Формула на теорията на вероятностите на математическото очакване. Формула на очакванията

X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Решение: Математическото очакване е равно на сумата от продуктите на всички възможни стойности на X и техните вероятности:

M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.

Пример за независимо решение(можете да използвате калкулатор).
Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X, дадено от закона за разпределение:

X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4

Математическото очакване има следните свойства.

Свойство 1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа: М(С)=С.

Свойство 2. От знака за очакване може да се извади постоянен множител: М(СХ)=СМ(Х).

Свойство 3. Математическото очакване на произведението на взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на математическите очаквания на факторите: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

Свойство 4. Математическото очакване на сумата от случайните величини е равно на сумата от математическите очаквания на членовете: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

Задача 189. Намерете математическото очакване на случайна величина Z, ако са известни математическите очаквания X и Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Решение: Използвайки свойствата на математическото очакване (математическото очакване на сумата е равно на сумата от математическите очаквания на членовете; постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване), получаваме M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Използвайки свойствата на математическото очакване, докажете, че: а) M(X - Y) = M(X)-M (Y); б) математическото очакване на отклонението X-M(X) е нула.

191. Дискретни произволна стойност X приема три възможни стойности: x1= 4 С вероятност p1 = 0.5; x3 = 6 С вероятност P2 = 0,3 и x3 с вероятност p3. Намерете: x3 и p3, знаейки, че M(X)=8.

192. Даден е списък с възможни стойности на дискретна случайна променлива X: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, математическите очаквания на това количество и неговия квадрат също са известни: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Намерете вероятностите p1, p2, p3, съответстващи на възможните стойности xi

194. Партида от 10 части съдържа три нестандартни части. Два елемента бяха избрани на случаен принцип. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X - броят на нестандартните части сред две избрани.

196. Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива X-брой на такива хвърляния от пет зарове, във всяка от които ще се появи по една точка на две кости, ако общ бройхвърляния, равни на двадесет.

Функцията за разпределение съдържа пълна информацияотносно случайна променлива. На практика функцията за разпределение не винаги може да бъде установена; понякога не се изискват такива изчерпателни познания. Частична информация за случайна величина се дава чрез числени характеристики, които в зависимост от вида на информацията се разделят на следните групи.
1. Характеристики на позицията на случайна променлива върху числовата ос (режим мо, Медиана аз, очаквана стойност M(X)).
2. Характеристики на разпространението на случайна променлива около средната стойност (дисперсия D(X), стандартно отклонение σ( х)).
3. Характеристики на формата на кривата г = φ( х) (асиметрия Като, ексцес Пр).
Нека разгледаме по-подробно всяка от тези характеристики.
Очаквана стойност случайна величина хпоказва някаква средна стойност, около която са групирани всички възможни стойности х. За дискретна случайна променлива, която може да приеме само краен брой възможни стойности, математическото очакване е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и вероятността за тези стойности:
. (2.4)
За непрекъсната случайна променлива х, която има дадена плътност на разпределение φ( х) математическото очакване е следният интеграл:
. (2.5)
Тук се предполага, че неправилен интегралсе сближава абсолютно, т.е. съществува.
Свойства на математическото очакване:
1. Г-ЦА) = ° С, Където СЪС = конст;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y), Където хИ Y– всякакви случайни променливи;
4. M(X∙Y)=M(X)∙M(Y), Където хИ Yса независими случайни променливи.
Извикват се две случайни променливи независима , ако законът за разпределение на един от тях не зависи от това какви възможни стойности е приела другата стойност.
Мода дискретна случайна променлива, означ мо, нейната най-вероятна стойност се нарича (фиг. 2.3), а режимът на непрекъсната случайна променлива е стойността, при която плътността на вероятността е максимална (фиг. 2.4).



Ориз. 2.3 Фиг. 2.4
Медиана непрекъсната случайна променлива хнеговата стойност Me се нарича такава, за която е еднакво вероятно дали случайната величина ще се окаже по-малка или по-голяма аз, т.е.
P(X < Me) = P(X > аз)
От дефиницията на медианата следва, че P(X<аз) = 0,5, т.е. Е (аз) = 0,5. Геометрично медианата може да се интерпретира като абсцисата, в която ординатата φ( х) разполовява областта, ограничена от кривата на разпределение (фиг. 2.5). При симетрично разпределение медианата съвпада с модата и математическото очакване (фиг. 2.6).

Ориз. 2.5 Фиг. 2.6

дисперсия.

Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна променлива, тоест нейното отклонение от математическото очакване. Означено д[х] в руската литература и (англ. дисперсия) в чужди страни. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратен от дисперсията, равен на , се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартен спред. Стандартното отклонение се измерва в същите единици като самата случайна променлива, а дисперсията се измерва в квадратите на тази единица.

От неравенството на Чебишев следва, че една случайна променлива се отдалечава от своето математическо очакване с повече от кстандартни отклонения с вероятност по-малка от 1/ к². Така например в най-малко 75% от случаите случайната променлива се отстранява от средната си стойност с не повече от две стандартни отклонения, а в около 89% - с не повече от три.

дисперсия случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на нейното отклонение от математическото очакване
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Дисперсия на случайна променлива худобно е да се изчисли по формулата:
а) за дискретно количество
; (2.6)
б) за непрекъсната случайна величина
j( х)д х – 2 . (2.7)
Дисперсията има следните свойства:
1. D(C) = 0, където СЪС = конст;
2. D(C× х) = C 2 ∙ D(X);
3. д(х± Y) = д(х) + д(Y), Ако хИ Yнезависими случайни променливи.
Стандартно отклонение случайна величина хсе нарича аритметичен корен на дисперсията, т.е.
σ( х) = .
Обърнете внимание, че измерението σ( х) съвпада с размерността на самата случайна променлива х, така че стандартното отклонение е по-удобно за характеризиране на разсейването.
Обобщение на основните числени характеристики на случайни променливи е концепцията за моменти на случайна променлива.
Началният момент на k-ти ред α кслучайна величина хсе нарича математическо очакване на количеството X k, т.е. α к = M(X k).
Началният момент на първия ред е математическото очакване на случайната величина.
Централният момент на k-ти ред μ кслучайна величина хсе нарича математическо очакване на количеството ( х–M(X))к, т.е. μ к = M(X–M(X))к.
Централният момент от втория ред е дисперсията на случайната променлива.
За дискретна случайна променлива началният момент се изразява със сумата α к= , а централната е сумата μ к = Където p i = p(X=x i). За началния и централния момент на непрекъсната случайна променлива могат да се получат следните равенства:
α к = ,  μ к = ,
където φ( х) е плътността на разпределение на случайната променлива X.
Стойност Като= μ 3 / σ 3 се нарича коефициент на асиметрия .
Ако коефициентът на асиметрия е отрицателен, това показва голямо влияние върху стойността на m 3 отрицателни отклонения. В този случай кривата на разпределение (фиг. 2.7) е по-плоска вляво от M(X). Ако коефициентът As е положителен, което означава, че влиянието на положителните отклонения преобладава, тогава кривата на разпределение (фиг. 2.7) е по-плоска отдясно. На практика знакът на асиметрията се определя от местоположението на кривата на разпределение спрямо модата (максимална точка на диференциалната функция).


Ориз. 2.7
ексцес Ексе нарича количеството
Ек\u003d μ 4 / σ 4 - 3.

Въпрос 24: Корелация

Корелация (корелационна зависимост) - статистическа връзка на две или повече случайни променливи (или променливи, които могат да се считат за такива с някаква приемлива степен на точност). В този случай промените в стойностите на една или повече от тези величини са придружени от систематична промяна в стойностите на друга или други величини. Математическата мярка за корелацията на две случайни променливи е корелационна връзка, или коефициент на корелация (или ) . Ако промяната в една случайна променлива не води до редовна промяна в друга случайна променлива, но води до промяна в друга статистическа характеристика на тази случайна променлива, тогава такава връзка не се счита за корелация, въпреки че е статистическа.

За първи път терминът "корелация" е въведен в научното обращение от френския палеонтолог Жорж Кювие през 18 век. Той разработи "закона за корелация" на частите и органите на живите същества, с помощта на който е възможно да се възстанови външният вид на изкопаемо животно, разполагайки само с част от неговите останки. В статистиката думата "корелация" е използвана за първи път от английския биолог и статистик Франсис Галтън в края на 19 век.

Някои видове корелационни коефициенти могат да бъдат положителни или отрицателни (също така е възможно да няма статистическа връзка - например за независими случайни променливи). Ако се приеме, че е дадена стриктна връзка на ред върху стойностите на променливите, тогава отрицателна корелация- корелация, при която увеличението на една променлива е свързано с намаляване на друга променлива, докато коефициентът на корелация може да бъде отрицателен; положителна корелацияпри такива условия, корелация, при която увеличението на една променлива е свързано с увеличение на друга променлива, докато коефициентът на корелация може да бъде положителен.

Средни стойности на случайни променливи

Нека се преструваме, че хе дискретна случайна променлива, която в резултат на експеримента е приела стойностите х 1 , х 2 ,…, x nс вероятности стр 1 , стр 2 ,…, p n, . След това средната стойност или математическото очакване на количеството хнаречена сума , т.е. среднопретеглената стойност на X, където теглата са вероятностите пи.

Пример. Определете средната стойност на контролната грешка e, ако въз основа на голям брой експерименти се установи, че вероятността за грешка p iе равно на:

1. М[e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =

Ако g( х) е функция х(и вероятността, че х = x iе равно на пи), тогава средната стойност на функцията се определя като

Нека се преструваме, че хе случайна променлива с непрекъснато разпределение и се характеризира с плътност на вероятността j( х). Тогава вероятността X да е между хИ х+ D х:

След това стойността на X приблизително приема стойността х. В границата при D х® 0, можем да приемем, че нарастването D хчислено равно на диференциала d х.

Като замени Д х=d х, получаваме точната формула за изчисляване на средната стойност х :

По същия начин за g( х):

По правило не е достатъчно да се знае само средната стойност (математическо очакване) на случайна променлива. За оценка на мярката за случайност на количество (за оценка на разпространението на специфични стойности хпо отношение на математическото очакване М[х]) въвежда концепцията за дисперсия на случайна променлива. Дисперсия - средната стойност на квадрата на отклонението на всяка конкретна стойност на X от математическото очакване. Колкото по-голяма е дисперсията, толкова по-голяма е случайността на разпространението на стойността от математическото очакване. Ако случайната променлива е дискретна, тогава

За непрекъсната случайна променлива дисперсията може да бъде записана по подобен начин:

Дисперсията добре описва разпространението на стойността, но има един недостатък: измерението не съответства на измерението х. За да се отърват от този недостатък, често в конкретни приложения те считат не , а положителна стойност, която се нарича стандартно отклонение.

1.3.2.1. Свойства на очакванията

1. Математическото очакване на неслучайна променлива е равно на самата тази стойност М[° С] = ° С.

2. Неслучаен множител СЪСможе да бъде изваден от знака за математическо очакване М[CX] = СМ[х].

3. Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на тези случайни променливи.

4. Математическото очакване на произведението на независимите случайни променливи е равно на произведението на математическите очаквания на тези променливи (условието за независимост на случайните променливи).

1.3.2.2. Свойства на дисперсия

1. Дисперсия на неслучайна променлива СЪСе равно на нула: д[° С]=0.

2. Дисперсия на произведението на неслучаен фактор СЪСпо случайна променлива е равно на произведението СЪС 2 върху дисперсията на случайна променлива.

3. Дисперсия на сумата от независими случайни променливи х 1 и х 2 е равна на сумата от дисперсиите на членовете

1.3.3. Моменти на случайна величина

Позволявам хе непрекъсната случайна променлива. Ако n е положително цяло число и функцията х n е интегрируемо в интервала (–¥; +¥), тогава средната стойност

n = 0, 1,…, н

Наречен начален моментред n случайна променлива х.

Очевидно моментът от нулев ред

,

Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.

Тези количества са предимно очаквана стойностИ дисперсия .

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означен като.

Най-просто, математическото очакване на случайна променлива X(w), се намират като интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот хчрез разпределение на вероятностите R Xколичества х:

където е множеството от всички възможни стойности х.

Математическо очакване на функции от случайна величина хе чрез разпространение R X. Например, Ако х- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено Борелфункция х , Че:

Ако F(x)- разпределителна функция х, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):

докато интегрируемостта хОт гледна точка на ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако хима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности , тогава

Ако хима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), Че

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

° С- постоянен;

• M=C.M[X]

• Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи = произведението на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

Ако хИ Yнезависима.

ако серията се събира:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; приравнете всяка стойност с ненулева вероятност.

1. Умножете двойките на свой ред: x iНа пи.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

Например, За н = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическото очакване по формулата.

Математическото очакване (средна стойност) на случайна променлива X, дадена в дискретно вероятностно пространство, е числото m =M[X]=∑x i p i , ако редицата се сближава абсолютно.

Сервизно задание. С онлайн услуга изчисляват се математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение(вижте примера). Освен това се начертава графика на функцията на разпределение F(X).

Свойства на математическото очакване на случайна величина

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на себе си: M[C]=C , C е константа;
2. M=C M[X]
3. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: M=M[X]+M[Y]
4. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M=M[X] M[Y], ако X и Y са независими.

Свойства на дисперсия

1. Дисперсията на постоянна стойност е равна на нула: D(c)=0.
2. Константният фактор може да бъде изваден от под знака на дисперсията, като го повдигнете на квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случайните променливи X и Y са зависими: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. За дисперсията е валидна изчислителната формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Известни са математическите очаквания и дисперсиите на две независими случайни променливи X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Въз основа на свойствата на математическото очакване: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Въз основа на дисперсионните свойства: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване

1. Умножете двойките една по една: x i по p i .
2. Добавяме произведението на всяка двойка x i p i.
   Например за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Пример #1.

Пример #2. Дискретна случайна променлива има следната серия на разпределение:

Решение. Стойността a се намира от връзката: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24=3 a , откъдето a = 0,08

Пример #3. Определете закона за разпределение на дискретна случайна променлива, ако нейната дисперсия е известна и x 1 х 1 =6; х2=9; х3=х; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Решение.
Тук трябва да направите формула за намиране на дисперсията d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
където очакване m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите данни
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Съответно е необходимо да се намерят корените на уравнението и ще има две от тях.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Избираме този, който отговаря на условието x 1 х3=12

Закон за разпределение на дискретна случайна величина
х 1 =6; х2=9; x 3 \u003d 12; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3