Primjeri integracije složenih funkcija. Integrirajuće funkcije kompleksne varijable

Razmotrimo glatku krivu Γ na kompleksnoj ravni definisanoj parametarskim jednačinama

(definicija glatke krive je data na početku §8). Kao što je navedeno u § 8, ove jednačine se mogu napisati u kompaktnom obliku:

Prilikom promjene parametra t od A do /3 odgovarajuće tačke z(t) kretaće se duž krive G. Prema tome, jednačine (15.1) i (15.2) ne određuju samo tačke krive G, već određuju i pravac kretanja ove krive. Zove se kriva G sa datim smjerom njenog obilaska orijentisana kriva.

Pustite u okolinu D C C je data kontinuirana funkcija /(r) = = u(x, y) + iv(x. y), i neka kriva G leži unutra D. Uvesti koncept integrala [f(z)dz od funkcije f(z) duž krive G odredimo r

diferencijal dz jednakost dz = dx + idy. Integrand izraz se transformira u oblik

Dakle, integral od složena funkcija f(z) duž krive G prirodno je definirati jednakošću

čija desna strana uključuje dva realna krivolinijska integrala druge vrste realnih funkcija I I I. Za izračunavanje ovih integrala, umjesto X I at zamjenske funkcije x(t) i t/(/), i umjesto toga dx I dy- diferencijale ovih funkcija dx = x"(t)dt I dy = y"(t)dt. Tada će se integrali na desnoj strani (15.3) svesti na dva integrala funkcija realne varijable t

Sada smo spremni dati sljedeću definiciju.

Integral duž krive G o funkciji kompleksne varijable f(z) je broj označen sa J" f(z)dz i izračunato po

Gdje z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - jednadžba krive G, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Primjer 15.1. Izračunajte integral funkcije f(z) = (g - a) str duž kružnice poluprečnika r sa centrom a, čiji je smjer u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Rješenje: Jednačina kružnice z - a= r će biti z - a = ge a, ili

Prilikom mijenjanja t. od 0 do 2tg tačke z(t.) kreće se duž kružnice G u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Onda

Primjenom jednakosti (15.5) i Moivreove formule (2.10) dobivamo

Dobili smo rezultat koji je važan za dalju diskusiju:

Imajte na umu da vrijednost integrala ne ovisi o radijusu G krugovima.

Primjer 15.2. Izračunajte integral funkcije f(z) = 1 ali glatka kriva G sa početkom u tački A i završiti u jednoj tački b.

Rješenje Neka je kriva G data jednačinom z(t.) = x(t) + + iy(t), i ^ t^ /3, i A= -g(a), b = z((3). Koristeći formulu (15.5), kao i Newtonovu Leibnizovu formulu za izračunavanje integrala realnih funkcija, dobijamo

Vidimo da je integral f 1 dz ne zavisi od tipa staze G, povezivanja

zajedničke tačke a i 6, a zavisi samo od krajnjih tačaka.

Hajde da ukratko opišemo još jedan pristup određivanju integrala kompleksne funkcije f(z) duž krive, slično definiciji integrala realne funkcije nad segmentom.

Podijelimo krivu G proizvoljno na n parcele sa tačkama zq = a, z 1, ..., z n-ʹ z n = b, numerisan u pravcu kretanja od početne do krajnje tačke (Sl. 31). Označimo z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n -Zn- 1 = = Azn.(Broj Azk predstavljen vektorom koji dolazi iz tačke zi L_i in Zk-) Na svakoj lokaciji (zk-i,Zk) krivu, izaberite proizvoljnu tačku (d- i sastavite zbir

Ovaj iznos se zove integralni zbir. Označimo sa A dužinu najvećeg odsječka na koji je kriva G podijeljena. Razmotrimo niz particija za koje je A -? 0 (istovremeno n-* oo).

Jedinica integralnih suma, izračunata pod uslovom da dužina najvećeg preseka particije teži nuli, naziva se integral funkcije/(G) duž krivine G i označeno sa G f(z)dz:

Može se pokazati da nas i ova definicija dovodi do formule (15.3) i stoga je ekvivalentna definiciji (15.5) datoj gore.

Hajde da ustanovimo osnovna svojstva integrala / f(z)dz.

1°. Linearnost. Za bilo koje kompleksne konstante a i b

Ovo svojstvo proizlazi iz jednakosti (15.5) i odgovarajućih svojstava integrala nad segmentom.

2°. Aditivnost. Ako je kriva G podijeljena na dijelove Ti m G2, To

Dokaz. Neka je kriva G sa krajevima a, b podijeljeno tačkom c na dva dijela: kriva Gi sa krajevima a, With i kriva GG sa krajevima c, b. Neka je Γ dat jednačinom z = z(t), A ^ t ^ V. i A= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Tada će jednačine krivulja G1 i Gg biti z = z(t), Gdje A ^ t^7 za Ti i 7^ t^/? za Gg. Primenom definicije (15.5) i odgovarajućih svojstava integrala nad segmentom, dobijamo

Q.E.D.

Svojstvo 2° vam omogućava da izračunate integrale ne samo preko glatkih krivih, već i preko glatka u komadima, tj. krive koje se mogu podijeliti na konačan broj glatkih dijelova.

3°. Prilikom promjene smjera krive, integral mijenja predznak.

Dokaz o l s t v o. Neka kriva G ima krajeve A I b je dato jednačinom r = r(?), o ^ t ^ $. Krivulja koja se sastoji od istih tačaka kao i Γ, ali se razlikuje od Γ u pravcu prelaska (orijentacije), biće označena sa Γ“. Tada je G - dat jednačinom z= 2i(J)> gdje z(t)= 2(0 -I - fi - t), Zaista, hajde da uvedemo novu varijablu r = a + - t. Prilikom mijenjanja t od a do (d varijabla g varira od (5 do a. Prema tome, tačka r(t) će ići duž krive Γ".

Svojstvo 3° je dokazano. (Primijetite da iz definicije integrala (15.8) ovo svojstvo direktno slijedi: kada se orijentacija krive promijeni, svi priraštaji AZk promeni znak.)

4°. Modul integrala f f(z)dz ne prelazi vrijednost krivolinijske G

linearni integral modula funkcije duž dužine krive s (krivolinijski integral od f(z) prve vrste):

Lako je to vidjeti z[(t) = g" g (t)(a + - t)J = -z" t (t), dt = -dr. Koristeći definiciju (15.5) i prelazeći na varijablu r, dobijamo

Dokaz. Iskoristimo činjenicu da je za integral nad segmentom

(ova nejednakost odmah proizilazi iz definicije integrala nad segmentom kao granice integralnih suma). Odavde i iz (15.5) imamo

1. Osnovni pojmovi

2. Izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable

3. Primjeri izračunavanja integrala funkcija kompleksne varijable

4. Cauchyjeva glavna teorema za jednostavnu konturu

5. Cauchyjeva teorema za kompleksnu konturu

6. Cauchy integralna formula

7. Izračunavanje integrala preko zatvorene petlje

8. Primjeri izračunavanja integrala nad zatvorenom petljom

Osnovni koncepti

1. Uvodi se koncept integrala funkcije kompleksne varijable (na isti način kao u realnom području) kao granica niza integralnih suma; funkcija je definirana na nekoj krivulji l, pretpostavlja se da je kriva glatka ili glatka po komadima:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

gdje je x_k tačka odabrana na luku \Delta l_k podjele krive; \Delta z_k - povećanje argumenta funkcije u ovoj sekciji particije,\lambda= \max_(k)|\Delta z_k| - korak particije, |\Delta z_k|- dužina tetive koja spaja krajeve luka \Delta l_k ; kriva l je proizvoljno podijeljena na n dijelova \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Smjer odabran na krivulji, tj. naznačene su početna i krajnja tačka. U slučaju zatvorene krive

\textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integracija se odvija u pozitivnom pravcu, tj. u smjeru koji ostavlja konačno područje s lijeve strane, ograničeno konturom. Formula (2.43) određuje

linijski integral funkcije kompleksne varijable

tada se integralni zbir može zapisati u obliku dva člana, koji će biti integralni zbroji krivolinijskih integrala druge vrste funkcija dvije realne varijable. Ako se pretpostavi da je f(z) kontinuirano na l, onda će u(x,y),~ v(x,y) također biti kontinuirano na l, pa će stoga postojati ograničenja na odgovarajuće integralne sume. Dakle, ako je funkcija f(z) kontinuirana na l, tada postoji granica u jednakosti (2.43), tj. postoji krivolinijski integral funkcije f(z) duž krive l i formula vrijedi

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Koristeći definiciju integrala ili formule (2.44) i svojstva krivolinijskih integrala druge vrste, lako je provjeriti valjanost sljedećih svojstava krivolinijskog integrala funkcija kompleksne varijable (osobine poznate iz realne analize) .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end (poravnano)

posebno, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), ako je funkcija ograničena po veličini na krivulji AB, tj |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Ovo svojstvo se naziva svojstvom procjene modula integrala.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Formula (2.44) se može posmatrati i kao definicija krivolinijskog integrala funkcije kompleksne varijable, i kao formula za njeno izračunavanje kroz krivolinijske integrale druge vrste funkcija dvije realne varijable.

Da bismo koristili i zapamtili formulu za izračunavanje, napominjemo da jednakost (2.44) odgovara formalnom izvršavanju na lijevoj strani pod integralnim znakom radnji razdvajanja realnog i imaginarnog dijela funkcije f(z), množenjem sa dz= dx+i\,dy i zapisivanje rezultirajućeg proizvoda u algebarskom obliku:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Primjer 2.79. Izračunati integrale i \int\limits_(OA)z\,dz, gdje je linija OA

a) prava linija koja povezuje tačke z_1=0 i z_2=1+i,
b) izlomljena linija OBA, gdje O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Rješenje

1. Izračunajte integral \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Evo f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Integral zapisujemo u terminima krivolinijskih integrala druge vrste:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

što odgovara formuli (2.44). Računamo integrale:

a) put integracije je, dakle, pravi segment \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) put integracije je izlomljena linija koja se sastoji od dva segmenta OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) I BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Dakle, dijeljenjem integrala na dva i izvođenjem proračuna dobijamo

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Integral funkcije f(z)=\overline(z) zavisi od izbora puta integracije koji povezuje tačke O i A.

2. Izračunajte integral \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) ovdje f(z)=z=x+iy . Integral pišemo u terminima krivolinijskih integrala druge vrste

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Integrandi dobijenih integrala druge vrste su potpuni diferencijali (vidi uslov (2.30)), pa je dovoljno razmotriti jedan slučaj puta integracije. Dakle, u slučaju “a”, gdje je jednačina segmenta y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, dobijamo odgovor

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Zbog nezavisnosti integrala od oblika puta integracije, zadatak se u ovom slučaju može formulisati u više opšti pogled: izračunati integral

\int\limits_(l)z\,dz od tačke z_1=0 do tačke z_2=1+i.

U narednom paragrafu ćemo detaljnije razmotriti takve slučajeve integracije.

2. Neka integral neprekidne funkcije u određenom području ne zavisi od tipa krive koja spaja dvije tačke u ovom području. Popravimo početnu tačku, označavajući z_0. krajnja tačka je varijabla, označimo je z. Tada će vrijednost integrala ovisiti samo o tački z, odnosno određuje neku funkciju u navedenom području.

U nastavku ćemo dati potkrepljenje tvrdnji da u slučaju jednostavno povezane domene, integral definira jednovrijednu funkciju u ovoj domeni. Hajde da uvedemo notaciju

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funkcija F(z) je integral s promjenjivom gornjom granicom.

Koristeći definiciju derivata, tj. s obzirom \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), lako je provjeriti da F(z) ima derivaciju u bilo kojoj tački u domeni definicije, pa je stoga analitičan u njoj. U ovom slučaju, za izvod dobijamo formulu

F"(z)=f(z).

Izvod integrala sa promenljivom gornjom granicom jednak je vrednosti integranda na gornjoj granici.

Iz jednakosti (2.46), posebno, slijedi da je integrand funkcija f(z) u (2.45) analitička funkcija, budući da je derivacija F"(z) analitičke funkcije F(z) po svojstvu takvih funkcija (vidi iskaz 2.28) - analitička funkcija.

3. Funkcija F(z) za koju vrijedi jednakost (2.46) naziva se antiderivatom za funkciju f(z) u jednostavno povezanoj domeni, a skup antiderivata \Phi(z)=F(z)+c, gdje je c=\text( const) , - neodređeni integral iz funkcije f(z) .

Iz tačaka 2 i 3 dobijamo sljedeću tvrdnju.

Izjava 2.25

1. Integralni sa varijabilnom gornjom granicom \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) iz analitičke funkcije u jednostavno povezanoj domeni je funkcija analitička u ovoj domeni; ova funkcija je antiderivat integranda.

2. Svaka analitička funkcija u jednostavno povezanoj domeni ima antiderivativ u sebi (postojanje antiderivata).

Pronalaze se antiderivati ​​analitičkih funkcija u jednostavno povezanim domenima, kao iu slučaju realne analize: koriste se svojstva integrala, tablica integrala i pravila integracije.

na primjer, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Između krivolinijskog integrala analitičke funkcije i njenog antiderivata u jednostavno povezanoj domeni postoji formula slična Newton-Leibnizovoj formuli iz stvarne analize:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Kao iu realnoj analizi, u kompleksnoj domeni koju razmatramo, pored integrala koji sadrže parametar u granicama integracije (formula (2.45) daje najjednostavniji primjer takvi integrali), integrali koji zavise od parametra sadržanog u integrandu: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Među takvim integralima važno mjesto u teoriji i praksi kompleksna integracija i aplikacija poprima integralni oblik \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Uz pretpostavku da je f(z) kontinuiran na pravoj l, dobijamo da za bilo koju tačku z koja ne pripada l, integral postoji i definira određenu funkciju u bilo kojoj domeni koja ne sadrži l

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integral (2.48) se naziva integral tipa Cauchy; faktor \frac(1)(2\pi\,i) je uveden radi pogodnosti korištenja konstruirane funkcije.

Za ovu funkciju, kao i za funkciju definiranu jednakošću (2.45), dokazano je da je analitična svuda u domeni definicije. Štaviše, za razliku od integrala (2.45), ovdje nije potrebno da generirajuća funkcija f(z) bude analitična, tj. prema formuli (2.48) na klasi kontinuirane funkcije kompleksne varijable, konstruiše se klasa analitičkih funkcija. Izvod integrala (2.48) je određen formulom

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Za dokazivanje formule (2.49) i, prema tome, tvrdnje o analitičnosti integrala Cauchyjevog tipa, dovoljno je, prema definiciji derivacije, utvrditi valjanost nejednakosti

\levo|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

za bilo koji \varepsilon>0 i za bilo koji z iz domene definicije funkcije F(z) .

Koristeći istu metodu, može se pokazati da postoji derivacija funkcije definirane jednakošću (2.49), tj.

F""(z) , i formula je važeća

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Postupak se može nastaviti i indukcijom dokazati formulu za izvod bilo kojeg reda funkcije F(z)\colon{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

F^((n))(z)= \frac(n

Analizirajući formule (2.48) i (2.49), lako je provjeriti da se izvod F(z) može dobiti formalno diferenciranjem u odnosu na parametar pod predznakom integrala u (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\ (\xi))(\! xi-z)\desno)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^ 2)\,d\xi\,.

Primjenjujući formalno pravilo za diferenciranje integrala u zavisnosti od parametra n puta, dobijamo formulu (2.50).

Rezultate dobijene u ovom dijelu zapisujemo u obliku iskaza. Izjava 2.26. Integral\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi

funkcije f(z) kontinuirane na krivulji l je funkcija koja je analitička u bilo kojoj domeni D koja ne sadrži l; derivacije ove funkcije mogu se dobiti diferencijacijom u odnosu na parametar pod predznakom integrala.

Izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable

Iznad smo dobili formule za izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable - formule (2.44) i (2.47). Ako je kriva l u formuli (2.44) specificirana parametarski: ili, što odgovara stvarnom obliku: \begin(slučajevi) x=x(t),\\ y=y(t),\end(slučajevi)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, zatim, koristeći pravila za izračunavanje integrala druge vrste u slučaju parametarske definicije krive, možemo transformirati formulu (2.44) u oblik

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Dobijeni rezultat i rezultate dobijene na prethodnom predavanju ćemo zapisati kao niz radnji.

Metode za izračunavanje integrala \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Prvi način. Izračunavanje integrala \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) od kontinuirane funkcije redukcijom na krivolinijske integrale funkcija realnih varijabli - primjena formule (2.44).

1. Pronađite \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.

2. Zapišite integrand f(z)dz kao proizvod (u+iv)(dx+i\,dy) ili, množeći, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Izračunati krivolinijske integrale oblika \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Gdje P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) prema pravilima za izračunavanje krivolinijskih integrala druge vrste.

Drugi način. Izračunavanje integrala \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) od kontinuirane funkcije redukcijom na definitivni integral u slučaju parametarske definicije puta integracije - primjena formule (2.51).

1. Zapišite parametarsku jednačinu krive z=z(t) i iz nje odredite granice integracije: t=\alpha odgovara početnoj tački puta integracije, t=\beta - završnoj tački.

2. Naći diferencijal funkcije kompleksne vrijednosti z(t)\dvotočka\, dz=z"(t)dt.
3. Zamijenite z(t) u integrand i transformirajte integral

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Izračunajte definitivni integral funkcije kompleksne vrijednosti realne varijable dobivene u koraku 3.

Imajte na umu da se integracija funkcije kompleksne vrijednosti realne varijable ne razlikuje od integracije funkcije realne vrijednosti; jedina razlika je prisustvo u prvom slučaju faktora i, radnje sa kojima se, naravno, smatraju kao sa konstantom. na primjer,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\desno|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Treći način. Izračunavanje integrala analitičkih funkcija u jednostavno povezanim domenima - primjena formule (2.47).

1. Pronađite antiderivat F(z) koristeći svojstva integrala, tabličnih integrala i metoda poznatih iz realne analize.

2. Primijenite formulu (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Napomene 2.10

1. U slučaju višestruko povezane regije, rezovi se vrše tako da se može dobiti jednoznačna funkcija F(z).

2. Prilikom integracije jednovrijednih grana viševrijednih funkcija, grana se razlikuje specificiranjem vrijednosti funkcije u određenoj tački na krivulji integracije. Ako je kriva zatvorena, tada se početnom tačkom puta integracije smatra tačka u kojoj je specificirana vrijednost integranda. Vrijednost integrala može ovisiti o izboru ove tačke.

▼ Primjeri 2.80-2.86 za izračunavanje integrala funkcija kompleksne varijable

Primjer 2.80. Izračunaj \int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz, gdje je l linija koja povezuje tačku z_1=0 sa tačkom z_2=1+i\dvotočka

a) l - ravno; b) l - izlomljena linija OBA, gdje O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ Rješenje

a) Primjenjujemo prvi metod - (formula (2.44)).

1.2. Integrand ima oblik \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Zato

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Izračunajte integrale pri y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(jednačina segmenta OA koji povezuje tačke z_1 i z_2). Dobili smo

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Kako se put integracije sastoji od dva segmenta, integral zapisujemo kao zbir dva integrala:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz

i izračunavamo svaki kao u prethodnom paragrafu. Štaviše, za segment OB imamo

\begin(slučajevi)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(slučajevi) i za segment BA\dvotočka \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Izrađujemo kalkulacije:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Imajte na umu da integrand u ovom primjeru nije analitička funkcija, tako da integrali duž dvije različite krive koje povezuju dvije date tačke mogu imati različite vrijednosti, kao što je ilustrovano u ovom primjeru.

Primjer 2.81. Izračunaj \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, gdje je l gornji polukrug |z|=1, koji prelazi krivu l u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

▼ Rješenje

Kriva ima jednostavnu parametarsku jednačinu z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, stoga je zgodno koristiti drugu metodu (formulu (2.51)). Integrand ovdje je kontinuirana funkcija i nije analitičan.

1.2. Za z=e^(it) nalazimo \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Zamjena u integrand. Izračunajte integral

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Primjer 2.82. Izračunajte integrale analitičkih funkcija:

A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), put integracije ne prolazi kroz tačku i.

▼ Rješenje

a) Primijeniti formulu (2.47) (treće pravilo); Antiderivativ pronalazimo koristeći metode integracije realne analize:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatorname(sh)2).

b) Integrand je analitičan svuda osim tačke i. Presijecanjem ravni duž zraka od tačke i do \infty, dobijamo jednostavno povezanu oblast u kojoj je funkcija analitička i integral se može izračunati pomoću formule (2.47). Dakle, za bilo koju krivu koja ne prolazi kroz tačku i, integral se može izračunati pomoću formule (2.47), a za dvije date tačke imaće istu vrijednost.

Na sl. Slika 2.44 prikazuje dva slučaja izrade rezova. Strelicama je označen smjer prelaska granice jednostavno povezanih područja gdje je integrand analitičan. Računamo integral:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Primjer 2.83. Izračunaj integral \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Rješenje

Integrand je analitičan svuda u \mathbb(C) . Koristimo treću metodu, formulu (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Ovaj rezultat je dobiven u primjeru 2.78 prema prvoj metodi.

Primjer 2.84. Izračunaj integral \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), gdje je C kružnica |z-a|=R.

▼ Rješenje

Koristimo drugu metodu.

1. Zapisujemo jednačinu kruga u parametarskom obliku: z-a=R\,e^(it) ili z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Pronađite diferencijal dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Zamijenite z=a+R\,e^(it) i dz u integrand:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Izračunavamo rezultirajući definitivni integral. Za n\ne1 dobijamo

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Jer e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Zato \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 na n\ne1 . Za n=1 dobijamo \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Zapišimo rezultat kao formulu:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

posebno, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Imajte na umu da ako se krug C\colon |z-a|=R pređe za tačku k puta, tada se argument (parametar) mijenja od 0 do 2\pi k ( k>0 ako je pomicanje u pozitivnom smjeru, tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu , i k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Primjer 2.85. Izračunajte integral funkcije kompleksne varijable \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) put integracije ne prolazi kroz tačku z=0 i ne zaobilazi je, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) putanja integracije ne prolazi kroz tačku z=0, već je obiđe n puta oko kruga u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

▼ Rješenje

a) Ovaj integral - integral s promjenjivom gornjom granicom - definira jednoznačnu analitičku funkciju u bilo kojoj jednostavno povezanoj domeni (vidi 2.45)). Nađimo analitički izraz za ovu funkciju - antiderivat za f(z)=\frac(1)(z) . Razdvajanje realnog i imaginarnog dijela integrala \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(koristeći formulu (2.44)), lako je provjeriti da su integrandi integrala druge vrste potpuni diferencijali i stoga integral \frac(d\xi)(\xi) ne ovisi o vrsti krive spajanje tačaka z_1=1 i z. Odaberimo putanju koja se sastoji od segmenta ose Ox od tačke z_1=1 do tačke z_2=r, gde je r=|z| , i lukovi l kružnice. povezivanje z_2 sa z (slika 2.45, a).

Integral zapisujemo kao zbir: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Za izračunavanje integrala nad kružnim lukom koristimo formulu (2.51), a luk ima jednačinu \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Dobili smo \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; kao rezultat

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Desna strana jednakosti definira jednovrijednu funkciju \ln z - glavnu vrijednost logaritma. Odgovor dobijamo u obrascu

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Imajte na umu da se rezultirajuća jednakost može uzeti kao definicija jednovrijedne funkcije \ln z u jednostavno povezanoj domeni - ravni sa rezom duž negativne realne polu-ose (-\infty;0] .

b) Integral se može zapisati kao zbir: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), gdje je c krug |z|=1 pređen n puta u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a l je kriva koja povezuje tačke z_1 i z, a ne pokriva tačku z=0 (slika 2.45, b).

Prvi član je jednak 2n\pi i (vidi primjer 2.84), drugi je \ln(z) - formula (2.53). Dobijamo rezultat \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Primjer 2.86. Izračunaj integral \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) duž gornjeg luka kružnice |z|=1 pod uslovom: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Rješenje

Postavljanje vrijednosti funkcije \sqrt(z) u tački na konturi integracije omogućava vam da odaberete nedvosmislene grane izraza \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(vidi primjer 2.6). Rez se može napraviti, na primjer, duž zamišljene negativne polu-ose. Pošto za z=1 imamo \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, tada se u prvom slučaju bira grana sa k=0, u drugom - sa k=1. Integrand na konturi integracije je kontinuiran. Za rješavanje koristimo formulu (2.51), definiramo krivu jednadžbom z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Grana je određena na k=0, tj. iz z=e^(it) za integrand koji dobijamo \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Računamo integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\) ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \levo(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\desno)= 2(i-1).

b) Grana je određena na k=1, tj. iz z=e^(it) za integrand koji imamo \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Računamo integral:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

U teoriji i praksi, u primjenama integralnog računa funkcija kompleksne varijable, kada se proučava ponašanje funkcija u ograničenim područjima ili u blizini pojedinačnih tačaka, integrali se razmatraju nad zatvorenim krivuljama - granicama područja, posebno okolina bodova. Razmotrićemo integrale \oint\limits_(C)f(z)dz, gdje je f(z) analitičko u nekom c regionu, sa izuzetkom pojedinačnih tačaka, C je granica regije ili unutrašnja kontura u ovoj regiji.

Cauchyjeva osnovna teorema za jednostavnu konturu

Teorema 2.1 (Cauchyjeva teorema za jednostavnu konturu). Ako je f(z) analitičan u jednostavno povezanoj domeni, tada za bilo koju konturu C koja pripada ovoj domeni vrijedi sljedeća jednakost:

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Dokaz teoreme je lako dobiti na osnovu svojstva analitičkih funkcija, prema kojem analitička funkcija ima izvode bilo kojeg reda (vidi tvrdnju 2.28). Ovo svojstvo osigurava kontinuitet parcijalnih izvoda od \operatorname(Re)f(z) I \operatorname(Im)f(z), dakle, ako koristimo formulu (2.44), onda je lako vidjeti da su za svaki od integrala u krivolinijskim integralima druge vrste zadovoljeni uvjeti totalnog diferencijala, poput Cauchy-Riemannovih uvjeta analitičkih funkcija. A integrali nad zatvorenim krivuljama iz ukupnih diferencijala jednaki su nuli.

Imajte na umu da su svi teoretski stavovi predstavljeni u nastavku na kraju zasnovani na ovoj važnoj teoremi, uključujući gore spomenuto svojstvo analitičkih funkcija. Da ne bi bilo sumnje u ispravnost prikaza, napominjemo da se teorema može dokazati bez pozivanja na postojanje njenih izvoda samo na osnovu definicije analitičke funkcije.

Posljedice iz teoreme 2.1

1. Teorema vrijedi i ako je C granica domene D, a funkcija f(z) je analitička u domeni i na granici, tj. u \overline(D) jer, po definiciji, analitičnost u \overline(D) implicira analitičnost funkcije u nekom domenu B koji sadrži D~(B\supset\overline(D)), a C će biti unutrašnja kontura u B.

2. Integrali nad raznim krivuljama koji leže u jednostavno povezanoj domeni analitičnosti funkcije i povezuju dvije tačke ovog domena jednaki su jedni drugima, tj. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, gdje su l_1 i l_2 proizvoljne krive koje povezuju tačke z_1 i z_2 (slika 2.46).

Da bismo to dokazali, dovoljno je razmotriti konturu C, koja se sastoji od krive l_1 (od tačke z_1 do tačke z_2) i krive l_2 (od tačke z_2 do tačke z_1). Svojstvo se može formulirati na sljedeći način. Integral analitičke funkcije ne zavisi od tipa integracione krive koja povezuje dve tačke u domenu analitičnosti funkcije i ne napušta ovu domenu.

Ovo daje opravdanje za tvrdnju 2.25 datu gore o svojstvima integrala \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi i o postojanju primitivne analitičke funkcije.

Cauchyjev teorem za kompleksnu konturu

Teorema 2.2 (Cauchyjeva teorema za kompleksnu konturu). Ako je funkcija f(z) analitička u višestruko povezanoj domeni ograničenoj kompleksnom konturom, i na ovoj konturi, tada je integral funkcije preko granice domene jednak nuli, tj. ako je C kompleksna kontura - granica domene, tada vrijedi formula (2.54).

Kompleksna kontura C za (n+1) - povezanu regiju sastoji se od vanjske konture \Gamma i unutrašnjeg - C_i,~i=1,2,\ldots,n; konture se ne seku u parovima, granični zaobilaz je pozitivan (na slici 2.47, n=3).

Da bi se dokazala teorema 2.2, dovoljno je napraviti rezove u području (isprekidana linija na slici 2.47) tako da se dobiju dvije jednostavno povezane regije i koristi se teorema 2.1.

Posljedice iz teoreme 2.2

1. Kada su ispunjeni uslovi iz teoreme 2.2, integral po spoljnoj konturi jednak je zbiru integrala po unutrašnjim konturama; zaobići na svim krugovima u jednom smjeru (na slici 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Ako je f(z) analitičan u jednostavno povezanoj domeni D i na granici domene, sa mogućim izuzetkom tačke a ovog domena, tada će se integrali nad raznim zatvorenim krivuljama koje leže u domeni D i ograničavaju na domene koje sadrže tačku a su međusobno jednake (slika 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Dokaz je očigledan, jer se svaka takva kontura može smatrati unutrašnjom granicom dvostruko povezane regije, čija je vanjska granica granica područja D. U skladu sa formulom (2.55) za n=1, svaki takav integral jednak je integralu preko granice D.

Upoređivanje formulacija teoreme 2.2 i korolarije 1 iz teoreme 2.1 omogućava nam da napravimo generalizaciju, koju zapisujemo u obliku sljedeće tvrdnje.