По-сложни примери за уравнения. Схема за решаване на прости линейни уравнения

Как да се научим да решаваме прости и сложни уравнения

Скъпи родители!

Без основно математическо обучение образованието е невъзможно модерен човек. В училище математиката служи като помощен предмет за много свързани дисциплини. В живота след училище това се превръща в истинска необходимост продължаващо обучение, което изисква основно общоучилищно обучение, включително математическо.

AT начално училищене само знанията се полагат по основните теми, но и се развиват логично мислене, въображение и пространствени представи, както и интерес към този предмет.

Спазвайки принципа на непрекъснатост, ще се съсредоточим върху най-важната тема, а именно „Връзката на компонентите на действие при решаване на съставни уравнения“.

Като се използва този урокможете лесно да научите как да решавате сложни уравнения. В този урок ще се запознаете инструкции стъпка по стъпкарешения на сложни уравнения.

Много родители са объркани от въпроса - как да накараме децата да се научат да решават прости и сложни уравнения. Ако уравненията са прости - това все още е половината от проблемите, но има и сложни - например интегрални. Между другото, за информация, има и такива уравнения, над чието решение се мъчат най-добрите умовена нашата планета и за решаването на които се издават много значителни парични награди. Например, ако си спомнятеПерелмани непотърсен паричен бонус от няколко милиона.

Нека обаче се върнем в началото на простите математически уравнения и повторим видовете уравнения и имената на компонентите. Малко загряване:

_________________________________________________________________________

ЗАГРЯВКА

Намерете допълнителното число във всяка колона:

2) Коя дума липсва във всяка колона?

3) Свържете думите от първата колона с думите от втората колона.

"Уравнение" "Равенство"

4) Как обяснявате какво е „равенство“?

5) А "уравнението"? Равенство ли е? Какво му е специалното?

срочна сума

намалена разлика

субтрахенден продукт

факторравенство

дивидент

уравнението

Заключение: Уравнението е равенство с променлива, чиято стойност трябва да се намери.

_______________________________________________________________________

Предлагам всяка група да напише уравнението на лист с флумастер: (на дъската)

Един от групата трябва да прочете тяхното уравнение на математически език и да коментира тяхното решение, т.е. да произнесе операцията, която се извършва с известни компоненти на действие (алгоритъм).

Заключение: Ние можем да решаваме прости уравнения от всякакъв вид според алгоритъма, да четем и записваме буквални изрази.

Предлагам да реша задача, в която се появява нов тип уравнения.

Заключение: Запознахме се с решението на уравнения, една от частите на които съдържа числен израз, чиято стойност трябва да се намери и да се получи просто уравнение.

________________________________________________________________________

Помислете за друга версия на уравнението, чието решение се свежда до решаване на веригата прости уравнения. Ето едно от въвеждането на съставни уравнения.

Предлагам на всеки да напише изречение на математически език:

Произведението от разликата между числата x и 4 и числото 3 е 15.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: проблемна ситуациямотивира поставянето на целта на урока: да се научи как да решава уравнения, в които неизвестният компонент е израз. Такива уравнения са съставни уравнения.

__________________________________________________________________________

Или може би вече изучените видове уравнения ще ни помогнат? (алгоритми)

Кое от известните уравнения е подобно на нашето? X * a = в

МНОГО ВАЖЕН ВЪПРОС: Какъв е изразът от лявата страна - сбор, разлика, произведение или частно?

(x - 4) * 3 = 15 (продукт)

Защо? (тъй като последното действие е умножение)

Заключение:Такива уравнения все още не са разглеждани. Но можем да решим дали изразътх - 4насложете карта (y - y) и получавате уравнение, което може лесно да бъде решено с помощта на прост алгоритъм за намиране на неизвестен компонент.

При решаване на съставни уравнения е необходимо на всяка стъпка да се избира действие на автоматизирано ниво, коментиране, назоваване на компонентите на действието.

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (и)

Заключение:В класове с различна подготовка тази работа може да бъде организирана по различни начини. В по-подготвени класове дори за първична фиксация могат да се използват изрази, в които не две, а три или повече действия, но тяхното решаване изисква Повече ▼стъпки, като всяка стъпка опростява уравнението, докато се получи просто уравнение. И всеки път можете да наблюдавате как се променя неизвестният компонент на действията.

_____________________________________________________________________________

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Когато става въпрос за нещо много просто, разбираемо, често казваме: „Работата е ясна, като две по две – четири!“.

Но преди да се замислите за факта, че два пъти две е четири, хората трябваше да учат много, много хиляди години.

Много правила от училищните учебници по аритметика и геометрия са били известни на древните гърци преди повече от две хиляди години.

Навсякъде, където трябва да се брои, измерва, сравнява нещо, не може без математика.

Трудно е да си представим как биха живели хората, ако не знаеха как да броят, измерват, сравняват. Математиката учи това.

Днес вие се потопихте в училищния живот, бяхте в ролята на ученици и ви предлагам, скъпи родители, да оцените уменията си по скала.

Седите в ресторант и прелиствате менюто. Всички ястия изглеждат толкова вкусни, че не знаете какво да изберете. Може би да ги поръчате всички?

Със сигурност сте се сблъсквали с подобни проблеми. Ако не в храната, то в нещо друго. Ние харчим голяма сумавреме и енергия за избор между еднакво привлекателни варианти. Но, от друга страна, опциите не могат да бъдат еднакви, защото всеки от тях е привлекателен по свой начин.

След като направите избор, вие сте изправени пред нов избор. Това е безкрайна поредица от важни решения, които са страх от грешен избор. Тези три метода ще ви помогнат да вземете по-добри решения на всички нива от живота си.

Създайте навици да избягвате ежедневните решения

Въпросът е, че ако придобиете навик да ядете салата за обяд, няма да ви се налага да решавате какво да поръчате в кафенето.

Развивайки навици, които се справят с такива прости ежедневни задачи, спестявате енергия за вземане на по-сложни и важни решения. Освен това, ако придобиете навика да закусвате салата, няма да се налага да хабите волята си, за да не хапнете нещо мазно и пържено вместо салата.

Но това важи за предвидимите случаи. Какво ще кажете за неочакваните решения?

„Ако – тогава“: метод за непредвидими решения

Например, някой непрекъснато прекъсва речта ви и вие не сте сигурни как да реагирате на това и дали изобщо да реагирате. Според метода ако - тогава вие решавате: ако той ви прекъсне още два пъти, тогава ще му направите учтива забележка, а ако това не работи, тогава в по-груба форма.

Тези два метода помагат повечеторешения, пред които сме изправени всеки ден. Но когато става дума за въпроси стратегическо планиранеНапример, как да отговорят на заплахата на конкурентите, в кои продукти да инвестират повече, къде да съкратят бюджета, те са безсилни.

Това са решения, които могат да се забавят със седмица, месец или дори година, спъвайки развитието на компанията. С тях не може да се работи чрез навик и методът ако-тогава също няма да работи тук. По правило на такива въпроси няма ясни и правилни отговори.

Често ръководният екип забавя приемането на подобни решения. Той събира информация, претегля плюсовете и минусите, продължава да чака и да наблюдава ситуацията, надявайки се, че ще се появи нещо, което ще насочи към правилното решение.

И ако приемем, че няма правилен отговор, това ще помогне ли за бързото вземане на решение?

Представете си, че трябва да вземете решение в следващите 15 минути. Нито утре, нито следващата седмица, когато съберете достатъчно информация, и не след месец, когато говорите с всички, които имат отношение към проблема.

Имате четвърт час, за да вземете решение. Предприемам действие.

Това е третият начин, който помага да се вземе комплексни решенияотносно дългосрочното планиране.

Използвайте времето

Ако сте проучили даден проблем и сте установили, че вариантите за разрешаването му са еднакво привлекателни, приемете, че няма правилен отговор, задайте си времево ограничение и просто изберете някоя от двете опции. Ако проверката на едно от решенията изисква минимална инвестиция, изберете го и вижте. Но ако това не е възможно, тогава изберете всеки и възможно най-скоро: времето, което отделяте за безполезни мисли, може да бъде по-добре използвано.

Разбира се, може да не сте съгласни: "Ако изчакам, може да се появи правилният отговор." Може, но, първо, губите ценно време в очакване да се изясни ситуацията. Второ, чакането ви кара да протакате и отлагате други решения, свързани с него, намалява производителността и забавя развитието на компанията.

Опитайте веднага. Ако имате въпрос, който сте отлагали дълго време, отделете си три минути и го направете. Ако имате твърде много подобни, напишете списък и задайте време за всяко решение.

Ще видите, с всеки решениеще се почувствате малко по-добре, тревожността ще намалее, ще почувствате, че вървите напред.

И така, избирате лека салата. Беше ли правилният избор? Кой знае... Поне си ял и не си седял гладен над менюто с ястия.

Учените са изследвали ритмите на мозъчната дейност и са идентифицирали този, който е най-подходящ за творческо прозрение и търсене полезни идеи

Учените са изследвали ритмите на мозъчната дейност и са идентифицирали този, който е най-подходящ за творческо прозрение и търсене на полезни идеи.

Има. сън. Решавам проблеми. Повторете.Вероятно освен нощен сън, прекарвате по-голямата част от времето си в решаване на различни проблеми - особено на работа.

Не че беше лошо. Много от най-добрите предприемачисвят, от Сара Блейкли до Ричард Брансън, дължат успеха си на способността да откриват проблеми (в този случай неудовлетворени нужди на потребителите) и да предлагат решения.

Но каквото и да е важна частживотът ни не е бил решаване на проблеми, все още е стрес и някои хора изглежда се справят с него по-добре от други.

Ето защо, за тези, които искат да станат по-успешни в тази игра, можете да опитате нещо ново: търсете решения насън. Буквално. Нарича се „Улови своя тета ритъм“. Не, не става въпрос за самохипноза или медитация: това е чиста наука и работи.

Но нека първо разберем:

Какво представляват мозъчните ритми?

Както обяснява професор Нед Херман, това е ритми, които контролират електрическата активност на мозъка. В зависимост от вашето ниво на активност могат да се разграничат четири различни ритъма. Ние ги изброяваме в низходящ ред на вълновата честота.

• По време на периоди на максимална активност (например по време на важно интервю за работа) мозъкът ви работи бета ритъм.
• Когато сте отпуснати – например току-що приключили голям проекти най-накрая можете да издишате - мозъкът превключва на алфа ритъм.
• Сега да преминем напред: четвъртият ритъм се обозначава с буквата "делта"и се фиксира, когато сте в дълбок сън.

Пропуснахме третия етап, тета ритъма, защото той е най-подходящият за решаване на проблеми.Херман казва:

„Хората, които прекарват много време зад волана, често измислят добри идеи през тези периоди, когато са в тета ритъм... Това може да се случи под душа или ваната и дори докато се бръснете или сресвате косата си. Това е състоянието, в което решаването на проблеми става толкова автоматично, че можете мислено да се освободите от него. При тета ритъма често изглежда, че потокът от мисли не е ограничен от нищо – нито от вътрешна цензура, нито от чувство за вина.

Мозъкът идва в това състояние, включително по време на заспиване или събуждане, когато балансирате между будност и дълбок сън. Херман обяснява:

„По време на събуждането мозъкът може да поддържа тета ритъма за дълъг период от време, да речем от 5 до 15 минути, и това време може да се използва за свободен размисъл върху вчерашните събития или какво трябва да се направи през новия ден. Този период може да бъде много продуктивен и да донесе много смислени и креативни идеи.“

Има ли реални доказателства, че това работи?

Уловете момента, в който мозъкът ви е готов да ви даде най-добрите идеи, - техника, която успешни хорапродължават от стотици години.

Художници, писатели и велики мислители отдавна са забелязали, че онези моменти, когато "кимаме" - тоест точно когато тета ритъмът преобладава в мозъка - най-доброто времеда събуди креативността.

Алберт Айнщайн и Томас Едисон имали навика да решават сложни проблеми, докато са полузаспали. Бързият, креативен ум е предназначен да решава проблеми, поради което дори кратък размисъл върху задачите на новия ден рано сутрин, докато сте все още в това състояние (или дори през нощта, когато започнете да заспивате), може да донесе невероятни резултати. Това, което проработи при Айнщайн, може да проработи и при вас – въпреки че не ви обещаваме, че ще станете автор. нова теорияотносителност.

Как да използвате своя тета ритъм?

Ще отнеме известно време. Но ако се обръщате към тази практика редовно, ще имате добър навиккоето ще повиши продуктивността ви с ново ниво. Ето какво ви трябва за това:

1. Изберете задача

На сутринта, когато вече сте започнали да се събуждате, но очите ви са все още затворени, а мозъкът ви все още е полузаспал, помислете за най-належащия проблем или задача, с която ще трябва да се сблъскате днес. Може би това ще бъде труден разговор, важни преговори с клиент, писане на доклад или разработване на нова маркетингова кампания. Но без значение колко задачи витаят в ума ви, трябва да изберете една - и да оставите мозъка си да работи върху нея.

Не се опитвайте да насочвате или ограничавате мислите си по никакъв начин, просто се уверете, че те не се отдалечават твърде много дадена тема. Най-вероятно мозъкът ви несъзнателно ще започне да избира решение.

Често в резултат ще получите няколко полезни идеи. Понякога – дори брилянтно прозрение. Най-вероятно в началото ще забравите да използвате този метод всеки ден, но с времето той ще се превърне в друг навик, част от сутрешните ви ритуали.

2. Водете си бележки

Може би най-разочароващата част от решаването на проблеми с Theta Rhythm е, че забравяте тези вдъхновяващи идеи веднага щом главата ви напусне възглавницата. Ще измъчвате мозъка си под душа, опитвайки се да извлечете от него брилянтния план от три точки, който току-що начертахте мислено. Ето защо трябва да запишете решенията си веднага щом сте достатъчно будни, за да отворите очи.

Грабнете смартфона си (все още се зарежда в главата, нали?) и незабавно запишете мислите си - в текст или на диктофон. Не губете време. Ограничете се до ключови думи, описания и фрази, които ще задвижат паметта ви по-късно, когато сте готови да използвате информацията.

Допълнително предимство: Синята светлина на екрана на телефона ви ще ви помогне да се събудите. И ако искате да прибегнете до същия метод вечер, в процеса на заспиване, по-добре е да използвате химикал и хартия - така изкуствената светлина няма да наруши съня ви.

3. Анализирайте опита

Водете дневник на своите „тета мисли“ – след време това ще ви помогне да намерите типични решенияи техните области на приложение. Може да откриете, че този метод е най-ефективен за вас при решаване на творчески проблеми или може да откриете, че ви дава предимство при работа с хора или планиране. Това ще ви помогне да разберете какви задачи трябва да се решават с помощта на тета ритъма в бъдеще.

Вдъхновението може да дойде отвсякъде.

Но същото важи и за препятствията.

Theta Thinking използва универсалната способност на мозъка да решава проблеми, така че да можете да запомните тези решения и да ги използвате. Често това помага да се заобиколи друго препятствие по пътя или да се преодолее пропастта между половинчатата идея и наистина полезното решение и защо да не се възползвате от това? Дори не е нужно да ставате от леглото, за да направите това!публикувани

Има моменти в живота, когато пред вас се появява привидно безнадеждна ситуация - или проблем, чието решение обещава да не е във ваша полза. Не бързайте да се отказвате от реализирането на мечтите си, да постигнете целта си или да се паникьосвате. Един мъдър човек от древността е казал: "Изберете време за размисъл - това е източникът на сила." Е, трудно е да не се съглася с него, защото умът - мощно оръжие. Дори и най-сложният проблем има десетки решения и е скрит от погледа, защото хората са свикнали да мислят в определени рамки. За да разрешите сложен проблем, е необходимо да координирате работата на съзнанието и подсъзнанието - това ще разшири вашия "хоризонт" и ще ви позволи да видите нови възможности.

Техника "100 идеи"

За да усвоите техниката 100 идеи, ще ви трябват само 1-2 часа свободно време, удобен личен кът, където никой няма да ви безпокои, както и хартия и молив. Помолете роднини и приятели предварително да не ви въвличат по време на „медитация“, изключете телефона и просто се отпуснете. В горната част на лист формулирайте и запишете вашия въпрос или дилема. Номерирайте списъка от едно до 100 и започнете да генерирате идеи.

Отначало идеите идват една след друга, но, уви, те не са нови - ще опишете всичките си "козове", включително умения, познанства, връзки, финансови ресурси, време, което можете да отделите за решаване на проблема. Тогава все още ще изглежда невероятно да намерите сто отговора и ако се спрете на 20-30 точки, ще се почувствате празни. Очаква ви малка спънка, естествено образувана, когато съзнанието, вървейки в омагьосан кръг, е изчерпало възможностите, които има и е преминало през всичко, което вече е срещало в личния си опит.

Втората фаза от вашето пътуване до вашето подсъзнание е още 40 точки, в които все още използвате съзнанието си, но скрити силизапочнете да се събуждате и отваряте втори вятър. На този етап се появява образът на вашето мислене. Ще забележите, че идеите ви започват да се повтарят, а в тях има всякакви клишета и нагласи. Вашата цел не е да ги отхвърлите, а прилежно да ги запишете на хартия и ето защо: именно тези печати са рамките, от които не можете да излезете и да се огледате. Може да бъде обществено мнение, недоволство от властите, липса на самочувствие и всякакви други „неравности“ в психиката ви. В същото време можете да откриете своя скрити проблемиили страхове, които ви пречат да продължите напред. Този етап ще изисква най-голяма издръжливост от вас - в края на краищата не е лесно да отхвърлите първите тридесет точки, които очевидно са в зоната ви на комфорт, и да поемете нови, непознати и следователно понякога плашещи идеи - това е нормално, основното е да не се отказвате. В допълнение, тази вътрешна борба само помага да се премине към третата фаза на пътуването.

Именно последните 30 точки ще отворят кутията на Пандора пред вас, защото числото 100 не е избрано случайно. Именно тя позволява на интуицията ви да се отвори напълно и да изненадате себе си с неочаквани „прозрения отгоре“ - импровизирано пробуждащо се подсъзнание, откъдето идеите се появяват без никаква обработка и филтриране от ума. В търсенето си вече сте изоставили логиката, забелязвайки колко квадратна е тя в действителност, и разбирате, че вашият начин на мислене е само в една равнина - и светът, оказва се, е триизмерен (без да се брои времето). Сега, когато умът спре да ви диктува какво е „възможно“ и какво „не“, вратата към подсъзнанието се отваря. Лесно можете да измислите нещо необичайно и на пръв поглед напълно абсурдно. Може дори да ви се струва, че не трябва да записвате идея, която е очевидно неподходяща за вас, не е ясно какви образи са се появили в главата ви. Но точно странни, понякога глупави фрази могат да се окажат нерафинирани диаманти. Спомнете си как хората смятаха Земята за плоска и се страхуваха да паднат от ръба й и как идеята, че планетата е кръгла и се върти, някога беше наречена ерес. Налудничавите идеи може да не са ви ясни в началото, но ще усетите, че има нещо в тях – това ще ви послужи като капка, която ще ви подскаже правилната посока.

Може също така да се случи, след като сте изложили толкова много идеи, изведнъж да осъзнаете, че това изобщо не е проблем - или сте видели само върха на айсберга, така че трябва да направите нов списък, за да отговорите на съвсем различен въпрос.

Има още няколко правила, които трябва да се спазват при работа с тази техника. На първо място, списъкът трябва да бъде съставен наведнъж, без прекъсвания - в противен случай вашите дремещи гениални идеи ще останат дремещи под тежестта на ежедневното мислене. Докато работите, не препрочитайте списъка и преценявайте колко вече сте направили и колко точки остават - това ще ви разсее и ще попречи на мислите ви да се повтарят естествено - и следователно няма да ви позволи да видите собствените си спънки. Включете се веднага: ще оцените и критикувате идеите си, след като изготвите всичките стотици точки - и докато процесът е в ход, трябва да запишете всякакви мисли (в края на краищата не сте длъжни да показвате този документ на никого, ако не искаш да). Ако работата е в разгара си, съкратете думите, най-важното е, че след това можете да прочетете какво имате предвид. Можете, разбира се, да използвате лаптоп вместо молив и хартия, но помнете: източникът електромагнитни вълни, поне теоретично, пречи на вашия мозък, аура и, ако искате, чакри да се свържат с универсалния разум - и като цяло е страхотно да функционира. Но това е по лична преценка.

„Вкусните“ бонуси на техниката „100 идеи“ са не само във възможността за дълбока интроспекция и намиране на оригинални решения на трудни ситуации, но и във факта, че с нея можете да се развивате разнообразно и да планирате бъдещето си, да намирате нови стимули за саморазвитие и израстване над себе си. За да направите това, в свободното си време помислете върху отговорите на следните (и всяка ваша собствена) теми:

• Как да се образовате
• Как да подобрим взаимоотношенията
• Как да подобрите живота си
• Как да печелите пари
• Как да подобрим бизнеса
• Как да помогнем на хората
• Как да увеличим личната ефективност
• Как да станем по-здрави
• Неща, които все отлагам за утре
• Нещата, които правя най-добре
• Неща, които ме демотивират
• Качества, които искам да развия в себе си
• Въпроси, на които трябва да намеря отговор
• Ценности, в които вярвам
• Нещата, които ценя в живота
• Професии, в които искам да се пробвам
• Неща (хора), които ме забавят в постигането на целта ми
• Неща, които ме ободряват
• Изводи, на които животът ме е научил
• Неща, от които да се отървете
• Места, които бих искал да посетя
• Грешки, за които прощавам на себе си (на другите)
• Начини да мислим по-креативно

52. | Повече ▼ сложни примериуравнения.
Пример 1 .

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

Общият знаменател е x 2 - 1, тъй като x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Умножете двете страни на това уравнение по x 2 - 1. Получаваме:

или след намаляване,

5(x + 1) - 3(x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 и x=3½

Помислете за друго уравнение:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Решавайки както по-горе, получаваме:

5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Нека видим дали нашите равенства са оправдани, ако заместим x във всяко от разглежданите уравнения с намереното число.

За първия пример получаваме:

Виждаме, че тук няма място за никакви съмнения: намерихме такова число за x, че изискваното равенство е оправдано.

За втория пример получаваме:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 - 3/2 = 15/0

Тук възникват съмнения: тук се срещаме с деление на нула, което е невъзможно. Ако в бъдеще успеем да придадем определен, макар и косвен, смисъл на това разделение, тогава можем да се съгласим, че намереното решение x - 1 удовлетворява нашето уравнение. Дотогава трябва да признаем, че нашето уравнение изобщо няма решение, което да има пряк смисъл.

Такива случаи могат да възникнат, когато неизвестното по някакъв начин е включено в знаменателите на дробите в уравнението и някои от тези знаменатели, когато се намери решението, изчезват.

Пример 2 .

Веднага можете да видите, че това уравнение има формата на пропорция: отношението на числото x + 3 към числото x - 1 е равно на отношението на числото 2x + 3 към числото 2x - 2. Нека някой, в предвид това обстоятелство, решите да приложите тук, за да освободите уравнението от дроби, които са основното свойство на пропорцията (произведението на екстремните членове е равно на произведението на средните). Тогава той ще получи:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Тук може да предизвика опасения, че няма да се справим с това уравнение, фактът, че уравнението включва членове с x 2 . Въпреки това можем да извадим 2x 2 от двете страни на уравнението - това няма да наруши уравнението; тогава членовете с x 2 ще бъдат унищожени и получаваме:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Нека преместим неизвестните членове наляво, известните надясно - получаваме:

3x=3 или x=1

Спомняйки си това уравнение

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

веднага ще забележим, че намерената стойност за x (x = 1) прави нула знаменателите на всяка дроб; трябва да изоставим такова решение, докато не разгледаме въпроса за делението на нула.

Ако отбележим също, че прилагането на свойството на пропорцията усложнява нещата и че може да се получи по-просто уравнение чрез умножаване на двете части на даденото по общ знаменател, а именно по 2(x - 1) - в крайна сметка 2x - 2 = 2 (x - 1), тогава получаваме:

2(x + 3) = 2x - 3 или 2x + 6 = 2x - 3 или 6 = -3,

което е невъзможно.

Това обстоятелство показва, че това уравнение няма решения, които имат пряк смисъл, което не би превърнало знаменателите на това уравнение в нула.
Нека решим уравнението сега:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Умножаваме двете части на уравнението 2(x - 1), т.е. по общ знаменател, получаваме:

6x + 10 = 2x + 18

Намереното решение не анулира знаменателя и има пряко значение:

или 11 = 11

Ако някой, вместо да умножи двете части по 2(x - 1), използва свойството пропорция, той ще получи:

(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) или
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Тук вече членовете с x 2 няма да бъдат анихилирани. Като прехвърлим всички неизвестни членове в лявата страна и известните в дясната, ще получим

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

Не можем да решим това уравнение сега. В бъдеще ще се научим как да решаваме такива уравнения и да намерим две решения за тях: 1) можем да вземем x = 2 и 2) можем да вземем x = 1. Лесно е да проверим и двете решения:

1) 2 2 - 3 2 = -2 и 2) 1 2 - 3 1 = -2

Ако си спомним първоначалното уравнение

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

ще видим, че сега получаваме и двете му решения: 1) x = 2 е решението, което има пряк смисъл и не превръща знаменателя в нула, 2) x = 1 е решението, което превръща знаменателя в нула и прави нямат пряко значение.

Пример 3 .

Нека намерим общия знаменател на дробите, включени в това уравнение, за което разлагаме на множители всеки от знаменателите:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

Общият знаменател е (x - 3)(x - 2)(x + 1).

Умножете двете страни на това уравнение (и сега можем да го пренапишем като:

към общ знаменател (x - 3) (x - 2) (x + 1). Тогава, след намаляване на всяка фракция, получаваме:

3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) или
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

От тук получаваме:

–x = –13 и x = 13.

Това решение има пряко значение: то не поставя нито един от знаменателите на нула.

Ако вземем уравнението:

тогава, процедирайки точно по същия начин, както по-горе, ще получим

3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

къде ще вземеш

което е невъзможно. Това обстоятелство показва, че е невъзможно да се намери решение за последното уравнение, което има пряк смисъл.