Намерете площта на успоредник онлайн калкулатор. Успоредник и неговите свойства

Паралелограмът е четириъгълна фигура, чиито срещуположни страни са успоредни и равни по две. Неговите противоположни ъгли също са равни, а точката на пресичане на диагоналите на успоредника ги разделя наполовина, като е центърът на симетрия на фигурата. Специални случаи на паралелограма са такива геометрични фигури като квадрат, правоъгълник и ромб. Може да се намери площта на успоредник различни начини, в зависимост от това какви първоначални данни придружават постановката на проблема.

1. В най-простия случай площта на успоредника се определя като произведението на неговата основа и неговата височина.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   където S е площта на успоредника;
   а - основа;
   h е височината, начертана към дадената основа.

   Тази формула е много лесна за разбиране и запомняне, ако погледнете следната фигура.

   

   Както можете да видите от това изображение, ако отрежем въображаем триъгълник отляво на успоредника и го прикрепим отдясно, резултатът ще бъде правоъгълник. Както знаете, площта на правоъгълник се намира чрез умножаване на дължината му по височината му. Само в случай на успоредник дължината ще бъде основата, а височината на правоъгълника ще бъде височината на успоредника, спуснат до дадена страна.

2. Площта на успоредник може да се намери и чрез умножаване на дължините на две съседни основи и синуса на ъгъла между тях:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   където AD, AB са съседни основи, образуващи пресечна точка и ъгъл a помежду си;
   α е ъгълът между основите AD и AB.

   

3. Можете също да намерите площта на успоредник, като разделите наполовина произведението от дължините на диагоналите на успоредника на синуса на ъгъла между тях.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   където AC, BD са диагоналите на успоредника;
   β е ъгълът между диагоналите.

   

4. Има и формула за намиране на площта на успоредник през радиуса на вписаната в него окръжност. Написано е, както следва:

Успоредник се нарича четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни една на друга. Основните задачи в училище по тази тема са изчисляване на площта на успоредник, неговия периметър, височина и диагонали. Посочените стойности и формулите за тяхното изчисляване ще бъдат дадени по-долу.

Свойства на успоредник

Противоположните страни на успоредник, както и противоположните ъгли са равни помежду си:
AB=CD, BC=AD,

Диагоналите на успоредника в точката на пресичане се разделят на две равни части:

AO=OC, OB=OD.

Ъглите, съседни на всяка страна (съседни ъгли), се събират до 180 градуса.

Всеки от диагоналите на успоредника го разделя на два триъгълника с еднаква площ и геометрични размери.

Друго забележително свойство, което често се използва при решаване на задачи, е, че сборът от квадратите на диагоналите в успоредник е равен на сбора от квадратите на всички страни:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Основните характеристики на успоредниците:

1. Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, е успоредник.
2. Четириъгълник с равни срещуположни страни е успоредник.
3. Четириъгълник с равни и успоредни срещуположни страни е успоредник.
4. Ако диагоналите на четириъгълник в пресечната точка са разделени наполовина, тогава той е успоредник.
5. Четириъгълник, чиито срещуположни ъгли са равни по двойки, е успоредник

Симетрали на успоредник

Симетралите на противоположните ъгли в успоредник могат да бъдат успоредни или съвпадащи.

Симетрали на съседни ъгли (съседни на една страна) се пресичат под прав ъгъл (перпендикуляр).

Височина на паралелограма

Височина на паралелограма- това е сегмент, начертан от ъгъл, перпендикулярен на основата. От това следва, че от всеки ъгъл могат да се начертаят две височини.

Формула за площ на паралелограма

Площ на успореднике равно на произведението на страната и прекараната към нея височина. Формулата за площ е следната

Втората формула е не по-малко популярна в изчисленията и се определя по следния начин: площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях

Въз основа на горните формули ще знаете как да изчислите площта на успоредник.

Периметър на успоредник

Формулата за изчисляване на периметъра на успоредник е

тоест периметърът е равен удвоете стойносттасуми на страните. Задачи, свързани с успоредници, ще бъдат обсъдени в съседни материали, но засега изучавайте формулите. Повечето проблеми при изчисляването на страните и диагоналите на успоредник са доста прости и се свеждат до познаване на теоремата за синусите и теоремата на Питагор.

Площ на успоредник. В много геометрични задачи, свързани с изчисляването на площи, включително задачи на Единния държавен изпит, се използват формули за площта на успоредник и триъгълник. Има няколко от тях, ще ги разгледаме тук.

Би било твърде просто да се изброят тези формули; вече има достатъчно от тези неща в справочници и на различни уебсайтове. Бих искал да предам същината - за да не ги тъпчете, а да ги разберете и лесно да ги запомните по всяко време. След като изучите материала в статията, ще разберете, че изобщо не е необходимо да изучавате тези формули. Обективно погледнато, те се срещат толкова често в решенията, че остават в паметта за дълго време.

1. Нека разгледаме успоредник. Определението гласи:

Защо така? Просто е! За да покажем ясно какво е значението на формулата, нека направим някои допълнителни конструкции, а именно да конструираме височините:

Площта на триъгълника (2) е равна на площта на триъгълника (1) - вторият знак за равенство на правоъгълни триъгълници „по крака и хипотенузата“. Сега нека мислено „отрежем“ втория и го преместим върху първия - получаваме правоъгълник, чиято площ ще бъде равна на площта на оригиналния паралелограм:

Известно е, че площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни. Както се вижда от скицата, едната страна на получения правоъгълник е равна на страната на успоредника, а другата е равна на височината на успоредника. Следователно получаваме формулата за площта на успоредник S = a∙hа

2. Да продължим, друга формула за площта му. Ние имаме:

Площ на формула за успоредник

Нека означим страните като a и b, ъгълът между тях е γ "гама", височината е h a. Нека помислим правоъгълен триъгълник:

Точно както в евклидовата геометрия точката и правата са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е един от ключови фигуриизпъкнали четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според прави и секущи, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и в същото време са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълник EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на това геометрична фигурае разположен по същия начин като правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За определяне обща формулаПлощта на успоредника се обозначава с височина като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри са намерени тригонометрични тъждества, това е . Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това Ако дадени вектори ИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри триковерешения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.