Кое геометрично тяло се нарича пресечен конус? Конус като геометрична фигура

Лекция: Конус. Основа, височина, странична повърхност, образуваща, развитие

Конус- това е тяло, което се състои от окръжност, която се намира в основата, от точка, еднакво отдалечена от всички точки на окръжността, както и от прави линии, свързващи тази точка (връх) с всички точки, лежащи на окръжността.

Няколко въпроса по-рано, разгледахме пирамидата. Така че конусът е специален случайпирамида с кръг в основата си. Почти всички свойства на пирамидата се отнасят за конуса.

Как можете да получите конус? Спомнете си последния въпрос и как получихме цилиндъра. Сега вземете равнобедрен триъгълники го завъртете около оста си - ще получите конус.

Генератори на конуса- това са сегменти, затворени между точките на окръжността и върха на конуса. Образуващите на конуса са равни една на друга.

За да намерите дължината на генератора, трябва да използвате формулата:

Ако всички генератори са свързани един към друг, можем да получим странична повърхностконус Общата му повърхност се състои от странична повърхност и основа под формата на кръг.

Конусът има височина. За да го получите, достатъчно е да спуснете перпендикуляра от върха директно към центъра на основата.

За да намерите площта на страничната повърхност, използвайте формулата:

За да намерите общата повърхност на конус, използвайте следната формула.

Получава се чрез комбиниране на всички лъчи, излизащи от една точка ( върховеконус) и преминаващ през равна повърхност. Понякога конусът е част от такова тяло, получено чрез комбиниране на всички сегменти, свързващи върха и точките на равна повърхност (последната в този случай се нарича базаконус, а конусът се нарича облегнатна тази основа). Това е случаят, който ще бъде разгледан по-долу, освен ако не е посочено друго. Ако основата на конуса е многоъгълник, конусът става пирамида.

"== Свързани определения ==

• Сегментът, свързващ върха и границата на основата, се нарича образуваща на конуса.
• Обединението на образуващите на конус се нарича образуваща(или страна) конична повърхност. Образуващата повърхност на конуса е конична повърхност.
• Сегмент, спуснат перпендикулярно от върха към равнината на основата (както и дължината на такъв сегмент) се нарича височина на конуса.
• Ако основата на конуса има център на симетрия (например кръг или елипса) и ортогоналната проекция на върха на конуса върху равнината на основата съвпада с този център, тогава конусът се нарича директен. В този случай се нарича правата линия, свързваща върха и центъра на основата конична ос.
• Наклонен (наклонен) конус - конус, чиято ортогонална проекция на върха върху основата не съвпада с неговия център на симетрия.
• Кръгъл конус- конус, чиято основа е кръг.
• Прав кръгъл конус(често наричана просто конус) може да се получи чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около линия, съдържаща крака (тази линия представлява оста на конуса).
• Конус, почиващ върху елипса, парабола или хипербола, се нарича съответно елипсовидна, параболиченИ хиперболичен конус(последните две имат безкраен обем).
• Частта от конуса, разположена между основата и равнината, успоредна на основата и разположена между върха и основата, се нарича пресечен конус.

Имоти

• Ако площта на основата е крайна, тогава обемът на конуса също е краен и е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат еднакъв обем, тъй като техните височини са равни.
• Центърът на тежестта на всеки конус с краен обем лежи на една четвърт от височината от основата.
• Телесният ъгъл при върха на прав кръгов конус е равен на

• Площта на страничната повърхност на такъв конус е равна на

• Обемът на кръгъл конус е равен на

• Пресечната точка на равнина с прав кръгов конус е едно от коничните сечения (в неизродени случаи - елипса, парабола или хипербола, в зависимост от положението на сечащата равнина).

Обобщения

В алгебричната геометрия конусе произволно подмножество на векторно пространство над поле, за което за всяко

Вижте също

• Конус (топология)

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „конус (геометрична фигура)“ в други речници:

Конус: В математиката конусът е геометрична фигура. Конус над топологично пространство. Конус (теория на категориите). В техниката на конуса това е инструментален метод за свързване на инструмент и шпиндел в машинни инструменти. Устройство за конусни устройства... ... Wikipedia

Геометрията е клон на математиката, тясно свързан с концепцията за пространството; в зависимост от формите на описание на това понятие, различни видовегеометрия. Предполага се, че читателят, когато започне да чете тази статия, има някои... Енциклопедия на Collier

Визуализация на информационния образ на екрана на дисплея (монитор). За разлика от възпроизвеждането на изображение на хартия или друг носител, изображение, създадено на екран, може почти веднага да бъде изтрито и/или коригирано, компресирано или разтегнато... ... енциклопедичен речник

История на науката ... Wikipedia

История на науката По тема Математика Естествени науки... Уикипедия

- (гръцки geodaisia, от ge Земя и daio разделям, разделям), наука за определяне на позицията на обекти върху земната повърхност, за размера, формата и гравитационното поле на Земята и другите планети. Това е индустрията приложна математика, тясно свързано с геометрията,... ... Енциклопедия на Collier

Дефиниции:
Определение 1. Конус
Определение 2. Кръгов конус
Определение 3. Височина на конуса
Определение 4. Прав конус
Определение 5. Прав кръгов конус
Теорема 1. Генератори на конуса
Теорема 1.1. Аксиално сечение на конуса

Обем и площ:
Теорема 2. Обем на конус
Теорема 3. Площ на страничната повърхност на конус

Фрустум:
Теорема 4. Сечение, успоредно на основата
Определение 6. Пресечен конус
Теорема 5. Обем на пресечен конус
Теорема 6. Странична повърхност на пресечен конус

Дефиниции
Тялото е ограничено странично конична повърхност, взет между върха му и равнината на водача, и плоската основа на водача, образувана от затворена крива, се нарича конус.

Основни понятия
Кръговият конус е тяло, което се състои от окръжност (основа), точка, която не лежи в равнината на основата (върх) и всички сегменти, свързващи върха с точките на основата.

Прав конус е конус, чиято височина съдържа центъра на основата на конуса.

Помислете за всяка линия (крива, начупена или смесена) (напр. л), лежаща в определена равнина, и произволна точка (например M), която не лежи в тази равнина. Всички възможни прави линии, свързващи точка М с всички точки на дадена права л, форма повърхност, наречена канонична. Точка M е върхът на такава повърхност и дадена линия л - ръководство. Всички прави линии, свързващи точка M с всички точки на правата л, Наречен формиране. Каноничната повърхност не е ограничена нито от своя връх, нито от своя водач. Тя се простира неограничено в двете посоки от върха. Нека сега водачът е затворена изпъкнала линия. Ако водачът е прекъсната линия, тогава тялото, ограничено отстрани от канонична повърхност, взета между върха му и равнината на водача, и плоска основа в равнината на водача, се нарича пирамида.
Ако водачът е крива или смесена линия, тогава тялото, ограничено отстрани от канонична повърхност, взета между неговия връх и равнината на водача, и плоска основа в равнината на водача, се нарича конус или
Определение 1 . Конусът е тяло, състоящо се от основа - плоска фигура, ограничена от затворена линия (крива или смесена), връх - точка, която не лежи в равнината на основата, и всички сегменти, свързващи върха с всички възможни точки на основата.
Всички прави линии, минаващи през върха на конуса и всяка от точките на кривата, ограничаваща фигурата на основата на конуса, се наричат ​​образуващи на конуса. Най-често в геометричните задачи под образуваща на права се разбира отсечка от тази права, затворена между върха и равнината на основата на конуса.
Основата на ограничена смесена линия е много рядък случай. Тук е посочено само защото може да се разглежда в геометрията. По-често се разглежда случаят с извит водач. Въпреки че както случаят с произволна крива, така и случаят със смесена насока са малко полезни и е трудно да се извлекат някакви модели от тях. Сред конусите правилният кръгов конус се изучава в курса на елементарната геометрия.

Известно е, че кръгът е частен случай на затворена крива линия. Кръгът е плоска фигура, ограничена от кръг. Като вземем кръга за ориентир, можем да дефинираме кръгъл конус.
Определение 2 . Кръговият конус е тяло, което се състои от окръжност (основа), точка, която не лежи в равнината на основата (върх) и всички сегменти, свързващи върха с точките на основата.
Определение 3 . Височината на конуса е перпендикулярът, спуснат от върха към равнината на основата на конуса. Можете да изберете конус, чиято височина попада в центъра на плоската фигура на основата.
Определение 4 . Прав конус е конус, чиято височина съдържа центъра на основата на конуса.
Ако комбинираме тези две дефиниции, получаваме конус, чиято основа е кръг, а височината попада в центъра на този кръг.
Определение 5 . Прав кръгъл конус е конус, чиято основа е кръг, а височината му свързва върха и центъра на основата на този конус. Такъв конус се получава чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около един от краката му. Следователно правилният кръгъл конус е въртеливо тяло и се нарича още конус на въртене. Освен ако не е посочено друго, за краткост в това, което следва, просто казваме конус.
И така, ето някои свойства на конуса:
Теорема 1. Всички образуващи на конуса са равни. Доказателство. Височината на МО е перпендикулярна на всички прави линии на основата, по дефиниция, права линия, перпендикулярна на равнината. Следователно триъгълниците MOA, MOB и MOS са правоъгълни и равни по два катета (MO е общият, OA=OB=OS са радиусите на основата. Следователно хипотенузите, т.е. образуващите, също са равни.
Понякога се нарича радиусът на основата на конуса радиус на конуса. Височината на конуса също се нарича конична ос, следователно всяко сечение, минаващо през височината, се нарича аксиално сечение. Всяко аксиално сечение пресича основата в диаметър (тъй като правата линия, по която се пресичат аксиалното сечение и равнината на основата, минава през центъра на окръжността) и образува равнобедрен триъгълник.
Теорема 1.1. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен триъгълник. Така че триъгълник AMB е равнобедрен, защото двете му страни MB и MA са генератори. Ъгъл AMB е ъгълът при върха на аксиалното сечение.

Ориз. 1. Предмети от живота, които имат формата на пресечен конус

Откъде мислите, че идват новите форми в геометрията? Всичко е много просто: човек среща подобни предмети в живота и им измисля име. Помислете за стойка, на която седят лъвове в цирк, парче морков, което се получава, когато отрежем само част от него, действащ вулкан и например светлината от фенерче (виж фиг. 1).

Ориз. 2. Геометрични фигури

Виждаме, че всички тези цифри подобна форма- както отдолу, така и отгоре са ограничени с кръгове, но се стесняват нагоре (виж фиг. 2).

Ориз. 3. Отрязване на върха на конуса

Прилича на конус. Само горната част липсва. Нека мислено си представим, че вземаме конус и с един замах на остър меч отрязваме горната част от него (виж фиг. 3).

Ориз. 4. Пресечен конус

Резултатът е точно нашата фигура, тя се нарича пресечен конус (виж фиг. 4).

Ориз. 5. Разрез, успореден на основата на конуса

Нека се даде конус. Нека начертаем равнина, успоредна на равнината на основата на този конус и пресичаща конуса (виж фиг. 5).

Той ще раздели конуса на две тела: едното от тях е по-малък конус, а второто се нарича пресечен конус (виж фиг. 6).

Ориз. 6. Получените тела с успоредно сечение

По този начин пресечен конус е част от конус, затворена между основата му и равнина, успоредна на основата. Както при конуса, пресеченият конус може да има кръг в основата си, в който случай се нарича кръгъл. Ако първоначалният конус е бил прав, тогава пресеченият конус се нарича прав. Както в случая с конусите, ще разглеждаме изключително прави кръгли пресечени конуси, освен ако изрично не е посочено, че говорим за косвен пресечен конус или неговите основи не са кръгове.

Ориз. 7. Въртене правоъгълен трапец

Нашите глобална тема- органи на революцията. Пресеченият конус не е изключение! Нека си спомним, че за да получим конус, разгледахме правоъгълен триъгълник и го завъртяхме около катет? Ако полученият конус се пресече от равнина, успоредна на основата, тогава триъгълникът ще остане правоъгълен трапец. Завъртането му около по-малката страна ще ни даде пресечен конус. Нека отново да отбележим, че, разбира се, говорим само за директно кръгъл конус(виж Фиг. 7).

Ориз. 8. Основи на пресечен конус

Нека да направим няколко коментара. Основата на пълен конус и окръжността, получена от сечението на конуса с равнина, се наричат ​​основи на пресечен конус (долна и горна) (виж фиг. 8).

Ориз. 9. Генератори на пресечен конус

Отсечките от образуващите на пълен конус, затворени между основите на пресечен конус, се наричат ​​образуващи на пресечен конус. Тъй като всички образуващи на първоначалния конус са равни и всички образуващи на отсечения конус са равни, то и образуващите на пресечения конус са равни (не бъркайте отсечения и пресечения!). Това означава, че аксиалното сечение на трапеца е равнобедрен (виж фиг. 9).

Сегментът от оста на въртене, затворен вътре в пресечен конус, се нарича ос на пресечения конус. Този сегмент, разбира се, свързва центровете на своите основи (виж фиг. 10).

Ориз. 10. Ос на пресечен конус

Височината на пресечен конус е перпендикуляр, прекаран от точка на една от основите към другата основа. Най-често височината на пресечен конус се счита за неговата ос.

Ориз. 11. Аксиално сечение на пресечен конус

Аксиалното сечение на пресечен конус е сечението, минаващо през неговата ос. Има формата на трапец, малко по-късно ще докажем, че е равнобедрен (виж фиг. 11).

Ориз. 12. Конус с въведени означения

Нека намерим площта на страничната повърхност на пресечения конус. Нека основите на пресечения конус имат радиуси и , а образуващата е равна (виж фиг. 12).

Ориз. 13. Обозначение на образуващата на отрязания конус

Нека намерим площта на страничната повърхност на пресечения конус като разликата между площите на страничните повърхности на оригиналния конус и отрязания. За да направим това, нека означим с образуващата на отрязания конус (виж фиг. 13).

Тогава това, което търсите.

Ориз. 14. Подобни триъгълници

Остава само да се изрази.

Забележете, че от сходството на триъгълници, откъдето (вижте фиг. 14).

Би било възможно да изразим , разделяйки на разликата на радиусите, но нямаме нужда от това, защото продуктът, който търсим, се появява в израза, който търсим. Замествайки , накрая имаме: .

Вече е лесно да се получи формула за общата повърхност. За да направите това, просто добавете площта на двата кръга на основите: .

Ориз. 15. Илюстрация към задачата

Нека се получи пресечен конус чрез завъртане на правоъгълен трапец около височината му. Средната линия на трапеца е равна на , а голямата странична страна е равна на (виж фиг. 15). Намерете площта на страничната повърхност на получения пресечен конус.

Решение

От формулата знаем това .

Генераторът на конуса ще бъде голяма странаоригиналният трапец, тоест радиусите на конуса са основите на трапеца. Не можем да ги намерим. Но не ни трябва: имаме нужда само от тяхната сума, а сумата от основите на трапец е два пъти по-голяма от средната му линия, тоест е равна на . Тогава .

Моля, обърнете внимание, че когато говорихме за конуса, направихме паралели между него и пирамидата - формулите бяха подобни. Тук е същото, защото пресечен конус е много подобен на пресечена пирамида, така че формулите за площите на страничните и общите повърхности на пресечен конус и пирамида (и скоро ще има формули за обем) са подобни.

Ориз. 1. Илюстрация към задачата

Радиусите на основите на пресечения конус са равни на и , а образуващата е равна на . Намерете височината на пресечения конус и площта на аксиалното му сечение (вижте фиг. 1).

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - по реда на закона, съдебния ред, в пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.