Пет основни свойства на понятието правоъгълник. Какво е правоъгълник? Специални случаи на правоъгълник

Правоъгълникът е успоредник, в който всички ъгли са прави (равни на 90 градуса). Площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни. Диагоналите на правоъгълник са равни. Втората формула за намиране на площта на правоъгълник идва от формулата за площта на четириъгълник с помощта на диагоналите.

Правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав.

Квадратът е специален случай на правоъгълник.

Правоъгълникът има две двойки равни страни. Дължината на най-дългите двойки страни се нарича дължина на правоъгълник, а дължината на най-късите е ширина на правоъгълника.

Свойства на правоъгълник

1. Правоъгълникът е успоредник.

Свойството се обяснява с действието на паралелограмната характеристика 3 (т.е. \(\ъгъл A = \ъгъл C\) , \(\ъгъл B = \ъгъл D\) )

2. Противоположните страни са равни.

\(AB = CD,\enspace BC = AD\)

3. Противоположните страни са успоредни.

\(AB \паралелен CD,\enspace BC \паралелен AD\)

4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга.

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Диагоналите на правоъгълника са равни.

\(AC = BD\)

Според собственост 1правоъгълникът е успоредник, което означава \(AB = CD\) .

следователно \(\триъгълник ABD = \триъгълник DCA\)на два крака (\(AB = CD\) и \(AD\) - става).

Ако и двете фигури - \(ABC \) и \(DCA \) са идентични, тогава техните хипотенузи \(BD \) и \(AC \) също са идентични.

И така, \(AC = BD\) .

От всички фигури (само от успоредници!) само правоъгълникът има равни диагонали.

Нека докажем и това.

\(\Стрелка надясно AB = CD \) , \(AC = BD \) по условие. \(\Дясна стрелка \триъгълник ABD = \триъгълник DCA \)вече от три страни.

Оказва се, че \(\ъгъл A = \ъгъл D\) (като ъглите на успоредник). И \(\ъгъл A = \ъгъл C\) , \(\ъгъл B = \ъгъл D\) .

Ние заключаваме, че \(\ъгъл A = \ъгъл B = \ъгъл C = \ъгъл D\). Всички те са \(90^(\circ) \) . Общо - \(360^(\circ) \) .

7. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.

\(\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD \)

8. Пресечната точка на диагоналите ги разделя наполовина.

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Пресечната точка на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност.

Определение.

Правоъгълнике четириъгълник, в който две срещуположни страни са равни и четирите ъгъла са равни.

Правоъгълниците се различават един от друг само в съотношението на дългата към късата страна, но и четирите ъгъла са прави, тоест 90 градуса.

Дългата страна на правоъгълник се нарича дължина на правоъгълник, а късата - ширина на правоъгълника.

Страните на правоъгълника са и неговите височини.

Основни свойства на правоъгълника

Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.

1. Противоположните страни на правоъгълника имат еднаква дължина, тоест те са равни:

AB = CD, BC = AD

2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:

3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:

7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.

9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в пресечната точка:

		AO=BO=CO=DO=	д
			2

10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност

11. Диагоналът на правоъгълник е диаметърът на описаната окръжност

12. Винаги можете да опишете кръг около правоъгълник, тъй като сборът на противоположните ъгли е 180 градуса:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на срещуположните страни не са равни (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат) .

Страни на правоъгълник

Определение.

Дължина на правоъгълнике дължината на по-дългата двойка страни. Ширина на правоъгълнике дължината на по-късата двойка страни.

Формули за определяне дължините на страните на правоъгълник

1. Формула за страна на правоъгълник (дължина и ширина на правоъгълника) през диагонала и другата страна:

а = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Формула за страна на правоъгълник (дължина и ширина на правоъгълника) през площта и другата страна:

b = dcos	β
	2

Диагонал на правоъгълник

Определение.

Диагонален правоъгълникВсеки сегмент, свързващ два върха на противоположни ъгли на правоъгълник, се нарича.

Формули за определяне дължината на диагонала на правоъгълник

1. Формула за диагонал на правоъгълник, използвайки две страни на правоъгълника (чрез Питагоровата теорема):

d = √ a 2 + b 2

2. Формула за диагонала на правоъгълник, използвайки площта и всяка страна:

4. Формула за диагонала на правоъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:

d = 2R

5. Формула за диагонал на правоъгълник по отношение на диаметъра на описаната окръжност:

d = D o

6. Формула за диагонала на правоъгълник, използвайки синуса на ъгъла, съседен на диагонала, и дължината на страната, противоположна на този ъгъл:

8. Формула за диагонала на правоъгълник през синуса на острия ъгъл между диагоналите и площта на правоъгълника

d = √2S: грях β

Периметър на правоъгълник

Определение.

Периметър на правоъгълнике сумата от дължините на всички страни на правоъгълник.

Формули за определяне дължината на периметъра на правоъгълник

1. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки две страни на правоъгълника:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. Формула за периметъра на правоъгълник с площ и всяка страна:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	а		b

3. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки диагонала и всяка страна:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √4R 2 - а 2) = 2(b + √4R 2 - б 2)

5. Формула за периметъра на правоъгълник, използвайки диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

P = 2(a + √D o 2 - а 2) = 2(b + √D o 2 - б 2)

Площ на правоъгълник

Определение.

Площ на правоъгълникнарича се пространството, ограничено от страните на правоъгълника, тоест в рамките на периметъра на правоъгълника.

Формули за определяне на площта на правоъгълник

1. Формула за площта на правоъгълник с две страни:

S = a b

2. Формула за площта на правоъгълник, използвайки периметъра и всяка страна:

5. Формула за площта на правоъгълник, използвайки радиуса на описаната окръжност и всяка страна:

S = a √4R 2 - а 2= b √4R 2 - б 2

6. Формула за площта на правоъгълник, използвайки диаметъра на описаната окръжност и всяка страна:

S = a √D o 2 - а 2= b √D o 2 - б 2

Окръжност, описана около правоъгълник

Определение.

Окръжност, описана около правоъгълнике окръжност, минаваща през четирите върха на правоъгълник, чийто център лежи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника.

Формули за определяне на радиуса на окръжност, описана около правоъгълник

1. Формула за радиуса на окръжност, описана около правоъгълник през две страни:

Цели на урока

Да затвърди знанията на учениците по темата правоъгълник;
Продължете да запознавате учениците с определенията и свойствата на правоъгълник;
Научете учениците да използват придобитите знания по тази тема при решаване на проблеми;
Развийте интерес към предмета по математика, внимание, логично мислене;
Развийте способността за самоанализ и дисциплина.

Цели на урока

Повторете и консолидирайте знанията на учениците за такава концепция като правоъгълник, надграждайки знанията, придобити в предишни класове;
Продължете да подобрявате знанията на учениците за свойствата и характеристиките на правоъгълниците;
Продължете да развивате умения в процеса на решаване на задачи;
Събудете интерес към часовете по математика;
Култивирайте интерес към точни наукии положително отношение към уроците по математика.

План на урока

1. Теоретична част, Главна информация, дефиниции.
2. Повторение на темата „Правоъгълници“.
3. Свойства на правоъгълник.
4. Признаци на правоъгълник.
5. Интересни фактиот живота на триъгълниците.
6. Златен правоъгълник, общи понятия.
7. Въпроси и задачи.

Какво е правоъгълник

В предишни класове вече сте изучавали теми за правоъгълници. Сега нека опресним паметта си и да си спомним какъв вид фигура е това, което се нарича правоъгълник.

Правоъгълникът е успоредник, чиито четири ъгъла са прави и равни на 90 градуса.

Правоъгълникът е геометрична фигура, състояща се от 4 страни и четири прави ъгъла.

Противоположните страни на правоъгълник винаги са равни.

Ако разгледаме дефиницията на правоъгълник според евклидовата геометрия, тогава, за да се счита четириъгълникът за правоъгълник, е необходимо в тази геометрична фигура поне три ъгъла да са прави. От това следва, че четвъртият ъгъл също ще бъде деветдесет градуса.

Въпреки че е ясно, че когато сумата от ъглите на четириъгълник няма 360 градуса, тогава тази фигура не е правоъгълник.

Ако правилният правоъгълник има всички страни, равни една на друга, тогава такъв правоъгълник се нарича квадрат.

В някои случаи квадрат може да действа като ромб, ако такъв ромб, освен равни страни, има всички прави ъгли.

За да се докаже участието на която и да е геометрична фигура в правоъгълник, достатъчно е тази геометрична фигура да отговаря на поне едно от следните изисквания:

1. квадратът на диагонала на тази фигура трябва да бъде равен на сумата от квадратите на 2 страни, които имат обща точка;
2. диагоналите на геометричната фигура трябва да са с еднаква дължина;
3. всички ъгли на геометрична фигура трябва да са равни на деветдесет градуса.

Ако тези условия отговарят на поне едно изискване, тогава имате правоъгълник.

Правоъгълникът в геометрията е основната основна фигура, която има много подвидове, със свои собствени специални свойства и характеристики.

Упражнение:Име геометрични фигури, които се отнасят до правоъгълници.

Правоъгълник и неговите свойства

Сега нека си припомним свойствата на правоъгълника:

Правоъгълникът има всичките си диагонали равни;
Правоъгълникът е успоредник с успоредни противоположни страни;
Страните на правоъгълника също ще бъдат неговите височини;
Правоъгълникът има равни противоположни страни и ъгли;
Окръжност може да бъде описана около всеки правоъгълник и диагоналът на правоъгълника ще бъде равен на диаметъра на описаната окръжност.
Диагоналите на правоъгълник го разделят на 2 равен триъгълник;
Следвайки Питагоровата теорема, квадратът на диагонала на правоъгълник е равен на сумата от квадратите на неговите 2 непротивопоставени страни;

Упражнение:

1. Правоъгълникът има две възможности, при които може да бъде разделен на 2 равни правоъгълника. Начертайте в тетрадката си два правоъгълника и ги разделете така, че да се получат 2 равни правоъгълника.

2. Начертайте кръг около правоъгълника, чийто диаметър ще бъде равен на диагонала на правоъгълника.

3. Може ли да се впише окръжност в правоъгълник, така че да докосва всичките му страни, но при условие, че този правоъгълник не е квадрат?

Правоъгълни знаци

Паралелограмът ще бъде правоъгълник, при условие че:

1. ако поне един от ъглите му е прав;
2. ако и четирите му ъгъла са прави;
3. ако срещуположните страни са равни;
4. ако поне три ъгъла са прави;
5. ако диагоналите му са равни;
6. ако квадратът на диагонала е равен на сумата от квадратите на непротивопоставимите страни.

Интересно е да се знае

Знаете ли, че ако начертаете ъглополовящи на ъглите в правоъгълник, който има неравни съседни страни, тогава, когато те се пресекат, ще получите правоъгълник.

Но ако начертаната ъглополовяща на правоъгълник пресича една от страните му, тогава тя отрязва равнобедрен триъгълник от този правоъгълник.

Знаете ли, че още преди Малевич да нарисува своя изключителен „Черен квадрат“, през 1882 г. на изложба в Париж е представена картина на Пол Било, върху чието платно е изобразен черен правоъгълник със странното име „Битката на негрите в тунелът”.

Тази идея с черен правоъгълник вдъхнови други културни дейци. френски писателхумористът Алфонс Алле пусна цяла поредица от творбите си и с течение на времето се появи правоъгълен пейзаж в радикален червен цвят, озаглавен „Прибиране на домати на брега на Червено море от апоплектични кардинали“, който също нямаше изображение.

Упражнение

1. Назовете свойство, което е присъщо само на правоъгълник?
2. Каква е разликата между произволен успоредник и правоъгълник?
3. Вярно ли е, че всеки правоъгълник може да бъде успоредник? Ако това е така, докажете защо?
4. Избройте четириъгълниците, които са правоъгълници.
5. Посочете свойствата на правоъгълник.

Исторически факт

Правоъгълник на Евклид

Знаете ли, че правоъгълникът на Евклид, който се нарича златно сечение, за дълъг период от време е бил за всяка сграда с религиозно значение, перфектна и пропорционална основа за строителство в онези дни. С негова помощ са построени повечето ренесансови сгради и класически храмове в Древна Гърция.

„Златен“ правоъгълник обикновено се нарича такъв геометричен правоъгълник, съотношението по-голяма странакоето в по-малка степен е равно на златното сечение.

Това съотношение на страните на този правоъгълник беше 382 към 618, или приблизително 19 към 31. Правоъгълникът на Евклид по това време беше най-целесъобразният, удобен, безопасен и правилен правоъгълникот всички геометрични фигури. Поради тази характеристика, Евклидовият правоъгълник или приближенията към него бяха използвани навсякъде. Използван е в къщи, картини, мебели, прозорци, врати и дори книги.

Сред индианците навахо правоъгълникът се сравняваше с женската форма, тъй като се смяташе за обичайната, стандартна форма на къщата, символизираща жената, която притежава тази къща.

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Правоъгълнике четириъгълник, в който всеки ъгъл е прав.

Доказателство

Свойството се обяснява с действието на характеристика 3 на успоредника (т.е. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположните страни са равни.

AB = CD,\enинтервал BC = AD

3. Противоположните страни са успоредни.

AB \успоредно CD,\enинтервал BC \успоредно AD

4. Съседните страни са перпендикулярни една на друга.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Диагоналите на правоъгълника са равни.

AC = BD

Доказателство

Според собственост 1правоъгълникът е успоредник, което означава AB = CD.

Следователно \триъгълник ABD = \триъгълник DCA на два катета (AB = CD и AD - става).

Ако и двете фигури ABC и DCA са еднакви, то техните хипотенузи BD и AC също са еднакви.

Така че AC = BD.

От всички фигури (само от успоредници!) само правоъгълникът има равни диагонали.

Нека докажем и това.

ABCD е успоредник \Rightarrow AB = CD, AC = BD по условие. \Дясна стрелка \триъгълник ABD = \триъгълник DCAвече от три страни.

Оказва се, че \ъгъл A = \ъгъл D (като ъглите на успоредник). И \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D .

Ние заключаваме, че \ъгъл A = \ъгъл B = \ъгъл C = \ъгъл D. Всички те са 90^(\circ) . Общо - 360^(\circ) .

Доказано!

6. Квадратът на диагонал е равен на сбора от квадратите на двете му съседни страни.

Това свойство е вярно поради Питагоровата теорема.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.

\триъгълник ABC = \триъгълник ACD, \enspace \триъгълник ABD = \триъгълник BCD

8. Пресечната точка на диагоналите ги разделя наполовина.

AO = BO = CO = DO

9. Пресечната точка на диагоналите е центърът на правоъгълника и описаната окръжност.

10. Сумата от всички ъгли е 360 градуса.

\ъгъл ABC + \ъгъл BCD + \ъгъл CDA + \ъгъл DAB = 360^(\circ)

11. Всички ъгли на правоъгълник са прави.

\ъгъл ABC = \ъгъл BCD = \ъгъл CDA = \ъгъл DAB = 90^(\circ)

12. Диаметърът на окръжност, описана около правоъгълник, е равен на диагонала на правоъгълника.

13. Винаги можете да опишете кръг около правоъгълник.

Това свойство е вярно поради факта, че сумата от срещуположните ъгли на правоъгълник е 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Правоъгълник може да съдържа вписана окръжност и само една, ако има равни дължини на страните (той е квадрат).

Урок по темата „Правоъгълник и неговите свойства“

Цели на урока:

Повторете понятието правоъгълник въз основа на знанията, придобити от учениците в курса по математика за 1–6 клас.

Разгледайте свойствата на правоъгълника като специален вид успоредник.

Помислете за конкретно свойство на правоъгълник.

Покажете приложението на свойствата за решаване на проблеми.

По време на часовете.

аз Оорганизационен момент.

Информирайте целта на урока, темата на урока. (слайд 1)

IIУчене на нов материал.

· Повторете:

1. Коя фигура се нарича успоредник?

2. Какви свойства притежава успоредникът? (слайд 2)

● Въведете концепцията за правоъгълник.

Кой успоредник може да се нарече правоъгълник?

Определение: Правоъгълникът е успоредник, в който всички ъгли са прави.(слайд 3)

Това означава, че тъй като правоъгълникът е успоредник, той има всички свойства на успоредник. Тъй като правоъгълникът има различно име, той трябва да има собствено свойство (слайд 4).

● Дейност на учениците (самостоятелна): Изследвайте страните, ъглите и диагоналите на успоредник и правоъгълник, като записвате резултатите в таблица.