Primjeri integrala razlomke racionalne funkcije. Integracija racionalnih funkcija
Jedna od najvažnijih klasa funkcija, čiji su integrali izraženi kroz elementarne funkcije, je klasa racionalne funkcije.
Definicija 1. Funkcija oblika gdje 
- polinomi stepeninImnaziva racionalnim. Cijela racionalna funkcija, tj. polinom, direktno integriše. Integral of frakciona racionalna funkcija može se pronaći razlaganjem u termine, koji se na standardni način pretvaraju u osnovne tabelarne integrale.
Definicija 2. Razlomak 
naziva se tačnim ako je stepen brojiocanmanji od stepena nazivnikam.
Razlomak u kojem je stepen brojioca veći ili jednak stepenu nazivnika naziva se nepravilan.
Bilo koji nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Ovo se radi dijeljenjem polinoma polinomom, poput dijeljenja brojeva.
Primjer. 
Zamislimo razlomak
kao zbir polinoma i pravilnog razlomka:
3
3
3
x - 1 
Prvi mandat 
u količniku se dobije kao rezultat dijeljenja glavnog člana , podijeljeno vodećim pojmom X 
razdjelnik Zatim se množimo po djelitelju x-1
a rezultirajući rezultat se oduzima od dividende; Preostali članovi nepotpunog količnika nalaze se slično.
Podijelivši polinome, dobijamo:
Ova radnja se zove odabir cijelog dijela.
Definicija 3. Najjednostavniji razlomci su pravi racionalni razlomci sljedećih tipova: 
I. 
II.
(K=2, 3, …). 
III. 
gdje je kvadratni trinom 
IV. 
gdje je K=2, 3, …; kvadratni trinom
nema prave korene. 
a) proširi imenilac 
u najjednostavnije realne faktore (prema osnovnoj teoremi algebre, ovo proširenje može sadržavati linearne binome oblika 
i kvadratni trinomi
, bez korijena); 
b) napišite dijagram dekompozicije datog razlomka na zbir prostih razlomaka. Štaviše, svaki faktor forme odgovara k
komponente tipa I i II: 
svakom faktoru forme
Bilo koji nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Ovo se radi dijeljenjem polinoma polinomom, poput dijeljenja brojeva.
odgovara e terminima tipova III i IV: 
Zapišite shemu proširenja razlomaka
na zbir najjednostavnijih.
c) izvršiti sabiranje najjednostavnijih dobijenih razlomaka. 
Zapišite jednakost brojila dobivenih i originalnih razlomaka;
d) naći koeficijente odgovarajuće ekspanzije:
Integriranje bilo kojeg pravilnog racionalnog razlomka nakon dekompozicije u njegove najjednostavnije termine svodi se na pronalaženje integrala jednog od tipova:
(odgovara I e =2, 3, …).
Izračunavanje integrala 
svodi na formulu III:
integral 
- na formulu II:
integral 
može se naći po pravilu specificiranom u teoriji integracije funkcija koje sadrže kvadratni trinom; 
- kroz transformacije prikazane dolje u primjeru 4.
Primjer 1.
a) faktori imenioca:
b) napišite dijagram za dekomponovanje integrala na pojmove:
c) izvrši sabiranje prostih razlomaka:
Zapišimo jednakost brojilaca razlomaka:
d) postoje dvije metode za pronalaženje nepoznatih koeficijenata A, B, C.
Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su njihovi koeficijenti jednaki za iste potencije , podijeljeno vodećim pojmom, tako da možete kreirati odgovarajući sistem jednačina. Ovo je jedna od metoda rješenja.
Koeficijenti at 
slobodni članovi (koeficijent pri 
):4A=8.
Nakon što smo riješili sistem, dobijamo A=2, B=1, C= - 10.
Druga metoda - privatne vrijednosti - bit će razmotrena u sljedećem primjeru;
e) zamijenite pronađene vrijednosti u šemu dekompozicije:
Zamjenjujući rezultirajući zbir pod predznakom integrala i integrirajući svaki član posebno, nalazimo:
Primjer 2.
Identitet je jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti nepoznanica koje su u njemu uključene. Na osnovu ovoga metod privatne vrijednosti. , podijeljeno vodećim pojmom Može se dati
bilo koje vrijednosti. Za izračune je pogodnije uzeti one vrijednosti zbog kojih svi članovi na desnoj strani jednakosti nestaju. Neka x = 0 . Onda 1 = A 0(0+2)+V (0-1)(0+2).
0 (0-1)+S Slično za x = - 2 imamo 1= - 2V*(-3 ), at x = 1 imamo.
1 = 3A 
dakle,
Primjer 3.
bilo koje vrijednosti. Za izračune je pogodnije uzeti one vrijednosti zbog kojih svi članovi na desnoj strani jednakosti nestaju. Neka d) prvo koristimo metodu parcijalne vrijednosti. . Onda , Onda.
1, A = 1 At x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) ili, 6 = - 3V.
B = - 2 , podijeljeno vodećim pojmom Da biste pronašli koeficijente C i D, potrebno je kreirati još dvije jednačine. Za ovo možete uzeti bilo koje druge vrijednosti , Na primjer x = 1 I x = 2 , podijeljeno vodećim pojmom. Možete koristiti prvi metod, tj. 
izjednačiti koeficijente na bilo kojim identičnim potencijama 
, na primjer kada
I.Dobili smo
1 = A+B+C i 4 = C + D, - IN. Znajući A = 1, . = 0 .
B = -2
, naći ćemo 
C = 2
Dakle, obje metode se mogu kombinirati prilikom izračunavanja koeficijenata. 
Poslednji integral 
nalazimo odvojeno prema pravilu specificiranom u metodi specificiranja nove varijable.
=
Odaberimo savršen kvadrat u nazivniku:
recimo
Onda 
dobijamo: 
Zamjenom prethodne jednakosti nalazimo 
Primjer 4.
Nađi
b)
U trećem integralu zamjenjujemo varijablu: 
(Prilikom izvođenja transformacija koristili smo formulu trigonometrije 
Pronađite integrale:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Pitanja za samotestiranje.
Koji od podataka racionalne razlomke su tačni:
2. Da li je dijagram za razlaganje razlomka na zbir prostih razlomaka ispravno napisan?
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
U integralima 1-3 as u
prihvatiti 
. Onda, posle n-višestrukom primjenom formule (19) dolazimo do jednog od tabličnih integrala
,
,
.
U integralima 4-6, prilikom diferenciranja, transcendentalni faktor će biti pojednostavljen 
,
ili 
, što treba shvatiti kao u.
Izračunajte sljedeće integrale.
Primjer 7.
Primjer 8. 
Svođenje integrala na sebe
Ako je integrand 
ima oblik:
,
,
i tako dalje,
onda nakon dva puta integracije po dijelovima dobijamo izraz koji sadrži originalni integral 
:
,
Gdje 
- neka konstanta.
Rješavanje rezultirajuće jednačine za 
, dobijamo formulu za izračunavanje originalnog integrala:
.
Ovaj slučaj primjene metode integracije po dijelovima naziva se " dovodeći integral sebi».
Primjer 9. Izračunaj integral
.
Na desnoj strani je originalni integral 
. Pomeranjem na lijevu stranu dobijamo:
.
Primjer 10. Izračunaj integral
.
4.5. Integracija najjednostavnijih pravih racionalnih razlomaka
Definicija.Najjednostavniji pravi razlomci I , II I III vrste Zovu se sljedeći razlomci:
I.
;
II.
;
(
- pozitivan cijeli broj);
III.
; 
.
(korijeni nazivnika su složeni, odnosno:
I.
;
(20)
II. ; (21)
III.
;
Razmotrimo integrale prostih razlomaka. 
Transformišemo brojilac razlomka na način da izolujemo član u brojniku
, jednako derivaciji nazivnika.
Razmotrimo prvi od dva dobijena integrala i izvršimo promjenu u njemu:
U drugom integralu savršenom kvadratu dodajemo nazivnik:
=
+
.
(22)
Konačno, integral razlomka trećeg tipa jednak je:
Tako se integral najjednostavnijih razlomaka tipa I izražava kroz logaritme, tipa II - kroz racionalne funkcije, tipa III - kroz logaritme i arktangente.
4.6.Integracija frakciono-racionalnih funkcija
Jedna od klasa funkcija koje imaju integral izražen u terminima elementarnih funkcija je klasa algebarskih racionalnih funkcija, odnosno funkcija koje su rezultat konačnog broja algebarskih operacija nad argumentom. 
Svaka racionalna funkcija 
izjednačiti koeficijente na bilo kojim identičnim potencijama 
:
.
(23)
može se predstaviti kao omjer dva polinoma
Pretpostavit ćemo da polinomi nemaju zajedničke korijene. Razlomak oblika (23) se zove ispravan m< n, ako je stepen brojioca manji od stepena nazivnika, tj. . inače -.
Ako je razlomak nepravilan, onda dijeljenjem brojnika sa nazivnikom (prema pravilu za dijeljenje polinoma) predstavljamo razlomak kao zbir polinoma i pravilnog razlomka:
,
(24)
Gdje 
- polinom, 
- pravilan razlomak, i stepen polinoma 
- ne više od stepena ( n-1).
Primjer. 
Pošto se integracija polinoma svodi na zbir tabelarnih integrala od funkcija snage, tada je glavna poteškoća u integraciji racionalnih razlomaka integracija pravih racionalnih razlomaka.
U algebri je dokazano da svaki pravi razlomak 
razlaže se u zbir navedenog protozoa razlomci čiji je oblik određen korijenima nazivnika 
.
Razmotrimo tri posebna slučaja. Ovdje i dalje ćemo pretpostavljati da je koeficijent 
na najvišem stepenu nazivnika 
jednako jedan 
=1, tjredukovani polinom
.
Slučaj 1. Korijeni nazivnika, odnosno korijeni 
jednačine 
=0, su validne i različite. Tada imenilac predstavljamo kao proizvod linearnih faktora:
a pravi razlomak se razlaže na najjednostavnije razlomke I-gotipa:
,
(26)
Gdje 
- neke konstantni brojevi, koji se nalaze metodom neodređenih koeficijenata.
Za ovo vam je potrebno:
1. Desnu stranu proširenja (26) dovesti do zajedničkog nazivnika.
2. Izjednačiti koeficijente identičnih potencija identičnih polinoma u brojiocu lijeve i desne strane. Dobijamo sistem linearnih jednačina za određivanje 
.
3. Riješite rezultujući sistem i pronađite neodređene koeficijente 
.
Tada će integral frakciono-racionalne funkcije (26) biti jednak zbiru integrala najjednostavnijih razlomaka I-tipa, izračunatih po formuli (20).
Primjer. Izračunaj integral 
.
Rješenje. Hajde da faktorizujemo imenilac koristeći Vietinu teoremu:
Zatim se funkcija integranda razlaže u zbir jednostavnih razlomaka:
.
X:
Hajde da napišemo sistem od tri jednačine za pronalaženje 
, podijeljeno vodećim pojmom na lijevoj i desnoj strani:
.
Naznačimo jednostavniji način pronalaženja nesigurnih koeficijenata, tzv metoda parcijalne vrijednosti.
Uz pretpostavku jednakosti (27) 
dobijamo 
, gdje 
. Believing 
dobijamo 
. Konačno, verovanje 
dobijamo 
.
.
Slučaj 2. Korijen nazivnika 
važeće, ali među njima ima višestrukih (jednakih) korijena. Tada imenilac predstavljamo kao proizvod linearnih faktora koji su uključeni u proizvod u onoj mjeri u kojoj je višestrukost odgovarajućeg korijena:
Gdje 
.
Pravilan razlomak 
zbir razlomaka tipa I i II će biti razložen. Neka, na primjer, 
- korijen nazivnika višestrukosti odgovara, i svi ostali ( n-
odgovara) korijeni su različiti.
Tada će proširenje izgledati ovako:
Isto tako, ako postoje drugi višestruki korijeni. Za korijene koji nisu višestruki, ekspanzija (28) uključuje najjednostavnije razlomke prvog tipa.
Bilo koji nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Ovo se radi dijeljenjem polinoma polinomom, poput dijeljenja brojeva. Izračunaj integral 
.
Rješenje. Zamislimo razlomak kao zbir najjednostavnijih razlomaka prve i druge vrste s neodređenim koeficijentima:
.
Dovedemo desnu stranu u zajednički nazivnik i izjednačimo polinome u brojiocima lijeve i desne strane:
Na desnoj strani predstavljamo slične sa istim stepenima X:
Hajde da napišemo sistem od četiri jednačine za pronalaženje 
izjednačiti koeficijente na bilo kojim identičnim potencijama 
. Da bismo to učinili, izjednačavamo koeficijente na istim potencijama , podijeljeno vodećim pojmom na lijevoj i desnoj strani
.
Slučaj 3. Među korijenima nazivnika 
postoje složeni pojedinačni korijeni. Odnosno, proširenje nazivnika uključuje faktore drugog stepena 
, ne mogu se razložiti na realne linearne faktore i ne ponavljaju se.
Tada će, u dekompoziciji razlomka, svaki takav faktor odgovarati najjednostavnijem razlomku tipa III. Linearni faktori odgovaraju najjednostavnijim razlomcima tipa I i II.
Bilo koji nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Ovo se radi dijeljenjem polinoma polinomom, poput dijeljenja brojeva. Izračunaj integral 
.
Rješenje.
.
.
.
Ovdje pružamo detaljna rješenja za tri primjera integracije sljedećih racionalnih razlomaka:
,
,
.
Primjer 1
Izračunaj integral:
.
Rješenje
Ovdje se pod predznakom integrala nalazi racionalna funkcija, pošto je integrand razlomak polinoma. Stepen polinoma nazivnika ( 3 ) je manji od stepena brojevnog polinoma ( 4 ). Stoga, prvo morate odabrati cijeli dio razlomka.
1.
Odaberimo cijeli dio razlomka. Podijelite x 4
od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Odavde
.
2.
Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti kubnu jednačinu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Zamenimo x = 1
:
.
1
. 1
:
Odavde
.
Podijeli sa x - Hajde da odlučimo.
.
kvadratna jednačina
Korijeni jednadžbe su: , .
.
3.
Onda
.
Razložimo razlomak u njegov najjednostavniji oblik.
.
Tako smo pronašli:
Hajde da se integrišemo.
Odgovori
Izračunaj integral:
.
Rješenje
Primjer 2 Ovdje je brojilac razlomka polinom stepena nula ( 1 = x 0 0 < 3 ). Imenilac je polinom trećeg stepena. Jer
1.
, onda je razlomak tačan. Podijelimo ga na jednostavne razlomke.
.
Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu trećeg stepena: 3
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja
1, 3, -1, -3
.
Zamenimo x = 1
:
.
(član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva: 1
Dakle, našli smo jedan korijen x = . Podijelite x 1
:
3 + 2 x - 3
.
na x -
dakle, Rješavanje kvadratne jednadžbe:.
x 2 + x + 3 = 0 Naći diskriminanta: D =< 0
1 2 - 4 3 = -11
.
2.
.
.:
(2.1)
.
Zamenimo x = 1
Od D 1 = 0
,
.
, tada jednadžba nema pravi korijen. Tako smo dobili faktorizaciju nazivnika: (2.1)
(x - 1)(x 2 + x + 3) 0
:
.;
.
Onda x - (2.1)
Zamenimo unutra 2
:
;
x =;
.
.
3.
Tako smo pronašli:
(2.2)
.
1 = 3 A - C
;
;
.
Hajde da se izjednačimo sa 2
.
.
koeficijenti za x Rješavanje kvadratne jednadžbe: 0 = A + B 2 + x + 3 > 0.
Stoga se znak modula može izostaviti. (2.2)
:
.
Hajde da se integrišemo.
Mi dostavljamo na
Izračunaj integral:
.
Rješenje
Primjer 3 3 Ovdje se pod predznakom integrala nalazi dio polinoma. Dakle, integrand je racionalna funkcija. Stepen polinoma u brojiocu je jednak 4 . 3 < 4 Stepen polinoma nazivnika razlomka je jednak
1.
.
.
Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu trećeg stepena: 2
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja
1, 2, -1, -2
.
Zamenimo x = -1
:
.
(član bez x). To jest, cijeli korijen može biti jedan od brojeva: -1
. Jer:
3 + 2 x - 3
.
, onda je razlomak tačan. Stoga se može razložiti na jednostavne razlomke. Ali da biste to uradili, morate rastaviti imenilac na faktore.
.
Razložimo imenilac razlomka. Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu četvrtog stepena: 2
Pretpostavimo da ima barem jedan cijeli korijen. Tada je to djelitelj broja
1, 2, -1, -2
.
Zamenimo x = -1
:
.
(-1) = x + 1 -1
Sada treba da rešimo jednačinu trećeg stepena:
.
Ako pretpostavimo da ova jednadžba ima cjelobrojni korijen, onda je ona djelitelj broja 2 + 2 = 0
Dakle, našli smo još jedan korijen x =
.
2.
.
.
Bilo bi moguće, kao iu prethodnom slučaju, polinom podijeliti sa , ali ćemo grupisati pojmove: Budući da je jednačina x:
(3.1)
.
Zamenimo x = -1
nema pravih korijena, tada dobijamo faktorizaciju nazivnika: 1 = 0
,
.
Razložimo razlomak u njegov najjednostavniji oblik. Tražimo proširenje u obliku: (3.1)
:
;
.
Zamenimo x = -1
Riješimo se nazivnika razlomka, pomnožimo sa 1 = 0
:
;
;
.
, tada jednadžba nema pravi korijen. Tako smo dobili faktorizaciju nazivnika: (3.1)
(x - 1)(x 2 + x + 3) 0
:
(x + 1) 2 (x 2 + 2);
.
Onda x - (3.1)
Zamenimo unutra 3
:
;
.;
.
Tada je x +
.
3.
Tako smo pronašli:
.
Hajde da razlikujemo i uzeti u obzir da je x + 0 = 2 A + 2 B + D
1 = B + C Dakle, pronašli smo dekompoziciju na jednostavne razlomke: Studentima 1. i 2. godine daje se test integracije funkcija, uključujući racionalne razlomke. Primjeri integrala uglavnom će biti od interesa za matematičare, ekonomiste i statističare. Ovi primjeri su postavljeni na
testni rad 
na LNU po imenu. I. Frank. Uvjeti sljedećih primjera su “Pronađi integral” ili “Izračunaj integral”, kako bi se uštedio prostor i vaše vrijeme, nisu ispisani.
Primjer 15. Došli smo do integracije frakciono-racionalnih funkcija. Oni zauzimaju
posebno mjesto među integralima, jer im je potrebno mnogo vremena da izračunaju i pomognu nastavnicima da testiraju vaše znanje ne samo o integraciji. Da bismo pojednostavili funkciju pod integralom, dodajemo i oduzimamo izraz u brojiocu koji će nam omogućiti da funkciju pod integralom podijelimo na dva jednostavna Kao rezultat toga, vrlo brzo nalazimo jedan integral, u drugom trebamo proširiti razlomak u zbir elementarnih razlomaka 
Kada se svede na zajednički nazivnik, dobijamo sledeće brojeve
Zatim otvorite zagrade i grupu
Izjednačavamo vrijednost za iste potencije "x" s desne i lijeve strane. Kao rezultat, dolazimo do sistema od tri
Ovim je primjer završen.
Primjer 16. Opet moramo pronaći integral razlomke racionalne funkcije. Za početak ćemo kubnu jednadžbu sadržanu u nazivniku razlomka rastaviti na jednostavne faktore 
Zatim razlomak razlažemo na njegove najjednostavnije oblike 
Desnu stranu svodimo na zajednički nazivnik i otvaramo zagrade u brojniku. 
Izjednačavamo koeficijente za iste stepene varijable. Dođimo ponovo na SLAE sa tri nepoznanice 
Zamenimo vrijednosti A, B, C u ekspanziju i izračunaj integral 
Prva dva člana daju logaritam, posljednji je također lako pronaći.
Primjer 17. U nazivniku razlomačke racionalne funkcije imamo razliku kocki. Koristeći skraćene formule za množenje, razlažemo ga na dva jednostavna faktora 
Zatim upisujemo rezultujuću frakcijsku funkciju u zbir prosti razlomci i dovesti ih zajedno do zajedničkog nazivnika 
U brojiocu dobijamo sledeći izraz.
Iz njega formiramo sistem linearnih jednačina za izračunavanje 3 nepoznate 
A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Zamjenjujemo A, B, C u formulu i vršimo integraciju. Kao rezultat, dolazimo do sljedećeg odgovora: 
Ovdje je brojnik drugog integrala pretvoren u logaritam, a ostatak ispod integrala daje arktangens.
Na internetu postoji mnogo sličnih primjera o integraciji racionalnih razlomaka. Slične primjere možete pronaći iz materijala u nastavku.
Učitavanje...
