм показва времето, необходимо за достигане на желаното ниво.

Това нестандартно логаритмично броене

Минали ли сте през логаритми? странни създания. Как са успели да превърнат умножението в събиране? Какво ще кажете за разделяне на изваждане? Нека да погледнем.

На какво е равно ln(1)? Интуитивно въпросът е: колко дълго трябва да чакам, за да получа 1x повече от това, което имам?

Нула. Нула. Въобще не. Вече го имате веднъж. Преминаването от ниво 1 до ниво 1 не отнема много време.

• ln(1) = 0

Добре, какво ще кажете за дробната стойност? Колко време ще ни отнеме да ни остане 1/2 от наличното количество? Знаем, че при 100% непрекъснат растеж ln(2) означава времето, необходимо за удвояване. Ако ние да върнем времето назад(т.е. изчакайте отрицателно време), тогава ще получим половината от това, което имаме.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Логично, нали? Ако се върнем назад (време назад) до 0,693 секунди, ще намерим половината от наличното количество. Като цяло можете да обърнете фракцията и да вземете отрицателно значение: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Това означава, че ако се върнем назад във времето до 1,09 пъти, ще намерим само една трета от текущото число.

Добре, какво ще кажете за логаритъма на отрицателно число? Колко време отнема „отглеждането“ на колония от бактерии от 1 до -3?

Това е невъзможно! Не можете да получите отрицателен брой бактерии, нали? Можете да получите максимум (ъъ...минимум) нула, но няма начин да получите отрицателно число от тези малки същества. IN отрицателно числобактерии просто няма смисъл.

• ln(отрицателно число) = недефинирано

„Недефинирано“ означава, че няма време, което трябва да изчака, за да получи отрицателна стойност.

Логаритмичното умножение е просто забавно

Колко време ще отнеме да нарасне четирикратно? Разбира се, можете просто да вземете ln(4). Но това е твърде просто, ще тръгнем по друг начин.

Можете да мислите за четворния растеж като удвояване (изискващо ln(2) единици време) и след това удвояване отново (изискващо още ln(2) единици време):

• Време за нарастване 4 пъти = ln(4) = Време за удвояване и след това отново удвояване = ln(2) + ln(2)

интересно Всеки темп на растеж, да речем 20, може да се счита за удвояване веднага след 10-кратно увеличение. Или ръст 4 пъти, а след това 5 пъти. Или утрояване и след това увеличаване с 6,666 пъти. Виждате ли шаблона?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логаритъмът от A по B е log(A) + log(B). Тази връзка веднага има смисъл, когато се разглежда от гледна точка на растеж.

Ако се интересувате от 30x растеж, можете да изчакате ln(30) на едно заседание или да изчакате ln(3) за утрояване и след това още един ln(10) за 10x. Крайният резултат е същият, така че, разбира се, времето трябва да остане постоянно (и това е така).

Ами разделението? По-конкретно, ln(5/3) означава: колко време ще отнеме да нарасне 5 пъти и след това да получи 1/3 от това?

Страхотно, нарастването с 5 пъти е ln(5). Увеличението от 1/3 пъти ще отнеме -ln(3) единици време. Така,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Това означава: оставете го да нарасне 5 пъти и след това „върнете се назад във времето“ до момента, в който остава само една трета от това количество, така че ще получите 5/3 растеж. Като цяло се оказва

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Надявам се, че странната аритметика на логаритмите започва да придобива смисъл за вас: умножаването на темповете на растеж се превръща в добавяне на единици време за растеж, а деленето се превръща в изваждане на единици време. Няма нужда да запомняте правилата, опитайте се да ги разберете.

Използване на натурален логаритъм за произволен растеж

Е, разбира се“, казвате вие, „това е добре, ако растежът е 100%, но какво ще кажете за 5%, които получавам?“

Няма проблем. „Времето“, което изчисляваме с ln(), всъщност е комбинация от лихвен процент и време, същото X от уравнението e x. Просто решихме да зададем процента на 100% за простота, но сме свободни да използваме всякакви числа.

Да речем, че искаме да постигнем 30x растеж: вземете ln(30) и вземете 3,4 Това означава:

• e x = височина
• e 3,4 = 30

Очевидно това уравнение означава "100% възвръщаемост за 3,4 години дава 30 пъти растеж." Можем да напишем това уравнение, както следва:

• e x = e скорост*време
• e 100% * 3,4 години = 30

Можем да променим стойностите на „залог“ и „време“, стига залогът * време да остане 3.4. Например, ако се интересуваме от 30x растеж, колко време ще трябва да чакаме при лихвен процент от 5%?

• ln(30) = 3,4
• скорост * време = 3,4
• 0,05 * време = 3,4
• време = 3,4 / 0,05 = 68 години

Разсъждавам така: "ln(30) = 3,4, така че при 100% растеж ще отнеме 3,4 години. Ако удвоя скоростта на растеж, необходимото време ще бъде намалено наполовина."

• 100% за 3,4 години = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% за 1,7 години = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% за 6,8 години = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% над 68 години = 0,05 * 68 = 3,4.

Страхотно, нали? Натуралният логаритъм може да се използва с всякакъв лихвен процент и време, тъй като техният продукт остава постоянен. Можете да премествате променливи стойности колкото желаете.

Страхотен пример: Правило на седемдесет и две

Правилото на седемдесет и две е математическа техника, която ви позволява да прецените колко време ще отнеме парите ви да се удвоят. Сега ще го изведем (да!) и освен това ще се опитаме да разберем същността му.

Колко време ще отнеме да удвоите парите си при 100% годишна лихва?

опа Използвахме натурален логаритъм за случая на непрекъснат растеж, а сега говорите за годишно комбиниране? Дали тази формула няма да стане неподходяща за такъв случай? Да, така ще бъде, но за реални лихвени проценти като 5%, 6% или дори 15%, разликата между годишното усложняване и непрекъснатия растеж ще бъде малка. Така че грубата оценка работи, хм, грубо, така че ще се преструваме, че имаме напълно непрекъснато натрупване.

Сега въпросът е прост: Колко бързо можете да удвоите със 100% растеж? ln(2) = 0,693. Отнема 0,693 единици време (години в нашия случай), за да удвоим нашата сума с непрекъснато увеличение от 100%.

И така, какво ще стане, ако лихвеният процент не е 100%, а да речем 5% или 10%?

Лесно! Тъй като залог * време = 0,693, ще удвоим сумата:

• скорост * време = 0,693
• време = 0,693 / залог

Оказва се, че ако растежът е 10%, ще са необходими 0,693 / 0,10 = 6,93 години, за да се удвои.

За да опростим изчисленията, нека умножим двете страни по 100, тогава можем да кажем "10", а не "0,10":

• време за удвояване = 69,3 / залог, където залогът е изразен като процент.

Сега е време да се удвои със скорост от 5%, 69,3 / 5 = 13,86 години. Въпреки това, 69.3 не е най-удобният дивидент. Нека изберем близко число 72, което е удобно да се раздели на 2, 3, 4, 6, 8 и други числа.

• време за удвояване = 72 / залог

което е правилото на седемдесет и две. Всичко е покрито.

Ако трябва да намерите време за утрояване, можете да използвате ln(3) ~ 109.8 и да получите

• време за утрояване = 110 / залог

Какво е друго полезно правило. „Правилото на 72“ важи за височината лихвени проценти, растеж на населението, бактериални култури и всичко, което расте експоненциално.

Какво следва?

Надяваме се, че натуралният логаритъм сега има смисъл за вас - той показва времето, необходимо на всяко число да расте експоненциално. Мисля, че се нарича естествено, защото e е универсална мярка за растеж, така че ln може да се разглежда по универсален начинопределяне колко време е необходимо за растеж.

Всеки път, когато видите ln(x), помнете "времето, необходимо за нарастване X пъти". В предстояща статия ще опиша e и ln във връзка, така че свежият аромат на математика да изпълни въздуха.

Допълнение: Натурален логаритъм от e

Бърз тест: какво е ln(e)?

• математически робот ще каже: тъй като те са дефинирани като обратни един на друг, очевидно е, че ln(e) = 1.
• разбиращ човек: ln(e) е броят пъти, необходими за нарастване на "e" пъти (около 2,718). Самото число e обаче е мярка за растеж с коефициент 1, така че ln(e) = 1.

Мислете ясно.