Ono što se naziva ivica osnovne strane prizme. Kako izgleda pravougaona prizma?

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici

Bočno rebro- je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme- ovo je segment okomit na osnove prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravan- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su jednake i paralelne jedna drugoj
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina - zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Bočne strane su pravougaonici
• Bočne ivice su jednake jedna drugoj
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi svojstva pravilne četvorougaone prizme iznad) Napomena. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (stereometrija presjeka - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje preuzimanja kvadratni korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

Dijagonala pravilne prizme formira se sa dijagonalom osnove i visinom prizme pravougaonog trougla. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četvorougaone prizme biće jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, nalazimo stranu baze (označenu kao a) koristeći Pitagorinu teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina će biti jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine osnove

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Predavanje: Prizma, njene osnove, bočna rebra, visina, bočna površina; ravna prizma; ispravna prizma

Prizma

Ako ste učili sa nama ravne figure iz prethodnih pitanja, to znači da ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo čvrsto tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.

Prizma je volumetrijsko tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona u osnovama, koji se nalaze u paralelnim ravnima, a sve bočne strane imaju oblik paralelograma.

Dakle, hajde da shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pažnju na sl. 1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su petouglovi ABCEF i GMNJK. Štaviše, ovi poligoni su međusobno jednaki.

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočnim stranama - sastoje se od paralelograma. Na primjer BMNC, AGKF, FKJE, itd.

Ukupna površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.

Svaki par susednih lica ima zajedničku stranu. Ova zajednička strana naziva se ivica. Na primjer MV, SE, AB, itd.

Ako su gornja i donja osnova prizme spojene okomicom, onda će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena kao prava linija OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočne ivice prizme nisu okomite na osnovice, tada se takva prizma naziva skloni.

Ako su svi rubovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva direktno.

Ako osnovice prizme sadrže pravilne poligone (one sa jednakim stranicama), tada se takva prizma naziva ispravan.

Ako osnove prizme nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takva prizma zvati skraćeno.

To možete vidjeti na slici 2

Formule za pronalaženje zapremine i površine prizme

Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po primjeni:

Slične formule za pronalaženje površine prizme:

Definicija 1. Prizmatična površina
Teorema 1. O paralelnim presjecima prizmatične površine
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične površine
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Desna prizma
Teorema 2. Bočna površina prizme

paralelepiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Teorema 3. O presjeku dijagonala paralelepipeda
Definicija 7. Desni paralelepiped
Definicija 8. Pravougaoni paralelepiped
Definicija 9. Mjerenja paralelepipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorema 4. O dijagonalama pravokutnog paralelepipeda
Teorema 5. Zapremina prizme
Teorema 6. Zapremina ravne prizme
Teorema 7. Volumen pravokutnog paralelepipeda

Prizma je poliedar čije dvije strane (baze) leže u paralelnim ravnima, a ivice koje ne leže u tim plohama paralelne su jedna s drugom.
Lica koja nisu baza se nazivaju bočno.
Stranice bočnih strana i baze nazivaju se prizma rebra, krajevi ivica se nazivaju vrhovima prizme. Bočna rebra ivice koje ne pripadaju bazama nazivaju se. Spoj bočnih strana naziva se bočna površina prizme, a unija svih lica se zove punu površinu prizme. Visina prizme naziva se okomica spuštena iz tačke gornje osnove na ravan donje osnove ili dužina ove okomice. Direktna prizma naziva se prizma čija su bočna rebra okomita na ravni osnova. Tačno naziva se ravna prizma (slika 3), u čijoj osnovi leži pravilan poligon.

Oznake:
l - bočno rebro;
P - perimetar baze;
S o - površina osnove;
H - visina;
P^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - zapremina;
S p je površina ukupne površine prizme.

Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične površine je presjek ove površine ravninom koja je okomita na njene rubove. Na osnovu prethodne teoreme, svi okomiti presjeci iste prizmatične površine bit će jednaki poligoni.

Definicija 3 . Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom površinom i dvije ravni paralelne jedna s drugom (ali ne paralelne s rubovima prizmatične površine)
Lica koja leže u ovim poslednjim ravnima nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj površini - bočne strane; ivice prizmatične površine - bočna rebra prizme. Na osnovu prethodne teoreme, baza prizme je jednaki poligoni. Sve bočne strane prizme - paralelograma; sva bočna rebra su međusobno jednaka.
Očigledno, ako su date osnovica prizme ABCDE i jedna od ivica AA" po veličini i pravcu, tada je moguće konstruisati prizmu crtanjem ivica BB", CC", ... jednakih i paralelnih ivici AA" .

Definicija 4 . Visina prizme je rastojanje između ravnina njenih osnova (HH").

Definicija 5 . Prizma se naziva ravna ako su njene osnove okomite površine prizme. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njena bočno rebro; bočne ivice će biti pravougaonici.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih strana jednakom broju stranica poligona koji mu služi kao osnova. Dakle, prizme mogu biti trouglaste, četverouglaste, peterokutne itd.

Teorema 2 . Bočna površina prizme jednaka je proizvodu bočno rebro na perimetar okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" data prizma i abcde njen okomit presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njene bočne ivice. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina jednak je proizvodu baze AA" na visinu koja se poklapa sa ab; površina lica VSV "S" jednaka je umnošku osnove VV" na visinu bc itd. Prema tome, bočna površina (tj. zbir površina bočnih strana) jednaka je proizvodu bočne ivice, drugim riječima, ukupna dužina segmenata AA", VV", .., za iznos ab+bc+cd+de+ea.

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Tijelo predstavlja dio prostora ograničen određenom površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksan ako se nalazi na jednoj strani ravni svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravni i površine poliedra naziva se rub. Površine konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica se nazivaju ivice poliedra, a vrhovi su vrhovima poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata, koji su njena lica. Sadrži 12 rubova (strane kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravnima kombinovanih paralelnom translacijom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočne ivice prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj površini naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljik, ako njegova baza sadrži n-ugao.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, koja proizlaze iz činjenice da su osnove prizme kombinovane paralelnim prevođenjem:

1. Osnove prizme su jednake.

2. Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.

Površina prizme se sastoji od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (ovo proizilazi iz svojstava prizme). Površina bočne površine prizme je zbir površina bočnih strana.

Prava prizma

Prizma se zove direktno, ako su njegove bočne ivice okomite na baze. Inače se naziva prizma skloni.

Površine prave prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbirom površine bočne površine i površina baza.

Sa pravom prizmom naziva se ravna prizma sa pravilan poligon u bazi.

Teorema 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku perimetra i visine prizme (ili, što je isto, bočnom ivicom).

Dokaz. Bočne strane prave prizme su pravokutnici, čije su osnove stranice mnogouglova u osnovima prizme, a visine su bočne ivice prizme. Tada je, po definiciji, površina bočne površine:

,

gdje je obim osnove ravne prizme.

Paralelepiped

Ako paralelogrami leže u osnovima prizme, onda se naziva paralelepiped. Sva lica paralelepipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

Teorema 13.2. Dijagonale paralelepipeda seku se u jednoj tački i tačkom preseka su podeljene na pola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelepipeda su paralelogrami, a zatim i , što znači da prema To postoje dvije prave linije paralelne s trećim. Osim toga, to znači da prave linije i leže u istoj ravni (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih linija i . Dakle, četverougao je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale sijeku i dijele na pola presječnom točkom, što je i trebalo dokazati.

Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik pravougaoni paralelepiped. Sva lica pravokutnog paralelepipeda su pravokutnici. Dužine neparalelnih ivica pravougaonog paralelepipeda nazivaju se njegovim linearnim dimenzijama (dimenzijama). Postoje tri takve veličine (širina, visina, dužina).

Teorema 13.3. U pravokutnom paralelepipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano primjenom Pitagorinog T dvaput).

Zove se pravougaoni paralelepiped sa svim ivicama jednakim kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima? n-karbonska prizma

13.2 U nagnutoj trouglastoj prizmi, razmaci između bočnih ivica su 37, 13 i 40. Pronađite rastojanje između veće bočne ivice i suprotne bočne ivice.

13.3 Kroz stranu donje osnove ispravne trouglasta prizma je nacrtana ravnina koja siječe bočne strane duž segmenata, ugao između kojih je . Pronađite ugao nagiba ove ravni prema osnovici prizme.

IN školski program Na kursu stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma?

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su osnove 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijska figura- ravan paralelepiped.

Crtež koji prikazuje četvorougaonu prizmu je prikazan ispod.

Možete vidjeti i na slici bitnih elemenata, od kojih se sastoji geometrijsko tijelo . To uključuje:

Ponekad u problemima geometrije možete naići na koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se može konstruirati je 2), koji prolazi kroz 2 ivice i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje datih prizmatičkih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je zapamtiti formulu za površinu kvadrata).

Površina i zapremina

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:

V = Sbas h

Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a²·h

Ako govorimo o kocki - redovnoj prizmu sa jednake dužine, širinu i visinu, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen razvoj.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:

Sside = Posn h

Uzimajući u obzir da je obim kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Sside = 4a²

Da biste izračunali površinu ukupne površine prizme, morate bočnoj površini dodati 2 osnovne površine:

Puno = Sside + 2Smain

U odnosu na četvorougaonu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:

Stotal = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:

• dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
• visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V / h;
• bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Iz ovoga proizilazi:

Sdiag = ah√2

Da biste izračunali dijagonalu prizme, koristite formulu:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti date odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema sa rješenjima

Evo nekoliko zadataka na državnim završnim ispitima iz matematike.

Zadatak 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm. Koliki će biti nivo peska ako ga premestite u posudu istog oblika, ali sa duplo dužim postoljem?

To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegova zapremina u njima je ista. Dužinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju zapremina supstance će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Pošto V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:

Kao rezultat novi nivo pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.

Pošto je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovi nalazi kvadrat dijagonale 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu veličinu, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi pomoću formule za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Prostor će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rublja

Dakle, za rješavanje zadataka koji uključuju pravokutnu prizmu, dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke