Определяне на местоположението на еквипотенциалите и построяване на силовите линии на електрическото поле. Еквипотенциални повърхности

За по-визуално графично представяне на полетата, в допълнение към линиите на напрежение, използвайте повърхности с равен потенциал или еквипотенциални повърхности. Както подсказва името, еквипотенциалната повърхност е повърхност, върху която всички точки имат еднакъв потенциал. Ако потенциалът е даден като функция на x, y, z, тогава уравнението на еквипотенциалната повърхност има формата:

Линиите на напрегнатост на полето са перпендикулярни на еквипотенциалните повърхности.

Нека докажем това твърдение.

Нека правата и силовата линия сключват определен ъгъл (фиг. 1.5).

Нека преместим пробния заряд от точка 1 до точка 2 по правата. В този случай полевите сили работят:

. (1.5)

Това означава, че работата, извършена чрез преместване на пробния заряд по еквипотенциалната повърхност, е нула. Същата работа може да се определи и по друг начин - като произведение на заряда от модула на напрегнатостта на полето, действащо върху тестовия заряд, от количеството на преместването и от косинуса на ъгъла между вектора и вектора на отместване, т.е. косинус на ъгъла (виж фиг. 1.5):

.

Количеството работа не зависи от метода на нейното изчисляване, според (1.5) то е равно на нула. От това следва, че и съответно, което е необходимо да се докаже.

Еквипотенциалната повърхност може да бъде начертана през всяка точка от полето. Следователно могат да бъдат конструирани безкраен брой такива повърхности. Беше договорено обаче повърхностите да бъдат начертани по такъв начин, че потенциалната разлика за две съседни повърхности да бъде еднаква навсякъде. Тогава по плътността на еквипотенциалните повърхности може да се прецени големината на силата на полето. Наистина, колкото по-плътни са еквипотенциалните повърхности, толкова по-бързо се променя потенциалът при движение по нормалата към повърхността.

Фигура 1.6а показва еквипотенциални повърхности (по-точно техните пресечни точки с равнината на чертежа) за полето на точков заряд. В съответствие с естеството на промяната, еквипотенциалните повърхности стават по-плътни, когато се приближават до заряда. Фигура 1.6b показва еквипотенциални повърхности и линии на напрежение за диполното поле. От фиг. 1.6 става ясно, че при едновременното използване на еквипотенциални повърхности и линии на напрежение, картината на полето е особено ясна.

За равномерно поле еквипотенциалните повърхности очевидно представляват система от равнини, разположени на еднакво разстояние една от друга, перпендикулярни на посоката на силата на полето.

1.8. Връзка между силата на полето и потенциала

(потенциален градиент)

Нека има произволно електростатично поле. В това поле рисуваме две еквипотенциални повърхности по такъв начин, че да се различават една от друга по потенциал с количество dφ(фиг. 1.7)

Векторът на опън е насочен нормално към повърхността. Нормалната посока е същата като посоката на оста x. ос хизтеглен от точка 1 пресича повърхността в точка 2.

Линеен сегмент dxпредставлява най-късото разстояние между точки 1 и 2. Работата, извършена при преместване на заряд по този сегмент:

От друга страна, същата работа може да бъде написана като:

Приравнявайки тези два израза, получаваме:

където символът за частична производна подчертава, че диференциацията се извършва само по отношение на х. Повтаряне на подобни разсъждения за осите гИ z, можем да намерим вектора:

, (1.7)

където са единичните вектори на координатните оси x, y, z.

Векторът, определен от израз (1.7), се нарича градиент на скалара φ . За него наред с обозначението се използва и обозначението. ("nabla") означава символен вектор, наречен оператор на Хамилтон

Електростатичното поле може да се характеризира с набор от силови и еквипотенциални линии.

електропровод - това е линия, начертана мислено в полето, започваща от положително заредено тяло и завършваща с отрицателно заредено тяло, начертана по такъв начин, че допирателната към нея във всяка точка на полето дава посоката на напрежението в тази точка .

Силовите линии се затварят при положителни и отрицателни заряди и не могат да се затворят сами.

Под еквипотенциална повърхност разберете набор от полеви точки, които имат същия потенциал ().

Ако изрежете електростатичното поле със секуща равнина, тогава в сечението ще се виждат следи от пресичането на равнината с еквипотенциални повърхности. Тези следи се наричат ​​еквипотенциални линии.

Еквипотенциалните линии са затворени сами по себе си.

Електропроводи и еквипотенциални линиисе пресичат под прав ъгъл.

Р
Нека да разгледаме еквипотенциалната повърхност:

(тъй като точките лежат на еквипотенциална повърхност).

- скаларно произведение

Линиите на напрегнатост на електростатичното поле проникват през еквипотенциалната повърхност под ъгъл от 90 0, след това ъгълът между векторите
е равно на 90 градуса, а тяхното скаларно произведение е равно на 0.

Уравнение на еквипотенциалната линия

Помислете за силовата линия:

н
интензитетът на електростатичното поле е насочен тангенциално към силовата линия (вижте определението за силова линия), а елементът на пътя също е насочен , така че ъгълът между тези два вектора е нула.

или

Уравнение на полевата линия

Потенциален градиент

Потенциален градиент е скоростта на нарастване на потенциала в най-късата посока между две точки.

Има някаква потенциална разлика между две точки. Ако тази разлика се раздели на най-късото разстояние между взетите точки, тогава получената стойност ще характеризира скоростта на промяна на потенциала в посока на най-късото разстояние между точките.

Градиентът на потенциала показва посоката на най-голямото увеличение на потенциала, числено е равен на модула на напрежението и е отрицателно насочен спрямо него.

При определянето на градиента са съществени две разпоредби:

Посоката, в която се вземат две близки точки, трябва да бъде такава, че скоростта на промяна да е максимална.

Посоката е такава скаларна функциясе увеличава в тази посока.

За декартова координатна система:

Скорост на промяна на потенциала по посока на оста X, Y, Z:

;
;

Два вектора са равни само ако техните проекции са равни една на друга. Проекция на вектора на опън върху оста хравна на проекцията на скоростта на изменение на потенциала по оста х, взети с обратен знак. Същото и за брадвите YИ З.

;
;
.

В цилиндрична координатна система изразът за потенциалния градиент ще има следния вид.

Посока електропровод(линии на напрежение) във всяка точка съвпада с посоката. Следва, че напрежението е равно на потенциалната разлика U на единица дължина на електропровода .

Именно по линията на полето настъпва максималната промяна в потенциала. Следователно винаги можете да определите между две точки чрез измерване Uмежду тях и колкото по-близо са точките, толкова по-точни са. В еднородно електрическо поле силовите линии са прави. Ето защо е най-лесно да се определи тук:

Графично представяне на силовите линии и еквипотенциалните повърхности е показано на фигура 3.4.

При движение по тази повърхност с d лпотенциалът няма да се промени:

От това следва, че проекцията на вектора на d лравно на нула , това е Следователно във всяка точка тя е насочена по нормалата към еквипотенциалната повърхност.

Можете да начертаете толкова еквипотенциални повърхности, колкото искате. По плътността на еквипотенциалните повърхности може да се прецени стойността , това ще бъде при условие, че потенциалната разлика между две съседни еквипотенциални повърхности е равна на постоянна стойност.

Формулата изразява връзката между потенциал и напрежение и позволява известни стойностиφ намерете силата на полето във всяка точка. Възможно е да се реши и обратната задача, т.е. Използвайки известните стойности във всяка точка на полето, намерете потенциалната разлика между две произволни точки на полето. За да направим това, ние се възползваме от факта, че работата, извършена от силите на полето върху заряда ркогато го преместите от точка 1 до точка 2, може да се изчисли като:

От друга страна, работата може да бъде представена като:

, Тогава

Интегралът може да се вземе по всяка права, свързваща точка 1 и точка 2, тъй като работата на силите на полето не зависи от пътя. За да преминем през затворен цикъл, получаваме:

тези. Стигнахме до добре известната теорема за циркулацията на вектора на опън: циркулацията на вектора на напрегнатостта на електростатичното поле по всеки затворен контур е нула.

Поле, което има това свойство, се нарича потенциално.

От изчезването на векторната циркулация следва, че линиите на електростатичното поле не могат да бъдат затворени: те започват от положителни заряди(източници) и завършват с отрицателни заряди (поглъщания) или отиват до безкрайност(фиг. 3.4).

Тази зависимост е вярна само за електростатичното поле. Впоследствие ще разберем, че полето на движещите се заряди не е потенциално и за него тази връзка не е валидна.

Еквипотенциална повърхност еквипотенциална повърхност

повърхност, върху която всички точки имат еднакъв потенциал. Еквипотенциалната повърхност е ортогонална на силовите линии. Повърхността на проводника в електростатиката е еквипотенциална повърхност.

ЕКВИПОТЕНЦИАЛНА ПОВЪРХНОСТ, повърхност, във всички точки на която потенциалът (см.ПОТЕНЦИАЛ (във физиката)) електрическо полеима същата стойност j= const. В равнина тези повърхности представляват еквипотенциални силови линии. Използва се за графично показване на потенциалното разпределение.
Еквипотенциалните повърхности са затворени и не се пресичат. Изобразяването на еквипотенциални повърхности се извършва по такъв начин, че потенциалните разлики между съседни еквипотенциални повърхности да са еднакви. В този случай в тези области, където линиите на еквипотенциалните повърхности са по-плътни, силата на полето е по-голяма.
Между всеки две точки на еквипотенциална повърхност потенциалната разлика е нула. Това означава, че векторът на силата във всяка точка от траекторията на заряда по еквипотенциалната повърхност е перпендикулярен на вектора на скоростта. Следователно, линиите на напрежение (см.НАПРЕЖЕНОСТ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКОТО ПОЛЕ)електростатично поле са перпендикулярни на еквипотенциалната повърхност. С други думи: еквипотенциалната повърхност е ортогонална на силовите линии (см.електропроводи)полета, а векторът на интензитета на електрическото поле E винаги е перпендикулярен на еквипотенциалните повърхности и винаги е насочен в посока на намаляващ потенциал. Работата, извършена от силите на електрическото поле за всяко движение на заряд по еквипотенциална повърхност, е равна на нула, тъй като?j = 0.
Еквипотенциалните повърхности на полето на точков електрически заряд са сфери, в центъра на които се намира зарядът. Еквипотенциалните повърхности на еднородно електрическо поле са равнини, перпендикулярни на линиите на напрежение. Повърхността на проводник в електростатично поле е еквипотенциална повърхност.

енциклопедичен речник. 2009 .

Вижте какво е „еквипотенциална повърхност“ в други речници:

Повърхност, на която всички точки имат еднакъв потенциал. Еквипотенциалната повърхност е ортогонална на силовите линии. Повърхността на проводник в електростатиката е еквипотенциална повърхност... Голям енциклопедичен речник

Повърхността и всички точки в рояка имат еднакъв потенциал. Например повърхността на проводник в електростатиката Е. стр. Физически енциклопедичен речник. М.: Съветска енциклопедия. Главен редакторА. М. Прохоров. 1983 г. ... Физическа енциклопедия

еквипотенциална повърхност- - [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999 г.] Теми на електротехниката, основни понятия EN повърхност с равен потенциалравна енергия повърхностеквипотенциал... ... Ръководство за технически преводач

Еквипотенциални повърхности на електрически дипол (сеченията им са изобразени в тъмно от равнината на чертежа; цветът условно предава стойността на потенциала в различни точкинай-високите стойности са лилаво и червено, n ... Wikipedia

еквипотенциална повърхност- vienodo potencijalo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. еквипотенциална повърхност vok. Equipotential fläche, е рус. еквипотенциална повърхност, f пранц. константа на повърхностния потенциал, f; surface d'égal potentiel, f; повърхност… … Fizikos terminų žodynas

Повърхност с еднакъв потенциал е повърхност, в която всички точки имат еднакъв потенциал. Например повърхността на проводник в електростатиката е електрическо поле.В силовото поле силовите линии са нормални (перпендикулярни) на електрическата енергия... Голям Съветска енциклопедия

- (от лат. aequus равен и потенциален) геом. мястото на точките в полето, на Крим съответства на същата потенциална стойност. Д. линиите са перпендикулярни на силовите линии. Еквипотенциалът е например повърхността на проводник, разположен в електростатично... ... Голям енциклопедичен политехнически речник

За визуално представяне на векторни полета се използва картина на полеви линии. Силовата линия е въображаема математика крива в пространството, посоката на допирателната към която при всяка точката, през която минава, съвпада с посоката на вектора полета в една и съща точка(фиг. 1.17).
Ориз. 1.17:
Условието за успоредност на вектора E → и допирателната може да се запише като равенство на нула векторен продукт E → и дъгов елемент d r → силова линия:

Еквипотенциалът е повърхността, върху която за които електрическият потенциал е постояненϕ. В полето на точков заряд, както е показано на фиг. , сферичните повърхности с центрове на мястото на заряда са еквипотенциални; това може да се види от уравнението ϕ = q ∕ r = const.

Анализирайки геометрията на линиите на електрическото поле и еквипотенциалните повърхности, можем да посочим число общи свойствагеометрията на електростатичното поле.

Първо, силовите линии започват от заряди. Те или отиват до безкрайност, или завършват с други заряди, както на фиг. .

Второ, в потенциално поле линиите на полето не могат да бъдат затворени. В противен случай би било възможно да се определи такава затворена верига, че работата на електрическото поле при движение на заряд по тази верига да не е равна на нула.

Трето, силовите линии пресичат всеки еквипотенциал, нормален към него. Наистина ли, електрическо поленавсякъде е насочен към бързо намаляване на потенциала, а на еквипотенциалната повърхност потенциалът е постоянен по дефиниция (фиг. ).
Ориз. 1.20:
И накрая, линиите на полето не се пресичат никъде освен в точки, където E → = 0. Пресичането на полеви линии означава, че полето в пресечната точка е двусмислена функция на координатите и векторът E → няма определена посока. Единственият вектор, който има това свойство, е нулевият вектор. Структурата на електрическото поле в близост до нулевата точка ще бъде анализирана в задачи за ?? .

Методът на полевата линия е, разбира се, приложим за графично представяне на всякакви векторни полета. И така, в главата ?? ще се запознаем с концепцията за магнитните силови линии. Геометрията обаче магнитно поленапълно различна от геометрията на електрическото поле.

Ориз. 1.21:
Идеята за силови линии е тясно свързана с концепцията за силова тръба. Да вземем произволен затворен контур L и да начертаем електрическа силова линия през всяка точка от него (фиг. ). Тези линии образуват захранващата тръба. Нека разгледаме произволен участък от тръбата с повърхност S. Начертаваме положителната нормала в същата посока, в която са насочени силовите линии. Нека N е потокът на вектора E → през сечението S. Лесно е да се види това, ако вътре няма тръба електрически заряди, тогава потокът N остава същият по цялата дължина на тръбата. За да го докажем, трябва да вземем друго напречно сечение S ′. Според теоремата на Гаус, потокът на електрическото поле през затворена повърхност, ограничена от страничната повърхност на тръбата и секциите S, S′, е равен на нула, тъй като вътре в силовата тръба няма електрически заряди. Тече през странична повърхносте равно на нула, тъй като векторът E → докосва тази повърхност. Следователно потокът през сечението S ′ е числено равен на N, но противоположен по знак. Външната нормала към затворената повърхност на това сечение е насочена срещу n →. Ако нормалата е насочена в една и съща посока, тогава потоците през сеченията S и S ′ ще съвпадат както по големина, така и по знак. По-специално, ако тръбата е безкрайно тънка и сеченията S и S ′ са нормални към нея, тогава

E S = E ′ S ′ .

Резултатът е пълна аналогия с потока на несвиваем флуид. В онези места, където тръбата е по-тънка, полето E → е по-силно. В онези места, където е по-широко, полето E → е по-силно. Следователно, плътността на линиите на полето може да се използва, за да се прецени силата на електрическото поле.

Преди изобретяването на компютрите, за експериментално възпроизвеждане на силовите линии се вземаше стъклен съд с плоско дъно и в него се наливаше непроводима течност, като рициново масло или глицерин. Прахообразни кристали от гипс, азбест или други продълговати частици бяха равномерно разбъркани в течността. Метални електроди бяха потопени в течността. Когато са свързани към източници на електричество, електродите възбуждат електрическо поле. В това поле частиците се наелектризират и, привлечени една към друга от срещуположно наелектризирани краища, се подреждат във вид на вериги по силовите линии. Картината на линиите на полето се изкривява от потоци течност, причинени от сили, действащи върху нея в нееднородно електрическо поле.

Предстои да бъде свършено още
Ориз. 1.22:
Най-добри резултати се получават от метода, използван от Robert W. Pohl (1884-1976). Електродите Staniol се залепват върху стъклена плоча, между които се създава електрическо напрежение. След това с леко потупване върху плочата се изсипват продълговати частици, например кристали от гипс. Те са разположени по протежение на силовите линии. На фиг. ?? Изобразена е така получената картина на силови линии между два противоположно заредени кръга от станиол.

▸ Задача 9.1

Запишете уравнението на силовите линии в произволен ортогоналкоординати

▸ Задача 9.2

Запишете уравнението на силови линии в сферични координати.