Математическо очакване на функция на случайна променлива. Очаквана стойност

Математическо очакване на дискрет случайна величинае сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности.

Нека случайна променлива приема само вероятностни стойности, чиито съответно равни Тогава очаквана стойностслучайна променлива се определя от равенството

Ако дискретна случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава

Освен това, математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.

Коментирайте. От дефиницията следва, че математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайна (постоянна) величина.

Дефиниция на математическото очакване в общия случай

Нека определим математическото очакване на случайна променлива, чието разпределение не е непременно дискретно. Нека започнем със случая на неотрицателни случайни променливи. Идеята ще бъде да се приближат такива случайни променливи, като се използват дискретни, за които математическото очакване вече е определено, и да се зададе математическото очакване равно на границата на математическите очаквания на дискретните случайни променливи, които го приближават. Между другото, това е много полезна обща идея, която е, че някаква характеристика първо се определя за прости обекти, а след това за по-сложни обекти се определя чрез приближаването им с по-прости.

Лема 1. Нека има произволна неотрицателна случайна променлива. Тогава има поредица от дискретни случайни променливи, така че

Доказателство. Нека разделим полуоста на сегменти с еднаква дължина и да определим

Тогава свойства 1 и 2 лесно следват от дефиницията на случайна променлива и

Лема 2. Нека е неотрицателна случайна променлива и и две поредици от дискретни случайни променливи, притежаващи свойства 1-3 от лема 1. Тогава

Доказателство. Имайте предвид, че за неотрицателни случайни променливи допускаме

По силата на свойство 3 е лесно да се види, че има последователност от положителни числа, така че

Следва, че

Използвайки свойствата на математическите очаквания за дискретни случайни променливи, получаваме

Преминавайки към границата при получаваме твърдението на лема 2.

Определение 1. Нека е неотрицателна случайна променлива - последователност от дискретни случайни променливи, които имат свойства 1-3 от лема 1. Математическото очакване на случайна променлива е числото

Лема 2 гарантира, че не зависи от избора на апроксимираща последователност.

Нека сега е произволна случайна променлива. Да дефинираме

От дефиницията и лесно следва това

Определение 2. Математическото очакване на произволна случайна променлива е числото

Ако поне едно от числата от дясната страна на това равенство е крайно.

Свойства на математическото очакване

Свойство 1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:

Доказателство. Ще разглеждаме константа като дискретна случайна променлива, която има една възможна стойност и я приема с вероятност, следователно,

Забележка 1. Нека дефинираме произведението на постоянна променлива от дискретна случайна променлива като дискретна случайна, чиито възможни стойности са равни на продуктите на константата от възможните стойности; вероятностите за възможни стойности са равни на вероятностите за съответните възможни стойности. Например, ако вероятността за възможна стойност е равна, тогава вероятността стойността да приеме стойността също е равна

Свойство 2. Константният множител може да бъде изваден от знака на математическото очакване:

Доказателство. Нека случайната променлива е дадена от закона за разпределение на вероятностите:

Като вземем предвид забележка 1, записваме закона за разпределение на случайната променлива

Забележка 2. Преди да преминем към следващото свойство, посочваме, че две случайни променливи се наричат ​​независими, ако законът за разпределение на една от тях не зависи от възможните стойности на другата променлива. В противен случай случайните променливи са зависими. Няколко случайни променливи се наричат ​​взаимно независими, ако законите на разпределение на който и да е брой от тях не зависят от възможните стойности на останалите променливи.

Забележка 3. Нека дефинираме произведението на независими случайни променливи и като случайна променлива, чиито възможни стойности са равни на произведенията на всяка възможна стойност по всяка възможна стойност, вероятностите на възможните стойности на продукта са равни на произведенията на вероятностите на възможните стойности на факторите. Например, ако вероятността за възможна стойност е, вероятността за възможна стойност е тогава вероятността за възможна стойност е

Свойство 3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

Доказателство. Нека независимите случайни променливи са определени от техните собствени закони за разпределение на вероятностите:

Нека компилираме всички стойности, които една случайна променлива може да приеме, нека умножим всички възможни стойности по всяка възможна стойност; В резултат на това получаваме и, като вземем предвид забележка 3, записваме закона за разпределение, като приемаме за простота, че всички възможни стойности на продукта са различни (ако това не е така, тогава доказателството се извършва в подобен начин):

Математическото очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности:

Последица. Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Свойство 4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:

Доказателство. Нека случайните променливи и са определени от следните закони за разпределение:

Нека компилираме всички възможни стойности на количество, за да направим това, добавяме всяка възможна стойност към всяка възможна стойност; нека приемем за простота, че тези възможни стойности са различни (ако това не е така, тогава доказателството се извършва по подобен начин) и означаваме техните вероятности съответно с и

Математическото очакване на стойност е равно на сумата от продуктите на възможните стойности и техните вероятности:

Нека докажем, че Събитие, което ще приеме стойност (вероятността за това събитие е равна), води до събитие, което ще приеме стойност или (вероятността за това събитие според теоремата за добавяне е равна) и обратно. От това следва, че равенствата се доказват аналогично

Замествайки десните части на тези равенства във връзка (*), получаваме

или накрая

Дисперсия и стандартно отклонение

На практика често е необходимо да се оцени дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност. Например в артилерията е важно да се знае колко близо ще паднат снарядите близо до целта, която трябва да бъде ударена.

На пръв поглед може да изглежда, че най-лесният начин за оценка на дисперсията е да се изчислят всички възможни отклонения на случайна променлива и след това да се намери тяхната средна стойност. Този път обаче няма да даде нищо, тъй като средната стойност на отклонението, т.е. за произволна променлива е равно на нула. Това свойство се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, докато други са отрицателни; в резултат на взаимното им премахване средната стойност на отклонението е нула. Тези съображения показват, че е целесъобразно възможните отклонения да се заменят с техните абсолютни стойности или техните квадрати. Това правят на практика. Вярно е, че в случай, че възможните отклонения се заменят с абсолютни стойности, трябва да се работи с абсолютни стойности, което понякога води до сериозни затруднения. Затова най-често те поемат по различен път, т.е. изчислете средната стойност на квадратното отклонение, което се нарича дисперсия.

дисперсиянепрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос Ox, се определя от равенството:

Цел на услугата. Онлайн калкулаторпредназначени за решаване на проблеми, при които или плътност на разпространение f(x) или функция на разпределение F(x) (вижте примера). Обикновено в такива задачи трябва да намерите математическо очакване, стандартно отклонение, графики на функции f(x) и F(x).

Инструкции. Изберете типа на изходните данни: плътност на разпределение f(x) или функция на разпределение F(x).

Плътността на разпределение f(x) е дадена:

Функцията на разпределение F(x) е дадена:

Непрекъсната случайна променлива се определя от плътност на вероятността
(Закон за разпределение на Релей - използва се в радиотехниката). Намерете M(x) , D(x) .

Извиква се случайната променлива X непрекъснато , ако неговата функция на разпределение F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се използва за изчисляване на вероятността случайна променлива да попадне в даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Освен това за непрекъсната случайна променлива няма значение дали нейните граници са включени в този интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плътност на разпространение непрекъсната случайна променлива се нарича функция
f(x)=F’(x) , производна на функцията на разпределение.

Свойства на плътността на разпределение

За да докажем това, нека първо разгледаме случайна променлива, която е постоянна, т.е. функцията картографира пространството на елементарните събития в една точка А. Тъй като постоянният множител може да бъде взет отвъд знака на сбора, тогава

Ако всеки член на една сума се раздели на два члена, тогава целият сбор се разделя на два сбора, от които първият е съставен от първите членове, а вторият е съставен от втория. Следователно, математическото очакване на сумата от две случайни променливи X+Y, дефинирана върху същото пространство от елементарни събития, е равна на сумата от математическите очаквания M(X)И M(U)тези случайни променливи:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

И следователно M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)).Както е показано по-горе, M(M(X)) = M(X).следователно M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Тъй като (X - a) 2 = ((х – М(х)) + (М(х) - а)} 2 = (х - М(х)) 2 + 2(х - М(х))(М(х) - а) + (М(х) – а) 2 , Че М[(X - a) 2 ] =М(х - М(х)) 2 + М{2(х - М(х))(М(х) - а)} + М[(М(х) – а) 2 ]. Нека опростим последното равенство. Както е показано в началото на доказателството на твърдение 3, математическото очакване на константа е самата константа и следователно М[(М(х) – а) 2 ] = (М(х) – а) 2 . Тъй като постоянният фактор може да бъде изваден от знака на сумата, тогава М{2(х - М(х))(М(х) - а)} = 2(М(х) - а)M(х - М(х)). Дясната страна на последното равенство е 0, защото, както е показано по-горе, M(X-M(X))=0.следователно М[(х- а) 2 ]= М[(х- М(х)) 2 ]+(а- М(х)) 2 , което трябваше да се докаже.

От горното следва, че М[(х- а) 2 ] достига минимум А, равен М[(х- М(х)) 2 ], при a = M(X),тъй като вторият член в равенство 3) винаги е неотрицателен и е равен на 0 само за определената стойност А.

Твърдение 4.Нека случайната променлива хприема стойности x 1, x 2,…, xми f е някаква функция на числовия аргумент. Тогава

За да докажем това, нека групираме от дясната страна на равенството (4), което определя математическото очакване, членове с еднакви стойности:

Използвайки факта, че постоянният фактор може да бъде изваден от знака на сумата, и дефиницията на вероятността за случайно събитие (2), получаваме

Q.E.D.

Твърдение 5.Позволявам хИ U– случайни променливи, дефинирани в едно и също пространство от елементарни събития, АИ b- някои числа. Тогава М(aX+ от Y)= аМ(х)+ bM(Y).

Използвайки дефиницията на математическото очакване и свойствата на символа за сумиране, получаваме верига от равенства:

Необходимото е доказано.

Горното показва как математическото очакване зависи от прехода към друга референтна точка и към друга мерна единица (преход Y=aX+b), както и към функции на случайни променливи. Получените резултати се използват постоянно в техническия и икономически анализ, при оценката на финансовата и икономическата дейност на предприятието, при прехода от една валута към друга във външноикономическите изчисления, в нормативната и техническата документация и др. Разглежданите резултати позволяват използване на едни и същи формули за изчисление за различни параметри мащаб и отместване.

Математическото очакване (средна стойност) на случайна променлива X, дадена в дискретно вероятностно пространство, е числото m =M[X]=∑x i p i, ако серията се сближава абсолютно.

Цел на услугата. Ползвайки услугата в онлайн режим изчисляват се математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение(вижте примера). Освен това се начертава графика на функцията на разпределение F(X).

Свойства на математическото очакване на случайна величина

1. Математическото очакване на константна стойност е равно на себе си: M[C]=C, C – константа;
2. M=C M[X]
3. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: M=M[X]+M[Y]
4. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M=M[X] M[Y] , ако X и Y са независими.

Дисперсионни свойства

1. Дисперсията на постоянна стойност е нула: D(c)=0.
2. Константният фактор може да бъде изваден от под знака на дисперсията, като го повдигнете на квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случайните променливи X и Y са зависими: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Следната изчислителна формула е валидна за дисперсия:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Известни са математическите очаквания и дисперсиите на две независими случайни променливи X и Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Въз основа на свойствата на математическото очакване: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Въз основа на свойствата на дисперсията: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване

1. Умножаваме двойките една по една: x i по p i .
2. Добавете произведението на всяка двойка x i p i .
   Например за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Пример №1.

Пример №2. Дискретна случайна променлива има следната серия на разпределение:

Решение. Стойността на a се намира от връзката: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24=3 a , откъдето a = 0,08

Пример №3. Определете закона за разпределение на дискретна случайна променлива, ако нейната дисперсия е известна и x 1 х 1 =6; х 2 =9; х 3 = х; х 4 =15
р 1 =0.3; р2=0.3; р3 =0.1; р4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Тук трябва да създадете формула за намиране на дисперсията d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
където очакването m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите данни
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Съответно трябва да намерим корените на уравнението и ще има два от тях.
x 3 =8, x 3 =12
Изберете този, който отговаря на условието x 1 х 3 =12

Закон за разпределение на дискретна случайна величина
х 1 =6; х 2 =9; х 3 =12; х 4 =15
р 1 =0.3; р2=0.3; р3 =0.1; р4 =0,3

Случайна величинаПроменлива се нарича променлива, която в резултат на всеки тест приема една неизвестна преди това стойност в зависимост от случайни причини. Случайните променливи се означават с главни латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Според вида си случайните променливи могат да бъдат отделенИ непрекъснато.

Дискретна случайна променлива- това е случайна променлива, чиито стойности не могат да бъдат повече от изброими, т.е. крайни или изброими. Под изброимост имаме предвид, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат номерирани.

Пример 1 . Ето примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) броят на падналите емблеми при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) броя на корабите, пристигащи на борда (изброим набор от стойности).

г) броят на повикванията, пристигащи в телефонната централа (изброим набор от стойности).

1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.

Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойности $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон за разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, чийто първи ред показва стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$, а вторият ред съдържа вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези ценности.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\край (масив)$

Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, паднали по време на хвърлянето зарове. Такава случайна променлива $X$ може да приема следните стойности: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\край (масив)$

Коментирайте. Тъй като в закона за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуват пълна група от събития, тогава сборът на вероятностите трябва да е равен на единица, т.е. \sum(p_i)=1$.

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Математическо очакване на случайна променливазадава своето „централно” значение. За дискретна случайна променлива, математическото очакване се изчислява като сумата от продуктите на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ и вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, т.е. : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.

Свойства на математическото очакване$M\ляво(X\дясно)$:

1. $M\left(X\right)$ се намира между най-малката и най-голямата стойност на случайната променлива $X$.
2. Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на математическото очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\над (6))+4\cdot ((1)\над (6))+5\cdot ((1)\над (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$

Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ се намира между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.

Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с еднакви математически очаквания могат да се разпръснат по различен начин около техните средни стойности. Например в две студентски групи средната оценка на изпита по теория на вероятностите се оказа 4, но в едната всички се оказаха добри студенти, а в другата имаше само тройници и отличници. Следователно има нужда от числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайната променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.

Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е равно на:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ляво(X \дясно)\дясно))^2$.

Дисперсионни свойства$D\ляво(X\дясно)$:

1. Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
2. Дисперсията на константата е нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
3. Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
5. Дисперсията на разликата между независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X-Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.

Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\над (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+(((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\над (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\над (12))\приблизително 2,92.$$

Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.

4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.

Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.

Разпределителна функцияслучайна променлива $X$ се нарича функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\ ляво(x\дясно)=P\ляво(X< x\right)$

Свойства на функцията на разпределение:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойности от интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ненамаляващ.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Пример 9 . Нека намерим функцията на разпределение $F\left(x\right)$ за закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ от пример $2$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\край (масив)$

Ако $x\le 1$, тогава очевидно $F\left(x\right)=0$ (включително за $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $x > 6$, тогава $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Така че $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ на\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ в\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ в\ 4< x\le 5,\\
1,\ за\ x > 6.
\end(матрица)\right.$