Антипроизводна дроб. Интегриране на дробно-рационална функция

Въведете функцията, за която трябва да намерите интеграла

След като изчислите неопределения интеграл, ще можете да получите безплатно ПОДРОБНО решение на въведения от вас интеграл.

Нека намерим решението на неопределения интеграл на функцията f(x) (първоизводната на функцията).

Примери

Използване на степен
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Корен квадратен

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубичен корен

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Използване на синус и косинус

2*sin(x)*cos(x)

арксинус

X*arcsin(x)

аркосинус

X*arccos(x)

Приложение на логаритъм

X*log(x, 10)

Натурален логаритъм

Изложител

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ирационални дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Аркотангенс

X*arсctg(x)

Хиперболичен синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Хиперболичен тангенс и котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Хиперболичен арксинус и аркосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Хиберболичен арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила за въвеждане на изрази и функции

Изразите могат да се състоят от функции (означенията са дадени в азбучен ред): абсолютен(x)Абсолютна стойност х
(модул хили |x|) arccos(x)Функция - аркосинус от х arccosh(x)Арк косинус хиперболичен от х arcsin(x)Арксинус от х arcsinh(x)Арксинус хиперболичен от х арктан (x)Функция - арктангенс на х arctgh(x)Арктангенс хиперболичен от х д дчисло, което е приблизително равно на 2,7 exp(x)Функция - показател на х(като д^х) log(x)или ln(x)Натурален логаритъм от х
(Придобивам log7(x), трябва да въведете log(x)/log(7) (или, например, for log10(x)=log(x)/log(10)) пиЧислото е "Пи", което е приблизително равно на 3,14 грях(х)Функция - Синус от х cos(x)Функция – косинус от х sinh(x)Функция - Синус хиперболичен от х cosh(x)Функция - Косинус хиперболичен от х sqrt(x)функция - Корен квадратенот х sqr(x)или x^2Функция - Квадрат х тен(x)Функция - Допирателна от х tgh(x)Функция - Тангенс хиперболичен от х cbrt(x)Функция - кубичен корен от х

Следните операции могат да се използват в изрази: Реални числавъведете като 7.5 , Не 7,5 2*x- умножение 3/x- разделение x^3- степенуване х+7- допълнение х - 6- изваждане
Други функции: етаж(x)Функция - закръгляване хнадолу (пример floor(4.5)==4.0) таван(x)Функция - закръгляване х V голяма страна(примерен таван (4,5)==5,0) знак (x)Функция - Знак х erf(x)Функция на грешката (или вероятностен интеграл) Лаплас (x)Функция на Лаплас

Дробта се нарича правилно, ако най-високата степен на числителя е по-малка от най-високата степен на знаменателя. Интегралът на правилна рационална дроб има формата:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Формула за интеграция рационални дробизависи от корените на многочлена в знаменателя. Ако полиномът $ ax^2+bx+c $ има:

1. Само комплексни корени, тогава е необходимо да се извлече пълен квадрат от него: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Различни реални корени $ x_1 $ и $ x_2 $, тогава трябва да разширите интеграла и да намерите неопределените коефициенти $ A $ и $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Един кратен корен $ x_1 $, след което разширяваме интеграла и намираме неопределените коефициенти $ A $ и $ B $ за следната формула: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ако дробта е грешно, тоест най-високата степен в числителя е по-голяма или равна на най-високата степен на знаменателя, тогава първо трябва да се намали до правилнообразуват чрез разделяне на полинома от числителя на полинома от знаменателя. В този случай формулата за интегриране на рационална дроб има формата:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Примери за решения

Дадено е извеждането на формули за изчисляване на интеграли от най-простите, елементарни дроби от четири вида. По-сложните интеграли от дроби от четвъртия тип се изчисляват с помощта на формулата за редукция. Разглежда се пример за интегриране на дроб от четвърти тип.

Вижте също: Таблица на неопределените интеграли
Методи за изчисляване на неопределени интеграли

Както е известно, всяка рационална функция на някаква променлива x може да се разложи на полином и най-простите, елементарни дроби. Има четири вида прости дроби:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Тук a, A, B, b, c са реални числа. Уравнение x 2 + bx + c = 0няма реални корени.

Интегриране на дроби от първите два вида

Интегрирането на първите две дроби се извършва с помощта на следните формули от таблицата на интегралите:
,
, n ≠ - 1 .

1. Интегриране на дроби от първи тип

Дроб от първия тип се редуцира до табличен интеграл чрез заместване t = x - a:
.

2. Интегриране на дроби от втори тип

Частта от втория тип се редуцира до табличен интеграл чрез същото заместване t = x - a:

.

3. Интегриране на дроби от трети тип

Нека разгледаме интеграла на дроб от трети тип:
.
Ще го изчислим на две стъпки.

3.1. Стъпка 1. Изберете производната на знаменателя в числителя

Нека изолираме производната на знаменателя в числителя на дробта. Нека означим: u = x 2 + bx + c. Нека разграничим: u′ = 2 x + b. Тогава
;
.
Но
.
Пропуснахме знака за модул, защото .

Тогава:
,
Където
.

3.2. Стъпка 2. Изчислете интеграла с A = 0, B = 1

Сега изчисляваме оставащия интеграл:
.

Привеждаме знаменателя на дробта към сумата от квадратите:
,
Където .
Вярваме, че уравнението x 2 + bx + c = 0няма корени. Ето защо .

Да направим замяна
,
.
.

Така,
.

Така намерихме интеграла на дроб от трети тип:

,
Където .

4. Интегриране на дроби от четвърти тип

И накрая, разгледайте интеграла на дроб от четвърти тип:
.
Изчисляваме го в три стъпки.

4.1) Изберете производната на знаменателя в числителя:
.

4.2) Изчислете интеграла
.

4.3) Изчисляване на интеграли
,
използвайки формулата за намаляване:
.

4.1. Стъпка 1. Изолиране на производната на знаменателя в числителя

Нека изолираме производната на знаменателя в числителя, както направихме в . Нека означим u = x 2 + bx + c. Нека разграничим: u′ = 2 x + b. Тогава
.

.
Но
.

Накрая имаме:
.

4.2. Стъпка 2. Изчислете интеграла с n = 1

Изчислете интеграла
.
Изчислението му е описано в.

4.3. Стъпка 3. Извеждане на формулата за редукция

Сега разгледайте интеграла
.

Намаляваме квадратния трином до сумата от квадрати:
.
Тук .
Да направим замяна.
.
.

Извършваме трансформации и интегрираме на части.




.

Умножете по 2 (n - 1):
.
Да се ​​върнем към x и I n.
,
;
;
.

И така, за I n получихме формулата за намаляване:
.
Последователно прилагайки тази формула, ние намаляваме интеграла I n до I 1 .

Пример

Изчислете интеграл

1. Нека изолираме производната на знаменателя в числителя.
;
;


.
Тук
.

2. Изчисляваме интеграла на най-простата дроб.

.

3. Прилагаме формулата за намаляване:

за интеграла.
В нашия случай b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Записваме тази формула за n = 2 и n = 3 :
;
.
Оттук

.

Накрая имаме:

.
Намерете коефициента за .
.

Всичко по-горе в предходните параграфи ни позволява да формулираме основните правила за интегриране на рационални дроби.

1. Ако една рационална дроб е неправилна, тогава тя се представя като сбор от полином и правилна рационална дроб (виж параграф 2).

Това намалява интегрирането на неправилна рационална дроб до интегрирането на полином и правилна рационална дроб.

2. Разложете знаменателя правилна дробчрез множители.

3. Една правилна рационална дроб се разлага на сбора от простите дроби. Това намалява интегрирането на правилна рационална дроб до интегрирането на прости дроби.

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1. Намерете .

Решение. Под интеграла има неправилна рационална дроб. Избирайки цялата част, получаваме

следователно

Отбелязвайки, че , нека разширим правилната рационална дроб

към прости дроби:

(виж формула (18)). Ето защо

Така най-накрая имаме

Пример 2. Намерете

Решение. Под интеграла има правилна рационална дроб.

Развивайки го на прости дроби (виж формула (16)), получаваме

Материалът, представен в тази тема, се основава на информацията, представена в темата "Рационални дроби. Разлагане на рационални дроби на елементарни (прости) дроби". Горещо ви препоръчвам поне да прегледате тази тема, преди да преминете към четенето на този материал. Освен това ще ни трябва таблица с неопределени интеграли.

Нека ви напомня за няколко термина. Те бяха обсъдени в съответната тема, така че тук ще се огранича с кратка формулировка.

Отношението на два полинома $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарича рационална функция или рационална дроб. Рационалната дроб се нарича правилно, ако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется грешно.

Елементарните (най-простите) рационални дроби са рационални дроби четири вида:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забележка (желателно за по-пълно разбиране на текста): покажи\скрий

Защо е необходимо условието $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например за израза $x^2+5x+10$ получаваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Тъй като $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Между другото, за тази проверка изобщо не е необходимо коефициентът пред $x^2$ да е равен на 1. Например за $5x^2+7x-3=0$ получаваме: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Тъй като $D > 0$, изразът $5x^2+7x-3$ може да бъде факторизиран.

Могат да се намерят примери за рационални дроби (правилни и неправилни), както и примери за разлагане на рационална дроб на елементарни. Тук ще се интересуваме само от въпросите за тяхната интеграция. Да започнем с интегрирането на елементарни дроби. И така, всеки от четирите вида елементарни дроби по-горе е лесен за интегриране с помощта на формулите по-долу. Нека ви напомня, че при интегриране на дроби от типове (2) и (4) се приемат $n=2,3,4,\ldots$. Формули (3) и (4) изискват изпълнение на условието $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(уравнение) \begin(уравнение) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(уравнение)

За $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ се прави заместване $t=x+\frac(p)(2)$, след което полученият интервал е разделени на две. Първият ще бъде изчислен чрез въвеждане под знака на диференциала, а вторият ще има формата $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Този интеграл се взема с помощта на рекурентната връзка

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\край (уравнение)

Изчисляването на такъв интеграл е разгледано в пример № 7 (виж третата част).

Схема за изчисляване на интеграли на рационални функции (рационални дроби):

1. Ако интегралната функция е елементарна, тогава се прилагат формули (1)-(4).
2. Ако интеграндът не е елементарен, тогава го представете като сума от елементарни дроби и след това интегрирайте, като използвате формули (1)-(4).

Горният алгоритъм за интегриране на рационални дроби има неоспоримо предимство - той е универсален. Тези. с помощта на този алгоритъм можете да интегрирате всякаквирационална дроб. Ето защо почти всички промени на променливи в неопределен интеграл (Ойлер, Чебишев, универсално тригонометрично заместване) се извършват по такъв начин, че след тази промяна да получим рационална дроб под интервала. И след това приложете алгоритъма към него. Ще анализираме директното приложение на този алгоритъм, използвайки примери, след като направим малка бележка.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

По принцип този интеграл се получава лесно без механично прилагане на формулата. Ако извадим константата $7$ от интегралния знак и вземем предвид, че $dx=d(x+9)$, получаваме:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

За подробна информация препоръчвам да разгледате темата. Обяснява подробно как се решават такива интеграли. Между другото, формулата се доказва чрез същите трансформации, които бяха приложени в този параграф при решаването й „ръчно“.

2) Отново има два начина: да използвате готовата формула или да се справите без нея. Ако приложите формулата, тогава трябва да имате предвид, че коефициентът пред $x$ (номер 4) ще трябва да бъде премахнат. За да направите това, нека просто извадим тези четири от скобите:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Сега е време да приложите формулата:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можете да направите, без да използвате формулата. И дори без да изваждаме константата $4$ извън скобите. Ако вземем предвид, че $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, получаваме:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Подробни обяснения за намиране на такива интеграли са дадени в темата „Интегриране чрез заместване (заместване под диференциален знак)“.

3) Трябва да интегрираме дробта $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Тази дроб има структурата $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, където $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. За да сте сигурни обаче, че това наистина е елементарна дроб от трети тип, трябва да проверите дали е изпълнено условието $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Нека решим същия пример, но без да използваме готова формула. Нека се опитаме да изолираме производната на знаменателя в числителя. Какво означава това? Знаем, че $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Това е изразът $2x+10$, който трябва да изолираме в числителя. Засега числителят съдържа само $4x+7$, но това няма да продължи дълго. Нека приложим следната трансформация към числителя:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Сега необходимият израз $2x+10$ се появява в числителя. И нашият интеграл може да бъде пренаписан както следва:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Нека разделим интегранта на две. Е, и съответно самият интеграл също е „раздвоен“:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Нека първо поговорим за първия интеграл, т.е. около $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Тъй като $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, тогава числителят на интегранта съдържа диференциала на знаменателя. Накратко, вместо на израза $( 2x+10)dx$ записваме $d(x^2+10x+34)$.

Сега нека кажем няколко думи за втория интеграл. Нека изберем пълен квадрат в знаменателя: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Освен това вземаме предвид $dx=d(x+5)$. Сега сумата от интегралите, които получихме по-рано, може да бъде пренаписана в малко по-различна форма:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ако направим заместването $u=x^2+10x+34$ в първия интеграл, тогава той ще приеме формата $\int\frac(du)(u)$ и ще приеме лесен за използваневтора формула от . Що се отнася до втория интеграл, за него е възможна промяната $u=x+5$, след което той ще приеме формата $\int\frac(du)(u^2+9)$. Това чиста водаединадесета формула от таблицата на неопределените интеграли. И така, връщайки се към сумата на интегралите, имаме:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Получихме същия отговор, както при прилагането на формулата, което, строго погледнато, не е изненадващо. Като цяло, формулата се доказва със същите методи, които използвахме, за да намерим този интеграл. Вярвам, че внимателният читател може да има един въпрос тук, така че ще го формулирам:

Въпрос No1

Ако приложим втората формула от таблицата на неопределените интеграли към интеграла $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, тогава получаваме следното:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Защо в решението нямаше модул?

Отговор на въпрос №1

Въпросът е напълно естествен. Модулът липсваше само защото изразът $x^2+10x+34$ за всеки $x\in R$ е по-голям от нула. Това е доста лесно да се покаже по няколко начина. Например, тъй като $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, тогава $(x+5)^2+9 > 0$ . Можете да мислите различно, без да използвате избора на пълен квадрат. Тъй като $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за всеки $x\in R$ (ако тази логическа верига е изненадваща, съветвам ви да погледнете метода за графично решение квадратни неравенства). Във всеки случай, тъй като $x^2+10x+34 > 0$, тогава $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. Вместо модул можете да използвате обикновени скоби.

Всички точки от пример №1 са решени, остава само да запишем отговора.

Отговор:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Пример №2

Намерете интеграла $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На пръв поглед подинтегралната дроб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ е много подобна на елементарна дроб от трети тип, т.е. от $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Изглежда, че единствената разлика е коефициентът $3$ пред $x^2$, но премахването на коефициента не отнема много време (извадете го от скоби). Тази прилика обаче е очевидна. За дробта $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ условието $p^2-4q е задължително< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Нашият коефициент преди $x^2$ не е равен на единица, затова проверете условието $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант по-малко от нула, тогава изразът $x^2+px+q$ не може да бъде факторизиран. Нека изчислим дискриминанта на полинома $3x^2-5x-2$, намиращ се в знаменателя на нашата дроб: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. И така, $D > 0$, следователно изразът $3x^2-5x-2$ може да бъде факторизиран. Това означава, че дробта $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не е елементарна дроб от трети тип и се прилага $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) към интегралната формула 5x-2)dx$ не е възможно.

Е, ако дадената рационална дроб не е елементарна дроб, тогава тя трябва да бъде представена като сбор от елементарни дроби и след това да се интегрира. Накратко, възползвайте се от пътеката. Как да разложим рационална дроб на елементарни е написано подробно. Нека започнем с разлагане на знаменателя на множители:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\наляво(x+\frac(1)(3)\надясно)(x-2). $$

Представяме субинтеркалната фракция в тази форма:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Сега нека разложим дробта $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарни:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\вдясно). $$

За намиране на коефициентите $A$ и $B$ има два стандартни начина: методът на неопределените коефициенти и методът на заместване на частични стойности. Нека приложим метода за заместване на частична стойност, замествайки $x=2$ и след това $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Тъй като коефициентите са намерени, остава само да запишем готовото разширение:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

По принцип можете да оставите този запис, но ми харесва по-точен вариант:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Връщайки се към първоначалния интеграл, ние заместваме полученото разширение в него. След това разделяме интеграла на две и прилагаме формулата към всяка. Предпочитам веднага да поставя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Отговор: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример №3

Намерете интеграла $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Трябва да интегрираме дробта $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Числителят съдържа полином от втора степен, а знаменателят съдържа полином от трета степен. Тъй като степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Всичко, което трябва да направим, е да разделим дадения интеграл на три и да приложим формулата към всеки. Предпочитам веднага да поставя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Отговор: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Продължаването на анализа на примери по тази тема се намира във втората част.