Кинематична енергия на въртеливото движение. Кинетична енергия на въртящо се тяло

Основните динамични характеристики на въртеливото движение са ъгловият момент около оста на въртене z:

и кинетична енергия

В общия случай енергията при въртене с ъглова скорост се намира по формулата:

В термодинамиката

Със същите мотиви като в случая движение напред, равноразпределението предполага, че при топлинно равновесие средната ротационна енергия на всяка частица от едноатомен газ е: (3/2)k B T. По подобен начин теоремата за равноразпределение позволява да се изчисли средната квадратична стойност ъглова скоростмолекули.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "енергия на въртеливо движение" в други речници:

Този термин има други значения, вижте Енергия (значения). Енергия, измерение ... Уикипедия

ДВИЖЕНИЯ- ДВИЖЕНИЯ. Съдържание: Геометрия D..................452 Кинематика D.................456 Динамика D. ...................461 Двигателни механизми ......................465 Методи за изучаване на Д. на човек ..........471 Патология Г. на човек ............. 474 ... ... Голяма медицинска енциклопедия

Кинетична енергияенергия механична система, в зависимост от скоростите на неговите точки. Често разпределя кинетичната енергия на транслационно и ротационно движение. По-точно, кинетичната енергия е разликата между общата ... ... Wikipedia

Топлинно движение на α пептида. Сложното треперещо движение на атомите, които изграждат пептида, е произволно и енергията на отделен атом варира в широк диапазон, но с помощта на закона за равноразпределение се изчислява като средната кинетична енергия на всеки ... ... Wikipedia

Топлинно движение на α пептида. Сложното треперещо движение на атомите, които изграждат пептида, е произволно и енергията на отделен атом варира в широк диапазон, но с помощта на закона за равноразпределение се изчислява като средната кинетична енергия на всеки ... ... Wikipedia

- (френски marées, немски Gezeiten, английски tides) периодични колебаниянивото на водата поради привличането на луната и слънцето. Главна информация. П. е най-забележима по бреговете на океаните. Веднага след отслабването на най-големия отлив, нивото на океана започва да ... ... енциклопедичен речникЕ. Brockhaus и I.A. Ефрон

Хладилен съд Ivory Tirupati първоначалната стабилност е отрицателна Способността за стабилност ... Wikipedia

Хладилен кораб Ivory Tirupati първоначалната стабилност е отрицателна Стабилност способността на плаващо съоръжение да издържа на външни сили, които го карат да се търкаля или подстригва и да се връща в състояние на равновесие в края на смущаващия ... ... Wikipedia

« Физика - 10 клас"

Защо скейтърът се разтяга по оста на въртене, за да увеличи ъгловата скорост на въртене.
Трябва ли хеликоптерът да се върти, когато витлото му се върти?

Зададените въпроси предполагат, че ако външните сили не действат върху тялото или тяхното действие е компенсирано и една част от тялото започне да се върти в една посока, то другата част трябва да се върти в другата посока, точно както при изхвърляне на гориво от ракета, самата ракета се движи в обратна посока.

момент на импулс.

Ако разгледаме въртящ се диск, става очевидно, че общият импулс на диска е нула, тъй като всяка частица от тялото съответства на частица, движеща се с еднаква скорост по абсолютна стойност, но в обратна посока (фиг. 6.9).

Но дискът се движи, ъгловата скорост на въртене на всички частици е една и съща. Ясно е обаче, че колкото по-далеч е частицата от оста на въртене, толкова по-голям е нейният импулс. Следователно за въртеливото движение е необходимо да се въведе още една характеристика, подобна на импулса, - ъгловият момент.

Ъгловият импулс на частица, движеща се в кръг, е произведението на импулса на частицата и разстоянието от нея до оста на въртене (фиг. 6.10):

Тогава линейната и ъгловата скорости са свързани с v = ωr

Всички точки на твърдата материя се движат спрямо фиксирана ос на въртене с еднаква ъглова скорост. Едно твърдо тяло може да бъде представено като колекция материални точки.

Ъгловият импулс на твърдо тяло е равен на произведението на инерционния момент и ъгловата скорост на въртене:

Ъгловият импулс е векторна величина, съгласно формула (6.3), ъгловият импулс е насочен по същия начин като ъгловата скорост.

Основното уравнение на динамиката на ротационното движение в импулсивна форма.

Ъгловото ускорение на тялото е равно на промяната в ъгловата скорост, разделена на интервала от време, през който е настъпила тази промяна: Заместете този израз в основното уравнение за динамиката на въртеливото движение следователно I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.

По този начин,

∆L = M∆t. (6.4)

Промяната на ъгловия момент е равна на произведението от общия момент на силите, действащи върху тялото или системата, и времето на действие на тези сили.

Закон за запазване на ъгловия момент:

Ако общият момент на силите, действащи върху тяло или система от тела с фиксирана ос на въртене, е равен на нула, тогава промяната на ъгловия момент също е равна на нула, т.е. ъгловият момент на системата остава постоянен.

∆L=0, L=конст.

Промяната в импулса на системата е равна на общия импулс на силите, действащи върху системата.

Въртящият се скейтър разтваря ръцете си настрани, като по този начин увеличава инерционния момент, за да намали ъгловата скорост на въртене.

Законът за запазване на ъгловия момент може да бъде демонстриран с помощта на следния експеримент, наречен "експеримент с пейката на Жуковски". Човек стои на пейка, през центъра на която минава вертикална ос на въртене. Мъжът държи дъмбели в ръцете си. Ако пейката е направена да се върти, тогава човек може да промени скоростта на въртене, като притисне дъмбелите към гърдите си или спусне ръцете си и след това ги разтвори. Разпръсквайки ръцете си, той увеличава инерционния момент и ъгловата скорост на въртене намалява (фиг. 6.11, а), спускайки ръцете си, той намалява инерционния момент и ъгловата скорост на въртене на пейката се увеличава (фиг. 6.11, а). 6.11, б).

Човек може също да накара пейка да се върти, като върви по ръба й. В този случай пейката ще се върти в обратна посока, тъй като общият ъглов момент трябва да остане равен на нула.

Принципът на действие на устройствата, наречени жироскопи, се основава на закона за запазване на ъгловия момент. Основното свойство на жироскопа е запазването на посоката на оста на въртене, ако външни сили не действат върху тази ос. През 19 век жироскопите са били използвани от навигаторите за навигация в морето.

Кинетична енергия на въртящо се твърдо тяло.

Кинетичната енергия на въртящо се твърдо тяло е равна на сумата от кинетичните енергии на отделните му частици. Нека разделим тялото на малки елементи, всеки от които може да се счита за материална точка. Тогава кинетичната енергия на тялото е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки, от които то се състои:

Ъгловата скорост на въртене на всички точки на тялото е еднаква, следователно,

Стойността в скоби, както вече знаем, е инерционният момент на твърдото тяло. И накрая, формулата за кинетичната енергия на твърдо тяло с фиксирана ос на въртене има формата

В общия случай на движение на твърдо тяло, когато оста на въртене е свободна, неговата кинетична енергия е равна на сумата от енергиите на транслационното и ротационното движение. И така, кинетичната енергия на колело, чиято маса е концентрирана в джантата, търкалящо се по пътя с постоянна скорост, е равна на

Таблицата сравнява формулите на механиката на транслационното движение на материална точка с подобни формули за ротационното движение на твърдо тяло.

Нека определим кинетичната енергия на твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Нека разделим това тяло на n материални точки. Всяка точка се движи с линейна скорост υ i =ωr i , тогава кинетичната енергия на точката

или

Общата кинетична енергия на въртящия се твърдо тялое равна на сумата от кинетичните енергии на всички нейни материални точки:

(3.22)

(J - инерционен момент на тялото около оста на въртене)

Ако траекториите на всички точки лежат в успоредни равнини (като цилиндър, който се търкаля надолу по наклонена равнина, всяка точка се движи в своя собствена равнина, фиг.), това е плоско движение. В съответствие с принципа на Ойлер равнинното движение винаги може да бъде разложено по безкраен брой начини на транслационно и ротационно движение. Ако топката падне или се плъзне по наклонена равнина, тя се движи само напред; когато топката се търкаля, тя също се върти.

Ако едно тяло извършва транслационни и въртеливи движения едновременно, тогава неговата обща кинетична енергия е равна на

(3.23)

От сравнението на формулите за кинетична енергия за транслационни и въртеливи движения се вижда, че мярката за инерция при въртеливо движение е инерционният момент на тялото.

§ 3.6 Работата на външните сили по време на въртене на твърдо тяло

Когато едно твърдо тяло се върти, неговата потенциална енергия не се променя, така че елементарната работа външни силие равна на увеличението на кинетичната енергия на тялото:

dA = dE или

Като се има предвид, че Jβ = M, ωdr = dφ, имаме α на тялото при краен ъгъл φ е равно на

(3.25)

Когато твърдо тяло се върти около фиксирана ос, работата на външните сили се определя от действието на момента на тези сили около дадена ос. Ако моментът на силите около оста е равен на нула, тогава тези сили не произвеждат работа.

Примери за решаване на проблеми

Пример 2.1. маса на маховикам=5kg и радиусr= 0,2 m се върти около хоризонталната ос с честотаν 0 =720 мин -1 и спира при спиранеT=20 s. Намерете спирачния момент и броя на оборотите преди спиране.

За определяне на спирачния момент прилагаме основното уравнение за динамиката на въртеливото движение

където I=mr 2 е инерционният момент на диска; Δω \u003d ω - ω 0, а ω = 0 е крайната ъглова скорост, ω 0 \u003d 2πν 0 е началната. M е спирачният момент на силите, действащи върху диска.

Познавайки всички количества, е възможно да се определи спирачният момент

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

От кинематиката на въртеливото движение ъгълът на въртене по време на въртенето на диска до спиране може да се определи по формулата

(3)

където β е ъгловото ускорение.

Според условието на задачата: ω = ω 0 - βΔt, тъй като ω=0, ω 0 = βΔt

Тогава израз (2) може да се запише като:

Пример 2.2. Два маховика под формата на дискове с еднакви радиуси и маси бяха завъртяни до скоростта на въртенен= 480 об/мин и оставени на себе си. Под действието на силите на триене на валовете върху лагерите, първият спря след товаT\u003d 80 s, а вторият го направин= 240 оборота за спиране. В кой маховик моментът на силите на триене на валовете върху лагерите е бил по-голям и колко пъти.

Ще намерим момента на силите на шипове M 1 на първия маховик, използвайки основното уравнение на динамиката на въртеливото движение

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

където Δt е времето на действие на момента на силите на триене, I \u003d mr 2 - инерционният момент на маховика, ω 1 \u003d 2πν и ω 2 \u003d 0 са началната и крайната ъглова скорост на маховика

Тогава

Моментът на силите на триене M 2 на втория маховик се изразява чрез връзката между работата A на силите на триене и промяната в неговата кинетична енергия ΔE k:

където Δφ = 2πN е ъгълът на въртене, N е броят на оборотите на маховика.

Тогава къде

О съотношението ще бъде

Моментът на триене на втория маховик е 1,33 пъти по-голям.

Пример 2.3. Маса на хомогенен твърд диск m, маси на товари m 1 и м 2 (фиг.15). Няма приплъзване и триене на резбата в оста на цилиндъра. Намерете ускорението на масите и отношението на напрежението на нишкатав процеса на движение.

Няма приплъзване на нишката, следователно, когато m 1 и m 2 ще направят транслационно движение, цилиндърът ще се върти около оста, минаваща през точката O. Да приемем за определеност, че m 2 > m 1.

След това товарът m 2 се спуска и цилиндърът се върти по посока на часовниковата стрелка. Нека напишем уравненията на движението на телата, включени в системата

Първите две уравнения са написани за тела с маси m 1 и m 2, извършващи постъпателно движение, а третото уравнение е за въртящ се цилиндър. В третото уравнение отляво е общият момент на силите, действащи върху цилиндъра (моментът на силата T 1 се приема със знак минус, тъй като силата T 1 се стреми да завърти цилиндъра обратно на часовниковата стрелка). Вдясно I е инерционният момент на цилиндъра около оста O, който е равен на

където R е радиусът на цилиндъра; β е ъгловото ускорение на цилиндъра.

Тъй като няма приплъзване на конеца,
. Като вземем предвид изразите за I и β, получаваме:

Събирайки уравненията на системата, стигаме до уравнението

От тук намираме ускорението атовари

От полученото уравнение се вижда, че напреженията на нишката ще бъдат еднакви, т.е. =1, ако масата на цилиндъра е много по-малка от масата на тежестите.

Пример 2.4. Куха топка с маса m = 0,5 kg има външен радиус R = 0,08 m и вътрешен радиус r = 0,06 m. Топката се върти около ос, минаваща през нейния център. В определен момент върху топката започва да действа сила, в резултат на което ъгълът на въртене на топката се променя по закона
. Определете момента на приложената сила.

Решаваме задачата с помощта на основното уравнение на динамиката на въртеливото движение
. Основната трудност е да се определи инерционният момент на кухата топка, а ъгловото ускорение β се намира като
. Инерционният момент I на куха топка е равен на разликата между инерционните моменти на топка с радиус R и топка с радиус r:

където ρ е плътността на материала на топката. Намираме плътността, като знаем масата на куха топка

От тук определяме плътността на материала на топката

За момента на сила M получаваме следния израз:

Пример 2.5. Тънък прът с маса 300 g и дължина 50 cm се върти с ъглова скорост 10 s -1 в хоризонтална равнина около вертикална ос, минаваща през средата на пръта. Намерете ъгловата скорост, ако по време на въртене в същата равнина прътът се движи така, че оста на въртене минава през края на пръта.

Използваме закона за запазване на ъгловия момент

(1)

(J i - инерционен момент на пръта спрямо оста на въртене).

За изолирана система от тела векторната сума на ъгловия момент остава постоянна. Поради факта, че разпределението на масата на пръта спрямо оста на въртене се променя, инерционният момент на пръта също се променя в съответствие с (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Известно е, че инерционният момент на пръта около оста, минаваща през центъра на масата и перпендикулярна на пръта, е равен на

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Според теоремата на Щайнер

J = J 0 +m а 2

(J е инерционният момент на пръта около произволна ос на въртене; J 0 е инерционният момент около успоредна ос, минаваща през центъра на масата; а- разстояние от центъра на масата до избраната ос на въртене).

Нека намерим инерционния момент около оста, минаваща през нейния край и перпендикулярна на пръта:

J 2 \u003d J 0 +m а 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (четири)

Нека заместим формули (3) и (4) в (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5s -1

Пример 2.6 . масов човекм= 60 kg, стояща на ръба на платформата с маса M = 120 kg, въртяща се по инерция около фиксирана вертикална ос с честота ν 1 =12 мин -1 , отива в центъра му. Разглеждайки платформата като кръгъл хомогенен диск, а лицето като точкова маса, определете с каква честота ν 2 след това платформата ще се завърти.

дадени: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0.2s -1 .

Намирам: v 1

Решение:Според условието на задачата платформата с човека се върти по инерция, т.е. резултантният момент на всички сили, приложени към въртящата се система, е нула. Следователно за системата "платформа-човек" законът за запазване на импулса е изпълнен

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

където
- инерционният момент на системата, когато човек стои на ръба на платформата (ние взехме предвид, че инерционният момент на платформата е равен на (R е радиусът p
платформа), инерционният момент на човек на ръба на платформата е mR 2).

- инерционният момент на системата, когато човек стои в центъра на платформата (ние взехме предвид, че моментът на човек, стоящ в центъра на платформата, е равен на нула). Ъглова скорост ω 1 = 2π ν 1 и ω 1 = 2π ν 2 .

Замествайки написаните изрази във формула (1), получаваме

откъдето желаната скорост на въртене

Отговор: v 2 =24 min-1.

Кинетичната енергия е адитивна величина. Следователно кинетичната енергия на тяло, движещо се по произволен начин, е равна на сумата от кинетичните енергии на всички n материални точки, на които това тяло може да бъде разделено мислено:

Ако тялото се върти около фиксирана ос z с ъглова скорост, тогава линейната i-та скоростточки , Ri е разстоянието до оста на въртене. Следователно,

Сравнявайки и може да се види, че инерционният момент на тялото I е мярка за инерция по време на въртеливо движение, точно както масата m е мярка за инерция по време на транслационно движение.

В общия случай движението на твърдо тяло може да се представи като сума от две движения - постъпателно със скорост vc и въртеливо с ъглова скорост ω около моментната ос, минаваща през центъра на инерцията. Тогава общата кинетична енергия на това тяло

Тук Ic е инерционният момент около моментната ос на въртене, минаваща през центъра на инерцията.

Основният закон на динамиката на въртеливото движение.

Динамика на въртене

Основният закон на динамиката на ротационното движение:

или M=Je, където M е моментът на силата M=[r F], J -инерционният момент е моментът на импулса на тялото.

ако M(external)=0 - законът за запазване на ъгловия момент. - кинетична енергия на въртящо се тяло.

ротационна работа.

Закон за запазване на ъгловия момент.

Ъгловият импулс (импулс) на материална точка А спрямо фиксирана точка О се нарича физическо количество, дефинирани векторен продукт:

където r е радиус-векторът, прекаран от точка O до точка A, p=mv е импулсът на материалната точка (фиг. 1); L е псевдовектор, чиято посока съвпада с посоката на транслационното движение на десния винт по време на въртенето му от r към p.

Модул на вектора на импулса

където α е ъгълът между векторите r и p, l е рамото на вектора p спрямо точка O.

Ъгловият момент спрямо фиксираната ос z е скаларната стойност Lz, която е равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точка O на тази ос. Ъгловият импулс Lz не зависи от положението на точката O върху оста z.

Когато абсолютно твърдо тяло се върти около фиксирана ос z, всяка точка от тялото се движи по окръжност с постоянен радиус ri със скорост vi. Скоростта vi и импулсът mivi са перпендикулярни на този радиус, т.е. радиусът е рамото на вектора mivi. Така че можем да запишем, че ъгловият импулс на отделна частица е

и е насочена по оста в посоката, определена от правилото на десния винт.

Импулсът на твърдо тяло спрямо оста е сборът от импулсите на отделните частици:

Използвайки формулата vi = ωri, получаваме

По този начин ъгловият момент на твърдо тяло около ос е равен на инерционния момент на тялото около същата ос, умножен по ъгловата скорост. Нека диференцираме уравнение (2) по отношение на времето:

Тази формула е друга форма на уравнението на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло около фиксирана ос: производната на ъгловия момент на твърдо тяло около ос е равна на момента на силите около същата ос.

Може да се покаже, че векторното равенство е в сила

В затворена система моментът на външните сили е M = 0 и откъдето

Израз (4) е законът за запазване на ъгловия импулс: ъгловият импулс на затворена система се запазва, т.е. не се променя с времето.

Законът за запазване на ъгловия момент, както и законът за запазване на енергията, е основен закон на природата. Свързва се със свойството на симетрия на пространството - неговата изотропност, т.е. с инвариантността на физическите закони по отношение на избора на посоката на координатните оси на референтната система (по отношение на въртенето на затворена система в пространството с всеки ъгъл).

Тук ще демонстрираме закона за запазване на ъгловия импулс с помощта на пейката на Жуковски. Човек, седнал на пейка, въртящ се около вертикална ос и държащ дъмбели в протегнати ръце (фиг. 2), се върти от външен механизъм с ъглова скорост ω1. Ако човек притисне дъмбелите към тялото, тогава инерционният момент на системата ще намалее. Но моментът на външните сили е равен на нула, ъгловият момент на системата се запазва и ъгловата скорост на въртене ω2 се увеличава. По същия начин гимнастикът, докато скача над главата си, приближава ръцете и краката си до тялото, за да намали инерционния си момент и по този начин да увеличи ъгловата скорост на въртене.

Налягане в течност и газ.

Газови молекули, правейки хаотични, хаотично движение, не са свързани или по-скоро слабо свързани със сили на взаимодействие, поради което се движат почти свободно и в резултат на сблъсъци се разпръскват във всички посоки, като запълват целия предоставен им обем, т.е. обемът на газа се определя от обемът на съда, зает от газа.

И течността, имайки определен обем, приема формата на съда, в който е затворена. Но за разлика от газовете в течностите, средното разстояние между молекулите остава средно постоянно, така че течността има почти непроменен обем.

Свойствата на течностите и газовете са много различни в много отношения, но в няколко механични явлениятехните свойства се определят от едни и същи параметри и идентични уравнения. Поради тази причина хидроаеромеханиката е дял от механиката, който изучава равновесието и движението на газове и течности, взаимодействието между тях и между обтичащите ги твърди тела, т.е. прилага се единен подход при изследване на течности и газове.

В механиката течностите и газовете се разглеждат с висока степен на точност като непрекъснати, непрекъснато разпределени в заетата от тях част от пространството. При газовете плътността значително зависи от налягането. Установено от опит. че свиваемостта на течността и газа често може да бъде пренебрегната и е препоръчително да се използва едно понятие - несвиваемостта на течността - течност с еднаква плътност навсякъде, която не се променя с времето.

Поставяме го в тънка плоча в покой, в резултат на което части от течността, разположени от противоположните страни на плочата, ще действат върху всеки от нейните елементи ΔS със сили ΔF, които ще бъдат равни по абсолютна стойност и насочени перпендикулярно на площадката ΔS, независимо от ориентацията на мястото, в противен случай наличието на тангенциални сили би задвижило частиците на течността в движение (фиг. 1)

Определено физическо количество нормална сила, действащо от страната на течността (или газа) на единица площ, се нарича налягане p / течност (или газ): p=ΔF/ΔS.

Единицата за налягане е паскал (Pa): 1 Pa е равен на налягането, създадено от сила от 1 N, която е равномерно разпределена върху повърхност от 1 m2, нормална към нея (1 Pa = 1 N/m2).

Налягането при равновесие на течности (газове) се подчинява на закона на Паскал: налягането във всяко място на течност в покой е еднакво във всички посоки и налягането се предава равномерно в целия обем, зает от течността в покой.

Нека изследваме ефекта на теглото на течност върху разпределението на налягането вътре в неподвижна несвиваема течност. Когато една течност е в равновесие, налягането по всяка хоризонтална линия е винаги еднакво, в противен случай няма да има равновесие. Това означава, че свободната повърхност на течност в покой винаги е хоризонтална (не вземаме предвид привличането на течността от стените на съда). Ако течността е несвиваема, тогава плътността на течността не зависи от налягането. Тогава, с напречното сечение S на течния стълб, неговата височина h и плътност ρ, теглото е P=ρgSh, докато налягането върху долната основа е: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

т.е. налягането се променя линейно с надморската височина. Налягането ρgh се нарича хидростатично налягане.

Съгласно формула (1), силата на натиск върху долните слоеве на течността ще бъде по-голяма, отколкото върху горните, следователно сила, определена от закона на Архимед, действа върху тяло, потопено в течност (газ): нагоре плаващ сила равно на теглототечност (газ), изместена от тялото: FA=ρgV, където ρ е плътността на течността, V е обемът на тялото, потопено в течността.

Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Нека мислено разбием това тяло на безкрайно малки парчета с безкрайно малки размери и маса. m v t., t 3 ,... на разстояния R v R 0, R 3 ,... от оста. Кинетична енергия на въртящо се тялонамираме като сума от кинетичните енергии на неговите малки части:

- момент на инерциятвърдо тяло спрямо дадената ос 00,. От сравнението на формулите за кинетичната енергия на транслационни и въртеливи движения е очевидно, че инерционният момент при въртеливо движение е аналогичен на масата при транслационно движение.Формулата (4.14) е удобна за изчисляване на инерционния момент на системи, състоящи се от отделни материални точки. За да изчислите инерционния момент на твърди тела, като използвате дефиницията на интеграла, можете да го преобразувате във формата

Лесно се вижда, че инерционният момент зависи от избора на ос и се променя с нейното паралелно преместване и въртене. Нека намерим стойностите на инерционните моменти за някои еднородни тела.

От формула (4.14) е очевидно, че инерционен момент на материална точкасе равнява

където T -точкова маса; Р-разстояние до оста на въртене.

Лесно е да се изчисли инерционният момент за кух тънкостенен цилиндър(или специален случай на цилиндър с малка височина - тънък пръстен)радиус Ротносно оста на симетрия. Разстоянието до оста на въртене на всички точки за такова тяло е еднакво, равно на радиуса и може да бъде извадено от знака на сумата (4.14):

Ориз. 4.5

плътен цилиндър(или специален случайцилиндър с ниска височина диск)радиус Рза изчисляване на инерционния момент спрямо оста на симетрия изисква изчисляване на интеграла (4.15). Предварително може да се разбере, че масата в този случай средно е концентрирана малко по-близо до оста, отколкото в случая на кух цилиндър, и формулата ще бъде подобна на (4.17), но коефициентът, по-малък от единица, ще се появяват в него. Нека намерим този коефициент. Нека плътен цилиндър има плътност p и височина A. Нека го разделим на кухи цилиндри (тънки цилиндрични повърхности) с дебелина д-р(Фиг. 4.5 показва проекция, перпендикулярна на оста на симетрия). Обемът на такъв кух цилиндър с радиус r равна на площповърхност по дебелина: dV = 2nrhdr,тегло: dm=2nphrdr,и инерционният момент в съответствие с формула (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Общият инерционен момент на плътен цилиндър се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на кухи цилиндри:

По подобен начин се търси инерционен момент на тънък прътдължина Ли масите T,ако оста на въртене е перпендикулярна на пръта и минава през средата му. Нека прекъснем това

Като се вземе предвид фактът, че масата на твърд цилиндър е свързана с плътността по формулата t = nR 2 к.с.,най-накрая имаме инерционен момент на твърд цилиндър:

Ориз. 4.6

прът в съответствие с фиг. Дебелина 4,6 бр дл.Масата на такова парче е dm = mdl/L,и инерционният момент в съответствие с формула (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L.Общият инерционен момент на тънък прът се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на парчетата:

Вземането на елементарния интеграл дава инерционния момент на тънък прът с дължина Ли масите T

Ориз. 4.7

Интегралът се приема малко по-сложен при търсене инерционен момент на хомогенна топкарадиус Ри маса /77 спрямо оста на симетрия. Нека плътна топка има плътност p. Нека го разбием, както е показано на фиг. 4.7 за дебелина на кухи тънки цилиндри д-р,чиято ос на симетрия съвпада с оста на въртене на топката. Обемът на такъв кух цилиндър от радиус Же равна на площта на повърхността, умножена по дебелината:

където е височината на цилиндъра чнамерено с помощта на Питагоровата теорема:

Тогава е лесно да се намери масата на кухия цилиндър:

както и инерционният момент в съответствие с формулата (4.15):

Общият инерционен момент на плътна топка се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на кухи цилиндри:

Като се вземе предвид факта, че масата на плътна топка е свързана с плътността на формата - 4 .

лой T = -npR A yнакрая имаме инерционния момент спрямо оста

симетрия на хомогенна топка с радиус Рмаси T: