Šta je racionalan broj. Brojevi

Stariji školarci i studenti matematičke specijalnosti, vjerovatno će s lakoćom odgovoriti na ovo pitanje. Ali onima koji su po struci daleko od ovoga, biće teže. Šta je to zapravo?

Suština i oznaka

Racionalni brojevi su oni koji se mogu predstaviti kao obični razlomak. Pozitivni, negativni i nula su također uključeni u ovaj skup. Brojač razlomka mora biti cijeli broj, a nazivnik mora biti

Ovaj skup u matematici se označava kao Q i naziva se "polje racionalnih brojeva". Uključuje sve cijele i prirodne brojeve, označene kao Z i N. Sam skup Q je uključen u skup R. To je slovo koje označava tzv. realni ili

Performanse

Kao što je već spomenuto, racionalni brojevi su skup koji uključuje sve cjelobrojne i razlomke. Mogu se predstaviti u različite forme. Prvo, u obliku običnog razlomka: 5/7, 1/5, 11/15, itd. Naravno, i cijeli brojevi se mogu napisati u sličnom obliku: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, itd. Drugo, drugi tip predstavljanja je decimalni razlomak sa završnim razlomkom: 0,01, -15,001006, itd. Ovo je možda jedan od najčešćih oblika.

Ali postoji i treći - periodični razlomak. Ova vrsta nije vrlo česta, ali se još uvijek koristi. Na primjer, razlomak 10/3 može se napisati kao 3,33333... ili 3,(3). U ovom slučaju, različite reprezentacije će se smatrati sličnim brojevima. Razlomci koji su međusobno jednaki također će se zvati istim, na primjer 3/5 i 6/10. Čini se da je postalo jasno šta su racionalni brojevi. Ali zašto se ovaj termin koristi za njih?

Porijeklo imena

Riječ "racionalno" u modernom ruskom općenito ima malo drugačije značenje. To je više kao "razumno", "promišljeno". Ali matematički termini su blizu doslovno Ovo na latinskom, "razmjer" je "omjer", "razlomak" ili "podjela". Dakle, naziv obuhvata suštinu onoga što su racionalni brojevi. Međutim, drugo značenje

nije daleko od istine.

Akcije sa njima

Prilikom odlučivanja matematički problemi Stalno nailazimo na racionalne brojeve, a da to i sami ne znamo. I oni su blizu zanimljiva svojstva. Svi oni proizlaze ili iz definicije skupa ili iz radnji.

Prvo, racionalni brojevi imaju svojstvo odnosa reda. To znači da između dva broja može postojati samo jedan odnos - ili su jednaki jedan drugom, ili je jedan veći ili manji od drugog. to je:

ili a = b ; ili a > b, ili a< b.

Osim toga, iz ovog svojstva proizlazi i tranzitivnost relacije. Odnosno, ako a više b, b više c, To a više c. Matematičkim jezikom to izgleda ovako:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Drugo, tu su aritmetičke operacije s racionalnim brojevima, odnosno sabiranje, oduzimanje, dijeljenje i, naravno, množenje. Istovremeno, u procesu transformacije, može se identifikovati i niz svojstava.

a + b = b + a (promena mesta termina, komutativnost);
0 + a = a + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);
a + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (distributivnost);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1 / a) = 1 (u ovom slučaju a nije jednako 0);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Kada je riječ o običnim brojevima, a ne cijelim, rad s njima može uzrokovati određene poteškoće. Dakle, sabiranje i oduzimanje su mogući samo ako su nazivnici jednaki. Ako su u početku različiti, trebali biste pronaći zajednički tako što ćete cijeli razlomak pomnožiti određenim brojevima. Poređenje je takođe najčešće moguće samo ako je ovaj uslov ispunjen.

Dijeljenje i množenje obične frakcije proizvedeni su u skladu sa dovoljnim jednostavna pravila. Svođenje na zajednički imenilac nije potrebno. Brojioci i imenioci se množe odvojeno, a u procesu izvođenja radnje, ako je moguće, razlomak treba što više smanjiti i pojednostaviti.

Što se tiče podjele, ova radnja je slična prvoj sa malom razlikom. Za drugi razlomak treba pronaći inverz, tj

"okreni" ga. Dakle, brojilac prvog razlomka treba da se pomnoži sa nazivnikom drugog i obrnuto.

Konačno, još jedno svojstvo svojstveno racionalnim brojevima naziva se Arhimedov aksiom. Često se u literaturi nalazi i naziv „princip“. Vrijedi za cijeli skup realnih brojeva, ali ne svugdje. Stoga se ovaj princip ne primjenjuje na neke populacije. racionalne funkcije. U suštini, ovaj aksiom znači da s obzirom na postojanje dvije veličine a i b, uvijek možete uzeti dovoljno a da premaši b.

Područje primjene

Dakle, za one koji su naučili ili zapamtili šta su racionalni brojevi, postaje jasno da se koriste svuda: u računovodstvu, ekonomiji, statistici, fizici, hemiji i drugim naukama. Naravno, i njima je mjesto u matematici. Ne znajući uvijek da imamo posla s njima, stalno koristimo racionalne brojeve. Čak i mala djeca, koja uče da broje predmete, režu jabuku na komade ili izvode druge jednostavne radnje, nailaze na njih. Bukvalno nas okružuju. Pa ipak, oni nisu dovoljni da se riješe neki problemi posebno, koristeći Pitagorinu teoremu kao primjer, može se razumjeti potreba za uvođenjem koncepta

U ovom članku ćemo početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon toga ćemo se fokusirati na to kako odrediti da li je dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Uprkos razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, baš kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele brojeve i razlomci brojeva.

Počnimo sa definicije racionalnih brojeva, što se percipira najprirodnije.

Iz navedene definicije proizilazi da je racionalan broj:

Bilo koji prirodni broj n. Zaista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj se može napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
Bilo koji zajednički razlomak (pozitivan ili negativan). Ovo direktno potvrđuje data definicija racionalnih brojeva.
Bilo koji mješoviti broj. Zaista, uvijek se može zamisliti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Na primjer, i.
Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak. To je zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, , i 0,(3)=1/3.

Takođe je jasno da bilo koji beskonačan neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 su također primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 su također primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su takođe brojevi.

Iz gornjih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulisati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da liniju razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, a zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva, slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na osnovu ovu definiciju. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi, jer se mogu zapisati kao razlomci sa celim brojnikom i prirodnim imeniocem oblika i, respektivno.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačni ili beskonačno periodični decimalni.

Ova definicija je također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a bilo koji cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom sa nulama iza decimalnog zareza.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 su primjeri racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7, (18).

Završimo teoriju ove tačke sa sljedećim izjavama:

cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojicom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
svaki racionalni broj se može predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Da li je ovaj broj racionalan?

U prethodnom pasusu smo saznali da je svaki prirodni broj, bilo koji cijeli broj, bilo koji obični razlomak, bilo koji mješoviti broj, bilo koji konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućava da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa zapisanih brojeva.

Ali šta ako je broj dat u obliku nekog , ili kao, itd., kako odgovoriti na pitanje da li je ovaj broj racionalan? U mnogim slučajevima je veoma teško odgovoriti. Hajde da navedemo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj dat kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost ovog izraza racionalan broj. Ovo proizilazi iz toga kako su definirane operacije s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobijamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon pojednostavljivanja izraza i više složenog tipa, postaje moguće utvrditi da li je dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodan broj racionalan. Šta je sa brojem? Da li je to racionalno? Ispostavilo se da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradiktorno je dat u udžbeniku algebre za 8. razred, naveden dolje u listi literature). To je takođe dokazano kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo u onim slučajevima kada korijen sadrži broj koji je savršen kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, jer 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, jer brojevi 7 i 199 nisu savršeni kvadrati prirodni brojevi.

Da li je broj racionalan ili ne? U ovom slučaju, lako je uočiti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Da li je broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj pod predznakom korijena k-ti stepen nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čiji je peti stepen 121.

Metoda kontradikcije vam omogućava da dokažete da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao običan razlomak m/n. Tada dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer se na lijevoj strani nalazi neparan broj 5 n, a na desnoj strani je paran broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netačna, dakle nije racionalan broj.

U zaključku, posebno je vrijedno napomenuti da se prilikom utvrđivanja racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od iznenadnih zaključaka.

Na primjer, ne treba odmah tvrditi da je proizvod iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj, to je „naizgled očigledno“, ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji proizvod daje racionalan broj: .

Takođe je nepoznato da li su brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi čija je iracionalna snaga racionalan broj. Za ilustraciju, predstavljamo stepen oblika , baza ovog stepena i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Reference.

Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

Definicija racionalnih brojeva

Racionalni brojevi uključuju:

Prirodni brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak. Na primjer, $7=\frac(7)(1)$.
Cijeli brojevi, uključujući nulu, koja se može predstaviti kao pozitivan ili negativan razlomak, ili kao nula. Na primjer, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
Obični razlomci (pozitivni ili negativni).
Mješoviti brojevi koji se mogu predstaviti kao nepravilni razlomak. Na primjer, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ i $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
Konačan decimalni i beskonačan periodični razlomak koji se može predstaviti kao razlomak. Na primjer, $-7.73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Napomena 1

Imajte na umu da beskonačan neperiodični decimalni razlomak ne pripada racionalnim brojevima, jer ne može se predstaviti kao običan razlomak.

Primjer 1

Prirodni brojevi $7, 670, 21\456$ su racionalni.

Cijeli brojevi $76, –76, 0, –555\666$ su racionalni.

Obični razlomci $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – racionalni brojevi .

Stoga se racionalni brojevi dijele na pozitivne i negativne. Broj nula je racionalan, ali nije ni pozitivan ni negativan racionalni broj.

Hajde da formulišemo više kratka definicija racionalnih brojeva.

Definicija 3

Racionalno su brojevi koji se mogu predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Mogu se izvući sljedeći zaključci:

pozitivni i negativni cijeli brojevi i razlomci pripadaju skupu racionalnih brojeva;
racionalni brojevi se mogu predstaviti kao razlomak koji ima cijeli broj i prirodni imenilac i racionalan je broj;
racionalni brojevi se mogu predstaviti kao bilo koji periodični decimalni razlomak koji je racionalan broj.

Kako odrediti da li je broj racionalan

Broj je specificiran kao numerički izraz koji se sastoji samo od racionalnih brojeva i znakova aritmetičkih operacija. U ovom slučaju, vrijednost izraza će biti racionalan broj.
Kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo ako korijen sadrži broj koji je savršen kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, $\sqrt(9)$ i $\sqrt(121)$ su racionalni brojevi, jer $9=3^2$ i $121=11^2$.
$n$-ti korijen cijelog broja je racionalan broj samo ako je broj ispod predznaka korijena $n$-ti stepen nekog cijelog broja. Na primjer, $\sqrt(8)$ je racionalan broj, jer $8=2^3$.

Na brojevnoj osi racionalni brojevi su gusto raspoređeni: između svaka dva racionalna broja koja nisu jednaka jedan drugome može se locirati barem jedan racionalni broj (dakle, beskonačan skup racionalnih brojeva). Istovremeno, skup racionalnih brojeva karakteriše prebrojiva kardinalnost (to jest, svi elementi skupa mogu biti numerisani). Stari Grci su dokazali da postoje brojevi koji se ne mogu napisati kao razlomak. Pokazali su da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak 2$. Tada se pokazalo da racionalni brojevi nisu dovoljni za izražavanje svih veličina, što je kasnije dovelo do pojave realnih brojeva. Skup racionalnih brojeva, za razliku od realnih, je nuldimenzionalan.

Racionalni brojevi

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje vam omogućava da jedinstveno identifikujete jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativan, onda a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka Operacija sabiranja. a I b Za sve racionalne brojeve postoji tzv c pravilo sumiranja c. Štaviše, sam broj pozvao iznos a I b brojevi i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje .
. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: Operacija sabiranja. a I b Za sve racionalne brojeve Operacija množenja. pravilo množenja c pravilo sumiranja c. Štaviše, sam broj , što im dodeljuje neki racionalni broj iznos a I b rad i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje .
. Pravilo množenja izgleda ovako: Tranzitivnost odnosa poretka. a , b I c Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a Ako b I b Ako c manje a Ako c, To a, i ako b I b, i ako c manje a, i ako c jednaki
. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arhimedov aksiom. a Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> Dodatne nekretnine Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Takve

dodatna svojstva

toliko. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. j i th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde

- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i

- broj kolone.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodnim brojem. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežnija od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se izmjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Bilješke

Književnost

I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školsku decu. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: pogl. ed. fizike i matematike lit. ed. "Nauka", 1977
I. L. Hmeljnicki. Uvod u teoriju algebarskih sistema

Linkovi

Wikimedia Foundation.

2010.

Kao što smo već vidjeli, skup prirodnih brojeva

je zatvoren pod sabiranjem i množenjem i skupom cijelih brojeva zatvoreno pod sabiranjem, množenjem i oduzimanjem. Međutim, nijedan od ovih skupova nije zatvoren dijeljenjem, jer dijeljenje cijelih brojeva može rezultirati razlomcima, kao u slučajevima 4/3, 7/6, -2/5, itd. Skup svih takvih razlomaka čini skup racionalnih brojeva. Dakle, racionalni broj ( racionalni razlomak

1) Tražili smo da d bude različit od nule. Ovaj zahtjev (matematički napisan kao nejednakost) je neophodan jer je ovdje d djelitelj. Razmotrite sljedeće primjere:

Slučaj 1. .

Slučaj 2...

U slučaju 1, d je delilac u smislu prethodnog poglavlja, tj. 7 je tačan delilac od 21. U slučaju 2, d je i dalje delilac, ali u drugačijem smislu, pošto 7 nije tačan delilac od 25 .

Ako se 25 zove dividenda, a 7 djelitelj, onda dobijamo količnik od 3 i ostatak od 4. Dakle, riječ djelitelj se ovdje koristi u širem smislu i odnosi se na više slučajevima nego u pogl. I. Međutim, u slučajevima kao što je slučaj 1, koncept djelitelja uveden u pogl. I; stoga je neophodno, kao u pogl. I, isključujem mogućnost d = 0.

2) Imajte na umu da iako su izrazi racionalni broj i racionalni razlomak sinonimi, sama riječ razlomak se koristi za označavanje bilo kojeg algebarskog izraza koji se sastoji od brojnika i nazivnika, kao što je

3) Definicija racionalnog broja uključuje izraz „broj koji se može predstaviti u obliku , gdje su a i d cijeli brojevi i . Zašto se ne može zamijeniti izrazom „broj oblika , gdje su a i d cijeli brojevi i Razlog za to je činjenica da postoji beskonačno mnogo načina da se izrazi isti razlomak (na primjer, 2/3 može takođe se zapisuje kao 4/6, 6 /9, ili ili 213/33, ili, itd.), a za nas je poželjno da naša definicija racionalnog broja ne zavisi od određenog načina izražavanja.

Razlomak je definiran na način da se njegova vrijednost ne mijenja kada se brojnik i imenilac pomnože istim brojem. Međutim, nije uvijek moguće reći samo gledajući dati razlomak da li je racionalan ili ne. Razmotrite, na primjer, brojeve

Nijedan od njih u unosu koji smo odabrali nije oblika , gdje su a i d cijeli brojevi.

Možemo, međutim, izvršiti seriju aritmetičkih transformacija na prvom razlomku i dobiti

Dakle, dolazimo do razlomka jednakog originalnom razlomku, za koji . Broj je dakle racionalan, ali ne bi bio racionalan ako bi definicija racionalnog broja zahtijevala da broj bude oblika a/b, gdje su a i b cijeli brojevi. U slučaju konverzije frakcija

dovesti do broja. U narednim poglavljima naučit ćemo da se broj ne može predstaviti kao omjer dva cijela broja i stoga nije racionalan ili se kaže da je iracionalan.

4) Imajte na umu da je svaki cijeli broj racionalan. Kao što smo upravo videli, ovo je tačno u slučaju broja 2. U opštem slučaju proizvoljnih celih brojeva, na sličan način se svakom od njih može dodeliti imenilac 1 i dobiti njihov prikaz kao racionalni razlomci.