Тела и повърхнини на въртене. Визуално ръководство (2019)

Може би най-простият начин за създаване на триизмерна повърхност е да завъртите двуизмерен обект, като например права линия или равнинна крива, около ос в пространството. Такива повърхности се наричат ​​повърхности на въртене. Първо, за простота приемаме, че оста на въртене съвпада с оста и е в положителна посока. Нека приемем също, че обектите на въртене - отсечка, права линия или равнинна крива - лежат на равнината. По-късно ще разгледаме метод за преодоляване на тези ограничения.

Най-простият обект, който може да се върти около ос, е точка. При условие, че точката не лежи на оста, завъртането под ъгъл ще генерира кръг. Завъртането на по-малък ъгъл ще доведе до кръгова дъга.

Следващият най-труден е сегментът, успореден, но не съвпадащ с оста на въртене. Завъртането под ъгъл в този случай ще генерира кръгъл цилиндър. Радиусът на този цилиндър е дължината на перпендикуляра, пуснат от сегмента към оста на въртене. Дължината на цилиндъра е равна на дължината на сегмента. Пример е показан на фиг. 6-1.

Ако сегментът и оста на въртене са копланарни и сегментът не е успореден на оста на въртене, тогава в резултат на въртене около оста под ъгъл ще получим пресечен кръгъл конус. Радиусите на основите на пресечен конус са дължините на перпендикулярите, пуснати от краищата на сегмента към оста на въртене. Височината на конуса е дължината на сегмента, проектиран върху оста на въртене. Пример е показан на фиг. 6-2.

И отново, ако сегментът и оста на въртене са копланарни и сегментът е перпендикулярен на оста на въртене, тогава в резултат на въртене под ъгъл ще получим плосък диск. Ако сегментът пресича (или докосва) оста на въртене, тогава резултатът ще бъде твърд диск, в противен случай дискът ще има кръгъл отвор. Примерите са показани на фиг. 6-3.

И накрая, ако сегментът е наклонен към оста на въртене, т.е. не е копланарен, тогава завъртането под ъгъл ще генерира еднолистов хиперболоид (вижте раздели 6-4 и 6-7).

Ориз. 6-1 Цилиндрична повърхност на въртене. а) конструктивна схема; б) резултат.

Ориз. 6-2 Конична повърхност на въртене. а) конструктивна схема; б) резултат.

Ориз. 6-3 Диск като повърхност на въртене. а) конструктивна схема; б) резултат.

Ориз. 6-4 Повърхнина на въртене от затворена начупена линия. а) конструктивна схема; б) резултат.

Ориз. 6-5 Бипараметрична повърхност на въртене.

За създаване на повърхности на въртене могат да се използват и затворени и отворени полилинии. На фиг. 6-4 показва конус с цилиндричен отвор.

Параметричното уравнение на точка върху повърхност на въртене може да се получи, като се припомни, че параметричното уравнение на въртящ се обект, напр.

има функция на един параметър. Въртенето около ос води до координатите също в зависимост от ъгъла на завъртане. Така една точка на повърхността на въртене се определя от два параметъра и . Както е показано на фиг. 6-5, това е бипараметрична функция.

За конкретния разглеждан случай, т.е. въртене около оста на обект, разположен в равнината, се записва уравнението на повърхността

Имайте предвид, че координатите не се променят тук. За илюстрация нека дадем пример.

Въртенето на равнинни криви също генерира повърхности на въртене. Както е показано на фиг. 6-6а, сферата се получава в резултат на въртене около оста на полукръг, разположен в равнината, центриран спрямо началото. Запомняне на параметричното уравнение на окръжност (вижте раздел 4-5)

получаваме параметричното уравнение на сферата

Ориз. 6-6 Повърхнини на въртене. а) Сфера; б) елипсоид.

Ако вместо окръжност заместим параметричното уравнение на центрирана полуелипса, разположена в равнината, получаваме елипсоид на въртене. Припомняме си параметричното уравнение на полуелипсата (вижте раздел 4-6)

получаваме за всяка точка от елипсоида следното параметрично уравнение:

Когато уравнение (6-3) се превърне в уравнение (6-2) за сфера. Елипсоидът на въртене е показан на фиг. 6-66.

Ако оста на въртене не минава през центъра на кръга или елипсата, тогава резултатът от въртенето е тор с напречно сечение под формата на кръг или елипса, съответно. Параметричното уравнение на елипса върху равнина с център, който не съвпада с началото, изглежда така

където е , са координатите на центъра на елипсата, тогава параметричното уравнение за всяка точка на тора има формата:

Където , . Ако , тогава уравнение (6-4) дефинира тор със сечение под формата на кръг. Ако , тогава получавате тор с напречно сечение под формата на елипса. На фиг. 6-7 показват двата вида тори.

Ориз. 6-7 Тора. а) със сечение под формата на кръг; б) с елипсовидно сечение.

Параболоид на въртене се получава чрез въртене на парабола (виж раздел 4-7)

Хиперболоид на въртене се получава чрез завъртане на параметрична хипербола

около оста. Параметрична повърхностдадено от уравнението

Примерите са показани на фиг. 6-8.

Можете да използвате всяка параметрична крива, за да създадете повърхност на въртене, като кубичен сплайн, параболичен сплайн, крива на Безие и B-сплайн. На фиг. Фигура 6-9 показва повърхност на въртене, създадена от сравнително прост параболичен сплайн. На фиг. 6-10 показва стъкло, създадено като повърхност на въртене с помощта на отворен B-сплайн.

Ориз. 6-8 Повърхнини на въртене. а) параболоид; б) хиперболоид.

Ориз. 6-9 Повърхнина на въртене от параболично интерполирана крива. (a) Създаване на крива; б) повърхност.

Имайте предвид, че стъклото има както вътрешни, така и навън. Завъртането се извършва спрямо оста.

Ориз. 6-10 B-сплайн повърхност на въртене. (a) Върхове на начупената линия; (b) B-сплайн; в) повърхност.

Спомнете си, че в матрична форма параметричната пространствена крива (вижте уравнения (5-27), (5-44), (5-67) и (5-94)) е дадена, както следва:

,

където и са съответно матрицата на параметрите, матрицата на смесителните функции и геометричната матрица. По този начин, в обща формаМатричното уравнение на повърхността на въртене се записва като:

, (6-7)

където представлява приносът на въртенето около оста по ъгъл . За специалния случай на въртене около ос имаме:

. (6-8)

Тези методи са илюстрирани в следния пример.

Предишни резултати бяха получени чрез завъртане на точка, сегмент, полилиния или крива около координатна ос, а именно около оста. До по-общия случай на въртене около произволна ос в пространството, повърхността на въртене, получена в по-удобна локална координатна система, може да бъде намалена с помощта на транслации и завъртания, които довеждат повърхността до желаната позиция.

На фиг. 6-11 показва параметрична крива, завъртяна около произволна ос в пространството, минаваща през точките и и насочена от към. След като повърхността е създадена в удобна координатна система, за да доведете повърхността на въртене до желаната позиция, трябва да извършите следните действия:

1. Преместете точката в началото.

2. Извършете завъртанията, необходими за подравняване на осите и (вижте раздел 5-9).

3. Завъртете около оста под ъгъл, за да подравните осите и .

Тези три стъпки са необходими само за намиране на обратната трансформация, която поставя повърхността на въртене на точното мястов триизмерното пространство. След като получихме повърхност на въртене около оста, ние я довеждаме до желаната позиция в пространството:

1. Преместете по оста, за да преместите центъра на ротационната повърхност до желаната позиция на оста.

2. Приложете към повърхността на въртене трансформация, обратна на общата трансформация на ротациите.

3. Приложете транслация на обратната точка към повърхността на въртене.

След това точка на повърхността на въртене се дава от уравнението:

където , , са дадени от уравнения (3-22)-(3-24). се дава от уравнение (3-8), а матрицата е дадена под формата на уравнение (6-7) с геометрична матрица, представена в хомогенни координати. сега е матрица, дадена като

. (6-10)

Този метод е илюстриран в следния пример.

Формалното диференциране на уравнение (6-7) дава параметрични производни за повърхността на въртене. А именно, производната в аксиална посока е равна на

и производната в радиална посока

, (6-12)

където штрихът обозначава съответната диференциация.

Нормалната към повърхността се дава от векторното произведение на параметричните производни, т.е.

Повърхностите на въртене включват повърхности, образувани от въртене на линия l около права линия i, която представлява оста на въртене. Те могат да бъдат линейни, като конус или цилиндър на въртене, и нелинейни или извити, като сфера. Детерминантата на повърхността на въртене включва образуващата l и оста i. Когато човек се върти, се образува извита повърхност на въртене

По време на въртене всяка точка от генератора описва окръжност, чиято равнина е перпендикулярна на оста на въртене. Такива кръгове на повърхността на въртене се наричат ​​паралели. Най-големият от паралелите се нарича екватор.Екваторът определя хоризонталното очертание на повърхността, ако i _|_ P 1 . В този случай паралелите са хоризонталите на тази повърхност.

Кривите на повърхността на въртене, получени в резултат на пресичането на повърхността с равнини, преминаващи през оста на въртене, се наричат меридиани.Всички меридиани на една повърхност са еднакви. Челният меридиан се нарича главен меридиан; той определя челното очертание на повърхността на въртене. Меридианът на профила определя контура на профила на повърхността на въртене.

Най-удобно е да се конструира точка върху извити повърхности на въртене, като се използват повърхностни паралели. На фиг. 103 точка Мпостроен върху паралел h4.

Повърхностите на революцията са намерили най-много широко приложениев технологиите. Те ограничават повърхностите на повечето инженерни части.

Конична повърхност на въртене се образува чрез въртене на права линия азоколо пресичащата се с нея права линия - ос i (фиг. 104, а). Точка Мвърху повърхнината, построена с помощта на образуващата l и паралел ч.Тази повърхност се нарича още конус на въртене или прав кръгов конус.

Цилиндрична повърхност на въртене се образува чрез въртене на права линия l около ос i, успоредна на нея (фиг. 104, б).Тази повърхност се нарича още цилиндър или прав кръгов цилиндър.

Сфера се образува чрез завъртане на кръг около диаметъра (фиг. 104, c). Точка А на повърхността на сферата принадлежи към основната

меридиан е,точка IN- екватор ч,точка Мизграден върху спомагателен паралел з".

Торът се образува чрез въртене на кръг или неговата дъга около ос, лежаща в равнината на кръга. Ако оста е разположена в получения кръг, тогава такъв тор се нарича затворен (фиг. 105, а). Ако оста на въртене е извън кръга, тогава такъв торус се нарича отворен (фиг. 105, б).Отвореният торус се нарича още пръстен.

Повърхностите на въртене могат да бъдат образувани и от други криви от втори ред. Елипсоид на въртене (фиг. 106, а)образувана чрез въртене на елипса около една от осите си; параболоид на въртене (фиг. 106, b) - чрез въртене на параболата около оста си; Еднолистов хиперболоид на въртене (фиг. 106, c) се образува чрез въртене на хипербола около въображаема ос, а двуслоен (фиг. 106, d) се образува чрез въртене на хипербола около реална ос.

В общия случай повърхностите се изобразяват като неограничени по посока на разпространение на генериращите линии (виж фиг. 97, 98). За решаване на конкретни проблеми и получаване геометрични формиограничено до режещите равнини. Например, за да се получи кръгов цилиндър, е необходимо да се ограничи част от цилиндричната повърхност до режещите равнини (вижте фиг. 104, б).В резултат на това получаваме горната и долната му основа. Ако режещите равнини са перпендикулярни на оста на въртене, цилиндърът ще бъде прав; ако не, цилиндърът ще бъде наклонен.

За да се получи кръгъл конус (виж фиг. 104, а), е необходимо да се изреже по върха и отвъд. Ако режещата равнина на основата на цилиндъра е перпендикулярна на оста на въртене, конусът ще бъде прав; ако не е, той ще бъде наклонен. Ако и двете режещи равнини не минават през върха, конусът ще бъде пресечен.

Използвайки изрязаната равнина, можете да получите призма и пирамида. Например, една шестоъгълна пирамида ще бъде права, ако всичките й ръбове имат еднакъв наклон към режещата равнина. В други случаи ще бъде наклонен. Ако е завършен сизползвайки режещи равнини и никоя от тях не минава през върха - пирамидата е пресечена.

Призма (виж фиг. 101) може да се получи чрез ограничаване на участък от призматичната повърхност до две режещи равнини. Ако режещата равнина е перпендикулярна на ръбовете на, например, осмоъгълна призма, тя е права; ако не е перпендикулярна, тя е наклонена.

Избирайки подходящата позиция на режещите равнини, можете да получите различни формигеометрични форми в зависимост от условията на решаваната задача.

Повърхностите на въртене включват повърхности, образувани от въртене на линия l около права линия i, която представлява оста на въртене. Те могат да бъдат линейни, като конус или цилиндър на въртене, и нелинейни или извити, като сфера. Детерминантата на повърхността на въртене включва образуващата l и оста i. Извита повърхност на въртене се образува чрез завъртане на която и да е крива около оста i (фиг. 103).

По време на въртене всяка точка от генератора описва окръжност, чиято равнина е перпендикулярна на оста на въртене. Такива кръгове на повърхността на въртене се наричат паралели. Най-големият от паралелите се нарича екватор. Екваторът определя хоризонталното очертание на повърхността, ако i ⊥ П 1. В този случай паралелите са хоризонталните линии h на тази повърхност.

Кривите на повърхността на въртене, получени в резултат на пресичането на повърхността с равнини, преминаващи през оста на въртене, се наричат меридиани. Всички меридиани на една повърхност са еднакви. Челният меридиан се нарича главен меридиан; той определя челното очертание на повърхността на въртене. Меридианът на профила определя контура на профила на повърхността на въртене.

Най-удобно е да се конструира точка върху извити повърхности на въртене, като се използват повърхностни паралели. На фиг. 103 точка M е изградена върху паралел h4.

Повърхностите на революцията са намерили най-широко приложение в технологиите. Те ограничават повърхностите на повечето инженерни части.

Конична повърхност на въртенесе образува чрез въртене на права линия l около правата, която я пресича - ос i (фиг. 104, а). Точка M на повърхнината се конструира с помощта на образуваща l и паралел h. Тази повърхност се нарича още конус на въртене или прав кръгов конус.

Цилиндрична повърхност на въртенесе образува чрез завъртане на правата линия l около оста i, успоредна на нея (фиг. 104, b). Тази повърхност се нарича още цилиндър или прав кръгов цилиндър.

Сферасе образува чрез завъртане на кръг около диаметъра му (фиг. 104, в). Точка А на повърхността на сферата принадлежи на главния меридиан f, точка B на екватора h, а точка M е построена върху спомагателния паралел h".

торсе образува чрез завъртане на окръжност или нейна дъга около ос, лежаща в равнината на окръжността. Ако оста е разположена в получения кръг, тогава такъв тор се нарича затворен (фиг. 105, а).

Ако оста на въртене е извън кръга, тогава такъв тор се нарича отворен (или пръстен) (фиг. 105, b).

Повърхностите на въртене могат да бъдат образувани и от други криви от втори ред. Елипсоид на революцията(Фиг. 106, а) се образува чрез завъртане на елипса около една от нейните оси; параболоид на революцията(фиг. 106, б) - чрез завъртане на параболата около оста си; хиперболоид на революциятаедин лист (фиг. 106, c) се образува чрез завъртане на хипербола около въображаема ос, а двоен лист (фиг. 106, d) чрез завъртане на хипербола около реална ос.

В общия случай повърхностите са изобразени като неограничени по посока на разпространение на генериращите линии (виж фиг.,). За решаване на конкретни проблеми и получаване на геометрични фигури те са ограничени до изрязани равнини. Например, за да се получи кръгов цилиндър, е необходимо да се ограничи част от цилиндричната повърхност до режещите равнини (вижте фигурата). В резултат на това получаваме горната и долната му основа. Ако режещите равнини са перпендикулярни на оста на въртене, цилиндърът ще бъде прав; ако не, цилиндърът ще бъде наклонен.

За да се получи кръгъл конус (виж фигурата), е необходимо да се отреже по горната част и отвъд. Ако режещата равнина на основата на цилиндъра е перпендикулярна на оста на въртене, конусът ще бъде прав; ако не е, той ще бъде наклонен. Ако и двете режещи равнини не минават през върха, конусът ще бъде пресечен.

Използвайки изрязаната равнина, можете да получите призма и пирамида. Например, една шестоъгълна пирамида ще бъде права, ако всичките й ръбове имат еднакъв наклон към режещата равнина. В други случаи ще бъде наклонен. Ако е направена с помощта на режещи равнини и нито една от тях не минава през върха, пирамидата е пресечена.

Призма (виж фиг.) може да се получи чрез ограничаване на участък от призматичната повърхност до две режещи равнини. Ако режещата равнина е перпендикулярна на ръбовете на, например, осмоъгълна призма, тя е права; ако не е перпендикулярна, тя е наклонена.

Избирайки подходящото положение на режещите равнини, можете да получите различни форми на геометрични фигури в зависимост от условията на решавания проблем.

Сред кривите повърхнини - линейчати и нелинейчати - има ротационни повърхности, които се използват широко в практиката. Повърхност на въртененаречена повърхност, получена от въртенето на всяка генерираща линия около фиксирана права линия - повърхностна ос 1).

Повърхността на въртене може да бъде определена чрез образуващата и позицията на оста. На фиг. 330 показва такава повърхност. Тук генераторът е кривата ABC, оста е правата линия OO 1, разположена в същата равнина като ABC. Всяка точка от образуващата описва окръжност. По този начин равнина, перпендикулярна на оста на повърхността на въртене, пресича тази повърхност в кръг. Такива кръгове

1) По време на образуването на повърхността на въртене оста е неподвижна.

те се наричат паралели. Най-големият от паралелите се нарича екватор, най-малкият - гърлотоповърхности 1).

Равнината, минаваща през оста на повърхността на въртене, се нарича меридионална равнина. Линията на пресичане на повърхността на въртене с меридионалната равнина се нарича повърхностен меридиан.

Може да се нарече горната част на повърхността на въртенеточката на пресичане на меридиана на тази повърхност с нейната ос, ако в пресечната точка не е образуван прав ъгъл.

Ако оста на повърхността на въртене е успоредна на квадрата. π 2, тогава меридианът лежи в равнина, успоредна на квадрата. π 2, наречено главен меридиан. В тази позиция главният меридиан се проектира върху квадрата. ts 2 без изкривяване. Ако оста на повърхността на въртене е перпендикулярна на квадрата. π 1 тогава хоризонталната проекция на повърхността има очертание под формата на кръг. Най-подходящото от гледна точка на изображенията е перпендикулярността на оста на повърхността на въртене спрямо квадрата. π 1 или до π 2, или до π 3.

Някои повърхнини на въртене са частни случаи на повърхнините, разгледани в § 50. Това са: 1) цилиндър на въртене, 2) конус на въртене, 3) еднолистов хиперболоид на въртене, 4) елипсоид на въртене, 5) параболоид на въртене , 6) двулистов хиперболоид на революцията.

За цилиндър и конус на въртенемеридианите са прави линии - в първия случай успоредни на оста и на равно разстояние от нея, във втория случай пресичащи оста в една и съща точка под същия ъгъл спрямо оста. Тъй като цилиндърът и конусът на въртене са повърхности, които се простират безкрайно в посоката на техните генератори, в изображенията те обикновено са ограничени от някои линии, например следи от тези повърхности върху проекционни равнини или някои от паралелите. Известен от стереометрията десен кръгъл цилиндър и десен кръгъл конусограничена от повърхността на въртене и равнините, перпендикулярни на нейната ос. Меридианите на такъв цилиндър са правоъгълници, а меридианите на конуса са триъгълници.

За хиперболоид на революциятамеридианът е хипербола и ако оста на въртене е реалната ос на хиперболата, тогава се образува двуслоен хиперболоид на въртене; ако завъртим хиперболата около нейната въображаема ос, тогава еднокухинен.

Еднолистов хиперболоид на революциятаможе да се образува и чрез завъртане на права линия в кутията ако образуващата и оста на въртене са пресичащи се прави.

На фиг. 331 показва еднослоен хиперболоид на въртене, образуван от въртенето на права линия AB около посочената ос и ограничен от два паралела; кръгът, начертан от центъра 0 1, е гърлото на повърхността.

Върху еднолистов хиперболоид на въртене праволинейните генератори могат да се прилагат в две посоки, например, както е показано на фиг. 331, и с наклон към обратна страна, под същия ъгъл спрямо оста.

Освен прави линии (двойки), тази повърхност може да съдържа и хиперболи, параболи, елипси и окръжности.

1) По-точно, екваторът е този от паралелите, който е по-голям от паралелите, съседни на него от двете му страни, считано до първото гърло; гърло - най-малкият от съседните паралели на първия екватор. Следователно повърхността на въртене може да има няколко екватора и гърла.

На фиг. 331 вдясно показва конструкцията на фронтална проекция на еднослоен хиперболоид на въртене по неговата ос и генератор. На първо място се намира радиусът на повърхностното гърло. За да направите това, се изтегля перпендикуляр O" 1 1" към хоризонталната проекция на генератора. Това определя хоризонталната проекция на общия перпендикуляр на оста и образуващата. Естественият размер на отсечката, изразен чрез проекциите O" 1 1" и O" 1 1" е равен на радиуса на гърлото на повърхността. След това чрез завъртане точките с проекции 2",2";3",3";A",A" се пренасят в равнината α, успоредна на квадрата. π 2 това

дава възможност да се начертае скица на фронталната проекция на хиперболоида. Хоризонталната му проекция ще бъде три концентрични кръга.

За на параболоид на въртене, меридианът е парабола, чиято ос служи за ос на повърхността.

За елипсоид на въртене меридианът е елипса. Повърхност може да се формира чрез завъртане на елипса около голямата й ос ( "издължен" елипсоид на революцията- ориз. 332, вляво) или около неговата малка ос ( "компресиран" елипсоид на въртене- Фиг., 332, вдясно). Елипсоидът на въртене е ограничена повърхност; може да се изобрази изцяло. Сфера може да бъде изобразена и цяла. За една сфера екваторът и меридианите са равни кръгове.

Нека отново да обърнем внимание на факта, че такива повърхности на въртене като цилиндър, конус и хиперболоид с един лист са управлявани, т.е. те могат да бъдат

форма чрез въртене на права линия 1). Но елипсоид, параболоид и хиперболоид с два листа се образуват чрез въртене не на права линия, а на елипса, парабола и хипербола, а оста на въртене е избрана така, че генериращата крива да е разположена симетрично по отношение на тази ос. Същото може да се каже и за еднолистов хиперболоид на въртене, ако той се образува в резултат на въртене на хиперболата около нейната въображаема ос.

Тъй като оста на въртене е избрана така, че да съвпада с оста на симетрия на елипсата, параболата, хиперболата, елипсата и хиперболата образуват по две повърхности, тъй като имат две оси на симетрия, а параболата образува една повърхност, тъй като има една ос на симетрия.Следователно всяка от образуваните повърхнини се получава само чрез завъртане по един начин. Междувременно сфера, която може да се разглежда като елипсоид с равни големи и малки оси на образуващата се елипса, която се превръща в кръг, може да се образува чрез въртене на повече от една

начин: образуващата окръжност е симетрична по отношение на всеки от нейните диаметри.

Когато една окръжност (или нейната дъга) се завърти около ос, лежаща в равнината на тази окръжност, но не минаваща през нейния център, се получава повърхност, т.нар. тор 2). Така се нарича и тяло, ограничено от тор – повърхнина.

Има (фиг. 333):

1) отворен тор, иначе кръгъл пръстен,

2) затворен,

3) самопресичащи се.

На фиг. 333 те са изобразени в най-проста позиция: оста на тора е перпендикулярна на проекционната равнина, в този случай на квадрата. π 1.

Образуващата за отворени и затворени тори е окръжност, за самопресичащи се тори - дъга от окръжност. Сферите могат да бъдат вписани в отворени и затворени тори. Торът може да се разглежда като повърхност, която обгражда еднакви сфери, чиито центрове са в окръжност.

Торът има две системи от кръгови сечения:в равнини, перпендикулярни на неговата ос, и в равнини, минаващи през оста на тора 3).

1) Закономерността в подреждането на праволинейни образуващи на еднолистов хиперболоид на въртене се прилага в структура, известна като „кулата на Шухов“. В. Г. Шухов (1853 - 1939) е един от забележителните руски инженери. „Шуховската кула” се използва при изграждането на радиомачти, водни кули и др.

2) о. тор (от torus (лат.) - издутина, възел) - пръстеновидна издатина на колона.

3) Има и трета система от кръгови сечения на отворен тор, която не се обсъжда в книгата.

Повърхност, наречена тор, е доста често срещана в машиностроенето и архитектурата. На фиг. 334 отляво е част, чиято повърхност на въртене съдържа самопресичащ се тор и отворен тор, а отдясно на същата фигура е показано схематично

преходна повърхност от един цилиндричен свод към друг, имащ формата на затворен тор с ос OO 1

Сред повърхностите на революцията също споменаваме катеноид 1). Тази повърхност се формира по време на пълен оборот верижна линия 2) около хоризонтална ос, лежаща в една и съща равнина.

Позицията на точка на повърхността на въртене се определя от окръжност, минаваща през тази точка на повърхността на въртене.

Но това не изключва възможността за използване на праволинейни генератори в случай на линейни повърхности на въртене, подобно на това, което е показано на фиг. 314 за общи цилиндри и конуси.

На фиг. 330 показва използването на паралел за конструиране на проекцията на точка, принадлежаща на дадена повърхност на въртене. Ако е дадена проекция M, тогава начертаваме фронтална проекция F"F" на 1-ви паралел и след това с радиус R = O" 1 F" начертаваме окръжност - хоризонталната проекция на паралела - и върху нея намерете проекцията М". Ако проекцията M е дадена, тогава ще е необходимо да се начертае окръжност с радиус R = O" 1 F", да се намери F в точката F" и да се начертае F" F" 1 - челната проекция на паралела, върху който проекцията M трябва да бъде." Фигура 332 показва конструкцията на проекции на точка K, принадлежаща на елипсоида на въртене, а на фиг. 335 - точка M, принадлежаща на повърхността на кръговия пръстен.

На фиг. 335 вдясно показва определянето на проекции на точки върху сфера. Въз основа на тази проекция A" на точка A, a фронтална проекция A"; използвайки тази проекция B" се намира хоризонтална проекция B" на точка B, която отговаря на допълнителното условие, че точка B е невидима, когато се гледа в квадрат π 2.

На екватора е дадена точка C: нейната проекция C" е разположена върху очертанията на хоризонталната проекция на сферата, т.е. върху хоризонталната проекция на екватора. Точките K и M лежат на главния меридиан; те принадлежат на паралелите на която са разположени точките A и B. Точка D също се намира на главния меридиан и е невидима, ако погледнете квадрата π 1.

Нека разгледаме пример за конструиране на проекции на точки, принадлежащи на повърхността на въртене. Нека се изисква точка А да се завърти около дадена ос MN до дадена повърхност на въртене (фиг. 336, а). Тъй като в този случай оста на повърхността на въртене и оста на въртене на точка А са перпендикулярни на проекционната равнина π 1, тогава кръгът на въртене на точка А се проектира върху π 1 без изкривяване, както и паралелът на повърхността на въртене, която се получава, когато тази повърхност се пресече от равнината на въртене на точка А. Центърът на въртене на точка А се намира в тази равнина - точка О (точката на пресичане на оста на въртене MN с равнината на въртене α). Останалото е ясно от чертежа. В позиция A 2 на повърхността, точката ще бъде невидима на квадрата. π 2.

2) Катена (лат.) - верига.

2) Верижната линия е крива, чиято форма се приема от верига, окачена в двете й точки, или като цяло тежка неразтеглива нишка, окачена в краищата си.

Нека приемем, че ще бъде повдигнат въпросът за избора на ос на въртене, така че точка А да може да завърши на дадена повърхноствъртене, На стр. 100 беше разгледан подобен въпрос, но там беше необходимо да се избере ос, така че чрез въртене около нея да може да се вмъкне точка в равнината.Тогава се установи, че има зона, в която не могат да се вземат оси, т.к. при въртене около такива оси точката няма да влезе в контакт с равнината. Тази зона се определя от параболичен цилиндър и параболата възниква при отчитане на относителната позиция на завъртяната точка и правата линия, на която тази точка трябва да е в контакт с равнината.

Сега, очевидно, въпросът ще бъде решен чрез разглеждане на относителната позиция на точка А и окръжността (паралел) върху повърхността на ротационно тяло,

От фиг. 336, но от това следва, че проекцията O" на центъра на въртене трябва да бъде разположена така, че R A да не е по-малко от разстоянието на точка O" до най-близката точка на проекцията на окръжност с радиус r. Ако вземем точка O "на равни разстояния от A" и от проекцията на това по периферията

ност (например в O" 1 или O" 2; вижте фиг. 336.6), тогава оста на въртене вече може да бъде инсталирана в него; окръжността на въртене на точка А ще докосне окръжността с радиус r, т.е. точка А ще докосне повърхността на въртене.

Къде на чертежа всички точки са еднакво отдалечени от точка А" и от окръжност с радиус r? Те са разположени върху хипербола (фиг. 336.6), за която точка А" служи като един от фокусите, точка O" 1 , в която отсечката A "1" е разделена наполовина - от един от върховете. Ако разделим отсечката A"Z" наполовина, получаваме втория връх на хиперболата (точка O" 3); вторият фокус ще бъде разположен в точка С", т.е. в центъра на кръга, получен, когато повърхността на тялото на въртене пресича равнината α (фиг. 336, а).

От разгледаното следва, че всяка точка, разположена на двата клона на хиперболата или между тях, може да бъде избрана като хоризонтална проекция на оста на въртене.

Може да има случай, когато точката е вътре в повърхността на въртене. Следователно, начертавайки равнина на въртене през точката, получаваме проекция А" вътре в проекцията на окръжност с радиус r, по която равнината на въртене на точка А пресича повърхността на въртене (фиг. 336, c). И този път е очевидно, че R A не трябва да бъде по-малко от разстоянието на точка O" (t, e, проекция на оста) до най-близката точка на проекцията на окръжност с радиус r. Пределните позиции на проекциите на осите сега ще бъдат разположени като точки на елипса с фокуси в точки A" и C", с голямата ос на правата линия 1"Z", с върхове в точки O"3 и O „3. В рамките на тази елипса не трябва да се правят проекции на осите; такива оси няма да направят възможно въвеждането на точка А в повърхността на въртене,

И така, въпросът как да изберем ос на въртене, така че, завъртайки точка около нея, да въведем тази точка в равнина или повърхност на въртене, чиято ос е успоредна на оста на въртене, ни води до елипса ( Фиг. 336, c), парабола (фиг. 244 ), хипербола (фиг. 336.6) като геометрични места на центровете на въртене.

При решаване различни задачи определени повърхности се използват като геометрични местаточки или линии, които отговарят на определени условия. Например даден квадрат α и точка K са извън тази равнина; определете как ще бъдат разположени на площада. α точки, разположени на дадено разстояние r от точка K (разстоянието r е по-голямо от разстоянието на точка K до квадрат α). В този случай решението е свързано с използването на сфера като геометрично място на точки, отдалечени от точка K на разстояние r. Равнината α ще пресече тази сфера по окръжност, което ще даде решение на проблема.

При необходимост от изграждане на пл. α точки, разположени на разстояние r не от точката, а от някаква права линия AB, която не лежи в квадрата. α, тогава геометричното местоположение на такива точки в пространството ще бъде повърхността на цилиндър на въртене с ос AB и радиус r, а търсените в pl. α точки ще бъдат на пресечната линия на този цилиндър pl. α.

По-късно на фиг. 368 вдясно и 401 можете да видите примери за използване на конични повърхности на въртене като геометрични места на прави линии, минаващи през дадена точка.

Ако задачата пита за точки, еднакво отдалечени от дадената равнина α и точка M, тогава трябва да се използва параболоид на въртене с фокус на параболата в точка M като геометрично местоположение на такива точки в пространството.

Използването на определени повърхности като геометрични места, разбира се, не се ограничава до дадените примери.

Въпроси към § 51

1. Как се нарича повърхността на въртене?
2. Как можете да определите повърхност на въртене?
3. Какво се наричат ​​паралели и меридиани на повърхности на въртене, екватор, гърло, главен меридиан?

1) Каним читателя да начертае чертеж и да реши този и следващите проблеми.

4. Коя от осите на хиперболата служи за ос на въртене за образуване на: а) еднолистов, б) двуслоен хиперболоид на въртене?
5. Възможно ли е да се формира еднолистов хиперболоид на въртене с помощта на права линия?
6. Кои повърхности на въртене (с изключение на еднолистов хиперболоид) се линейчат?
7. Как се формира повърхност, наречена тор?
8. В какъв случай се използва името „кръгъл пръстен“ за тор?
9. Колко системи от кръгови сечения има торът?
10. Как се определя позицията на точка върху повърхността на въртене?