Формула за намиране на площта на кръг. Площ на кръг: формула

Инструкции

Използвайте Pi, за да намерите радиуса на известен площадкръг. Тази константа задава съотношението между диаметъра на окръжност и дължината на нейната граница (кръг). Дължината на кръга е максималната площ на равнината, която може да бъде покрита с негова помощ, а диаметърът е равен на два радиуса, следователно площта и радиусът също се отнасят един към друг с пропорция, която може да бъде изразена чрез число Пи. Тази константа (π) се определя като площта (S) и квадрата на радиуса (r) на кръга. От това следва, че радиусът може да се изрази като Корен квадратенот частното на площта, разделена на Pi: r=√(S/π).

За дълго времеЕрастотен оглавява Александрийската библиотека, най-известната библиотека древен свят. В допълнение към изчисляването на размера на нашата планета, той прави редица важни изобретения и открития. Изобретил прост метод за определяне прости числа, сега наричано „ситото на Ерастофен“.

Той начертава „карта на света“, в която показва всички части на света, познати на древните гърци по това време. Картата е смятана за една от най-добрите за времето си. Разработил система за географска дължина и ширина и календар, който включва високосни години. Изобретил армиларната сфера, механично устройство, използвано от ранните астрономи за демонстриране и прогнозиране на видимото движение на звездите в небето. Той също така състави звезден каталог, който включва 675 звезди.

източници:

• Гръцкият учен Ератостен от Кирена е първият в света, който изчислява радиуса на Земята
• Ератостен "Изчисляване на обиколката на Земята".
• Ератостен

Кръговете изискват по-внимателен подход и се срещат много по-рядко в задачи B5. В същото време общата схема на решение е дори по-проста, отколкото в случая с многоъгълници (вижте урока „Площи на многоъгълници върху координатна мрежа“).

Всичко, което се изисква при такива задачи, е да се намери радиусът на окръжността R. След това можете да изчислите площта на кръга, като използвате формулата S = πR 2. От тази формула също следва, че за решаването й е достатъчно да се намери R 2.

За да намерите посочените стойности, достатъчно е да посочите точка от кръга, която се намира в пресечната точка на линиите на мрежата. И след това използвайте Питагоровата теорема. Нека помислим конкретни примериизчисления на радиуса:

Задача. Намерете радиусите на трите окръжности, показани на фигурата:

Нека изпълним допълнителни конструкции във всеки кръг:

Във всеки случай точка B е избрана от окръжността да лежи в пресечната точка на линиите на мрежата. Точка C в кръгове 1 и 3 завършва фигурата, за да правоъгълен триъгълник. Остава да намерим радиусите:

Помислете за триъгълник ABC в първия кръг. Според Питагоровата теорема: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

За втория кръг всичко е очевидно: R = AB = 2.

Третият случай е подобен на първия. от триъгълник ABCспоред Питагоровата теорема: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Сега знаем как да намерим радиуса на кръг (или поне неговия квадрат). Следователно можем да намерим областта. Има проблеми, при които трябва да намерите площта на сектор, а не целия кръг. В такива случаи е лесно да разберете каква част от кръга е този сектор и по този начин да намерите областта.

Задача. Намерете площта S на защрихования сектор. Моля, посочете S/π в отговора си.

Очевидно секторът е една четвърт от кръг. Следователно S = 0,25 S кръг.

Остава да намерим S на кръга - площта на кръга. За да направите това, извършваме допълнителна конструкция:

Триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник. Според Питагоровата теорема имаме: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Сега намираме площта на кръга и сектора: S кръг = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S кръг = 2π.

И накрая, желаната стойност е S /π = 2.

Секторна област с неизвестен радиус

Това е съвсем нов тип задачи, нищо подобно не е имало през 2010-2011 г. Според условието ни е дадена окръжност с определена площ (именно площта, а не радиуса!). След това в този кръг се избира сектор, чиято площ трябва да се намери.

Добрата новина е, че такива задачи са най-лесните от всички областни задачи, които се появяват в Единния държавен изпит по математика. Освен това кръгът и секторът винаги се поставят върху координатна мрежа. Ето защо, за да научите как да решавате такива проблеми, просто погледнете снимката:

Нека оригиналният кръг има площ S = 80. Тогава той може да бъде разделен на два сектора с площ S = 40 всеки (вижте стъпка 2). По същия начин всеки от тези „половини“ сектори може да бъде разделен отново наполовина - получаваме четири сектора с площ S = 20 всеки (вижте стъпка 3). И накрая, можем да разделим всеки от тези сектори на още два - получаваме 8 сектора "отпадъци". Площта на всеки от тези „изрезки“ ще бъде S = 10.

Моля, обърнете внимание: няма по-малък дял в нито един Задача за единен държавен изпитне по математика! Така алгоритъмът за решаване на задача B-3 е следният:

1. Нарежете оригиналния кръг на 8 сектора „изрезки“. Площта на всеки от тях е точно 1/8 от площта на целия кръг. Например, ако според условието окръжността има площ S на окръжността = 240, то „изрезките” имат площ S = 240: 8 = 30;
2. Разберете колко „изрезки“ се побират в оригиналния сектор, чиято площ трябва да се намери. Например, ако нашият сектор съдържа 3 „изрезки“ с площ 30, тогава площта на необходимия сектор е S = 3 · 30 = 90. Това ще бъде отговорът.

Това е всичко! Задачата се решава практически устно. Ако нещо все още не е ясно, купете пица и я нарежете на 8 парчета. Всяко такова парче ще бъде един и същ сектор - „изрезки“, които могат да се комбинират в по-големи парчета.

Сега нека да разгледаме примери от пробния Единен държавен изпит:

Задача. Върху карирана хартия е начертан кръг с площ 40. Намерете площта на защрихованата фигура.

И така, площта на кръга е 40. Разделете го на 8 сектора - всеки с площ S = 40: 5 = 8. Получаваме:

Очевидно защрихованият сектор се състои точно от два сектора „отпадъци“. Следователно неговата площ е 2 · 5 = 10. Това е цялото решение!

Задача. Върху карирана хартия е начертан кръг с площ 64. Намерете площта на защрихованата фигура.

Отново разделете целия кръг на 8 равни сектора. Очевидно площта на един от тях е точно това, което трябва да се намери. Следователно неговата площ е S = 64: 8 = 8.

Задача. Върху карирана хартия е начертан кръг с площ 48. Намерете площта на защрихованата фигура.

Отново разделете кръга на 8 равни сектора. Площта на всеки от тях е равна на S = 48: 8 = 6. Необходимият сектор съдържа точно три сектора „скрап“ (виж фигурата). Следователно площта на необходимия сектор е 3 6 = 18.

- Това плоска фигура, което е набор от точки, еднакво отдалечени от центъра. Всички те са на еднакво разстояние и образуват кръг.

Нарича се отсечка, която свързва центъра на окръжност с точки от нейната обиколка радиус. Във всеки кръг всички радиуси са равни един на друг. Нарича се права линия, свързваща две точки от окръжност и минаваща през центъра диаметър. Формулата за площта на кръг се изчислява с помощта на математическа константа - числото π..

Това е интересно : Число π. представлява отношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър и е постоянна стойност. Стойността π = 3.1415926 е използвана след работата на Л. Ойлер през 1737 г.

Площта на кръг може да се изчисли с помощта на константата π. и радиуса на окръжността. Формулата за площта на кръг по отношение на радиуса изглежда така:

Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг с помощта на радиуса. Нека ни е даден кръг с радиус R = 4 см. Нека намерим площта на фигурата.

Площта на нашия кръг ще бъде 50,24 квадратни метра. см.

Има формула площ на окръжност през диаметър. Също така се използва широко за изчисляване на необходимите параметри. Тези формули могат да се използват за намиране.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг чрез неговия диаметър, знаейки неговия радиус. Нека ни е даден кръг с радиус R = 4 см. Първо, нека намерим диаметъра, който, както знаем, е два пъти радиуса.


Сега използваме данните за пример за изчисляване на площта на кръг, използвайки горната формула:

Както можете да видите, резултатът е същият отговор като при първите изчисления.

Познаването на стандартните формули за изчисляване на площта на кръг ще ви помогне лесно да определите в бъдеще секторна площи лесно намиране на липсващи количества.

Вече знаем, че формулата за площта на кръга се изчислява чрез умножаване на постоянната стойност π по квадрата на радиуса на кръга. Радиусът може да бъде изразен по отношение на обиколката и да замени израза във формулата за площта на кръг по отношение на обиколката:
Сега нека заместим това равенство във формулата за изчисляване на площта на кръг и да получим формула за намиране на площта на кръг с помощта на обиколката

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на кръг с помощта на обиколката. Нека е даден кръг с дължина l = 8 см. Заместете стойността в получената формула:

Общата площ на кръга ще бъде 5 квадратни метра. см.

Площ на окръжност, описана около квадрат

Много е лесно да се намери площта на окръжност, описана около квадрат.

За да направите това, имате нужда само от страната на квадрата и познаване на прости формули. Диагоналът на квадрата ще бъде равен на диагонала на описаната окръжност. Познавайки страната a, тя може да бъде намерена с помощта на Питагоровата теорема: оттук.
След като намерим диагонала, можем да изчислим радиуса: .
И тогава ще заместим всичко в основната формула за площта на кръг, описан около квадрат:

Кръгът е видим набор от много точки, които са разположени на еднакво разстояние от центъра. За да намерите неговата площ, трябва да знаете какви са радиусът, диаметърът, числото π и обиколката.

Количества, включени в изчисляването на площта на кръг

Разстоянието, ограничено от централната точка на окръжността и която и да е от точките на окръжността, се нарича радиус на това геометрична фигура. Дължините на всички радиуси на една окръжност са еднакви. Отсечката между произволни 2 точки на окръжността, която минава през централната точка, се нарича диаметър. Дължината на диаметъра е равна на дължината на радиуса, умножена по 2.

За изчисляване на площта на кръг се използва стойността на числото π. Тази стойност е равна на отношението на обиколката към дължината на диаметъра на кръга и има постоянна стойност. Π = 3,1415926. Обиколката се изчислява по формулата L=2πR.

Намерете площта на кръг, като използвате радиуса

Следователно площта на кръга е равна на произведението на числото π и радиуса на кръга, повдигнат на 2-ра степен. Като пример, нека вземем дължината на радиуса на кръга 5 см. Тогава площта на кръга S ще бъде равна на 3,14*5^2=78,5 квадратни метра. см.

Площ на кръг през диаметър

Площта на кръг може също да се изчисли, като се знае диаметърът на кръга. В този случай S = (π/4)*d^2, където d е диаметърът на кръга. Да вземем същия пример, където радиусът е 5 см. Тогава неговият диаметър ще бъде 5*2=10 см. Площта на кръга е S = 3,14/4*10^2=78,5 кв.см. Резултатът, равен на сумата от изчисленията в първия пример, потвърждава правилността на изчисленията и в двата случая.

Площ на кръг през обиколка

Ако радиусът на окръжност е представен чрез обиколката, тогава формулата ще има следния вид: R=(L/2)π. Нека заместим този израз във формулата за площта на кръг и в резултат получаваме S=(L^2)/4π. Нека разгледаме пример, в който обиколката е 10 см. Тогава площта на кръга е S = (10^2)/4*3,14=7,96 квадратни метра. см.

Площ на окръжност през дължината на страната на вписан квадрат

Ако квадрат е вписан в кръг, тогава дължината на диаметъра на кръга е равна на дължината на диагонала на квадрата. Знаейки размера на страната на квадрата, можете лесно да разберете диаметъра на кръга по формулата: d^2=2a^2. С други думи, диаметърът на 2-ра степен е равен на страната на квадрата на 2-ра степен, умножена по 2.

След като изчислите дължината на диаметъра на кръг, можете да разберете неговия радиус и след това да използвате една от формулите за определяне на площта на кръга.

Площ на сектор от кръг

Секторът е част от окръжност, ограничена от 2 радиуса и дъга между тях. За да разберете неговата площ, трябва да измерите ъгъла на сектора. След това трябва да създадете фракция, чийто числител ще бъде стойността на ъгъла на сектора, а знаменателят ще бъде 360. За да изчислите площта на сектора, стойността, получена чрез разделяне на фракцията, трябва се умножава по площта на окръжността, изчислена с помощта на една от горните формули.

Както знаем от училищна програма, кръгът обикновено се нарича плоска геометрична фигура, която се състои от много точки, разположени на еднакво разстояние от центъра на фигурата. Тъй като всички те са на еднакво разстояние, те образуват кръг.

Удобна навигация в статията:

Калкулатор за площ на кръг