Работата на Манов "логаритмични неравенства в Единния държавен изпит". Всичко за логаритмичните неравенства

В последния урок разгледахме решаването на най-простите логаритмични неравенства и неравенства, при които основата на логаритъма е фиксирана.

Но какво ще стане, ако има променлива в основата на логаритъма?

Тогава то ще ни се притече на помощ рационализиране на неравенствата.За да разберем как работи това, нека разгледаме например неравенството:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Както се очакваше, нека започнем с ODZ.

ОДЗ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Решение на неравенството

Нека разсъждаваме така, сякаш решаваме неравенство с фиксирана основа. Ако основата е по-голяма от едно, ние се отърваваме от логаритмите и знакът на неравенството не се променя; ако е по-малък от едно, той се променя.

Нека напишем това като система:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(масив)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

За по-нататъшни разсъждения нека преместим всички десни страни на неравенствата наляво.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Какво получихме? Оказва се, че имаме нужда изразите `2x-1` и `x^2 - x` да бъдат или положителни, или отрицателни едновременно. Същият резултат ще се получи, ако решим неравенството:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Това неравенство, подобно на оригиналната система, е вярно, ако и двата фактора са положителни или отрицателни. Оказва се, че можете да преминете от логаритмично неравенство към рационално (като вземете предвид ODZ).

Да формулираме метод за рационализиране на логаритмични неравенства$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Ляво-дясна стрелка (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ където `\vee` е всеки знак за неравенство. (За знака `>` току-що проверихме валидността на формулата. За останалото предлагам да проверите сами - ще се запомни по-добре).

Нека се върнем към решаването на нашето неравенство. Разгъвайки го в скоби (за да направим нулите на функцията по-лесни за виждане), получаваме

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Интервалният метод ще даде следната картина:

(Тъй като неравенството е строго и не се интересуваме от краищата на интервалите, те не са защриховани.) Както може да се види, получените интервали удовлетворяват ODZ. Получихме отговора: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Пример втори. Решаване на логаритмично неравенство с променлива основа

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ОДЗ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(array)\right.$$

Решение на неравенството

Според правилото, което току-що получихме рационализиране на логаритмични неравенства,намираме, че това неравенство е идентично (като се вземе предвид ODZ) на следното:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Комбинирайки това решение с ODZ, получаваме отговора: `(1,2)`.

Трети пример. Логаритъм на дроб

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ОДЗ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Тъй като системата е сравнително сложна, нека веднага да начертаем решението на неравенствата на числовата ос:

Така ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Решение на неравенството

Нека представим „-1“ като логаритъм с основа „x“.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Като се използва рационализиране на логаритмично неравенствополучаваме рационално неравенство:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават с помощта на специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Вместо квадратчето за отметка „∨“ можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви.

По този начин се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите диапазона от приемливи стойности. Ако сте забравили ODZ на логаритъм, силно препоръчвам да го повторите - вижте „Какво е логаритъм“.

Всичко, свързано с обхвата на допустимите стойности, трябва да бъде написано и решено отделно:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Тези четири неравенства представляват система и трябва да бъдат изпълнени едновременно. Когато диапазонът от приемливи стойности е намерен, остава само да го пресечете с решението на рационалното неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решете неравенството:

Първо, нека напишем ODZ на логаритъма:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, но последното ще трябва да се изпише. Тъй като квадратът на число е нула тогава и само ако самото число е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Сега решаваме основното неравенство:

Правим преход от логаритмично неравенство към рационално. Първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, което означава, че полученото неравенство също трябва да има знак „по-малко от“. Ние имаме:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулите на този израз са: x = 3; x = −3; x = 0. Освен това x = 0 е корен от втора кратност, което означава, че при преминаване през него знакът на функцията не се променя. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Това множество се съдържа изцяло в ODZ на логаритъма, което означава, че това е отговорът.

Преобразуване на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство е различно от горното. Това може лесно да се коригира с помощта на стандартните правила за работа с логаритми - вижте „Основни свойства на логаритмите“. а именно:

1. Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа;
2. Сумата и разликата на логаритми с еднакви основи могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно бих искал да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, трябва да се намери VA на всеки от тях. По този начин общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната:

1. Намерете VA на всеки логаритъм, включен в неравенството;
2. Редуцирайте неравенството до стандартно, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми;
3. Решете полученото неравенство, като използвате схемата, дадена по-горе.

Задача. Решете неравенството:

Нека намерим дефиниционната област (DO) на първия логаритъм:

Решаваме с помощта на интервалния метод. Намиране на нулите на числителя:

3x − 2 = 0;
х = 2/3.

След това - нулите на знаменателя:

x − 1 = 0;
х = 1.

Маркираме нули и знаци върху координатната стрелка:

Получаваме x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Вторият логаритъм ще има същия VA. Ако не вярвате, можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че основата да е две:

Както можете да видите, тройките в основата и пред логаритъма са намалени. Имаме два логаритма с една и съща основа. Нека ги съберем:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Получихме стандартното логаритмично неравенство. Отърваваме се от логаритмите с помощта на формулата. Тъй като първоначалното неравенство съдържа знак „по-малко от“, полученият рационален израз също трябва да бъде такъв по-малко от нула. Ние имаме:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Имаме два комплекта:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Отговорът на кандидата: x ∈ (−1; 3).

Остава да пресечем тези множества - получаваме истинския отговор:

Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервали, които са защриховани и на двете стрелки. Получаваме x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - всички точки са пробити.

Мислите ли, че има още време до Единния държавен изпит и ще имате време да се подготвите? Може би това е така. Но във всеки случай, колкото по-рано студентът започне подготовка, толкова по-успешно преминава изпитите. Днес решихме да посветим статия на логаритмичните неравенства. Това е една от задачите, което означава възможност за получаване на допълнителен кредит.

Знаете ли вече какво е логаритъм? Силно се надяваме. Но дори и да нямате отговор на този въпрос, това не е проблем. Разбирането какво е логаритъм е много просто.

Защо 4? Трябва да увеличите числото 3 до тази степен, за да получите 81. След като разберете принципа, можете да продължите към по-сложни изчисления.

Преминахте през неравенства преди няколко години. И оттогава постоянно ги срещате в математиката. Ако имате проблеми с решаването на неравенства, вижте съответния раздел.
Сега, след като се запознахме с понятията поотделно, нека да преминем към тяхното разглеждане като цяло.

Най-простото логаритмично неравенство.

Най-простите логаритмични неравенства не се ограничават до този пример, има още три, само с различни знаци. Защо е необходимо това? За да разберете по-добре как да решавате неравенства с логаритми. Сега нека дадем по-приложим пример, все пак доста прост; ще оставим сложните логаритмични неравенства за по-късно.

Как да се реши това? Всичко започва с ODZ. Струва си да знаете повече за това, ако искате винаги лесно да решавате всяко неравенство.

Какво е ODZ? ОДЗ за логаритмични неравенства

Съкращението означава обхвата на допустимите стойности. Тази формулировка често се среща в задачите за Единния държавен изпит. ODZ ще ви бъде полезен не само в случай на логаритмични неравенства.

Погледнете отново горния пример. Ще разгледаме ODZ въз основа на него, за да разберете принципа и решаването на логаритмични неравенства не повдига въпроси. От определението за логаритъм следва, че 2x+4 трябва да е по-голямо от нула. В нашия случай това означава следното.

Това число по дефиниция трябва да е положително. Решете представеното по-горе неравенство. Това може да се направи дори устно, тук е ясно, че X не може да бъде по-малко от 2. Решението на неравенството ще бъде дефинирането на диапазона от допустими стойности.
Сега нека преминем към решаването на най-простото логаритмично неравенство.

Изхвърляме самите логаритми от двете страни на неравенството. Какво ни остава като резултат? Просто неравенство.

Не е трудно да се реши. X трябва да е по-голямо от -0,5. Сега комбинираме двете получени стойности в система. По този начин,

Това ще бъде обхватът на приемливите стойности за разглежданото логаритмично неравенство.

Защо изобщо се нуждаем от ODZ? Това е възможност да отсеете грешните и невъзможни отговори. Ако отговорът не е в обхвата на приемливите стойности, тогава отговорът просто няма смисъл. Това си струва да се помни дълго време, тъй като в Единния държавен изпит често има нужда да се търси ODZ и това се отнася не само за логаритмични неравенства.

Алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство

Решението се състои от няколко етапа. Първо, трябва да намерите диапазона от приемливи стойности. Ще има две значения в ODZ, обсъдихме това по-горе. След това трябва да решите самото неравенство. Методите за решение са както следва:

• метод за заместване на множителя;
• разграждане;
• метод на рационализация.

В зависимост от ситуацията си струва да използвате един от горните методи. Да преминем директно към решението. Нека разкрием най-популярния метод, който е подходящ за решаване на задачи от Единния държавен изпит в почти всички случаи. След това ще разгледаме метода на разлагане. Може да помогне, ако попаднете на особено сложно неравенство. И така, алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство.

Примери за решения :

Не напразно взехме точно това неравенство! Обърнете внимание на основата. Запомнете: ако е по-голямо от едно, знакът остава същият при намиране на диапазона от допустими стойности; в противен случай трябва да промените знака за неравенство.

В резултат на това получаваме неравенството:

Сега намаляваме лявата страна до формата на уравнението, равно на нула. Вместо знака “по-малко” поставяме “равно” и решаваме уравнението. Така ще намерим ODZ. Надяваме се, че с решение на това просто уравнениеняма да имаш проблеми. Отговорите са -4 и -2. Това не е всичко Трябва да покажете тези точки на графиката, като поставите „+“ и „-“. Какво трябва да се направи за това? Заместете числата от интервалите в израза. Когато стойностите са положителни, поставяме „+“ там.

Отговор: x не може да бъде по-голямо от -4 и по-малко от -2.

Намерихме диапазона от приемливи стойности само за лявата страна; сега трябва да намерим диапазона от приемливи стойности за дясната страна. Това е много по-лесно. Отговор: -2. Пресичаме двете получени области.

И едва сега започваме да се занимаваме със самото неравенство.

Нека го опростим, доколкото е възможно, за да е по-лесно за решаване.

Отново използваме интервалния метод в решението. Нека пропуснем изчисленията, всичко вече е ясно с него от предишния пример. Отговор.

Но този метод е подходящ, ако логаритмичното неравенство има еднакви основи.

Решение логаритмични уравненияи неравенства с по различни причинипредполага първоначално намаление до една база. След това използвайте метода, описан по-горе. Но има и по-сложен случай. Нека разгледаме един от най сложни видовелогаритмични неравенства.

Логаритмични неравенства с променлива основа

Как се решават неравенства с такива характеристики? Да, и такива хора могат да бъдат намерени в Единния държавен изпит. Решаването на неравенства по следния начин също ще ви бъде от полза учебен процес. Нека разгледаме въпроса в детайли. Да изоставим теорията и да преминем направо към практиката. За решаване на логаритмични неравенства е достатъчно да се запознаете с примера веднъж.

За да се реши логаритмично неравенство на представената форма, е необходимо да се намали дясната страна до логаритъм със същата основа. Принципът наподобява еквивалентни преходи. В резултат на това неравенството ще изглежда така.

Всъщност всичко, което остава, е да се създаде система от неравенства без логаритми. Използвайки метода на рационализация, преминаваме към еквивалентна система от неравенства. Ще разберете самото правило, когато замените подходящите стойности и проследите промените им. Системата ще има следните неравенства.

Когато използвате метода на рационализация при решаване на неравенства, трябва да запомните следното: едно трябва да се извади от основата, x, по дефиниция на логаритъма, се изважда от двете страни на неравенството (дясно от ляво), два израза се умножават и поставен под оригиналния знак по отношение на нула.

По-нататъшното решение се извършва с помощта на интервалния метод, тук всичко е просто. Важно е да разберете разликите в методите за решаване, тогава всичко ще започне да се получава лесно.

В логаритмичните неравенства има много нюанси. Най-простите от тях са доста лесни за решаване. Как можете да разрешите всеки от тях без проблеми? Вече сте получили всички отговори в тази статия. Сега ви предстои дълга практика. Постоянно практикувайте решаването на различни задачи на изпита и ще можете да получите най-висок резултат. Успех в нелеката задача!

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан „Искател“

MBOU "Съветско средно училище № 1", 11 клас, гр. Советски Советски район

Гунко Людмила Дмитриевна, Учител по MBOU"Съветско средно училище № 1"

Съветски район

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на логаритмични неравенства C3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране интересни фактилогаритъм

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате конкретни логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение…………………………………………………………………………………….4

Глава 1. История на проблема……………………………………………………...5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7

2.2. Метод на рационализация………………………………………………………………… 15

2.3. Нестандартно заместване……………….................................. ............ 22

2.4. Задачи с капани………………………………………………………27

Заключение………………………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и планирам да вляза в университет, където основният предмет е математика. Ето защо работя много със задачи в част C. В задача C3 трябва да реша нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Когато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с недостига на методи и техники за решаване на изпитни логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методи, които се изучават в училищна програмапо тази тема, не дават основа за решаване на задачи С3. Учителката по математика ми предложи да работя самостоятелно по задачи C3 под нейно ръководство. Освен това ме интересуваше въпросът: срещаме ли логаритми в живота си?

С оглед на това беше избрана темата:

„Логаритмични неравенства в Единния държавен изпит“

Цел на работата:изучаване на механизма за решаване на задачи С3 с помощта на нестандартни методи, идентифициране на интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информациявърху нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Практическо значениесе състои в разширяване на апарата за решаване на задачи C3. Този материал може да се използва в някои уроци, за кръжоци и избираеми часове по математика.

Проектен продуктще бъде колекцията „C3 Logarithmic Inequalities with Solutions.“

Глава 1. Предистория

През 16-ти век броят на приблизителните изчисления се увеличава бързо, главно в астрономията. Подобряването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше застрашена реална опасностда се удавя в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха в други области, например в застрахователния бизнес, бяха необходими таблици със сложни лихви различни значенияпроцента. Основната трудност беше умножението и деленето на многоцифрени числа, особено на тригонометрични величини.

Откриването на логаритмите се основава на свойствата на прогресиите, които са добре известни до края на 16 век. За връзката между членовете геометрична прогресия q, q2, q3, ... и аритметична прогресияпоказателите им са 1, 2, 3,... Архимед говори в своя “Псалмит”. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори са посочили, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен в геометричната прогресия съответстват в аритметиката - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като показател.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бюрги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново, удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изрази кинематично логаритмичната функция и по този начин влезе в нова областтеория на функцията. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация гръцки думи: logos - "отношение" и ariqmo - "число", което означава "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - „изкуствени числа“, за разлика от numeri naturalts - „естествени числа“.

През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се приеме нула като логаритъм от едно и 100 като логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото нещо, само 1. Ето как са отпечатани десетични логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и ентусиаст по математика Адриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите по-рано от всички останали, публикуваха своите таблици по-късно от останалите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г. и последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Шпайдел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".

Първите логаритмични таблици са публикувани на руски през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици имаше изчислителни грешки. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с повече широко използванеаналитична геометрия и безкрайно малко смятане. По това време вече е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в есе

"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, даваща разширението на ln(x+1) в

степени на x:

Този израз точно съответства на неговия ход на мисли, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромава символика. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В своите лекции „Елементарна математика от по-висока гледна точка“, дадени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниция на логаритмична функция като обратна функция

експоненциален, логаритъм като показател на дадена основа

не е формулиран веднага. Есе от Леонхард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайно малките“ (1748) служи за по-нататъшно

развитие на теорията на логаритмичните функции. По този начин,

Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(от 1614 г.), преди математиците да стигнат до определението

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

, ако a > 1

, ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този методнай-универсален за решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Диаграмата на решението изглежда така:

1. Приведете неравенството във вид, в който е функцията от лявата страна
, а отдясно 0.

2. Намерете домейна на функцията
.

3. Намерете нулите на функцията
, тоест решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте областта на дефиниция и нулите на функцията върху числовата ос.

5. Определете знаците на функцията
върху получените интервали.

6. Изберете интервали, в които функцията приема необходимите стойности и запишете отговора.

Пример 1.

Решение:

Да приложим интервалния метод

където

За тези стойности всички изрази под логаритмичните знаци са положителни.

Отговор:

Пример 2.

Решение:

1-во начин . ADL се определя от неравенство х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде разрешено чрез прилагане на правила за разширение, т.е. сравняване на фактори с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянен знак на функцията

следователно може да се приложи интервалният метод.

функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснат при х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянен знак на функцията f(х):

Отговор:

2-ри метод . Нека директно приложим идеите на интервалния метод към първоначалното неравенство.

За да направите това, припомнете си, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство при х> 3 е еквивалентно на неравенство

или

Последното неравенство се решава чрез интервалния метод

Отговор:

Пример 3.

Решение:

Да приложим интервалния метод

Отговор:

Пример 4.

Решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, Че

За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод

В първото неравенство правим замяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, защото

получаваме неравенството

която се извършва при х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

Отговор:

Пример 5.

Решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Нека използваме метода на интервала или

Отговор:

Пример 6.

Решение:

Неравенството е равно на система

Позволявам

Тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или, разгъване

квадратен трином, факторизиран,

Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. Метод на рационализация.

Преди това неравенството не се решаваше с помощта на метода на рационализация; не беше известно. Това е "новото модерно" ефективен методрешения на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на S.I. Kolesnikova)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - познава ли го експертът от Единния държавен изпит и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят каза на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът се рекламира навсякъде. А за експерти има насоки, свързани с този метод, и в „Най-пълните издания на стандартни опции...“ в Решение C3 се използва този метод.
ЧУДЕСЕН МЕТОД!

"Магическа маса"

В други източници

Ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

Ако a >1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това регистрирайте a b<0 и (a -1)(b -1)<0;