Примери за интеграл на дробна рационална функция. Интегриране на рационални функции

Един от най-важните класове функции, чиито интеграли се изразяват чрез елементарни функции, е класът рационални функции.

Определение 1. Функция на формата where
- полиноми от степенинИмнаречен рационален. Цяла рационална функция, т.е. полином, интегрира директно. Интеграл от дробна рационална функциямогат да бъдат намерени чрез разлагане на членове, които се преобразуват по стандартен начин в основни таблични интеграли.

Определение 2. Дроб
се нарича правилно, ако степента на числителянпо-малко от степента на знаменателям. Дроб, в която степента на числителя е по-голяма или равна на степента на знаменателя, се нарича неправилна.

Всяка неправилна дроб може да бъде представена като сбор от полином и правилна дроб. Това се прави чрез разделяне на полином на полином, като деление на числа.

Пример.

Нека си представим дроб
като сбор от полином и правилна дроб:

х - 1

3

3

3

Първи семестър
в частното се получава в резултат на разделяне на водещия член
, разделено на водещия член хразделител След това умножаваме
на делител х-1и полученият резултат се изважда от дивидента; Останалите членове на непълното частно се намират по подобен начин.

Разделяйки полиномите, получаваме:

Това действие се нарича избиране на цяла част.

Определение 3. Най-простите дроби са правилни рационални дроби от следните видове:

аз

II.
(K=2, 3, …).

III.
където е квадратният тричлен

IV.
където K=2, 3, …; квадратен тричлен
няма реални корени.

а) разгънете знаменателя
в най-простите реални фактори (според основната теорема на алгебрата, това разширение може да съдържа линейни биноми от формата
и квадратни триноми
, без корени);

б) напишете диаграма на разлагането на дадена дроб в сбора на простите дроби. Освен това всеки фактор на формата
отговаря ккомпоненти от типове I и II:

към всеки фактор на формата
съответства на e термини от типове III и IV:

Пример.

Запишете схемата за разширяване на дробите
до сбора на най-простите.

в) извършете събирането на получените най-прости дроби. Запишете равенството на числителите на получената и първоначалната дроби;

г) намерете коефициентите на съответното разширение:
(методите за решение ще бъдат разгледани по-долу);

д) заменете намерените стойности на коефициентите в схемата за разлагане.

Интегрирането на всяка правилна рационална дроб след разлагане на нейните най-прости членове се свежда до намиране на интеграли от един от следните типове:

(кИ д =2, 3, …).

Изчисляване на интеграла редуцира до формула III:

интегрална - към формула II:

интегрална може да се намери по правилото, определено в теорията на интегрирането на функции, съдържащи квадратичен трином; - чрез трансформациите, показани по-долу в пример 4.

Пример 1.

а) множете знаменателя на множители:

б) напишете диаграма за разлагане на интегранта на членове:

в) извършете добавяне на прости дроби:

Нека запишем равенството на числителите на дробите:

г) има два метода за намиране на неизвестни коефициенти A, B, C.

Два полинома са равни тогава и само ако техните коефициенти са равни за еднакви степени х, така че можете да създадете съответната система от уравнения. Това е един от методите за решение.

Коефициенти при

безплатни членове (коефициент при ):4А=8.

След като решихме системата, получаваме А=2, B=1, C= - 10.

Друг метод - частни стойности - ще бъде обсъден в следващия пример;

д) заменете намерените стойности в схемата за разлагане:

Замествайки получената сума под интегралния знак и интегрирайки всеки член поотделно, намираме:

Пример 2.

Идентичността е равенство, което е валидно за всякакви стойности на неизвестните, включени в него. Въз основа на това метод на частната стойност.Може да се даде хвсякакви ценности. По-удобно е за изчисленията да се вземат тези стойности, които правят всички членове от дясната страна на равенството изчезващи.

Позволявам х = 0. Тогава 1 = А 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

По същия начин за х = - 2ние имаме 1= - 2V*(-3), при х = 1ние имаме 1 = 3А.

следователно

Пример 3.

г) първо използваме метода на частичната стойност.

Позволявам х = 0, Тогава 1 = А 1, А = 1.

При х = - 1ние имаме - 1+4+2+1 = - B(1+1+1)или 6 = - 3V, B = - 2.

За да намерите коефициентите C и D, трябва да създадете още две уравнения. За това можете да вземете всякакви други стойности х, Например х = 1И х = 2. Можете да използвате първия метод, т.е. приравняване на коефициенти при всякакви еднакви степени х, например когато И . Получаваме

1 = A+B+C и 4 = C +д- ВЪВ.

знаейки А = 1, B = -2, ще намерим С = 2, д = 0 .

Така и двата метода могат да се комбинират при изчисляване на коефициентите.

Последен интеграл намираме отделно според правилото, посочено в метода за определяне на нова променлива. Нека изберем перфектен квадрат в знаменателя:

да речем
Тогава
Получаваме:

=

Замествайки в предишното равенство, намираме

Пример 4.

намирам

б)

д)

Интегрирайки, имаме:

Нека трансформираме първия интеграл във формула III:

Нека трансформираме втория интеграл във формула II:

В третия интеграл заместваме променливата:

(При извършване на трансформациите използвахме тригонометричната формула

Намерете интегралите:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Въпроси за самопроверка.

Кои от данните рационални дробиса правилни:

2. Правилно ли е написана схемата за разлагане на дроб на сбор от прости дроби?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В интеграли 1-3 ас u приемам . След това н-многократно прилагане на формула (19) стигаме до един от табличните интеграли

,
,
.

В интеграли 4-6, когато диференцирате, опростете трансцендентния фактор
,
или
, което трябва да се приема като u.

Изчислете следните интеграли.

Пример 7.

Пример 8.

Намаляване на интегралите до себе си

Ако подинтегралната функция
има формата:

,
,
и така нататък,

тогава след интегриране два пъти по части получаваме израз, съдържащ първоначалния интеграл :

,

Където
- някаква константа.

Решаване на полученото уравнение за , получаваме формула за изчисляване на първоначалния интеграл:

.

Този случай на прилагане на метода на интегриране по части се нарича " привеждане на интеграла към себе си».

Пример 9.Изчислете интеграл
.

От дясната страна е оригиналният интеграл . Премествайки го вляво, получаваме:

.

Пример 10.Изчислете интеграл
.

4.5. Интегриране на най-простите правилни рационални дроби

Определение.Най-простите правилни дроби аз , II И III видове Следните дроби се наричат:

аз. ;

II.
; (
- положително цяло число);

III.
; (корените на знаменателя са сложни, тоест:
.

Нека разгледаме интеграли от прости дроби.

аз.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Трансформираме числителя на дробта по такъв начин, че да изолираме члена в числителя
, равно на производната на знаменателя.

Нека разгледаме първия от двата получени интеграла и да направим промяна в него:

Във втория интеграл добавяме знаменателя към перфектен квадрат:

И накрая, интегралът на дроб от трети тип е равен на:

=
+
. (22)

Така интегралът на най-простите фракции от тип I се изразява чрез логаритми, тип II - чрез рационални функции, тип III - чрез логаритми и арктангенси.

4.6.Интегриране на дробно-рационални функции

Един от класовете функции, които имат интеграл, изразен чрез елементарни функции, е класът на алгебрични рационални функции, тоест функции, произтичащи от краен брой алгебрични операции върху аргумент.

Всяка рационална функция
може да се представи като отношение на два полинома
И
:

. (23)

Ще приемем, че полиномите нямат общи корени.

Извиква се дроб от формата (23). правилно, ако степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя, т.е. м< н. В противен случай - грешно.

Ако дробта е неправилна, то като разделим числителя на знаменателя (съгласно правилото за деление на полиноми), представяме дробта като сбор от полином и правилна дроб:

, (24)

Където
- полином, - правилна дроб, и степента на полинома
- не по-висока от степен ( н-1).

Пример.

Тъй като интегрирането на полином се свежда до сумата от табличните интеграли на степенна функция, тогава основната трудност при интегрирането на рационални дроби е интегрирането на правилни рационални дроби.

В алгебрата е доказано, че всяка правилна дроб се разлага на сумата от горното протозоидроби, чиято форма се определя от корените на знаменателя
.

Нека разгледаме три специални случая. Тук и по-нататък ще приемем, че коеф на най-високата степен на знаменателя
равно на едно =1, т.енамален полином .

Случай 1.Корените на знаменателя, тоест корените
уравнения
=0, са валидни и различни. След това представяме знаменателя като произведение на линейни множители:

и правилната дроб се разлага на най-простите дроби от I-gotype:

, (26)

Където
- някои постоянни числа, които се намират по метода на неопределените коефициенти.

За да направите това ви трябва:

1. Приведете дясната страна на разширението (26) към общ знаменател.

2. Приравнете коефициентите на еднакви степени на еднакви полиноми в числителя на лявата и дясната страна. Получаваме система от линейни уравнения за определяне
.

3. Решете получената система и намерете неопределените коефициенти
.

Тогава интегралът на дробно-рационалната функция (26) ще бъде равен на сумата от интегралите на най-простите дроби от I-тип, изчислени по формула (20).

Пример.Изчислете интеграл
.

Решение.Нека разложим знаменателя на множители, използвайки теоремата на Виета:

След това функцията интегранд се разлага на сбор от прости дроби:

.

х:

Нека напишем система от три уравнения, които да намерим
хот лявата и дясната страна:

.

Нека посочим по-прост начин за намиране на несигурни коефициенти, наречен метод на частична стойност.

Приемайки равенство (27)
получаваме
, където
. Вярвайки
получаваме
. Накрая, вярвайки
получаваме
.

.

Случай 2.Корен на знаменателя
са валидни, но сред тях има множество (равни) корени. След това представяме знаменателя като произведение на линейни множители, включени в произведението до степента, в която кратността на съответния корен е:

Където
.

Правилна дроб сумата от дроби от тип I и II ще бъде разложена. нека например - корен от знаменателя на кратността к, и всички останали ( н- к) корените са различни.

Тогава разширението ще изглежда така:

По същия начин, ако има други множество корени. За некратни корени разширението (28) включва най-простите дроби от първия тип.

Пример.Изчислете интеграл
.

Решение.Нека си представим дробта като сбор от най-простите дроби от първи и втори вид с неопределени коефициенти:

.

Нека приведем дясната страна към общ знаменател и приравним полиномите в числителите на лявата и дясната страна:

От дясната страна представяме подобни със същите степени х:

Нека напишем система от четири уравнения, които да намерим
И . За да направим това, приравняваме коефициентите при еднакви степени хот лявата и дясната страна

.

Случай 3.Сред корените на знаменателя
има сложни единични корени. Тоест, разширяването на знаменателя включва фактори от втора степен
, които не се разлагат на реални линейни множители и не се повтарят.

Тогава, при разлагането на дроб, всеки такъв фактор ще съответства на най-простата дроб от тип III. Линейните множители съответстват на най-простите дроби от тип I и II.

Пример.Изчислете интеграл
.

Решение.
.

.

.

Тук предоставяме подробни решения на три примера за интегриране на следните рационални дроби:
, , .

Пример 1

Изчислете интеграла:
.

Решение

Тук под знака на интеграла има рационална функция, тъй като интеграндът е част от полиноми. Степен на полинома на знаменателя ( 3 ) е по-малка от степента на полинома на числителя ( 4 ). Следователно, първо трябва да изберете цялата част от фракцията.

1. Нека изберем цялата част от дробта. Разделете x 4 от x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Оттук
.

2. Нека разложим на множители знаменателя на дробта. За да направите това, трябва да решите кубичното уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Нека заместим x = 1 :
.

1 . Разделете на x - 1 :

Оттук
.
Нека решим квадратно уравнение.
.
Корените на уравнението са: , .
Тогава
.

3. Нека разбием дробта в най-простата й форма.

.

Така открихме:
.
Да се ​​интегрираме.

Отговор

Пример 2

Изчислете интеграла:
.

Решение

Тук числителят на дробта е полином от нулева степен ( 1 = х 0). Знаменателят е полином от трета степен. Тъй като 0 < 3 , тогава дробта е правилна. Нека го разделим на прости дроби.

1. Нека разложим на множители знаменателя на дробта. За да направите това, трябва да решите уравнение от трета степен:
.
Да приемем, че има поне един цял корен. Тогава то е делител на числото 3 (член без x). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 3, -1, -3 .
Нека заместим x = 1 :
.

И така, намерихме един корен x = 1 . Разделете x 3 + 2 х - 3на х - 1 :

Така,
.

Решаване на квадратното уравнение:
х 2 + x + 3 = 0.
Намерете дискриминанта: D = 1 2 - 4 3 = -11. Тъй като Д< 0 , тогава уравнението няма реални корени. Така получихме факторизирането на знаменателя:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Нека заместим x = 1 . Тогава х - 1 = 0 ,
.

Да заместим (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Нека се приравним към (2.1) коефициенти за х 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Да се ​​интегрираме.
(2.2) .
За да изчислим втория интеграл, избираме производната на знаменателя в числителя и редуцираме знаменателя до сбора на квадратите.

;
;
.

Изчислете I 2 .


.
Тъй като уравнението x 2 + x + 3 = 0няма истински корени, тогава x 2 + x + 3 > 0. Следователно знакът за модул може да бъде пропуснат.

Ние доставяме до (2.2) :
.

Отговор

Пример 3

Изчислете интеграла:
.

Решение

Тук под знака за интеграл има част от полиномите. Следователно интегрантът е рационална функция. Степента на полинома в числителя е равна на 3 . Степента на полинома на знаменателя на дробта е равна на 4 . Тъй като 3 < 4 , тогава дробта е правилна. Следователно може да се разложи на прости дроби. Но за да направите това, трябва да разложите знаменателя на множители.

1. Нека разложим на множители знаменателя на дробта. За да направите това, трябва да решите уравнението от четвърта степен:
.
Да приемем, че има поне един цял корен. Тогава то е делител на числото 2 (член без x). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Нека заместим x = -1 :
.

И така, намерихме един корен x = -1 . Разделете на x - (-1) = x + 1:


Така,
.

Сега трябва да решим уравнение от трета степен:
.
Ако приемем, че това уравнение има корен от цяло число, тогава то е делител на числото 2 (член без x). Тоест, целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Нека заместим x = -1 :
.

И така, намерихме друг корен x = -1 . Би било възможно, както в предишния случай, да разделим полинома на , но ще групираме условията:
.

Тъй като уравнението x 2 + 2 = 0 няма реални корени, тогава получаваме факторизацията на знаменателя:
.

2. Нека разбием дробта в най-простата й форма. Търсим разширение във формата:
.
Отърваваме се от знаменателя на дробта, умножаваме по (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Нека заместим x = -1 . Тогава x + 1 = 0 ,
.

Нека разграничим (3.1) :

;

.
Нека заместим x = -1 и вземете предвид, че x + 1 = 0 :
;
; .

Да заместим (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Нека се приравним към (3.1) коефициенти за х 3 :
;
1 = B + C;
.

И така, намерихме разлагането на прости дроби:
.

3. Да се ​​интегрираме.


.

Тест за интегриране на функции, включително рационални дроби, се дава на студенти 1 и 2 курс. Примери за интеграли ще представляват интерес предимно за математици, икономисти и статистици. Тези примери бяха зададени на тестова работав LNU на името на. И. Франк. Условията на следните примери са „Намерете интеграла“ или „Изчислете интеграла“, така че, за да спестите място и време, те не са записани.

Пример 15. Стигнахме до интегриране на дробно-рационални функции. Те заемат специално мястосред интегралите, защото те изискват много време за изчисляване и помагат на учителите да тестват знанията ви не само за интегриране. За да опростим функцията под интеграла, добавяме и изваждаме израз в числителя, който ще ни позволи да разделим функцията под интеграла на две прости

В резултат на това намираме един интеграл доста бързо, във втория трябва да разширим фракцията в сума от елементарни дроби

При свеждане до общ знаменател се получават следните числа

След това отворете скобите и групирайте

Приравняваме стойността за едни и същи степени на „x“ отдясно и отляво. В резултат на това стигаме до система от три линейни уравнения(SLAU) с три неизвестни.

Как се решават системи от уравнения е описано в други статии на сайта. Във финалната версия ще получите следното SLAE решение
А=4; B=-9/2; C=-7/2.
Заменяме константи в разлагането на дроби в прости и извършваме интегриране


Това завършва примера.

Пример 16. Отново трябва да намерим интеграла на дробна рационална функция. Като начало разлагаме кубичното уравнение, съдържащо се в знаменателя на дробта, на прости множители

След това разлагаме фракцията на нейните най-прости форми

Свеждаме дясната страна до общ знаменател и отваряме скобите в числителя.


Приравняваме коефициентите за еднакви степени на променливата. Нека отново да стигнем до SLAE с три неизвестни

Да заместим стойности A, B, Cв разширението и изчислете интеграла

Първите два члена дават логаритъма, последният също е лесен за намиране.

Пример 17. В знаменателя на дробната рационална функция имаме разлика на кубове. Използвайки формули за съкратено умножение, ние го разлагаме на два прости фактора

След това записваме получената дробна функция в сумата прости дробии ги обединете до общ знаменател

В числителя получаваме следния израз.

От него образуваме система от линейни уравнения за изчисляване на 3 неизвестни

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Заместваме A, B, C във формулата и извършваме интегриране. В резултат на това стигаме до следния отговор:


Тук числителят на втория интеграл е преобразуван в логаритъм, а остатъкът под интеграла дава арктангенса.
В интернет има много подобни примери за интегриране на рационални дроби. Можете да намерите подобни примери от материалите по-долу.