Decimale: definicije, zapis, primjeri, operacije s decimalima. Čitanje decimala Pisanje i čitanje decimala bilješke sa lekcija

Od mnogih razlomaka koji se nalaze u aritmetici, posebnu pažnju zaslužuju oni koji imaju 10, 100, 1000 u nazivniku - općenito, bilo koji stepen desetice. Ovi razlomci imaju poseban naziv i oznaku.

Decimala je bilo koji brojevni razlomak čiji je imenilac stepen desetice.

Primjeri decimale:

Zašto je uopće bilo potrebno izdvajati takve razlomke? Zašto im je potreban sopstveni obrazac za snimanje? Za to postoje najmanje tri razloga:

1. Decimale je mnogo lakše uporediti. Zapamtite: za poređenje obične frakcije potrebno ih je oduzeti jedan od drugog i, posebno, dovesti razlomke u zajednički imenilac. U decimalnim razlomcima ništa slično nije potrebno;
2. Smanjite računanje. Decimale se zbrajaju i množe prema vlastitim pravilima, a uz malo vježbe moći ćete raditi s njima mnogo brže nego s običnim razlomcima;
3. Jednostavnost snimanja. Za razliku od običnih razlomaka, decimale se pišu u jednom redu bez gubitka jasnoće.

Većina kalkulatora također daje odgovore u decimalama. U nekim slučajevima, drugačiji format snimanja može uzrokovati probleme. Na primjer, šta ako tražite kusur u trgovini u iznosu od 2/3 rublje :)

Pravila za pisanje decimalnih razlomaka

Glavna prednost decimalnih razlomaka je zgodna i vizualna notacija. naime:

Decimalni zapis je oblik pisanja decimalnih razlomaka, gdje cijeli dio odvojeno od razlomka redovnom tačkom ili zarezom. U ovom slučaju, sam separator (tačka ili zarez) naziva se decimalna točka.

Na primjer, 0,3 (čitaj: “nula pokazivača, 3 desetinke”); 7,25 (7 cijelih, 25 stotinki); 3.049 (3 cijela, 49 hiljaditih). Svi primjeri su preuzeti iz prethodne definicije.

U pisanom obliku, zarez se obično koristi kao decimalni zarez. Ovdje i dalje na cijeloj web lokaciji, zarez će se također koristiti.

Da biste napisali proizvoljan decimalni razlomak u ovom obliku, trebate slijediti tri jednostavna koraka:

1. Napišite brojnik zasebno;
2. Pomaknite decimalni zarez ulijevo za onoliko mjesta koliko ima nula u nazivniku. Pretpostavimo da je u početku decimalna točka desno od svih cifara;
3. Ako se decimalni zarez pomaknuo, a nakon nje su nule na kraju unosa, moraju se precrtati.

Dešava se da u drugom koraku brojilac nema dovoljno cifara da završi pomak. U ovom slučaju, pozicije koje nedostaju popunjavaju se nulama. I općenito, lijevo od bilo kojeg broja možete dodijeliti bilo koji broj nula bez štete po vaše zdravlje. To je ružno, ali ponekad korisno.

Na prvi pogled ovaj algoritam može izgledati prilično komplikovan. Zapravo, sve je vrlo, vrlo jednostavno - samo trebate malo vježbati. Pogledajte primjere:

Zadatak. Za svaki razlomak navedite njegov decimalni zapis:

Brojač prvog razlomka je: 73. Pomaknemo decimalni zarez za jedan znak (pošto je imenilac 10) - dobijemo 7,3.

Brojač drugog razlomka: 9. Pomaknemo decimalni zarez za dva mjesta (pošto je imenilac 100) - dobijemo 0,09. Morao sam da dodam jednu nulu iza decimalnog zareza i još jednu ispred nje, da ne bih ostavio čudan unos poput „.09“.

Brojač trećeg razlomka: 10029. Pomaknemo decimalni zarez za tri mjesta (pošto je imenilac 1000) - dobijemo 10,029.

Brojač posljednjeg razlomka: 10500. Ponovo pomjerimo tačku za tri cifre - dobijemo 10,500. Na kraju broja su dodatne nule. Precrtajte ih i dobićemo 10,5.

Obratite pažnju na posljednja dva primjera: brojeve 10.029 i 10.5. Prema pravilima, nule na desnoj strani moraju biti precrtane, kao što je učinjeno u posljednjem primjeru. Međutim, to nikada ne biste trebali raditi sa nulama unutar broja (koje su okružene drugim brojevima). Zato smo dobili 10.029 i 10.5, a ne 1.29 i 1.5.

Dakle, shvatili smo definiciju i oblik pisanja decimalnih razlomaka. Sada ćemo saznati kako pretvoriti obične razlomke u decimale - i obrnuto.

Pretvorba iz razlomaka u decimale

Razmotrimo jednostavan numerički razlomak oblika a /b. Možete koristiti osnovno svojstvo razlomka i pomnožiti brojilac i nazivnik s takvim brojem da se ispostavi da je dno stepen deset. Ali prije nego što to učinite, pročitajte sljedeće:

Postoje imenioci koji se ne mogu svesti na stepen deset. Naučite prepoznati takve razlomke, jer se s njima ne može raditi koristeći dolje opisani algoritam.

Tako stvari stoje. Pa, kako shvatiti da li je imenilac smanjen na stepen deset ili ne?

Odgovor je jednostavan: razbijte imenilac u proste faktore. Ako proširenje sadrži samo faktore 2 i 5, ovaj broj se može svesti na stepen deset. Ako postoje drugi brojevi (3, 7, 11 - bilo koji), možete zaboraviti na stepen desetice.

Zadatak. Provjerite da li se navedeni razlomci mogu predstaviti kao decimale:

Hajde da napišemo i razložimo nazivnike ovih razlomaka:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - prisutni su samo brojevi 2 i 5. Dakle, razlomak se može predstaviti kao decimalni.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - postoji „zabranjeni“ faktor 3. Razlomak se ne može predstaviti kao decimalni.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Sve je u redu: ne postoji ništa osim brojeva 2 i 5. Razlomak se može predstaviti kao decimalni.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Faktor 3 je ponovo "isplivao" na površinu. Ne može se predstaviti kao decimalni razlomak.

Dakle, sredili smo nazivnik - sada pogledajmo cijeli algoritam za prelazak na decimalne razlomke:

1. Faktorirajte nazivnik originalnog razlomka i uvjerite se da je općenito predstavljen kao decimala. One. provjerite da li su u proširenju prisutni samo faktori 2 i 5. U suprotnom, algoritam ne radi;
2. Prebrojite koliko je dvojki i petica prisutno u proširenju (neće biti drugih brojeva, sjećate se?). Odaberite dodatni faktor tako da je broj dvojki i petica jednak.
3. Zapravo, pomnožimo brojilac i nazivnik originalnog razlomka sa ovim faktorom - dobićemo željeni prikaz, tj. imenilac će biti stepen deset.

Naravno, dodatni faktor će se takođe razložiti samo na dvojke i petice. Istovremeno, kako ne biste zakomplicirali svoj život, trebali biste odabrati najmanji množitelj od svih mogućih.

I još nešto: ako originalni razlomak sadrži cijeli broj, obavezno ga pretvorite u nepravilan razlomak - i tek onda primijenite opisani algoritam.

Zadatak. Pretvorite ove brojčane razlomke u decimale:

Razložimo imenilac prvog razlomka: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Stoga se razlomak može predstaviti kao decimalni. Proširivanje sadrži dvije dvojke, a ne jednu peticu, pa je dodatni faktor 5 2 = 25. Sa njim će broj dvojki i petica biti jednak. imamo:

Pogledajmo sada drugi razlomak. Da biste to učinili, imajte na umu da 24 = 3 8 = 3 2 3 - postoji trojka u proširenju, tako da se razlomak ne može predstaviti kao decimalni.

Posljednja dva razlomka imaju nazivnike 5 (prost broj) i 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 respektivno - svuda su prisutne samo dvojke i petice. Štaviše, u prvom slučaju, "za potpunu sreću" faktor 2 nije dovoljan, au drugom - 5. Dobijamo:

Pretvorba iz decimala u obične razlomke

Obrnuta konverzija - iz decimalnog u regularnu notaciju - je mnogo jednostavnija. Ovdje nema ograničenja ili posebnih provjera, tako da uvijek možete pretvoriti decimalni razlomak u klasični razlomak na dva sprata.

Algoritam prevođenja je sljedeći:

1. Precrtajte sve nule na lijevoj strani decimale, kao i decimalni zarez. Ovo će biti brojnik željenog razlomka. Glavna stvar je ne pretjerivati ​​i ne precrtavati unutrašnje nule okružene drugim brojevima;
2. Izbrojite koliko ima decimalnih mjesta iza decimalnog zareza. Uzmite broj 1 i dodajte onoliko nula na desno koliko ima znakova koje brojite. Ovo će biti imenilac;
3. Zapravo, zapišite razlomak čiji smo brojilac i imenilac upravo pronašli. Ako je moguće, smanjite ga. Ako je originalni razlomak sadržavao cijeli broj, sada ćemo dobiti nepravilan razlomak, što je vrlo zgodno za daljnje proračune.

Zadatak. Pretvorite decimalne razlomke u obične razlomke: 0,008; 3.107; 2.25; 7,2008.

Precrtajte nule lijevo i zareze - dobijamo sljedeće brojeve (ovo će biti brojnici): 8; 3107; 225; 72008.

U prvom i drugom razlomku nalaze se 3 decimale, u drugom - 2, au trećem - čak 4 decimale. Dobijamo nazivnike: 1000; 1000; 100; 10000.

Na kraju, kombinirajmo brojioce i nazivnike u obične razlomke:

Kao što se može vidjeti iz primjera, rezultujuća frakcija se vrlo često može smanjiti. Još jednom da napomenem da se svaki decimalni razlomak može predstaviti kao običan razlomak. Obrnuta konverzija možda nije uvijek moguća.

Ovaj materijal ćemo posvetiti tako važnoj temi kao što su decimalni razlomci. Prvo, definirajmo osnovne definicije, damo primjere i zadržimo se na pravilima decimalnog zapisa, kao i na tome koje su znamenke decimalnih razlomaka. Zatim ističemo glavne vrste: konačni i beskonačni, periodični i neperiodični razlomci. U završnom dijelu ćemo pokazati kako se na koordinatnoj osi nalaze tačke koje odgovaraju razlomcima.

Šta je decimalni zapis razlomaka

Takozvani decimalni zapis razlomaka može se koristiti i za prirodne i za razlomke. Izgleda kao skup od dva ili više brojeva sa zarezom između njih.

Decimalna točka je potrebna da se cijeli dio odvoji od razlomaka. Po pravilu, zadnja znamenka decimalnog razlomka nije nula, osim ako se decimalni zarez ne pojavi odmah iza prve nule.

Koji su neki primjeri razlomaka u decimalnom zapisu? Ovo može biti 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, itd.

U nekim udžbenicima možete pronaći upotrebu tačke umjesto zareza (5.67, 6789.1011, itd.) Ova opcija se smatra ekvivalentnom, ali je tipičnija za izvore na engleskom jeziku.

Definicija decimala

Na osnovu gornjeg koncepta decimalnog zapisa, možemo formulirati sljedeću definiciju decimalnih razlomaka:

Definicija 1

Decimale predstavljaju razlomke u decimalnom zapisu.

Zašto trebamo pisati razlomke u ovom obliku? To nam daje neke prednosti u odnosu na obične, na primjer, kompaktniji zapis, posebno u slučajevima kada nazivnik sadrži 1000, 100, 10, itd., ili mješoviti broj. Na primjer, umjesto 6 10 možemo odrediti 0,6, umjesto 25 10000 - 0,0023, umjesto 512 3 100 - 512,03.

Kako pravilno predstaviti obične razlomke sa desetinama, stotinama, hiljadama u nazivniku u decimalnom obliku, raspravljat ćemo u posebnom materijalu.

Kako pravilno čitati decimale

Postoje neka pravila za čitanje decimalnih zapisa. Dakle, oni decimalni razlomci kojima odgovaraju njihovi redovni obični ekvivalenti čitaju se gotovo isto, ali sa dodatkom riječi „nula desetina” na početku. Dakle, unos 0, 14, koji odgovara 14.100, čita se kao „nulta tačka četrnaest stotinki“.

Ako se decimalni razlomak može povezati s mješovitim brojem, onda se čita na isti način kao i ovaj broj. Dakle, ako imamo razlomak 56, 002, koji odgovara 56 2 1000, ovaj unos čitamo kao „pedeset šest zareza dve hiljaditinke“.

Značenje cifre u decimalnom razlomku zavisi od toga gde se nalazi (isto kao u slučaju prirodnih brojeva). Dakle, u decimalnom razlomku 0,7 sedam je desetine, u 0,0007 je deset hiljaditih, a u razlomku 70.000.345 znači sedam desetina hiljada celih jedinica. Dakle, u decimalnim razlomcima postoji i koncept mesne vrednosti.

Imena cifara koje se nalaze ispred decimalnog zareza slična su onima koja postoje u prirodnim brojevima. Imena onih koji se nalaze poslije jasno su predstavljena u tabeli:

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Imamo decimalni razlomak 43,098. Ona ima četvorku na mjestu desetica, trojku na mjestu jedinica, nulu na mjestu desetine, 9 na mjestu stotinki i 8 na mjestu hiljaditih.

Uobičajeno je da se rangovi decimalnih razlomaka razlikuju po prioritetu. Ako se krećemo kroz brojeve s lijeva na desno, onda ćemo ići od najznačajnijeg do najmanje značajnog. Ispostavilo se da su stotine starije od desetina, a dijelovi na milion mlađi od stotinki. Ako uzmemo konačni decimalni razlomak koji smo naveli kao primjer iznad, onda će najviše, odnosno najviše mjesto u njemu biti mjesto stotine, a najniže, odnosno najniže mjesto će biti mjesto 10-hiljaditi.

Bilo koji decimalni razlomak može se proširiti na pojedinačne znamenke, odnosno predstaviti kao zbir. Ova radnja se izvodi na isti način kao za prirodni brojevi.

Primjer 2

Pokušajmo proširiti razlomak 56, 0455 u znamenke.

dobićemo:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ako se prisjetimo svojstava sabiranja, ovaj razlomak možemo predstaviti u drugim oblicima, na primjer, kao zbir 56 + 0, 0455 ili 56, 0055 + 0, 4, itd.

Šta su zadnje decimale?

Svi razlomci o kojima smo gore govorili su konačne decimale. To znači da je broj cifara iza decimalnog zareza konačan. Hajde da izvedemo definiciju:

Definicija 1

Završne decimale su tip decimalnog razlomka koji ima konačan broj decimalnih mjesta nakon decimalnog mjesta.

Primjeri takvih razlomaka mogu biti 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, itd.

Bilo koji od ovih razlomaka može se pretvoriti u mješoviti broj (ako je vrijednost njihovog razlomka različita od nule) ili u običan razlomak (ako je cijeli broj nula). Kako se to radi, posvetili smo poseban članak. Ovdje ćemo samo ukazati na nekoliko primjera: na primjer, možemo svesti konačni decimalni razlomak 5, 63 na oblik 5 63 100, a 0, 2 odgovara 2 10 (ili bilo kojem drugom jednakom razlomku, za na primjer, 4 20 ili 1 5.)

Ali obrnuti proces, tj. rekord običan razlomak u decimalnom obliku ne može se uvijek izvesti. Dakle, 5 13 se ne može zamijeniti jednakim razlomkom sa nazivnikom 100, 10 itd., što znači da se iz njega ne može dobiti konačni decimalni razlomak.

Glavne vrste beskonačnih decimalnih razlomaka: periodični i neperiodični razlomci

Gore smo naveli da se konačni razlomci nazivaju tako jer imaju konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Međutim, može biti beskonačan, u kom slučaju će se i sami razlomci zvati beskonačnim.

Definicija 2

Beskonačni decimalni razlomci su oni koji imaju beskonačan broj cifara iza decimalnog zareza.

Očigledno je da se takvi brojevi jednostavno ne mogu zapisati u cijelosti, pa naznačimo samo dio njih, a zatim dodamo trotočku. Ovaj znak označava beskonačan nastavak niza decimalnih mjesta. Primjeri beskonačnih decimalnih razlomaka uključuju 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. itd.

"Rep" takvog razlomka može sadržavati ne samo naizgled nasumične nizove brojeva, već i stalno ponavljanje istog znaka ili grupe znakova. Razlomci sa naizmjeničnim brojevima iza decimalnog zareza nazivaju se periodični.

Definicija 3

Periodični decimalni razlomci su oni beskonačni decimalni razlomci u kojima se jedna cifra ili grupa od nekoliko cifara ponavlja iza decimalnog zareza. Ponavljajući dio naziva se period razlomka.

Na primjer, za razlomak 3, 444444…. period će biti broj 4, a za 76, 134134134134... - grupa 134.

Koliki je najmanji broj znakova koji se može ostaviti u zapisu periodičnog razlomka? Za periodične razlomke bit će dovoljno cijeli period napisati jednom u zagradi. Dakle, razlomak 3, 444444…. Bilo bi ispravno zapisati kao 3, (4) i 76, 134134134134... - kao 76, (134).

Općenito, unosi s nekoliko tačaka u zagradama imat će potpuno isto značenje: na primjer, periodični razlomak 0,677777 je isti kao 0,6 (7) i 0,6 (77), itd. Prihvatljivi su i zapisi oblika 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) itd.

Da bismo izbjegli greške, uvodimo uniformnost notacije. Dogovorimo se da zapišemo samo jednu tačku (najkraći mogući niz brojeva), koja je najbliža decimalnoj zarezi, i stavimo je u zagrade.

Odnosno, za gornji razlomak smatrat ćemo glavni unos 0, 6 (7), a, na primjer, u slučaju razlomka 8, 9134343434, pisaćemo 8, 91 (34).

Ako nazivnik običnog razlomka sadrži proste faktore koji nisu jednaki 5 i 2, onda kada se pretvore u decimalni zapis, oni će rezultirati beskonačnim razlomcima.

U principu, bilo koji konačni razlomak možemo zapisati kao periodični. Da bismo to učinili, samo trebamo dodati beskonačan broj nula s desne strane. Kako to izgleda na snimku? Recimo da imamo konačni razlomak 45, 32. U periodičnom obliku to će izgledati kao 45, 32 (0). Ova radnja je moguća jer dodavanjem nula desno od bilo kojeg decimalnog razlomka dobije se razlomak jednak njemu.

Posebnu pažnju treba obratiti na periodične razlomke sa periodom od 9, na primjer, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Oni su alternativna oznaka za slične razlomke s periodom od 0, tako da se često zamjenjuju kada se piše razlomcima sa nultom tačkom. U ovom slučaju, vrijednost sljedeće znamenke dodaje se jedan, a (0) je naznačeno u zagradama. Jednakost rezultirajućih brojeva može se lako provjeriti predstavljanjem ih kao obične razlomke.

Na primjer, razlomak 8, 31 (9) može se zamijeniti odgovarajućim razlomkom 8, 32 (0). Ili 4, (9) = 5, (0) = 5.

Odnosi se na beskonačne decimalne periodične razlomke racionalnih brojeva. Drugim riječima, bilo koji periodični razlomak se može predstaviti kao običan razlomak, i obrnuto.

Postoje i razlomci koji nemaju beskonačno ponavljajući niz nakon decimalnog zareza. U ovom slučaju, oni se nazivaju neperiodični razlomci.

Definicija 4

Neperiodični decimalni razlomci uključuju one beskonačne decimalne razlomke koji ne sadrže tačku nakon decimalne zareze, tj. ponavljajuća grupa brojeva.

Ponekad neperiodični razlomci izgledaju vrlo slično periodičnim. Na primjer, 9, 03003000300003 ... na prvi pogled izgleda da ima menstruaciju, međutim detaljna analiza decimalna mjesta potvrđuje da je ovo još uvijek neperiodični razlomak. Sa takvim brojevima morate biti veoma oprezni.

Neperiodični razlomci se klasifikuju kao iracionalni brojevi. Oni se ne pretvaraju u obične razlomke.

Osnovne operacije sa decimalama

Sa decimalnim razlomcima možete sljedeći koraci: poređenje, oduzimanje, sabiranje, dijeljenje i množenje. Pogledajmo svaki od njih posebno.

Poređenje decimala može se svesti na poređenje razlomaka koji odgovaraju originalnim decimalima. Ali beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se svesti na ovaj oblik, a pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke je često naporan zadatak. Kako možemo brzo izvršiti radnju poređenja ako to trebamo učiniti dok rješavamo problem? Pogodno je porediti decimalne razlomke po znamenki na isti način kao što poredimo prirodne brojeve. Ovoj metodi ćemo posvetiti poseban članak.

Za dodavanje nekih decimalnih razlomaka s drugima, zgodno je koristiti metodu sabiranja stupaca, kao i za prirodne brojeve. Da biste dodali periodične decimalne razlomke, prvo ih morate zamijeniti običnim i računati prema njima standardna šema. Ako, u skladu sa uslovima zadatka, treba da saberemo beskonačne neperiodične razlomke, onda ih prvo treba zaokružiti na određenu cifru, a zatim sabrati. Što je manja cifra na koju zaokružujemo, to će biti veća tačnost izračuna. Za oduzimanje, množenje i dijeljenje beskonačnih razlomaka potrebno je i prethodno zaokruživanje.

Pronalaženje razlike između decimalnih razlomaka je inverzno sabiranju. U suštini, korištenjem oduzimanja možemo pronaći broj čiji će nam zbir s razlomkom koji oduzimamo dati razlomak koji minimiziramo. O tome ćemo detaljnije govoriti u posebnom članku.

Množenje decimalnih razlomaka vrši se na isti način kao i za prirodne brojeve. Metoda proračuna stupaca je također pogodna za to. Ovu radnju s periodičnim razlomcima opet svodimo na množenje običnih razlomaka prema već proučavanim pravilima. Beskonačni razlomci, kao što se sjećamo, moraju se zaokružiti prije izračunavanja.

Proces dijeljenja decimala je inverzan od množenja. Prilikom rješavanja zadataka koristimo i stupaste proračune.

Možete uspostaviti tačnu korespondenciju između konačnog decimalnog razlomka i točke na koordinatnoj osi. Hajde da shvatimo kako označiti tačku na osi koja će tačno odgovarati traženom decimalnom razlomku.

Već smo proučavali kako konstruirati tačke koje odgovaraju običnim razlomcima, ali decimalni razlomci se mogu svesti na ovaj oblik. Na primjer, obični razlomak 14 10 je isti kao 1, 4, tako da će odgovarajuća točka biti uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za potpuno istu udaljenost:

Možete bez zamjene decimalnog razlomka običnim, ali kao osnovu koristite metodu proširenja ciframa. Dakle, ako treba da označimo tačku čija će koordinata biti jednaka 15, 4008, onda ćemo ovaj broj prvo prikazati kao zbir 15 + 0, 4 +, 0008. Za početak, odvojimo 15 cijelih jediničnih segmenata u pozitivnom smjeru od početka odbrojavanja, zatim 4 desetine jednog segmenta, a zatim 8 desethiljaditih dijelova jednog segmenta. Kao rezultat, dobijamo koordinatnu tačku koja odgovara razlomku 15, 4008.

Za beskonačni decimalni razlomak, bolje je koristiti ovu metodu, jer vam omogućava da se željenoj tački približite koliko god želite. U nekim slučajevima moguće je konstruirati tačnu korespondenciju beskonačnog razlomka na koordinatnoj osi: na primjer, 2 = 1, 41421. . . , a ovaj razlomak se može povezati s tačkom na koordinatnoj zraci, udaljenom od 0 po dužini dijagonale kvadrata, čija će stranica biti jednaka jednom jediničnom segmentu.

Ako ne pronađemo tačku na osi, već decimalni razlomak koji joj odgovara, tada se ova radnja naziva decimalnim mjerenjem segmenta. Hajde da vidimo kako to ispravno uraditi.

Recimo da treba da dođemo od nule do date tačke na koordinatnoj osi (ili da se što više približimo u slučaju beskonačnog razlomka). Da bismo to učinili, postepeno odgađamo segmente jedinica od početka dok ne dođemo do željene tačke. Nakon cijelih segmenata, po potrebi, mjerimo desetinke, stotinke i manje razlomke kako bi podudaranje bilo što preciznije. Kao rezultat, dobili smo decimalni razlomak koji odgovara dati poen na koordinatnoj osi.

Iznad smo prikazali crtež sa tačkom M. Pogledajte ponovo: da biste došli do ove tačke, morate izmjeriti jedan jedinični segment i četiri desetine od nule, jer ova tačka odgovara decimalnom razlomku 1, 4.

Ako ne možemo doći do tačke u procesu decimalnog mjerenja, onda to znači da ona odgovara beskonačnom decimalnom razlomku.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Lekcijamatematika u 5. razredu na temu "Decimalni zapis razlomaka"

Predmet: Koncept decimalnog razlomka. Čitanje i pisanje decimala.

Cilj lekcije: upoznati pojam decimalnih razlomaka, njihovo pravilno čitanje i pisanje.

Zadaci:

Organizovati rad učenika za proučavanje i početno učvršćivanje pojma „dekadnog razlomka” i algoritma za pisanje decimalnih razlomaka.

Stvorite uslove za formiranje UUD-a:

Komunikativni UUD: vještine slušanja, disciplina, samostalno razmišljanje.

Regulatorni UUD: razumjeti vaspitni zadatak lekcije, pod vodstvom nastavnika provoditi rješenje obrazovnog zadatka, odrediti svrhu obrazovnog zadatka, kontrolirati svoje postupke u procesu njegove realizacije, otkrivati ​​i ispravljati greške, odgovarati na završna pitanja i procijenite svoja postignuća

Lični UUD: formiranje obrazovne motivacije, potrebe za sticanjem novih znanja.

Vrsta lekcije: lekcija o učenju novog gradiva

Tehnologija izgradnje lekcije: problemska metoda, rad u parovima

Oblici rada: individualni, frontalni, razgovor, rad u parovima.

Organizacija aktivnosti učenika u učionici:

Oni samostalno identifikuju problem i rešavaju ga;

Samostalno odrediti temu i ciljeve časa;

Izvedite pravilo;

Rad sa tekstom iz udžbenika;

Odgovorite na pitanja;

samostalno rješavati probleme;

Procjenjujte sebe i jedni druge;

Oni odražavaju.

Nastavne metode: verbalno, vizuelno - ilustrativno, praktično

Resursi: multimedijalni projektor, prezentacija.

Edukativno-metodička podrška: udžbenik„Matematika. 5. razred” autor N.Ya. Vilenkin; CD „Matematika. Nastava po novim standardima. Teorija. Metodologija. Vježbajte. Izdavačka kuća "Učitel".

Decimalni razlomak mora sadržavati zarez. Brojčani dio razlomka koji se nalazi lijevo od decimalnog zareza naziva se cijeli dio; desno - razlomak:

5.28 5 - cijeli broj 28 - razlomački dio

Razlomak decimale se sastoji od decimalna mjesta(decimala):

• desetine - 0,1 (jedna desetina);
• stotinke - 0,01 (stoti dio);
• hiljaditi - 0,001 (hiljaditi);
• desethiljaditi - 0,0001 (jedan desethiljaditi);
• stohiljaditi - 0,00001 (stohiljaditi);
• milioniti - 0,000001 (jedan milioniti dio);
• deset milionitih delova - 0,0000001 (jedan desetmilioniti deo);
• stomilioniti - 0,00000001 (stomilioniti);
• milijarditi - 0,000000001 (jedna milijarda), itd.

• pročitaj broj koji čini cijeli dio razlomka i dodaj riječ " cijeli";
• pročitaj broj koji čini razlomak i dodaj naziv najmanje značajne cifre.

na primjer:

• 0,25 - nulta tačka dvadeset pet stotinki;
• 9.1 - devet poena jedna desetina;
• 18.013 - osamnaest tačka trinaest hiljaditih;
• 100,2834 - sto poena dvije hiljade osam stotina trideset četiri deset hiljada.

Pisanje decimala

Da zapišete decimalni razlomak:

• zapišite cijeli dio razlomka i stavite zarez (broj koji znači cijeli dio razlomka uvijek se završava riječju " cijeli");
• napišite razlomak razlomka na način da zadnja znamenka padne u željenu cifru (ako nema značajnih cifara na određenim decimalnim mjestima, zamjenjuju se nulama).

na primjer:

• dvadeset zarez devet - 20,9 - u ovom primjeru sve je jednostavno;
• pet zareza jedna stota - 5,01 - riječ "stota" znači da iza decimalnog zareza treba da budu dvije cifre, ali pošto broj 1 nema deseto mjesto, zamjenjuje se nulom;
• nulta tačka osamsto osam hiljaditih - 0,808;
• tri zareze petnaest desetina - takav decimalni razlomak se ne može zapisati, jer je došlo do greške u izgovoru razlomka - broj 15 sadrži dvije cifre, a riječ "desetine" podrazumijeva samo jednu. Ispravno bi bilo tri zareze petnaest stotih (ili hiljaditih, deset hiljaditih, itd.).

Poređenje decimala

Poređenje decimalnih razlomaka vrši se slično kao i poređenje prirodnih brojeva.

1. prvo se upoređuju cijeli dijelovi razlomaka - decimalni razlomak čiji je cijeli dio veći će biti veći;
2. ako su cijeli dijelovi razlomaka jednaki, uporedite razlomke malo po malo, s lijeva na desno, počevši od decimalne točke: desetinke, stotinke, hiljaditi, itd. Poređenje se vrši do prvog odstupanja - veći će biti decimalni razlomak koji ima veću nejednaku cifru u odgovarajućoj znamenki razlomka. Na primjer: 1,2 8 3 > 1,27 9, jer na stotinki prvi razlomak ima 8, a drugi 7.

Odjeljci: Matematika

Predmet: Koncept decimalnog razlomka. Čitanje i pisanje decimala.

Golovi:

1. Formiranje znanja i vještina za pisanje i čitanje decimalnih razlomaka. Upoznati učenike sa novim brojevima - decimalama (novi način pisanja brojeva)
2. Razvijati intuiciju, nagađanje, erudiciju i vladanje matematičkim metodama.
3. Pobuditi matematičku radoznalost i inicijativu, razviti održivo interesovanje za matematiku.
4. Negujte kulturu matematičkog razmišljanja.

Razvojni cilj: Formiranje vještina samovrednovanja i samoanalize obrazovnih aktivnosti.

Problemski - razvojna lekcija (kombinovana)

Faze:

1) problematičnoj situaciji;
2) problem;
3) traženje načina da se to riješi;
4) rješavanje problema

Moto lekcije:

Cilj lekcije

Epigrafi:

"Ne možete naučiti matematiku gledajući kako to radi vaš komšija."
(pjesnikinja Nivey)

“Učenje mora biti zabavno... Da biste probavili znanje, morate ga apsorbirati s apetitom”
(Anatole France)

Oprema:

1. individualne kartice - zadaci;
2. kartice sa zadacima za rad u parovima;
3. jasnoća za usmeni rad, za istorijske informacije;
4. magnetna tabla

Ponavljanje:

1. Uobičajeni razlomci
2. Geometrijski oblici

Napredak lekcije

Drevni grčki pjesnik Niveus je tvrdio da se matematika ne može naučiti gledajući kako to radi tvoj susjed. Stoga ćemo danas svi raditi aktivno, dobro i sa dobrom za um.

I. « Najbolji sat obični razlomak" - usmeni rad

Prva runda

Drugi krug “Logički lanci”

Rasporedite u rastućem redosledu.

Treća runda.

Učenik je pogriješio prilikom primjene osnovnog
svojstva razlomaka. Pronađite grešku!

Četvrta runda

Učenje nove teme

Pogledajmo tabelu kategorija i odgovorimo na pitanja:

Pitanja:

1. Kako se pozicija jedinice mijenja u svakom sljedećem redu u odnosu na prethodni?
2. Kako to mijenja njen značaj?
3. Kako se mijenja vrijednost odgovarajućeg broja?
4. Koja aritmetička operacija odgovara ovoj promjeni?

Zaključak: pomicanjem jedinice za jednu cifru udesno, svaki put smo smanjivali odgovarajući broj za 10 puta i tako činili sve dok ne bismo došli do posljednje cifre - cifre jedinice.

Da li je moguće smanjiti jedan za 10 puta?
svakako,

problem: Ali za ovaj broj još nema mjesta u našim rang listama.

Razmislite o tome kako trebate promijeniti tabelu rangova da biste mogli upisati broj u nju.

Smatramo da trebamo pomjeriti broj 1 udesno za jedno mjesto.

Isto tako:

Dajte nazive kategorijama : desetinke, stotinke, hiljaditi, desethiljaditi, itd. cijeli broj razlomak dio

2 jedinice 3 desetine
2 jedinice 3 stotinke

A da bismo pisali brojeve izvan tabele, moramo nekim znakom odvojiti cijeli dio od razlomka. Dogovorili smo se da to učinimo koristeći zarez ili tačku. Kod nas se po pravilu koristi zarez, a u SAD i nekim drugim zemljama tačka. Zapisujemo i čitamo brojeve na sljedeći način:

a) 2,3 ili 2,3 (dva tačka tri ili dva, zarez, tri ili dva, tačka, tri)
b) 2,03 ili 2,03 (dva zareza tri stotinke ili dvije, zarez, nula, tri ili dva, tačka, nula, tri)

Pravilo: Ako se zarez (ili tačka) koristi u decimalnom zapisu broja, onda se kaže da je broj zapisan kao decimalni razlomak.

Radi kratkoće, brojevi se jednostavno nazivaju u decimalnim razlomcima.
Imajte na umu da decimalni razlomak nije nova vrsta broja, već novi način
snimanje brojeva.

Dakle, moto naše lekcije: “Imati odlično znanje o temi “Decimalni razlomci”

Cilj lekcije: dokazati da nas razlomci ne mogu dovesti u tešku poziciju.

Sada hajde da posetimo "Istorijsko selo"

Razlomci su se pojavili u antičko doba. Prilikom podjele plijena, prilikom mjerenja količina iu drugim sličnim slučajevima ljudi su nailazili na potrebu uvođenja razlomaka. Operacije s razlomcima u srednjem vijeku smatrane su najtežim područjem matematike. Nemci i dan-danas za osobu koja se nađe u teškoj situaciji kažu da je „pao u razlomke“. Da bi se olakšao rad sa razlomcima, izmišljene su decimale. U Evropu ih je uveo 1585. godine holandski matematičar i inženjer. Simon Stevin. Evo kako je predstavio razlomak:

14,382, 14 0 3 1 8 2 2 3
U Francuskoj su uvedeni decimalni razlomci Francois Viet 1579. godine; njegov razlomak: 14.382, 14/382, 14
I mi smo izložili doktrinu decimalnih razlomaka Leonty Filippovich Magnitsky 1703. godine u udžbeniku matematike „Aritmetika, odnosno nauka o brojevima“
Evo još nekoliko načina za predstavljanje decimala:
14. 3. 8. 2. ;

Punjač(muzička pratnja)

II. Vježbe

1. Zabilježite temu lekcije.
2. Prva tabela je da sami zapišete brojeve.
3. Druga tabela je zapisivanje brojeva ciframa.

III. Pauza- provodi se u cilju očuvanja dobro raspoloženje, dobro raspoloženje, matematički stav.

Anatole France je jednom rekao: “Morate se zabaviti učeći... Da biste probavili znanje, morate ga apsorbirati s apetitom”

Oralno:

1. Vitya Verkhoglyadkin je pronašao tačan razlomak, koji je veći od 1, ali svoje „otkriće“ čuva u tajnosti. Zašto?
2. Vitya Verkhoglyadkin je nacrtao 11 prečnika kruga. Zatim je izbrojao izvučene poluprečnike i dobio broj 21. Da li je njegov odgovor tačan?
3. Išao je odred vojnika: deset redova po sedam vojnika u nizu. Koliko?

a) bili su brkati.
Koliko je bilo brkatih vojnika?
Koliko je bilo vojnika bez brkova?
b) bili su velikog nosa.
Koliko je bilo vojnika velikog nosa?
Koliko je tu bilo vojnika s prnjavim nosom?
Zapiši: = 0,8; = 0,4

IV. Ponavljanje - razvojne vježbe (rad u paru)

Lake Rebusnoye(aplikacija)

V. Sažetak lekcije.

Refleksija.

Koje ste nove stvari naučili?
- Šta vam je bilo teško?
- Šta si naučio?
- Koji je problem nastao na času?
- Jesmo li uspjeli to riješiti?

Evaluacija vašeg rada (na papirima sa tablicama rangova). Napišite kako ste naučili materijal lekcije.

1. Imam dobro znanje.
2. Savladao sam sav materijal.
3. Djelomično sam razumio materijal.

VI. Domaći. br. 38.1, 38.2, Radna sveska(stranica 28)