Таблица с локални теореми на Лаплас. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива
Формула на Бейс
Събитията B 1, B 2,…, B n са несъвместими и образуват пълна група, т.е. P(B 1)+ P(B 2)+...+ P(B n)=1. И нека събитие A се случи само когато се появи едно от събитията B 1,B 2,…,B n. Тогава вероятността за събитие А се намира с помощта на формулата за обща вероятност.
Нека събитие А вече се е случило. Тогава вероятностите на хипотези B 1, B 2,…, B n могат да бъдат надценени с помощта на формулата на Bayes:
Формула на Бернули
Нека се извършат n независими опита, при всяко от които събитие А може да се случи или да не се случи. Вероятността за настъпване (ненастъпване) на събитие А е същата и равна на p (q=1-p).
Вероятността в n независими опити събитие А да се случи точно веднъж (в зависимост от последователността) се намира с помощта на формулата на Бернули:
Вероятността дадено събитие да се случи в n независими опита е:
А). По-малко от пъти P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).
б). Повече от веднъж P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
V). поне пъти P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
Ж). не повече от k пъти P n (0)+P n (1)+…+P n (k).
Локални и интегрални теореми на Лаплас.
Използваме тези теореми, когато n е достатъчно голямо.
Локална теорема на Лаплас
Вероятността дадено събитие да се случи точно `k' пъти в n независими опита е приблизително равна на:
Функционална таблица за положителни стойности(x) е даден в проблемната книга на Гмурман в Приложение 1, стр. 324-325.
Тъй като () е четен, тогава за отрицателни стойности(x) използваме същата таблица.
Интегрална теорема на Лаплас.
Вероятността дадено събитие да се случи най-малко `k' пъти в n независими опита е приблизително равна на:
Функция на Лаплас
Таблицата на функциите за положителни стойности е дадена в книгата с проблеми на Gmurman в Приложение 2, стр. 326-327. За стойности по-големи от 5 задаваме Ф(х)=0,5.
Тъй като функцията на Лаплас е нечетна Ф(-х)=-Ф(х), тогава за отрицателни стойности (x) използваме същата таблица, само че вземаме стойностите на функцията със знак минус.
Дискретен закон за разпределение на вероятностите случайна величина
Биномен закон на разпределение.
Отделен- случайна променлива, чиито възможни стойности са отделни изолирани числа, които тази променлива приема с определени вероятности. С други думи, възможните стойности на дискретна случайна променлива могат да бъдат номерирани.
Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен.
Дискретните случайни променливи се означават с главни букви X, а възможните им стойности с малки букви x1, x2, x3...
Например.
X е броят на падналите точки зарове; X приема шест възможни стойности: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 с вероятности p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.
Закон за разпределение на дискретна случайна величинаназовете списък с неговите възможни стойности и съответните им вероятности.
Законът за разпределение може да бъде даден:
1. под формата на таблица.
2. Аналитично - под формата на формула.
3. графично. В този случай в правоъгълната XOP координатна система се построяват точки M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn). Тези точки са свързани с прави сегменти. Получената фигура се нарича разпределителен полигон.
За да напишете закона за разпределение на дискретна случайна променлива (x), е необходимо да изброите всичките й възможни стойности и да намерите съответните вероятности.
Ако съответните вероятности се намират с помощта на формулата на Бернули, тогава такъв закон на разпределение се нарича бином.
Примери № 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числени стойности на дискретни случайни променливи.
Очакване, дисперсия и стандартно отклонение.
Характеристиката на средната стойност на дискретна случайна променлива е очаквана стойност.
Математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности. Тези. ако е даден законът за разпределение, тогава математическото очакване
Ако броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива е безкраен, тогава
Освен това редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно и сумата от всички вероятности pi е равна на единица.
Свойства на математическото очакване.
1. M(C)=C, C=константа.
2. M(Cx)=CM(x)
3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)
4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).
5. За биномен закон на разпределение математическото очакване се намира по формулата:
Характеристики на дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около математическото очакване са дисперсията и стандартното отклонение.
Дисперсиядискретна случайна променлива (x) се нарича математическо очакване на квадрата на отклонението. D(x)=M(x-M(x)) 2.
Удобно е дисперсията да се изчисли по формулата: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.
Свойства на дисперсията.
1. D(S)=0, C=константа.
2. D(Cx)=C 2 D(x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Дисперсия на биномния закон на разпределение
Средно аритметично квадратно отклонение произволна променлива се нарича Корен квадратенот дисперсия.
примери. 191, 193, 194, 209, д/з.
Кумулативна функция на разпределение (CDF) на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (RCV). Непрекъснато- количество, което може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал. Има редица възможни стойности за NSV и той не може да бъде преномериран.
Например.
Разстоянието, което един снаряд изминава при изстрел, е NSV.
IFR се нарича функция F(x), която определя за всяка стойност x вероятността NSV X да приеме стойността X<х, т.е. F(x)=Р(X Често вместо IFR казват FR. Геометрично, равенството F(x)=P(X Свойства на IF. 1. Стойността IF принадлежи на интервала, т.е. F(x). 2. IF е ненамаляваща функция, т.е. x2>x1. Следствие 1. Вероятността NSV X да приеме стойност, съдържаща се в интервала (a; b), е равна на нарастването на интегралната функция на този интервал, т.е. P(a Следствие 2. Вероятността NSV X да приеме една конкретна стойност, например x1=0, е равна на 0, т.е. P(x=x1)=0. 3. Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a;c), тогава F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>V. Следствие 3. Валидни са следните гранични отношения. Диференциална функция на разпределение (DDF) на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (RNV) (плътност на вероятността). DF f(x)вероятностни разпределения на NSV се нарича първа производна на IFR: Често вместо PDR казват плътност на вероятността (PD). От дефиницията следва, че знаейки DF F(x), можем да намерим DF f(x). Но обратното преобразуване също се извършва: знаейки DF f(x), можете да намерите DF F(x). Намира се вероятността NSV X да приеме стойност, принадлежаща на (a;b): А). Ако е дадено IF, следствие 1. Б). Ако е посочен DF Свойства на DF. 1. DF - не е отрицателен, т.е. . 2. неправилният интеграл на DF в рамките на () е равен на 1, т.е. . Следствие 1. Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a;c), тогава. Примери. № 263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з. Числени характеристики на NSV. 1. Математическо очакване (ME) на NSV X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос OX, се определя по формулата: Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат на (a; c), тогава MO се определя по формулата: Всички свойства на MO, посочени за дискретни количества, се запазват и за непрекъснати количества. 2. Дисперсията на NSV X, чиито възможни стойности принадлежат към цялата ос OX, се определя по формулата: Ако всички възможни стойности на NSV X принадлежат към (a; c), тогава дисперсията се определя по формулата: Всички дисперсионни свойства, определени за дискретни количества, се запазват и за непрекъснати количества. 3. Стандартното отклонение на NSV X се определя по същия начин, както за дискретни величини: Примери. № 276, 279, X, д/з. Оперативно смятане (OC). ИЛИ е метод, който ви позволява да намалите операциите за диференциране и интегриране на функции до по-прости действия: умножение и деление по аргумента на така наречените изображения на тези функции. Използването на OI улеснява решаването на много проблеми. По-специално, проблемите на интегрирането на LDE с постоянни коефициенти и системи от такива уравнения, свеждайки ги до линейни алгебрични. Оригинали и изображения. Трансформации на Лаплас. f(t)-оригинал; F(p)-образ. Преходът f(t)F(p) се нарича Преобразуване на Лаплас. Преобразуването на Лаплас на функция f(t) се нарича F(p), в зависимост от комплексна променлива и се дефинира от формулата: Този интеграл се нарича интеграл на Лаплас. За сходимостта на този несобствен интеграл е достатъчно да се приеме, че в интервала f(t) е частично непрекъснат и за някои константи M>0 и удовлетворява неравенството Извиква се функция f(t) с такива свойства оригинален, а преходът от оригинала към неговото изображение се нарича Преобразуване на Лаплас. Свойства на трансформацията на Лаплас. Директното определяне на изображения с помощта на формула (2) обикновено е трудно и може да бъде значително улеснено чрез използване на свойствата на трансформацията на Лаплас. Нека F(p) и G(p) са образи съответно на оригиналите f(t) и g(t). Тогава са валидни следните свойства-отношения: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - свойство на хомогенност. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - свойство на адитивност. 3. f(t)F(p-) - теорема за изместване. преход на n-тата производна на оригинала в образ (теорема за диференциране на оригинала). Една от най-известните неелементарни функции, която се използва в математиката, в теорията на диференциалните уравнения, в статистиката и в теорията на вероятностите, е функцията на Лаплас. Решаването на проблеми с него изисква значителна подготовка. Нека разберем как можете да изчислите този индикатор с помощта на инструменти на Excel. Функцията на Лаплас има широки приложни и теоретични приложения. Например, доста често се използва за решаване на диференциални уравнения. Този термин има друго еквивалентно име - вероятностен интеграл. В някои случаи основата на решението е изграждането на таблица със стойности. В Excel този проблем се решава с помощта на оператора НОРМА.СТ.РАЗС.. Името му е съкращение от термина "нормално стандартно разпределение". Тъй като основната му задача е да върне стандартното нормално кумулативно разпределение в избраната клетка. Този оператор принадлежи към статистическата категория стандартни функции на Excel. В Excel 2007 и по-ранните версии на програмата този оператор се извикваше NORMSDIST. От съображения за съвместимост той се запазва в съвременните версии на приложенията. Но все пак те препоръчват използването на по-усъвършенстван аналог - НОРМА.СТ.РАЗС.. Синтаксис на оператора НОРМА.СТ.РАЗС.както следва: NORM.ST.DIST(z;интеграл) Наследен оператор NORMSDISTе написано така: NORMSDIST(z) Както можете да видите, в новата версия на съществуващия аргумент "Z"добавен аргумент "Интеграл". Трябва да се отбележи, че всеки аргумент е задължителен. Аргумент "Z"показва числената стойност, за която е конструирано разпределението. Аргумент "Интеграл"представлява булева стойност, която може да има представяне "ВЯРНО" ("1")или "ЛЪЖА" («0»)
. В първия случай функцията за кумулативно разпределение се връща в указаната клетка, а във втория случай се връща функцията за разпределение на теглото. За да извършите необходимото изчисление за променлива, използвайте следната формула: NORM.ST.DIST(z;интеграл(1))-0,5 Сега нека разгледаме използването на оператора, използвайки конкретен пример НОРМА.СТ.РАЗС.за решаване на конкретен проблем. Функцията на Лаплас е неелементарна функция и често се използва както в теорията на диференциалните уравнения и теорията на вероятностите, така и в статистиката. Функцията на Лаплас изисква определен набор от знания и обучение, тъй като ви позволява да решавате различни проблеми в областта на приложните и теоретичните приложения. Функцията на Лаплас често се използва за решаване на диференциални уравнения и често се нарича вероятностен интеграл. Нека да видим как тази функция може да се използва в Excel и как функционира. Вероятностният интеграл или функцията на Лаплас в Excel съответства на оператора „NORMSDIST“, който има синтаксис: „=NORMSDIST(z). В по-новите версии на програмата операторът също има името „NORM.ST.DIST.“ и леко модифициран синтаксис „=NORM.ST.DIST(z; интеграл).
Подредихме теорията. Да преминем към практиката. Нека да разгледаме използването на функцията на Лаплас в Excel. 1. Напишете стойност в клетка и вмъкнете функция в следващата. 2. Нека напишем ръчно функцията „=NORM.ST.DIST(B4;1). 3. Или използваме съветника за вмъкване на функции - отидете в категорията „Статични“ и посочете „Пълен азбучен списък. 4. В прозореца с аргументи на функцията, който се появява, посочете началните стойности. Нашата оригинална клетка ще отговаря за променливата „Z“ и ще вмъкне „1“ в „Интеграл“. Нашата функция ще върне функцията за кумулативно разпределение. 5. Получаваме готово решение на стандартното нормално интегрално разпределение за тази функция “NORM.ST.DIST”. Но това не е всичко, нашата цел беше да намерим функцията на Лаплас или вероятностния интеграл, така че нека изпълним още няколко стъпки. 6. Функцията на Лаплас предполага, че "0,5" трябва да се извади от стойността на получената функция. Добавяме необходимата операция към функцията. Натискаме "Enter" и получаваме крайното решение. Желаната стойност е правилна и бързо намерена. Excel лесно изчислява тази функция за всяка стойност на клетка, диапазон от клетки или препратки към клетки. Функцията “NORM.ST.DIST” е стандартен оператор за търсене на вероятностния интеграл или, както още се нарича, функцията на Лаплас.
2.1. Функция на Лаплас (интеграл на вероятността)има формата: Графиката на функцията на Лаплас е показана на фиг. 5. функция Е(х) таблично (вижте таблица 1 от приложенията). За да използвате тази таблица, трябва да знаете свойства на функцията на Лаплас: 1) Функция Ф( х) странно: Е(-х)= -Е(х). 2) Функция Е(х) монотонно нарастваща. 3) Е(0)=0. 4) Е(+¥
)=0,5; Е(-¥
)=-0,5. На практика можем да приемем, че за x³5 функцията Е(х)=0,5; за x £ -5 функция Е(х)=-0,5. 2.2.
Има и други форми на функцията на Лаплас: За разлика от тези форми функцията Е(х) се нарича стандартна или нормализирана функция на Лаплас. Свързан е с други форми на взаимоотношения: ПРИМЕР 2.Непрекъсната случайна променлива хима нормален закон на разпределение с параметри: м=3, с=4. Намерете вероятността в резултат на теста случайната променлива х: а) ще приеме стойността, съдържаща се в интервала (2; 6); б) ще приеме стойност по-малка от 2; в) ще приеме стойност, по-голяма от 10; г) да се отклоняват от математическото очакване със стойност, не по-голяма от 2. Илюстрирайте графично решението на задачата. Решение.а) Вероятността нормална случайна променлива хпопада в определения интервал ( а,б), Където а=2 и b=6, равно на: Стойности на функцията на Лаплас F(x)се определя съгласно таблицата, дадена в приложението, като се има предвид, че Е(–х)= –Е(х). b) Вероятността нормална случайна променлива хще приеме стойност по-малка от 2, равна на: в) Вероятността нормална случайна променлива хще приеме стойност, по-голяма от 10, равна на: г) Вероятността нормална случайна променлива х д=2, равно на: От геометрична гледна точка, изчислените вероятности са числено равни на защрихованите области под нормалната крива (виж Фиг. 6). Ориз. 6. Нормална крива за случайна величина х~н(3;4) Решение.Математическото очакване на случайни грешки е нула м хще се отклони от математическото очакване със стойност, по-малка от д=15, равно на: ПРИМЕР 4. Машината произвежда топки. Топката се счита за валидна, ако отклонението хдиаметърът на топката от проектния размер в абсолютна стойност е по-малък от 0,7 mm. Ако приемем, че случайната променлива хразпределени нормално със стандартно отклонение от 0,4 mm, намерете средния брой подходящи топки сред 100 произведени. Решение.Случайна стойност х- отклонение на диаметъра на топката от проектния размер. Математическото очакване на отклонението е нула, т.е. М(х)=м=0. След това вероятността нормална случайна променлива хще се отклони от математическото очакване със стойност, по-малка от д=0,7, равно на: От това следва, че приблизително 92 топки от 100 ще бъдат подходящи. ПРИМЕР 5.Докажете правило "3" с». Решение.Вероятността нормална случайна променлива хще се отклони от математическото очакване със стойност, по-малка от d= 3с, е равно на: ПРИМЕР 6.Случайна стойност хнормално разпределени с математическо очакване м=10. Вероятност за попадение хв интервала (10, 20) е равно на 0,3. Каква е вероятността за удар хв интервала (0, 10)? Решение.Нормалната крива е симетрична спрямо права линия х=м=10, следователно площите, ограничени отгоре от нормалната крива и отдолу от интервалите (0, 10) и (10, 20), са равни една на друга. Тъй като площите са числено равни на вероятностите за попадение хслед това на подходящия интервал. Тази статия е естествено продължение на урока за независими тестове, където се запознахме Формула на Бернулии работиха върху характерни примери по темата. Локалната и интегралната теореми на Лаплас (Moivre-Laplace) решават подобен проблем с тази разлика, че са приложими към достатъчно голям брой независими тестове. Няма нужда да замазвате думите „местен“, „интеграл“, „теореми“ - материалът се усвоява със същата лекота, с която Лаплас потупва къдравата глава на Наполеон. Ето защо, без никакви комплекси и предварителни коментари, нека веднага разгледаме демонстрационен пример: Монетата се хвърля 400 пъти. Намерете вероятността да получите глави 200 пъти. Според характерните особености тук трябва да се приложи Формула на Бернули – вероятността при независими опити случайно събитие да се случи точно веднъж; Във връзка с нашата задача: По този начин вероятността в резултат на 400 хвърляния на монети, глави да се появят точно 200 пъти: ...Спри, какво да правиш след това? Микрокалкулатора (поне моят) не успя да се справи с 400-та степен и капитулира пред факториели. Но не исках да изчислявам нещо чрез продукт =) Да използваме стандартна функция на Excel, който успя да обработи чудовището: . Искам да обърна внимание на полученото точносмисъл и такова решение изглежда идеално. На пръв поглед. Ето някои убедителни контрааргументи: – първо, софтуерът може да не е под ръка; Затова, скъпи читатели, в близко бъдеще очакваме: Ако вероятността за възникване на случайно събитие във всеки опит е постоянна, тогава вероятността събитието да се случи точно веднъж във всеки опит е приблизително равна на: Освен това, колкото по-голямо е, толкова по-добре изчислената вероятност ще се доближи до точната получена стойност (поне хипотетично)според формулата на Бернули. Препоръчителният минимален брой тестове е приблизително 50-100, в противен случай резултатът може да е далеч от истината. В допълнение, локалната теорема на Лаплас работи по-добре, колкото по-близо е вероятността до 0,5, и обратното - тя дава значителна грешка за стойности, близки до нула или единица. Поради тази причина друг критерий за ефективно използване на формулата Така например, ако , тогава прилагането на теоремата на Лаплас за 50 теста е оправдано. Но ако и , тогава също приближение (до точна стойност)ще бъде лошо. За защо и за специална функция Нека формализираме връзката с нашия пример: Проблем 1 Монетата се хвърля 400 пъти. Намерете вероятността главите да се приземят точно: а) 200 пъти; Откъде да започна решение? Първо, нека запишем известните количества, така че да са пред очите ни: – общ брой независими тестове; а) Нека намерим вероятността в серия от 400 хвърляния глави да се появят точно веднъж. Поради големия брой тестове използваме локалната теорема на Лаплас: На първата стъпка изчисляваме необходимата стойност на аргумента: След това намираме съответната стойност на функцията: . Това може да стане по няколко начина. На първо място, разбира се, преките изчисления предполагат себе си: Недостатъкът на директното изчисление е, че не всеки микрокалкулатор може да усвои експонентата, освен това изчисленията не са особено приятни и отнемат време. Защо страда толкова много? Използвайте тервер калкулатор (точка 4)и получавайте стойности незабавно! Освен това има таблица със стойност на функцията, което е в почти всяка книга по теория на вероятностите, по-специално в учебника В.Е. Гмурман. Ако все още не сте го изтеглили, изтеглете го - има много полезни неща там ;-) И не забравяйте да научите как да използвате таблицата (точно сега!)– подходящото компютърно оборудване може да не е винаги под ръка! На последния етап прилагаме формулата Както можете да видите, полученият резултат е много близък до точната стойност, изчислена от Формула на Бернули. b) Намерете вероятността в серия от 400 опита главите да се появят точно веднъж. Използваме локалната теорема на Лаплас. Едно, две, три - и готово: – желаната вероятност. Отговор: Следващият пример, както мнозина се досетиха, е посветен на раждането - и това трябва да решите сами :) Проблем 2 Вероятността да имате момче е 0,52. Намерете вероятността сред 100 новородени да има точно: а) 40 момчета, б) 50 момчета, в) 30 момичета. Закръглете резултатите до 4 знака след десетичната запетая. ...Изразът "независими тестове" звучи интересно тук =) Между другото, истински статистическа вероятностраждаемостта на момче в много региони на света варира от 0,51 до 0,52. Примерен пример за задача в края на урока. Всички забелязаха, че числата се оказаха доста малки и това не трябва да е подвеждащо - все пак говорим за индивидуални вероятности, местенстойности (оттук и името на теоремата). И има много такива стойности и, образно казано, вероятността „трябва да е достатъчна за всички“. Вярно, много събития ще почти невъзможно. Позволете ми да обясня горното, като използвам примера с монети: в поредица от четиристотин изпитания теоретично главите могат да падат от 0 до 400 пъти и тези събития образуват пълна група: Повечето от тези стойности обаче са нищожни, например вероятността главите да се появят 250 пъти вече е едно на десет милиона: . За стойности като От друга страна, скромните резултати не бива да се подценяват: ако става въпрос само за , тогава вероятността за кацане на глави, да речем, от 220 до 250 пъти, ще бъде много забележимо. Сега нека помислим: как да изчислим тази вероятност? Не бройте по теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събитияколичество: Тези стойности са много по-прости съчетавам. И комбинирането на нещо, както знаете, се нарича интеграция: Ако вероятността за възникване на случайно събитие във всеки опит е постоянна, тогава вероятността В този случай броят на тестовете, разбира се, също трябва да бъде достатъчно голям и вероятността да не е твърде малка/висока (приблизително), в противен случай приближението ще бъде маловажно или лошо. Функцията се извиква Функция на Лаплас, а стойностите му отново са обобщени в стандартна таблица ( намерете и се научете да работите с него!!). Микрокалкулаторът няма да помогне тук, тъй като интегралът не може да се комбинира. Но Excel има съответната функционалност - ползване точка 5 дизайнерско оформление. На практика най-често срещаните стойности са: Освен това функцията на Лаплас странно: Проблем 3 Вероятността стрелецът да уцели целта е 0,7. Намерете вероятността със 100 изстрела целта да бъде улучена от 65 до 80 пъти. Избрах най-реалистичния пример, иначе тук намерих няколко задачи, в които стрелецът изстрелва хиляди изстрели =) Решение: в този проблем, за който говорим повтарящи се независими тестове, а броят им е доста голям. Съгласно условието трябва да намерите вероятността целта да бъде ударена поне 65, но не повече от 80 пъти, което означава, че трябва да използвате интегралната теорема на Лаплас: , където За удобство нека пренапишем оригиналните данни в колона: Следователно теоремата на Лаплас ще даде добро приближение. Нека изчислим стойностите на аргументите: Използваме таблицата по-горе или дизайнерско оформление за terver (точка 5). Не пропускайте да се възползвате от нечетния номер на функцията!За всеки случай ще го напиша подробно: Отговор: Резултатът най-често се закръгля до 4 знака след десетичната запетая (отново според табличния формат). За да го решите сами: Проблем 4 В сградата има 2500 лампи, вероятността всяка от тях да се включи вечер е 0,5. Намерете вероятността поне 1250 и не повече от 1275 лампи да бъдат включени вечер. Приблизителна проба на окончателния дизайн в края на урока. Трябва да се отбележи, че разглежданите задачи много често се срещат в „безлична“ форма, например: Провежда се някакъв експеримент, при който може да се случи случайно събитие с вероятност 0,5. Експериментът се повтаря при непроменени условия 2500 пъти. Определете вероятността в 2500 експеримента събитието да се случи от 1250 до 1275 пъти И подобни формулировки са през покрива. Поради клиширания характер на задачите, те често се опитват да завоалират условието - това е "единственият шанс" по някакъв начин да разнообразят и усложнят решението: Проблем 5 В института се обучават 1000 студенти. Столовата разполага със 105 места. Всеки ученик отива в кафенето през голямото междучасие с вероятност 0,1. Каква е вероятността в един типичен учебен ден: а) трапезарията ще бъде пълна не повече от две трети; Бих искал да обърна внимание на важната клауза „в РЕДОВЕН учебен ден“ - тя гарантира, че ситуацията остава относително непроменена. След празниците значително по-малко студенти могат да дойдат в института и гладна делегация може да се спусне в „Деня на отворените врати“ =) Тоест, в „необичаен“ ден вероятностите ще бъдат значително различни. Решение: използваме интегралната теорема на Лаплас, където В тази задача: а) Нека изчислим колко места съставляват две трети от общия брой: места Нека намерим вероятността в един нормален учебен ден кафенето да бъде не повече от две трети пълно. Какво означава? Това означава, че през голямото междучасие ще идват от 0 до 70 човека. Това, че никой не идва или идват няколко студента – има събития практически невъзможно, обаче, за целите на прилагането на интегралната теорема на Лаплас, тези вероятности все пак трябва да се вземат предвид. По този начин: Нека изчислим съответните аргументи: Като резултат: Напомняне
: когато функцията на Лаплас се счита за равна на . Все пак е удоволствие на тълпата =) б) Събитие „Няма достатъчно места за всички“е, че от 106 до 1000 души ще идват в столовата за обяд през голямото междучасие (основното е да го уплътните добре =)).Ясно е, че високата посещаемост е невероятна, но въпреки това: Ние изчисляваме аргументите: По този начин вероятността да няма достатъчно места за всички е: Отговор: Сега нека се съсредоточим върху едно важен нюансметод: когато извършваме изчисления върху единичен сегмент, тогава всичко е „безоблачно“ - решете според разглеждания шаблон. Въпреки това, ако вземем предвид пълна група от събитиятрябва да се покаже определена точност. Позволете ми да обясня тази точка, използвайки примера на току-що обсъдения проблем. В точка “be” открихме вероятността да няма достатъчно места за всички. След това, използвайки същата схема, изчисляваме: От тези събития противоположност, тогава сумата от вероятностите трябва да е равна на едно: Какъв е проблема? – тук всичко изглежда логично. Въпросът е, че функцията на Лаплас е непрекъснато, но не сме взели предвид интервалот 105 на 106. Това е мястото, където парчето 0,0338 изчезна. Ето защо използвайки същата стандартна формулатрябва да се изчисли: Е, или дори по-просто: Възниква въпросът: какво ще стане, ако ПЪРВИ намерим? Тогава ще има друга версия на решението: Но как може това?! – двата метода дават различни отговори! Просто е: интегралната теорема на Лаплас е метод близоизчисления и следователно и двата начина са приемливи. За по-точни изчисления трябва да използвате Формула на Бернулии например функцията на Excel БИНОМИДСТ. Като резултат приложението муполучаваме: И изказвам своята благодарност на един от посетителите на сайта, който обърна внимание на тази тънкост - тя изпадна от полезрението ми, тъй като изследването на пълна група събития рядко се среща на практика. Желаещите могат да се запознаят с
Оператор NORM.ST.DIST
Решението на проблема
Аргументът "Z" отговаря за числовата стойност на разпределението. Аргументът "Интеграл" връща две стойности - "1" - функцията за интегрално разпределение, "0" - функцията за разпределение на теглото.
И 
1 5
ПРИМЕР 3.Диаметърът на вала се измерва без систематични (със същия знак) грешки. Случайните грешки при измерване подлежат на нормално разпределение със стандартно отклонение от 10 mm. Намерете вероятността измерването да бъде направено с грешка, която не надвишава 15 mm по абсолютна стойност.Локални и интегрални теореми на Лаплас
. Нека си припомним значението на тези букви:
– биномен коефициент;
– вероятност за настъпване на събитие във всеки опит;
– общ брой тестове;
– броя на хвърлянията, при които трябва да паднат глави;
– и второ, решението ще изглежда нестандартно (с голяма вероятност ще трябва да промените решението си);Локална теорема на Лаплас
, Където .
е неравенството ()
.
ще говорим в клас за нормално разпределение на вероятностите, но засега се нуждаем от формалната изчислителна страна на проблема. По-специално важен факт е паритеттази функция: 
.
б) 225 пъти.
– вероятността за получаване на глави при всяко хвърляне;
– вероятност за кацане на глави.
, Където 
.
Закръгляването обикновено се извършва до 4 знака след десетичната запетая.
:
– вероятността при 400 хвърляния на монети главите да паднат точно 200 пъти.
Да мълчим тактично =)Интегрална теорема на Лаплас
че събитието ще се случи в изпитания не по-малко и не повече пъти (от до пъти включително), е приблизително равно на:
- Препишете го в бележника си.
Започвайки от, можем да приемем, че или, за да го напишем по-стриктно: 
и това свойство се използва активно в задачи, от които вече сме уморени:
– общ брой удари;
– минимален брой попадения;
– максимален брой попадения;
– вероятност за попадение в целта с всеки изстрел;
- вероятността за пропуск при всеки изстрел.
Бих искал да обърна внимание, че не е необходимо произведението да бъде напълно извадено от корените си. (както авторите на проблеми обичат да „коригират“ числа)– без сянка на съмнение извадете корена и закръглете резултата; Свикнал съм да оставям 4 знака след десетичната запетая. Но получените стойности обикновено се закръглят до 2 знака след десетичната запетая - откъде идва тази традиция таблици с функционални стойности, където аргументите са представени точно в този вид.
Като писмен коментар ви съветвам да поставите следната фраза: ще намерим стойностите на функцията, като използваме съответната таблица:
– вероятността със 100 изстрела целта да бъде поразена от 65 до 80 пъти.
Факт е, че таблица със стойност на функциятасъдържа само положителни „X“ и ние работим (поне според "легендата")с маса!
б) няма достатъчно места за всички.
– общо студенти в института;
– вероятността ученикът да отиде в кафенето по време на голямо междучасие;
– вероятност за противоположно събитие.
– вероятността в нормален учебен ден кафенето да е пълно не повече от две трети.
.
– вероятността да има достатъчно места.
Зареждане...
