Системата от линейни уравнения се нарича съвместна, ако mti. Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Йордан-Гаус

Съдържание на урока

Линейни уравнения с две променливи

Ученикът има 200 рубли за обяд в училище. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе можете да купите за 200 рубли?

Означете броя на тортите хи броя чаши кафе г. Тогава цената на тортите ще бъде означена с израза 25 х, а цената на чашите кафе в 10 г .

25х-цена хторти
10д-цена гчаши кафе

Общата сума трябва да бъде 200 рубли. Тогава получаваме уравнение с две променливи хи г

25х+ 10г= 200

Колко корена има това уравнение?

Всичко зависи от апетита на ученика. Ако той купи 6 торти и 5 чаши кафе, тогава корените на уравнението ще бъдат числата 6 и 5.

Твърди се, че двойката стойности 6 и 5 са корените на уравнение 25 х+ 10г= 200. Записано като (6; 5), като първото число е стойността на променливата х, а втората - стойността на променливата г .

6 и 5 не са единствените корени, които обръщат Уравнение 25 х+ 10г= 200 за самоличност. Ако желаете, за същите 200 рубли студентът може да купи 4 торти и 10 чаши кафе:

В този случай корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 е двойката стойности (4; 10).

Освен това студентът може изобщо да не купува кафе, но да купува торти за всичките 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще бъдат стойностите 8 и 0

Или обратното, не купувайте торти, а купете кафе за всичките 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще бъдат стойностите 0 и 20

Нека се опитаме да изброим всички възможни корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Нека се съгласим, че ценностите хи гпринадлежат на множеството от цели числа. И нека тези стойности са по-големи или равни на нула:

х∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Така ще бъде удобно и за самия ученик. По-удобно е да купувате торти цели, отколкото например няколко цели торти и половин торта. Освен това кафето е по-удобно да се приема в цели чаши, отколкото например няколко цели чаши и половин чаша.

Имайте предвид, че за странно хневъзможно е да се постигне равенство при никакви обстоятелства г. След това стойностите хще има следните числа 0, 2, 4, 6, 8. И знаейки хможе лесно да се определи г

Така получихме следните двойки стойности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Тези двойки са решения или корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Те превръщат това уравнение в тъждество.

Типово уравнение брадва + от = cНаречен линейно уравнение с две променливи. Решение или корени на това уравнение е двойка стойности ( х; г), което го превръща в идентичност.

Обърнете внимание също, че ако линейно уравнение с две променливи е написано като ax + b y = c,тогава казват, че е написано в каноничен(нормална) форма.

Някои линейни уравнения с две променливи могат да бъдат редуцирани до канонична форма.

Например уравнението 2(16х+ 3д- 4) = 2(12 + 8х − г) може да се доведе до ума брадва + от = c. Нека отворим скобите в двете части на това уравнение, получаваме 32х + 6г − 8 = 24 + 16х − 2г . Членовете, съдържащи неизвестни, са групирани от лявата страна на уравнението, а термините без неизвестни са групирани отдясно. Тогава получаваме 32х - 16х+ 6г+ 2г = 24 + 8 . Внасяме подобни членове в двете части, получаваме уравнение 16 х+ 8г= 32. Това уравнение се свежда до формата брадва + от = cи е каноничен.

Уравнение 25, разгледано по-рано х+ 10г= 200 също е линейно уравнение с две променливи в канонична форма. В това уравнение параметрите а , bи ° Сса равни на стойностите съответно 25, 10 и 200.

Всъщност уравнението брадва + от = cима безкраен брой решения. Решаване на уравнението 25х+ 10г= 200, търсихме неговите корени само в множеството от цели числа. В резултат на това получихме няколко двойки стойности, които превърнаха това уравнение в идентичност. Но на снимачната площадка рационални числауравнение 25 х+ 10г= 200 ще има безкраен брой решения.

За да получите нови двойки стойности, трябва да вземете произволна стойност за х, след това изразете г. Например, нека вземем променлива хстойност 7. След това получаваме уравнение с една променлива 25×7 + 10г= 200 в който да изразя г

Позволявам х= 15. Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × 15 + 10г= 200. От тук намираме това г = −17,5

Позволявам х= −3 . Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × (−3) + 10г= 200. От тук намираме това г = −27,5

Система от две линейни уравнения с две променливи

За уравнението брадва + от = cможете да вземете произволен брой произволни стойности за хи намерете стойности за г. Взето отделно, такова уравнение ще има безкраен брой решения.

Но също така се случва, че променливите хи гсвързани не с едно, а с две уравнения. В този случай те образуват т.нар система линейни уравненияс две променливи. Такава система от уравнения може да има една двойка стойности (или с други думи: „едно решение“).

Възможно е също така системата да няма никакви решения. Система от линейни уравнения може да има безкраен брой решения в редки и изключителни случаи.

Две линейни уравнения образуват система, когато стойностите хи гса включени във всяко от тези уравнения.

Нека се върнем към първото уравнение 25 х+ 10г= 200. Една от двойките стойности за това уравнение беше двойката (6; 5) . Такъв е случаят, когато за 200 рубли могат да се купят 6 торти и 5 чаши кафе.

Съставяме задачата така, че двойката (6; 5) да стане единственото решение за уравнение 25 х+ 10г= 200. За да направим това, ние съставяме друго уравнение, което ще свърже същото хторти и гчаши кафе.

Нека поставим текста на задачата по следния начин:

„Един ученик купи няколко торти и няколко чаши кафе за 200 рубли. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе е купил ученикът, ако се знае, че броят на тортите е с една повече от броя на чашите кафе?

Вече имаме първото уравнение. Това е уравнение 25 х+ 10г= 200. Сега нека напишем уравнение за условието "броят на тортите е с една единица повече от броя на чашите кафе" .

Броят на тортите е х, а броят на чашите кафе е г. Можете да напишете тази фраза, като използвате уравнението x − y= 1. Това уравнение би означавало, че разликата между сладкиши и кафе е 1.

x=y+ 1 . Това уравнение означава, че броят на тортите е с едно повече от броя на чашите кафе. Следователно, за да се получи равенство, към броя на чашите кафе се добавя единица. Това може лесно да се разбере, ако използваме тегловния модел, който разгледахме при изучаването на най-простите задачи:

Получих две уравнения: 25 х+ 10г= 200 и x=y+ 1. Тъй като стойностите хи г, а именно 6 и 5 са включени във всяко от тези уравнения, тогава заедно те образуват система. Нека запишем тази система. Ако уравненията образуват система, тогава те са рамкирани със знака на системата. Системният знак е фигурна скоба:

Нека решим тази система. Това ще ни позволи да видим как стигаме до стойностите 6 и 5. Има много методи за решаване на такива системи. Помислете за най-популярните от тях.

Метод на заместване

Името на този метод говори само за себе си. Същността му е да замести едно уравнение в друго, като предварително е изразила една от променливите.

В нашата система нищо не трябва да се изразява. Във второто уравнение х = г+ 1 променлива хвече изразени. Тази променлива е равна на израза г+ 1 . След това можете да замените този израз в първото уравнение вместо променливата х

След заместване на израза гВместо това + 1 в първото уравнение х, получаваме уравнението 25(г+ 1) + 10г= 200 . Това е линейно уравнение с една променлива. Това уравнение е доста лесно за решаване:

Намерихме стойността на променливата г. Сега заместваме тази стойност в едно от уравненията и намираме стойността х. За това е удобно да се използва второто уравнение х = г+ 1 . Нека поставим стойността в него г

Така че двойката (6; 5) е решение на системата от уравнения, както възнамерявахме. Проверяваме и се уверяваме, че двойката (6; 5) удовлетворява системата:

Пример 2

Заместете първото уравнение х= 2 + гвъв второто уравнение 3 х - 2г= 9 . В първото уравнение променливата хе равно на израза 2 + г. Вместо това заместваме този израз във второто уравнение х

Сега нека намерим стойността х. За да направите това, заменете стойността гв първото уравнение х= 2 + г

Така че решението на системата е стойността на двойката (5; 3)

Пример 3. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:

Тук, за разлика от предишните примери, една от променливите не е изрично изразена.

За да замените едно уравнение в друго, първо трябва .

Желателно е да се изрази променливата с коефициент единица. Коефициентната единица има променлива х, който се съдържа в първото уравнение х+ 2г= 11. Нека изразим тази променлива.

След променлив израз х, нашата система ще изглежда така:

Сега заместваме първото уравнение във второто и намираме стойността г

Заместител г х

Така че решението на системата е двойка стойности (3; 4)

Разбира се, можете също да изразите променлива г. Корените няма да се променят. Но ако изразите y,резултатът не е много просто уравнение, чието решение ще отнеме повече време. Ще изглежда така:

Виждаме, че в този пример за изразяване хмного по-удобно от изразяването г .

Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:

Изразете в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:

Заместител гв първото уравнение и намерете х. Можете да използвате оригиналното уравнение 7 х+ 9г= 8 или използвайте уравнението, в което е изразена променливата х. Ще използваме това уравнение, тъй като е удобно:

Така че решението на системата е двойката стойности (5; −3)

Метод на добавяне

Методът на добавяне е да се добавят член по член уравненията, включени в системата. Това добавяне води до ново уравнение с една променлива. И е доста лесно да се реши това уравнение.

Нека решим следната система от уравнения:

Добавете лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. Получаваме следното равенство:

Ето подобни термини:

В резултат получихме най-простото уравнение 3 х= 27, чийто корен е 9. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Заместете стойността хвъв второто уравнение x − y= 3 . Получаваме 9 − г= 3 . Оттук г= 6 .

Така че решението на системата е двойка стойности (9; 6)

Пример 2

Добавете лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. В полученото равенство представяме подобни термини:

В резултат на това получихме най-простото уравнение 5 х= 20, чийто корен е 4. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Заместете стойността хв първото уравнение 2 x+y= 11. Да вземем 8 + г= 11. Оттук г= 3 .

Така че решението на системата е двойката стойности (4;3)

Процесът на добавяне не е описан подробно. Трябва да се направи в ума. При събиране и двете уравнения трябва да бъдат приведени до канонична форма. Тоест на ума ac+от=c .

От разгледаните примери се вижда, че основната цел на добавянето на уравнения е да се отървем от една от променливите. Но не винаги е възможно веднага да се реши системата от уравнения чрез метода на добавяне. Най-често системата е предварително доведена до форма, в която е възможно да се добавят уравненията, включени в тази система.

Например системата може да се реши директно чрез метода на добавяне. При добавяне на двете уравнения, членовете ги −yизчезват, защото сборът им е нула. В резултат на това се формира най-простото уравнение 11 х= 22 , чийто корен е 2. Тогава ще бъде възможно да се определи гравно на 5.

И системата от уравнения методът на добавяне не може да бъде решен веднага, тъй като това няма да доведе до изчезване на една от променливите. Добавянето ще доведе до Уравнение 8 х+ г= 28 , което има безкраен брой решения.

Ако двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото. Това правило е валидно и за система от линейни уравнения с две променливи. Едно от уравненията (или и двете уравнения) може да се умножи по някакво число. Резултатът е еквивалентна система, чиито корени ще съвпадат с предишната.

Да се върнем към първата система, която описва колко торти и чаши кафе е купил ученикът. Решението на тази система беше двойка стойности (6; 5).

Ние умножаваме двете уравнения, включени в тази система, с някои числа. Да кажем, че умножаваме първото уравнение по 2 и второто по 3

Резултатът е система
Решението на тази система все още е двойката стойности (6; 5)

Това означава, че уравненията, включени в системата, могат да бъдат приведени до форма, подходяща за прилагане на метода на добавяне.

Обратно към системата , което не можахме да решим чрез метода на добавяне.

Умножете първото уравнение по 6 и второто по −2

Тогава получаваме следната система:

Добавяме уравненията, включени в тази система. Добавяне на компоненти 12 хи -12 хще доведе до 0, добавяне 18 ги 4 гще даде 22 ги добавянето на 108 и −20 дава 88. След това получавате уравнението 22 г= 88, следователно г = 4 .

Ако в началото ви е трудно да добавяте уравнения наум, тогава можете да запишете как лявата страна на първото уравнение се добавя към лявата страна на второто уравнение и дясната страна на първото уравнение към дясната страна на второ уравнение:

Знаейки, че стойността на променливата ге 4, можете да намерите стойността х. Заместител гв едно от уравненията, например в първото уравнение 2 х+ 3г= 18. Тогава получаваме уравнение с една променлива 2 х+ 12 = 18 . Прехвърляме 12 от дясната страна, променяйки знака, получаваме 2 х= 6, следователно х = 3 .

Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Умножете второто уравнение по −1. Тогава системата ще приеме следния вид:

Нека съберем и двете уравнения. Добавяне на компоненти хи −xще доведе до 0, добавяне 5 ги 3 гще даде 8 ги добавянето на 7 и 1 дава 8. Резултатът е уравнение 8 г= 8 , чийто корен е 1. Знаейки, че стойността ге 1, можете да намерите стойността х .

Заместител гв първото уравнение, получаваме х+ 5 = 7, следователно х= 2

Пример 5. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Желателно е термините, съдържащи еднакви променливи, да са разположени един под друг. Следователно във второто уравнение членовете 5 ги −2 хсменят местата. В резултат на това системата ще приеме формата:

Умножете второто уравнение по 3. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането получаваме уравнение 8 г= 16, чийто корен е 2.

Заместител гв първото уравнение получаваме 6 х− 14 = 40 . Прехвърляме термина −14 от дясната страна, променяйки знака, получаваме 6 х= 54 . Оттук х= 9.

Пример 6. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Да се отървем от дробите. Умножете първото уравнение по 36, а второто по 12

В получената система първото уравнение може да се умножи по −5, а второто по 8

Нека добавим уравненията в получената система. Тогава получаваме най-простото уравнение −13 г= −156 . Оттук г= 12. Заместител гв първото уравнение и намерете х

Пример 7. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Привеждаме двете уравнения в нормална форма. Тук е удобно да се приложи правилото за пропорцията и в двете уравнения. Ако в първото уравнение дясната страна е представена като , а дясната страна на второто уравнение като , тогава системата ще приеме формата:

Имаме пропорция. Умножаваме неговите крайни и средни членове. Тогава системата ще приеме формата:

Умножаваме първото уравнение по −3 и отваряме скобите във второто:

Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на добавянето на тези уравнения получаваме равенство, в двете части на което ще има нула:

Оказва се, че системата има безкраен брой решения.

Но не можем просто да вземем произволни стойности от небето за хи г. Можем да посочим една от стойностите, а другата ще бъде определена в зависимост от зададената от нас стойност. Например, нека х= 2. Заменете тази стойност в системата:

В резултат на решаването на едно от уравненията стойността за г, което ще задоволи и двете уравнения:

Получената двойка стойности (2; −2) ще задоволи системата:

Нека намерим друга двойка стойности. Позволявам х= 4. Заместете тази стойност в системата:

Може да се определи на око, че ге равно на нула. След това получаваме двойка стойности (4; 0), която удовлетворява нашата система:

Пример 8. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:

Умножете първото уравнение по 6, а второто по 12

Нека пренапишем това, което е останало:

Умножете първото уравнение по −1. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането се образува уравнение 6 b= 48 , чийто корен е 8. Заместете bв първото уравнение и намерете а

Система от линейни уравнения с три променливи

Линейно уравнение с три променливи включва три променливи с коефициенти, както и пресечна точка. В канонична форма може да се напише по следния начин:

брадва + от + cz = d

Това уравнение има безкраен брой решения. Даване на две променливи различни значения, можете да намерите третата стойност. Решението в този случай е тройната стойност ( х; y; z), което превръща уравнението в идентичност.

Ако променливите x, y, zса свързани помежду си с три уравнения, тогава се образува система от три линейни уравнения с три променливи. За да решите такава система, можете да приложите същите методи, които се прилагат за линейни уравнения с две променливи: метод на заместване и метод на добавяне.

Пример 1. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:

Изразяваме в третото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека направим замяната. Променлива хе равно на израза 3 − 2г − 2z . Заместете този израз в първото и второто уравнения:

Нека отворим скобите в двете уравнения и да дадем подобни термини:

Стигнахме до система от линейни уравнения с две променливи. В този случай е удобно да се приложи методът на добавяне. В резултат на това променливата гще изчезне и можем да намерим стойността на променливата z

Сега нека намерим стойността г. За това е удобно да се използва уравнението − г+ z= 4. Заместете стойността z

Сега нека намерим стойността х. За това е удобно да използвате уравнението х= 3 − 2г − 2z . Заменете стойностите в него ги z

По този начин тройката от стойности (3; −2; 2) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности задоволяват системата:

Пример 2. Решете системата чрез събиране

Нека съберем първото уравнение с второто, умножено по −2.

Ако второто уравнение се умножи по −2, то ще приеме формата −6х+ 6д- 4z = −4 . Сега го добавете към първото уравнение:

Виждаме, че в резултат на елементарни трансформации се определя стойността на променливата х. То е равно на едно.

Да се върнем към основната система. Нека съберем второто уравнение с третото, умножено по −1. Ако третото уравнение се умножи по −1, то ще приеме формата −4х + 5г − 2z = −1 . Сега го добавете към второто уравнение:

Разбрах уравнението х - 2г= −1 . Заместете стойността в него хкоито открихме по-рано. Тогава можем да определим стойността г

Вече знаем стойностите хи г. Това ви позволява да определите стойността z. Използваме едно от уравненията, включени в системата:

По този начин тройната стойност (1; 1; 1) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности задоволяват системата:

Задачи за съставяне на системи линейни уравнения

Задачата за съставяне на системи от уравнения се решава чрез въвеждане на няколко променливи. След това се съставят уравнения въз основа на условията на проблема. От съставените уравнения съставят система и я решават. След решаването на системата е необходимо да се провери дали нейното решение отговаря на условията на проблема.

Задача 1. Кола Волга напусна града за колхоза. Тя се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия. Общо колата е изминала 35 км в двете посоки. Колко километра е дълъг всеки път?

Решение

Позволявам х-дължина на първия път, г- дължината на втория. Ако колата е изминала 35 км в двете посоки, тогава първото уравнение може да бъде написано като х+ г= 35. Това уравнение описва сумата от дължините на двата пътя.

Говори се, че колата се връщала обратно по пътя, който бил по-къс от първия с 5 км. Тогава второто уравнение може да бъде написано като х− г= 5. Това уравнение показва, че разликата между дължините на пътищата е 5 км.

Или второто уравнение може да бъде написано като х= г+ 5 . Ще използваме това уравнение.

Тъй като променливите хи гв двете уравнения означават едно и също число, тогава можем да формираме система от тях:

Нека решим тази система, като използваме един от предварително изучените методи. В този случай е удобно да се използва методът на заместване, тъй като във второто уравнение променливата хвече изразени.

Заместете второто уравнение в първото и намерете г

Заместете намерената стойност гвъв второто уравнение х= г+ 5 и намерете х

Дължината на първия път беше означена с променливата х. Сега открихме значението му. Променлива хе 20. Така че дължината на първия път е 20 км.

И дължината на втория път беше обозначена с г. Стойността на тази променлива е 15. Така че дължината на втория път е 15 км.

Да направим проверка. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:

Сега нека проверим дали решението (20; 15) удовлетворява условията на задачата.

Беше казано, че общо колата е изминала 35 км в двете посоки. Събираме дължините на двата пътя и се уверяваме, че решението (20; 15) удовлетворява това условие: 20 км + 15 км = 35 км

Следващото условие: колата се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия . Виждаме, че решението (20; 15) също удовлетворява това условие, тъй като 15 km е по-късо от 20 km с 5 km: 20 км − 15 км = 5 км

При компилирането на система е важно променливите да означават едни и същи числа във всички уравнения, включени в тази система.

Така че нашата система съдържа две уравнения. Тези уравнения от своя страна съдържат променливите хи г, които означават едни и същи числа в двете уравнения, а именно дължините на пътищата, равни на 20 km и 15 km.

Задача 2. На платформата бяха натоварени дъбови и чамови траверси, общо 300 бр. Известно е, че всички дъбови траверси са тежали с 1 тон по-малко от всички борови траверси. Определете колко дъбови и борови траверси са били поотделно, ако всеки дъбов траверс е тежал 46 kg, а всеки чамов траверс е 28 kg.

Решение

Позволявам хдъб и гчамови траверси бяха натоварени на платформата. Ако имаше общо 300 траверси, тогава първото уравнение може да бъде написано като x+y = 300 .

Всички дъбови траверси тежаха 46 хкг, а борът тежеше 28 гкилограма. Тъй като дъбовите траверси тежаха с 1 тон по-малко от боровите траверси, второто уравнение може да бъде написано като 28д- 46х= 1000 . Това уравнение показва, че масовата разлика между дъбови и борови траверси е 1000 kg.

Тоновете са превърнати в килограми, тъй като масата на дъбовите и борови траверси се измерва в килограми.

В резултат на това получаваме две уравнения, които образуват системата

Нека решим тази система. Изразете в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:

Заместете първото уравнение във второто и намерете г

Заместител гв уравнението х= 300 − ги разберете какво х

Това означава, че на платформата са натоварени 100 дъбови и 200 чамови траверси.

Нека проверим дали решението (100; 200) удовлетворява условията на задачата. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:

Говореше се, че имало общо 300 спящи. Събираме броя на дъбовите и борови траверси и се уверяваме, че решението (100; 200) отговаря на това условие: 100 + 200 = 300.

Следващото условие: всички дъбови траверси тежаха с 1 тон по-малко от всички борови . Виждаме, че решението (100; 200) също удовлетворява това условие, тъй като 46 × 100 kg дъбови траверси са по-леки от 28 × 200 kg борови траверси: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.

Задача 3. Взехме три парчета от сплав от мед и никел в съотношения 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тегло. От тях парче с тегло 12 kg беше слято със съотношение на съдържание на мед и никел 4:1. Намерете масата на всяка оригинална част, ако масата на първата от тях е два пъти по-голяма от масата на втората.

където х* - едно от решенията на нехомогенната система (2) (например (4)), (E−A + A)образува ядрото (нулево пространство) на матрицата А.

Нека направим скелетно разлагане на матрицата (E−A + A):

E−A + A=Q S

където Q n×n−r- рангова матрица (Q)=n−r, С n−r×n-рангова матрица (S)=n−r.

Тогава (13) може да се запише в следния вид:

x=x*+Qk, ∀ к ∈ R n-r .

където k=Sz.

Така, обща процедура за решениесистема от линейни уравнения с помощта на псевдо обратна матрицаможе да се представи в следната форма:

Изчислете псевдообратната матрица А + .
Изчисляваме конкретно решение на нехомогенната система от линейни уравнения (2): х*=А + b.
Проверяваме съвместимостта на системата. За това изчисляваме АА + b. Ако АА + b≠b, тогава системата е непоследователна. В противен случай продължаваме процедурата.
vyssylyaem E−A+A.
Извършване на разлагане на скелета E−A + A=Q·S.
Изграждане на решение

x=x*+Qk, ∀ к ∈ R n-r .

Решаване на система от линейни уравнения онлайн

Онлайн калкулаторът ви позволява да намерите общото решение на система от линейни уравнения с подробни обяснения.

§едно. Системи линейни уравнения.

система за преглед

наречена система млинейни уравнения с ннеизвестен.

Тук
- неизвестен, - коефициенти за неизвестни,
- свободни членове на уравненията.

Ако всички свободни членове на уравненията са равни на нула, системата се нарича хомогенен.Решениесистема се нарича набор от числа
, при заместването им в системата вместо неизвестни, всички уравнения се превръщат в идентичности. Системата се нарича ставаако има поне едно решение. Ставна система с уникално решение се нарича определени. Двете системи се наричат еквивалентенако множествата на техните решения са еднакви.

Система (1) може да бъде представена в матрична форма с помощта на уравнението

(2)

§2. Съвместимост на системи от линейни уравнения.

Ние наричаме разширената матрица на система (1) матрица

Теорема на Кронекер - Капели. Система (1) е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица:

§3. Системно решениен линейни уравнения сн неизвестен.

Помислете за нехомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестен:

(3)

Теорема на Крамър.Ако основната детерминанта на системата (3)
, тогава системата има уникално решение, определено от формулите:

тези.
,

където - детерминантата, получена от детерминантата замяна та колона към колоната на безплатните членове.

Ако
, и поне един от ≠0, тогава системата няма решения.

Ако
, тогава системата има безкрайно много решения.

Система (3) може да бъде решена с нейната матрична нотация (2). Ако рангът на матрицата НОсе равнява н, т.е.
, след това матрицата НОима обратно
. Умножение на матричното уравнение
да се матрица
отляво получаваме:

Последното равенство изразява начин за решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.

Пример.Решете системата от уравнения, като използвате обратната матрица.

Решение. Матрица
неизродени, т.к
, така че има обратна матрица. Нека изчислим обратната матрица:
.

Упражнение. Решете системата по метода на Крамер.

§ четири. Решаване на произволни системи линейни уравнения.

Нека е дадена нехомогенна система от линейни уравнения от вида (1).

Да приемем, че системата е последователна, т.е. условието на теоремата на Кронекер-Капели е изпълнено:
. Ако рангът на матрицата
(до броя на неизвестните), тогава системата има уникално решение. Ако
, тогава системата има безкрайно много решения. Нека обясним.

Нека рангът на матрицата r(А)= r< н. Тъй като
, тогава съществува някакъв ненулев минор от ред r. Нека го наречем основен минор. Неизвестни, чиито коефициенти се образуват основен минор, ще наречем основните променливи. Останалите неизвестни се наричат свободни променливи. Пренареждаме уравненията и преномерираме променливите, така че този минор да се намира в горния ляв ъгъл на системната матрица:

Първо rредове са линейно независими, останалите се изразяват чрез тях. Следователно тези линии (уравнения) могат да бъдат отхвърлени. Получаваме:

Даваме произволни свободни променливи числови стойности: . Оставяме само основните променливи от лявата страна и преместваме свободните променливи от дясната страна.

Имам система rлинейни уравнения с rнеизвестен, чиято детерминанта е различна от 0. Има уникално решение.

Тази система се нарича общо решение на системата от линейни уравнения (1). В противен случай: изразяването на основните променливи по отношение на свободните се извиква общо решениесистеми. От него можете да получите безкраен брой частни решения, давайки на свободните променливи произволни стойности. Извиква се конкретно решение, получено от общо решение при нулеви стойности на свободните променливи основно решение. Броят на различните основни решения не надвишава
. Нарича се базисно решение с неотрицателни компоненти основенсистемно решение.

Пример.

,r=2.

Променливи
- основен,
- Безплатно.

Нека добавим уравненията; експресен
през
:

- общо решение.

- частно решение
.

- основно решение, основно.

§5. Метод на Гаус.

Методът на Гаус е универсален метод за изследване и решаване на произволни системи от линейни уравнения. Състои се в привеждане на системата в диагонална (или триъгълна) форма чрез последователно елиминиране на неизвестни с помощта на елементарни трансформации, които не нарушават еквивалентността на системите. Една променлива се счита за изключена, ако се съдържа само в едно уравнение на системата с коефициент 1.

Елементарни трансформациисистеми са:

Умножение на уравнение с различно от нула число;

Добавяне на уравнение, умножено по произволно число, с друго уравнение;

Пренареждане на уравнения;

Отпадане на уравнението 0 = 0.

Елементарни трансформации могат да се извършват не върху уравнения, а върху разширени матрици на получените еквивалентни системи.

Пример.

Решение.Записваме разширената матрица на системата:

Извършвайки елементарни трансформации, ние привеждаме лявата страна на матрицата към единичната форма: ще създадем единици на главния диагонал и нули извън него.

Коментирайте. Ако при извършване на елементарни трансформации уравнение от формата 0 = k(където да се0), тогава системата е непоследователна.

Решаването на системи от линейни уравнения чрез метода на последователно елиминиране на неизвестни може да бъде формализирано във формата маси.

Лявата колона на таблицата съдържа информация за изключените (основни) променливи. Останалите колони съдържат коефициентите на неизвестните и свободните членове на уравненията.

Разширената матрица на системата се записва в изходната таблица. След това преминете към изпълнението на трансформациите на Йордан:

1. Изберете променлива , което ще стане основата. Съответната колона се нарича ключова колона. Изберете уравнение, в което тази променлива ще остане, като бъде изключена от други уравнения. Съответният ред на таблицата се нарича ключов ред. Коефициент , стоящ в пресечната точка на ключовия ред и ключовата колона, се нарича ключ.

2. Елементите на ключовия низ са разделени от ключовия елемент.

3. Ключовата колона се запълва с нули.

4. Останалите елементи се изчисляват по правилото на правоъгълника. Те образуват правоъгълник, в противоположните върхове на който има ключов елемент и преизчислен елемент; от произведението на елементите по диагонала на правоъгълника с ключовия елемент се изважда произведението на елементите на друг диагонал, получената разлика се дели на ключовия елемент.

Пример. Намерете общото решение и основното решение на системата от уравнения:

Решение.

Общо решение на системата:

Основно решение:
.

Еднократната заместваща трансформация позволява да се премине от една база на системата към друга: вместо една от основните променливи в основата се въвежда една от свободните променливи. За целта се избира ключов елемент в колоната със свободни променливи и трансформациите се извършват съгласно горния алгоритъм.

§6. Намиране на решения за поддръжка

Еталонното решение на система от линейни уравнения е основно решение, което не съдържа отрицателни компоненти.

Опорните решения на системата се намират по метода на Гаус при следните условия.

1. В оригиналната система всички безплатни условия трябва да са неотрицателни:
.

2. Ключовият елемент се избира сред положителни коефициенти.

3. Ако променливата, въведена в основата, има няколко положителни коефициента, тогава ключовият низ е този, в който отношението на свободния член към положителния коефициент е най-малко.

Забележка 1. Ако в процеса на елиминиране на неизвестните се появи уравнение, в което всички коефициенти са неположителни, а свободният член
, тогава системата няма неотрицателни решения.

Забележка 2. Ако в колоните с коефициенти за свободни променливи няма нито един положителен елемент, тогава преходът към друго референтно решение е невъзможен.

Пример.

Решение. А= . Намерете r(A). защото матрицаТогава A има ред 3x4 най-висок порядъкминори е 3. В този случай всички минори от трети ред са равни на нула (проверете сами). Средства, r(А)< 3. Возьмем главный основен минор = -5-4 = -9 ≠ 0. Следователно r(A) =2.

Обмисли матрица ОТ = .

Малка терца поръчка ≠ 0. Следователно, r(C) = 3.

Тъй като r(A) ≠ r(C) , тогава системата е непоследователна.

Пример 2Определете съвместимостта на системата от уравнения

Решете тази система, ако е последователна.

Решение.

A = , C = . Очевидно r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Тъй като detC = 0, то r(C)< 4. Обмисли незначителен трети поръчка, разположен в горния ляв ъгъл на матрицата A и C: = -23 ≠ 0. Следователно, r(A) = r(C) = 3.

Номер неизвестен в системата n=3. Така че системата има уникално решение. В този случай четвъртото уравнение е сумата от първите три и може да бъде игнорирано.

Според формулите на Крамерполучаваме x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Матричен метод. Метод на Гаус

система нлинейни уравненияс ннеизвестните могат да бъдат решени матричен методпо формулата X \u003d A -1 B (за Δ ≠ 0), което се получава от (2) чрез умножаване на двете части по A -1 .

Пример 1. Решете система от уравнения

чрез матричния метод (в раздел 2.2 тази система беше решена с помощта на формулите на Крамер)

Решение. Δ=10 ≠ 0 A = - неособена матрица.

= (проверете това сами, като направите необходимите изчисления).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Отговор: .

От практична гледна точкаматричен метод и формули Крамерса свързани с голямо количество изчисления, така че се дава предпочитание на Метод на Гаус, която се състои в последователно изключваненеизвестен. За целта системата от уравнения се свежда до еквивалентна система с триъгълна разширена матрица (всички елементи под главния диагонал са равни на нула). Тези действия се наричат директно движение. От получената триъгълна система променливите се намират чрез последователни замествания (назад).

Пример 2. Решете системата по метода на Гаус

(Тази система беше решена по-горе с помощта на формулата на Крамер и матричния метод).

Решение.

Директен ход. Пишем разширената матрица и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в триъгълна форма:

~ ~ ~ ~ .

Вземете система

Обратно движение.От последното уравнение намираме х 3 = -6 и заместете тази стойност във второто уравнение:

х 2 = - 11/2 - 1/4х 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

х 1 = 2 -х 2 + х 3 = 2+4-6 = 0.

Отговор: .

2.5. Общо решение на система от линейни уравнения

Нека е дадена система от линейни уравнения = b i(аз=). Нека r(A) = r(C) = r, т.е. системата е колаборативна. Всеки ненулев минор от порядък r е основен минор.Без загуба на общоприетост приемаме, че основният минор се намира в първите r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) редове и колони на матрицата A. Изхвърляне на последния m-r уравнениясистема, пишем съкратена система:

който е еквивалентен на оригинала. Нека назовем неизвестните x 1 ,….x rосновен и x r +1 ,…, x rсвободни и преместете членовете, съдържащи свободните неизвестни, в дясната страна на уравненията на съкратената система. Получаваме системата по отношение на основните неизвестни:

което за всеки набор от стойности на свободни неизвестни x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-rима единственото решение x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r),открити по правилото на Крамър.

Подходящо решениесъкратен и следователно оригиналната система има формата:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - общо решение на системата.

Ако дадем някои числени стойности на свободните неизвестни в общото решение, тогава получаваме решението линейна система, наречен частен .

Пример. Установете съвместимост и намерете цялостното решение на системата

Решение. А = , С = .

Така как r(A)= r(C) = 2 (вижте сами), тогава оригиналната система е съвместима и има безкраен брой решения (тъй като r< 4).

Да се изследва система от линейни възрастови уравнения (SLAE) за съвместимост означава да се установи дали тази система има решения или не. Е, ако има решения, тогава посочете колко от тях.

Ще ни е необходима информация от темата "Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична нотация". По-специално са необходими такива понятия като матрицата на системата и разширената матрица на системата, тъй като формулировката на теоремата на Кронекер-Капели се основава на тях. Както обикновено, матрицата на системата ще бъде обозначена с буквата $A$, а разширената матрица на системата с буквата $\widetilde(A)$.

Теорема на Кронекер-Капели

Линейна система алгебрични уравненияе последователен тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Нека ви напомня, че една система се нарича съвместна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогава има решение; ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава този SLAE няма решения (е непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. Твърдението на следствието използва буквата $n$, която е равна на броя на променливите в дадения SLAE.

Следствие от теоремата на Кронекер-Капели

Ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).
Ако $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Ако $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).

Имайте предвид, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решението на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.

Пример #1

Разгледайте SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ за последователност Ако SLAE е последователен, посочете броя на решенията.

За да открием съществуването на решения на даден SLAE, ние използваме теоремата на Kronecker-Capelli. Нуждаем се от матрицата на системата $A$ и разширената матрица на системата $\widetilde(A)$, записваме ги:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \край (масив)\вдясно). $$

Трябва да намерим $\rang A$ и $\rang\widetilde(A)$. Има много начини да направите това, някои от които са изброени в раздела Matrix Rank. Обикновено се използват два метода за изследване на такива системи: "Изчисляване на ранга на матрица по дефиниция" или "Изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации".

Метод номер 1. Изчисляване на рангове по дефиниция.

Според дефиницията рангът е най-високият ред на второстепенните елементи на матрицата, сред които има поне един, различен от нула. Обикновено изследването започва с минорите от първи ред, но тук е по-удобно да се премине веднага към изчисляването на минора от трети ред на матрицата $A$. Елементите на минор от трети ред са в пресечната точка на три реда и три колони на разглежданата матрица. Тъй като матрицата $A$ съдържа само 3 реда и 3 колони, минорът от трети порядък на матрицата $A$ е детерминантата на матрицата $A$, т.е. $\DeltaA$. За изчисляване на детерминанта прилагаме формула № 2 от темата "Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред":

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(масив) \right|=-21. $$

И така, има минор от трети ред на матрицата $A$, който не е равен на нула. Минор от 4-ти ред не може да бъде съставен, тъй като изисква 4 реда и 4 колони, а матрицата $A$ има само 3 реда и 3 колони. И така, най-високият порядък на минори на матрицата $A$, сред които има поне един ненулев, е равен на 3. Следователно $\rang A=3$.

Също така трябва да намерим $\rang\widetilde(A)$. Нека да разгледаме структурата на матрицата $\widetilde(A)$. До реда в матрицата $\widetilde(A)$ има елементи от матрицата $A$ и открихме, че $\Delta A\neq 0$. Следователно матрицата $\widetilde(A)$ има минор от трети ред, който не е равен на нула. Не можем да съставим минори от четвърти ред на матрицата $\widetilde(A)$, така че заключаваме: $\rang\widetilde(A)=3$.

Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, съгласно теоремата на Кронекер-Капели, системата е последователна, т.е. има решение (поне едно). За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е определена, т.е. има уникално решение.

Проблема решен. Какви са недостатъците и предимствата на насам? Първо, нека поговорим за плюсовете. Първо, трябваше да намерим само една детерминанта. След това веднага направихме заключение за броя на решенията. Обикновено в стандартните типични изчисления се дават системи от уравнения, които съдържат три неизвестни и имат едно решение. За такива системи този методмного удобно, защото знаем предварително, че има решение (в противен случай нямаше да има пример в типично изчисление). Тези. остава само да покажем, че има решение на най бърз начин. Второ, изчислената стойност на детерминанта на системната матрица (т.е. $\Delta A$) ще бъде полезна по-късно: когато започнем да решаваме дадената система с помощта на метода на Крамер или с помощта на обратната матрица.

Въпреки това, по дефиниция, методът за изчисляване на ранга е нежелан, ако системната матрица $A$ е правоъгълна. В този случай е по-добре да приложите втория метод, който ще бъде разгледан по-долу. Освен това, ако $\Delta A=0$, тогава няма да можем да кажем нищо за броя на решенията за даден нехомогенен SLAE. Може би SLAE има безкраен брой решения, а може би нито едно. Ако $\Delta A=0$, тогава е необходимо допълнително проучване, което често е тромаво.

Обобщавайки казаното, отбелязвам, че първият метод е добър за тези SLAE, чиято системна матрица е квадратна. В същото време самият SLAE съдържа три или четири неизвестни и се взема от стандартни стандартни изчисления или контролни работи.

Метод номер 2. Изчисляване на ранга по метода на елементарните трансформации.

Този метод е описан подробно в съответната тема. Ще изчислим ранга на матрицата $\widetilde(A)$. Защо матрици $\widetilde(A)$, а не $A$? Въпросът е, че матрицата $A$ е част от матрицата $\widetilde(A)$, така че чрез изчисляване на ранга на матрицата $\widetilde(A)$ ние едновременно ще намерим ранга на матрицата $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(разменете първи и втори ред)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(масив) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (масив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(масив) \right) \begin(масив) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(масив) \right) \end(aligned)

Редуцирахме матрицата $\widetilde(A)$ до трапецовидна форма. На главния диагонал на получената матрица $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ съдържа три ненулеви елемента: -1, 3 и -7. Заключение: рангът на матрицата $\widetilde(A)$ е 3, т.е. $\rank\widetilde(A)=3$. Правейки трансформации с елементите на матрицата $\widetilde(A)$, ние едновременно трансформирахме елементите на матрицата $A$, разположени преди линията. Матрицата $A$ също е трапецовидна: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Извод: рангът на матрицата $A$ също е равен на 3, т.е. $\ранг A=3$.

Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, съгласно теоремата на Кронекер-Капели, системата е последователна, т.е. има решение. За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е дефинирана, т.е. има уникално решение.

Какви са предимствата на втория метод? Основното предимство е неговата универсалност. За нас няма значение дали матрицата на системата е квадратна или не. В допълнение, ние действително извършихме трансформации на метода на Гаус напред. Остават само няколко стъпки и можем да получим решението на този SLAE. Честно казано, вторият начин ми харесва повече от първия, но изборът е въпрос на вкус.

Отговор: Даденият SLAE е последователен и дефиниран.

Пример #2

Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ за последователност.

Ще намерим ранговете на системната матрица и разширената матрица на системата по метода на елементарните трансформации. Разширена системна матрица: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Нека намерим необходимите рангове, като трансформираме разширената матрица на системата:

Разширената матрица на системата е сведена до стъпаловидна форма. Ако матрицата се редуцира до стъпаловидна форма, тогава нейният ранг е равен на броя на ненулевите редове. Следователно $\rank A=3$. Матрицата $A$ (до реда) е приведена до трапецовидна форма и нейният ранг е равен на 2, $\rang A=2$.

Тъй като $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава, съгласно теоремата на Кронекер-Капели, системата е непоследователна (т.е. няма решения).

Отговор: Системата е непоследователна.

Пример #3

Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ за съвместимост.

Разширената системна матрица е: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array)\right)$. Разменете първия и втория ред на тази матрица, така че първият елемент на първия ред да е едно: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Редуцирахме разширената матрица на системата и матрицата на самата система до трапецовидна форма. Рангът на разширената матрица на системата е равен на три, рангът на матрицата на системата също е равен на три. Тъй като системата съдържа $n=5$ неизвестни, т.е. $\rang\widetilde(A)=\ранг A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли тази системае безсрочен, т.е. има безкраен брой решения.

Отговор: системата е неопределена.

Във втората част ще анализираме примери, които често се включват в типични изчисления или тестови работивъв висшата математика: изследване на съвместимостта и решението на SLAE в зависимост от стойностите на параметрите, включени в него.