Linearne nejednakosti. Nejednakosti

Polje realnih brojeva ima svojstvo reda (odjeljak 6, str. 35): za bilo koje brojeve a, b vrijedi jedna i samo jedna od tri relacije: ili . U ovom slučaju, unos a > b znači da je razlika pozitivna, a ulazna razlika negativna. Za razliku od polja realnih brojeva, polje kompleksnih brojeva nije uređeno: za kompleksne brojeve pojmovi „više“ i „manje“ nisu definisani; Stoga se ovo poglavlje bavi samo realnim brojevima.

Relacije nazivamo nejednakostima, brojevi a i b su članovi (ili dijelovi) nejednakosti, znaci > (veći od) i nejednakosti a > b i c > d se nazivaju nejednakosti istog (ili istog) značenja; nejednakosti a > b i c Iz definicije nejednakosti odmah slijedi da

1) svaki pozitivan broj veći od nule;

2) bilo koji negativan broj manje od nule;

3) svaki pozitivan broj je veći od bilo kojeg negativnog broja;

4) od dva negativna broja, veći je onaj čija je apsolutna vrijednost manja.

Sve ove izjave dopuštaju jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Neka pozitivni smjer brojevne ose ide desno od početne točke; onda, bez obzira na predznake brojeva, veći od njih je predstavljen tačkom koja leži desno od tačke koja predstavlja manji broj.

Nejednakosti imaju sljedeća osnovna svojstva.

1. Asimetrija (nepovratnost): ako , onda , i obrnuto.

Zaista, ako je razlika pozitivna, onda je razlika negativna. Kažu da se prilikom preuređivanja pojmova nejednakosti značenje nejednakosti mora promijeniti u suprotno.

2. Tranzitivnost: ako , onda . Zaista, iz pozitivnosti razlika proizlazi da

Osim znakova nejednakosti, koriste se i znaci nejednakosti i oni su definirani na sljedeći način: unos znači da ili ili Stoga, na primjer, možete pisati i. Obično se nejednakosti napisane znakovima nazivaju strogim nejednakostima, a one koje su napisane znakovima nazivaju se nestroge nejednakosti. U skladu s tim, sami znakovi nazivaju se znakovima stroge ili nestroge nejednakosti. Osobine 1 i 2 o kojima smo gore govorili važe i za nestroge nejednakosti.

Razmotrimo sada radnje koje se mogu izvršiti na jednoj ili više nejednakosti.

3. Dodavanje istog broja pojmovima nejednakosti ne mijenja značenje nejednakosti.

Dokaz. Neka su date nejednakost i proizvoljan broj. Po definiciji, razlika je pozitivna. Dodajmo ovom broju dva suprotna broja, koji ga neće promijeniti, tj.

Ova jednakost se može prepisati na sljedeći način:

Iz ovoga proizilazi da je razlika pozitivna, tj

i to je ono što je trebalo dokazati.

Ovo je osnova za mogućnost da bilo koji član nejednakosti bude iskrivljen s jednog dijela na drugi sa suprotnim predznakom. Na primjer, iz nejednakosti

iz toga sledi

4. Kada se članovi nejednačine množe sa istim pozitivnim brojem, značenje nejednakosti se ne mijenja; Kada se članovi nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, značenje nejednakosti se mijenja u suprotno.

Dokaz. Neka je onda Ako je onda proizvod pozitivnih brojeva pozitivan. Otvarajući zagrade na lijevoj strani posljednje nejednakosti, dobijamo , tj. Slučaj se razmatra na sličan način.

Potpuno isti zaključak se može izvući u pogledu dijeljenja dijelova nejednakosti bilo kojim brojem osim nule, budući da je dijeljenje brojem ekvivalentno množenju brojem i brojevi imaju iste predznake.

5. Neka su uslovi nejednakosti pozitivni. Zatim, kada se njeni članovi podignu na istu pozitivnu snagu, značenje nejednakosti se ne mijenja.

Dokaz. Neka u ovom slučaju, po svojstvu tranzitivnosti, i . Zatim, zbog monotonog povećanja funkcija snage za i pozitivno ćemo imati

Konkretno, ako je gdje je prirodan broj, onda dobijamo

to jest, kada se izvuče korijen iz obje strane nejednakosti sa pozitivnim članovima, značenje nejednakosti se ne mijenja.

Neka su uslovi nejednakosti negativni. Tada nije teško dokazati da kada se njeni pojmovi podignu na neparan prirodni stepen, značenje nejednakosti se ne mijenja, ali kada se podignu na paran prirodni stepen, mijenja se u suprotno. Iz nejednakosti sa negativnim članovima može se izvući i korijen neparnog stepena.

Neka, dalje, uslovi nejednakosti imaju različiti znakovi. Tada se pri podizanju na neparan stepen značenje nejednakosti ne mijenja, ali pri podizanju na paran stepen, u opštem slučaju, ne može se reći ništa određeno o značenju rezultirajuće nejednakosti. U stvari, kada se broj podigne na neparan stepen, predznak broja je sačuvan i stoga se značenje nejednakosti ne mijenja. Kada se nejednakost podigne na paran stepen, formira se nejednakost s pozitivnim članovima, a njeno značenje će ovisiti o apsolutnim vrijednostima pojmova izvorne nejednakosti, nejednakosti sa istim značenjem kao i izvorne nejednakosti suprotnog značenja, pa se čak može postići i jednakost!

Korisno je provjeriti sve što je rečeno o podizanju nejednakosti na stepene koristeći sljedeći primjer.

Primjer 1. Sljedeće nejednakosti podići na navedeni stepen, mijenjajući znak nejednakosti u suprotan ili znak jednakosti, ako je potrebno.

a) 3 > 2 na stepen 4; b) do stepena 3;

c) do stepena 3; d) do stepena 2;

e) na stepen 5; e) do stepena 4;

g) 2 > -3 na stepen 2; h) na stepen 2,

6. Od nejednakosti možemo prijeći na nejednakost između ako su uvjeti nejednakosti oba pozitivni ili oba negativna, onda između njihovih recipročnih vrijednosti postoji nejednakost suprotnog značenja:

Dokaz. Ako su a i b istog predznaka, onda je njihov proizvod pozitivan. Podijelite nejednakošću

tj. šta je trebalo dobiti.

Ako članovi nejednakosti imaju suprotne predznake, onda nejednakost između njihovih recipročnih vrijednosti ima isto značenje, budući da su predznaci recipročnih vrijednosti isti kao i predznaci samih veličina.

Primjer 2. Provjerite posljednje svojstvo 6 koristeći sljedeće nejednakosti:

7. Logaritam nejednačina se može uraditi samo u slučaju kada su članovi nejednačina pozitivni (negativni brojevi i nula logaritmi nemaju).

Neka . Onda će biti

i kada će biti

Ispravnost ovih tvrdnji zasniva se na monotonosti logaritamske funkcije, koja raste ako je baza i opada sa

Dakle, kada se logaritam nejednakosti koja se sastoji od pozitivnih članova uzme na bazu veću od jedan, formira se nejednakost istog značenja kao i data, a kada se logaritam uzme na pozitivnu bazu manju od jedan, nejednakost formira se suprotno značenje.

8. Ako, onda ako, ali, onda.

To odmah slijedi iz monotonosti svojstva eksponencijalne funkcije (odjeljak 42), koja se povećava u slučaju i smanjuje ako

Kada se dodaju terminske nejednakosti istog značenja, formira se nejednakost istog značenja kao i podaci.

Dokaz. Dokažimo ovu tvrdnju za dvije nejednačine, iako je tačna za bilo koji broj dodatih nejednačina. Neka su date nejednakosti

Po definiciji, brojevi će biti pozitivni; tada se i njihov zbir ispostavlja pozitivnim, tj.

Grupisanjem pojmova drugačije, dobijamo

i stoga

i to je ono što je trebalo dokazati.

Nemoguće je u opštem slučaju reći bilo šta određeno o značenju nejednakosti dobijene dodavanjem dve ili više nejednakosti različitog značenja.

10. Ako od jedne nejednakosti oduzmemo, pojam po pojam, drugu nejednakost suprotnog značenja, onda se formira nejednakost istog značenja kao i prva.

Dokaz. Neka se daju dvije nejednakosti s različitim značenjima. Drugi od njih, prema svojstvu nepovratnosti, može se prepisati na sljedeći način: d > c. Dodajmo sada dvije nejednakosti istog značenja i dobijemo nejednakost

isto značenje. Iz potonjeg nalazimo

i to je ono što je trebalo dokazati.

Nemoguće je u opštem slučaju reći bilo šta određeno o značenju nejednakosti dobijene oduzimanjem od jedne nejednakosti druge nejednakosti istog značenja.

Nejednakosti igraju istaknutu ulogu u matematici. U školi se uglavnom bavimo numeričke nejednakosti, s čijom ćemo definicijom započeti ovaj članak. A onda ćemo nabrojati i opravdati svojstva numeričkih nejednačina, na kojoj se zasnivaju svi principi rada sa nejednakostima.

Odmah da primijetimo da su mnoga svojstva numeričkih nejednačina slična. Stoga ćemo materijal predstaviti prema istoj shemi: formuliramo svojstvo, dajemo njegovo opravdanje i primjere, nakon čega prelazimo na sljedeće svojstvo.

Navigacija po stranici.

Numeričke nejednakosti: definicija, primjeri

Kada smo uveli pojam nejednakosti, primijetili smo da se nejednakosti često definiraju načinom na koji su napisane. Stoga smo nejednakosti nazvali smislenim algebarskim izrazima koji sadrže predznake koji nisu jednaki ≠, manjim od<, больше >, manje ili jednako ≤ ili veće ili jednako ≥. Na osnovu gornje definicije, zgodno je dati definiciju numeričke nejednakosti:

Susret sa brojevnim nejednačinama dolazi na časovima matematike u prvom razredu neposredno nakon upoznavanja prvih prirodnih brojeva od 1 do 9 i upoznavanja sa operacijom poređenja. Istina, tamo se jednostavno nazivaju nejednakostima, izostavljajući definiciju „numeričke“. Radi jasnoće, ne bi škodilo da navedemo nekoliko primjera najjednostavnijih brojčanih nejednakosti iz te faze njihovog proučavanja: 1<2 , 5+2>3 .

I dalje od prirodni brojevi znanje se proširuje na druge vrste brojeva (cijeli, racionalni, realni brojevi), proučavaju se pravila za njihovo poređenje, a to značajno proširuje raznolikost tipova numeričkih nejednačina: −5>−72, 3>−0,275·(7 −5.6), .

Osobine numeričkih nejednačina

U praksi, rad sa nejednakostima omogućava niz svojstva numeričkih nejednačina. One slijede iz koncepta nejednakosti koji smo uveli. U odnosu na brojeve, ovaj koncept je dat sljedećom tvrdnjom, koja se može smatrati definicijom odnosa “manje od” i “više od” na skupu brojeva (često se naziva definicijom razlike nejednakosti):

Definicija.

broj a više broja b ako i samo ako je razlika a−b pozitivan broj;
broj a manji broj b ako i samo ako je razlika a−b negativan broj;
broj a je jednak broju b ako i samo ako je razlika a−b nula.

Ova definicija se može preraditi u definiciju odnosa „manje ili jednako“ i „veće ili jednako“. Evo njegove formulacije:

Definicija.

broj a je veći ili jednak b ako i samo ako je a−b nenegativan broj;
a je manje od ili jednako b ako i samo ako je a−b nepozitivan broj.

Ove definicije ćemo koristiti prilikom dokazivanja svojstava numeričkih nejednačina, na čiji pregled nastavljamo.

Osnovna svojstva

Započinjemo pregled sa tri glavna svojstva nejednakosti. Zašto su osnovni? Jer one su odraz svojstava nejednakosti u najopštijem smislu, a ne samo u odnosu na numeričke nejednakosti.

Brojčane nejednačine napisane znakovima< и >, karakteristika:

Što se tiče numeričkih nejednakosti zapisanih pomoću slabih znakova nejednakosti ≤ i ≥, one imaju svojstvo refleksivnosti (a ne antirefleksivnosti), budući da nejednakosti a≤a i a≥a uključuju slučaj jednakosti a=a. Također ih karakterizira antisimetrija i tranzitivnost.

Dakle, numeričke nejednačine napisane znakovima ≤ i ≥ imaju sljedeća svojstva:

refleksivnost a≥a i a≤a su prave nejednakosti;
antisimetrija, ako je a≤b, onda b≥a, a ako je a≥b, onda b≤a.
tranzitivnost, ako su a≤b i b≤c, onda a≤c, a takođe, ako su a≥b i b≥c, onda a≥c.

Njihov dokaz je vrlo sličan već datim, pa se nećemo zadržavati na njima, već ćemo preći na druga bitna svojstva numeričkih nejednačina.

Ostala bitna svojstva numeričkih nejednakosti

Dopunimo osnovna svojstva numeričkih nejednakosti nizom rezultata koji imaju veliku praktični značaj. Na njima se zasnivaju metode za procjenu vrijednosti izraza; rješenja nejednakosti itd. Stoga ih je preporučljivo dobro razumjeti.

U ovom pasusu formulisaćemo svojstva nejednakosti samo za jedan znak stroge nejednakosti, ali treba imati na umu da će slična svojstva važiti i za suprotni predznak, kao i za znake nestrogih nejednakosti. Objasnimo ovo na primjeru. U nastavku formuliramo i dokazujemo sljedeće svojstvo nejednačina: ako je a

ako je a>b onda a+c>b+c;

ako je a≤b, onda a+c≤b+c;

ako je a≥b, onda a+c≥b+c.

Radi praktičnosti prikazat ćemo svojstva numeričkih nejednakosti u obliku liste, dok ćemo dati odgovarajući iskaz, formalno ga napisati slovima, dati dokaz, a zatim pokazati primjere upotrebe. I na kraju članka ćemo sažeti sva svojstva numeričkih nejednakosti u tabeli. Idemo!

Dodavanje (ili oduzimanje) bilo kojeg broja na obje strane prave numeričke nejednakosti daje istinito numerička nejednakost. Drugim riječima, ako su brojevi a i b takvi da a
Da bismo to dokazali, napravimo razliku između lijeve i desne strane posljednje brojčane nejednakosti i pokažemo da je negativna pod uvjetom a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Pošto po uslovu a
Ne zadržavamo se na dokazu ovog svojstva numeričkih nejednačina za oduzimanje broja c, jer se na skupu realnih brojeva oduzimanje može zamijeniti dodavanjem −c.

Na primjer, ako dodate broj 15 na obje strane ispravne numeričke nejednakosti 7>3, dobićete ispravnu numeričku nejednakost 7+15>3+15, što je ista stvar, 22>18.

Ako se obje strane važeće numeričke nejednakosti pomnože (ili podijele) sa istim pozitivnim brojem c, dobićete važeću numeričku nejednakost. Ako se obje strane nejednakosti pomnože (ili podijele) sa negativnim brojem c, a predznak nejednakosti je obrnut, tada će nejednakost biti tačna. U doslovnom obliku: ako brojevi a i b zadovoljavaju nejednakost a b·c.

Dokaz. Počnimo sa slučajem kada je c>0. Napravimo razliku između leve i desne strane numeričke nejednakosti koja se dokazuje: a·c−b·c=(a−b)·c . Pošto po uslovu a 0 , tada će proizvod (a−b)·c biti negativan broj kao proizvod negativnog broja a−b i pozitivnog broja c (koji slijedi iz ). Prema tome, a·c−b·c<0 , откуда a·c
Ne zadržavamo se na dokazu razmatranog svojstva za dijeljenje obje strane prave numeričke nejednakosti istim brojem c, budući da se dijeljenje uvijek može zamijeniti množenjem sa 1/c.

Pokažimo primjer korištenja analiziranog svojstva na određenim brojevima. Na primjer, možete imati obje strane ispravne numeričke nejednakosti 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Iz upravo razmatranog svojstva množenja obje strane numeričke jednakosti brojem, slijede dva praktično vrijedna rezultata. Stoga ih formulišemo u obliku posljedica.

Sva svojstva o kojima je bilo riječi u ovom pasusu objedinjena su činjenicom da se prvo daje ispravna numerička nejednakost, a iz nje se, nekim manipulacijama s dijelovima nejednakosti i znakom, dobija još jedna ispravna brojčana nejednakost. Sada ćemo predstaviti blok svojstava u kojem je inicijalno data ne jedna, već nekoliko ispravnih numeričkih nejednakosti, a novi rezultat se dobija njihovom zajedničkom upotrebom nakon zbrajanja ili množenja njihovih dijelova.

Ako brojevi a, b, c i d zadovoljavaju nejednakosti a
Dokažimo da je (a+c)−(b+d) negativan broj, to će dokazati da je a+c
Indukcijom, ovo svojstvo se proširuje na pojam sabiranja tri, četiri i, općenito, bilo kojeg konačnog broja numeričkih nejednačina. Dakle, ako su za brojeve a 1, a 2, …, a n i b 1, b 2, …, b n tačne sljedeće nejednakosti: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Na primjer, date su nam tri tačne numeričke nejednačine istog predznaka −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Možete množiti numeričke nejednakosti istog predznaka po članu, čije su obje strane predstavljene pozitivnim brojevima. Konkretno, za dvije nejednakosti a
Da biste to dokazali, možete pomnožiti obje strane nejednakosti a
Ovo svojstvo vrijedi i za množenje bilo kojeg konačnog broja pravih numeričkih nejednačina s pozitivnim dijelovima. To jest, ako su a 1, a 2, ..., a n i b 1, b 2, ..., b n pozitivni brojevi, a a 1 a 1 a 2…a n .

Odvojeno, vrijedi napomenuti da ako zapis za numeričke nejednakosti sadrži nepozitivne brojeve, onda njihovo množenje po članu može dovesti do netočnih numeričkih nejednakosti. Na primjer, numeričke nejednakosti 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

Posljedica. Termično množenje identičnih pravih nejednačina oblika a

Na kraju članka, kao što smo obećali, prikupit ćemo sva proučavana svojstva tabela svojstava numeričkih nejednačina:

Reference.

Moro M.I.. Matematika. Udžbenik za 1 razred. početak škola U 2 sata 1. dio. (Prva polovina) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. izd. - M.: Obrazovanje, 2006. - 112 str.: ilustr.+Add. (2 odvojena l. ilustr.). - ISBN 5-09-014951-8.

Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.

algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

O nejednakostima smo učili u školi, gdje koristimo brojčane nejednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti svojstva numeričkih nejednakosti, od kojih se grade principi rada s njima.

Svojstva nejednačina su slična svojstvima numeričkih nejednačina. Razmotrit će se svojstva, njihova opravdanost i dati primjeri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Numeričke nejednakosti: definicija, primjeri

Prilikom uvođenja pojma nejednakosti, imamo da se njihova definicija vrši prema vrsti zapisa. Postoje algebarski izrazi koji imaju predznake ≠,< , >, ≤ , ≥ . Hajde da damo definiciju.
Definicija 1
Numerička nejednakost naziva se nejednakost u kojoj obje strane imaju brojeve i numeričke izraze.

Brojne nejednakosti razmatramo u školi nakon proučavanja prirodnih brojeva. Takve operacije poređenja se proučavaju korak po korak. Početni izgledaju kao 1< 5 , 5 + 7 >3. Nakon čega se pravila dopunjuju, a nejednakosti se usložnjavaju, onda se dobijaju nejednakosti oblika 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Osobine numeričkih nejednačina

Da biste ispravno radili s nejednačinama, morate koristiti svojstva numeričkih nejednačina. Oni dolaze iz koncepta nejednakosti. Ovaj koncept se definira korištenjem izjave koja je označena kao „više“ ili „manje“.
Definicija 2
broj a je veći od b kada je razlika a - b pozitivan broj;

broj a je manji od b kada je razlika a - b negativan broj;

broj a je jednak b kada je razlika a - b nula.

Definicija se koristi kada se nejednakosti rješavaju sa relacijama „manje ili jednako“, „veće ili jednako“. Shvatili smo to
Definicija 3
a je veće ili jednako b kada je a - b nenegativan broj;

a je manji ili jednak b kada je a - b nepozitivan broj.

Definicije će se koristiti za dokazivanje svojstava numeričkih nejednačina.

Osnovna svojstva

Pogledajmo 3 glavne nejednakosti. Upotreba znakova< и >karakterističan za sljedeća svojstva:
Definicija 4
antirefleksivnost, što kaže da bilo koji broj a iz nejednačina a< a и a >a se smatra netačnim. Poznato je da za bilo koje a vrijedi jednakost a − a = 0, pa dobijamo da je a = a. Dakle a< a и a >a je netačno. Na primjer, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 su netačni.

asimetrija. Kada su brojevi a i b takvi da je aa, a ako je a > b, onda b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a a. Drugi dio se dokazuje na sličan način.

Primjer 1
Na primjer, s obzirom na nejednakost 5< 11 имеем, что 11 >5, što znači da će njegova numerička nejednakost − 0, 27 > − 1, 3 biti prepisana kao − 1, 3< − 0 , 27 .

Prije nego pređete na sljedeće svojstvo, imajte na umu da uz pomoć asimetrije možete čitati nejednakost s desna na lijevo i obrnuto. Na ovaj način se numeričke nejednakosti mogu modifikovati i zameniti.
Definicija 5
tranzitivnost. Kada brojevi a, b, c zadovolje uslov ab i b > c, zatim a > c.

Dokazi 1
Prva tvrdnja se može dokazati. Stanje a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Drugi dio sa svojstvom tranzitivnosti dokazuje se na sličan način.
Primjer 2
Analizirano svojstvo razmatramo na primjeru nejednakosti − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 i 1 8 > 1 32 slijedi da je 1 2 > 1 32.

Numeričke nejednačine, koje se pišu pomoću slabih znakova nejednakosti, imaju svojstvo refleksivnosti, jer a ≤ a i a ≥ a mogu imati slučaj jednakosti a = a. Odlikuju ih asimetrija i tranzitivnost.
Definicija 6
Nejednačine koje u svom pisanju imaju predznake ≤ i ≥ imaju sljedeća svojstva:

refleksivnost a ≥ a i a ≤ a se smatraju pravim nejednakostima;

antisimetrija, kada je a ≤ b, zatim b ≥ a, a ako je a ≥ b, onda je b ≤ a.

tranzitivnost, kada je a ≤ b i b ≤ c, onda a ≤ c, a takođe, ako je a ≥ b i b ≥ c, tada je a ≥ c.

Dokaz se izvodi na sličan način.

Ostala bitna svojstva numeričkih nejednakosti

Za dopunu osnovnih svojstava nejednačina koriste se rezultati koji su od praktične važnosti. Za procjenu vrijednosti izraza koristi se princip metode na kojem se zasnivaju principi rješavanja nejednačina.

Ovaj paragraf otkriva svojstva nejednakosti za jedan znak stroge nejednakosti. Isto se radi i za one koji nisu strogi. Pogledajmo primjer, formuliranje nejednakosti ako je a b, onda a + c > b + c;

ako je a ≤ b, onda a + c ≤ b + c;

ako je a ≥ b, onda a + c ≥ b + c.

Za zgodnu prezentaciju dajemo odgovarajuću izjavu, koja se zapisuje i daju dokazi, prikazani su primjeri korištenja.
Definicija 7
Dodavanje ili izračunavanje broja na obje strane. Drugim riječima, kada a i b odgovaraju nejednakosti a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Dokazi 2
Da bi se ovo dokazalo, jednačina mora zadovoljiti uslov a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c 3 povećamo za 15, onda ćemo dobiti da je 7 + 15 > 3 + 15. Ovo je jednako 22 > 18.
Definicija 8
Kada se obje strane nejednakosti pomnože ili podijele sa istim brojem c, dobijamo pravu nejednakost. Ako uzmete negativan broj, predznak će se promijeniti u suprotan. Inače to izgleda ovako: za a i b nejednakost vrijedi kada je ab·c.
Dokazi 3
Kada postoji slučaj c > 0, potrebno je konstruisati razliku između leve i desne strane nejednačine. Tada dobijamo da je a · c − b · c = (a − b) · c . Iz uslova a0, tada će proizvod (a − b) · c biti negativan. Iz toga slijedi da je a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Prilikom dokazivanja, dijeljenje cijelim brojem može se zamijeniti množenjem obrnutim od datog, odnosno 1 c. Pogledajmo primjer svojstva na određenim brojevima.
Primjer 4
Obje strane nejednakosti 4 su dozvoljene< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Sada formulirajmo sljedeća dva rezultata koji se koriste u rješavanju nejednačina:

Zaključak 1. Prilikom promjene predznaka dijelova brojčane nejednakosti, sam predznak nejednakosti se mijenja u suprotan, kao− b . Ovo slijedi pravilo množenja obje strane sa - 1. Primjenjivo je za tranziciju. Na primjer, − 6< − 2 , то 6 > 2 .

Zaključak 2. Prilikom zamjene dijelova numeričke nejednakosti suprotnim brojevima, mijenja se i njen predznak, a nejednakost ostaje istinita. Dakle, imamo da su a i b pozitivni brojevi, a1 b .

Prilikom dijeljenja obje strane nejednakosti a3 2 imamo to 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a 1b može biti netačan.
Primjer 5
Na primjer, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 su netačna jednačina.

Sve točke objedinjuje činjenica da akcije na dijelove nejednakosti daju ispravnu nejednakost na izlazu. Razmotrimo svojstva kod kojih u početku postoji nekoliko numeričkih nejednakosti, a rezultat se dobija dodavanjem ili množenjem njegovih dijelova.
Definicija 9
Kada brojevi a, b, c, d vrijede za nejednakosti a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Dokaz 4
Dokažimo da je (a + c) − (b + d) negativan broj, onda ćemo dobiti da je a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Svojstvo se koristi za sabiranje tri, četiri ili više brojčanih nejednakosti pojam po član. Brojevi a 1 , a 2 , … , a n i b 1 , b 2 , … , b n zadovoljavaju nejednakosti a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Primjer 6
Na primjer, date tri numeričke nejednačine istog znaka − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Definicija 10
Poslovno množenje obje strane rezultira pozitivnim brojem. Kada a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Dokazi 5
Da bismo ovo dokazali, potrebne su nam obje strane nejednakosti a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ovo svojstvo se smatra važećim za broj brojeva s kojima se moraju pomnožiti obje strane nejednakosti. Onda a 1 , a 2 , … , a n I b 1, b 2, …, b n su pozitivni brojevi, gdje je 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Imajte na umu da kada pišete nejednačine postoje nepozitivni brojevi, onda njihovo množenje po članu dovodi do netačnih nejednačina.
Primjer 7
Na primjer, nejednakost 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Posljedica: Množenje nejednakosti po terminima aa - netačne nejednakosti,
a ≤ a, a ≥ a su prave nejednakosti.

Ako aa - antisimetrija.

Ako ab·c.

Korol 1: ako a-b.

Korol 2: ako su a i b pozitivni brojevi i a1 b .

Ako je 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .

Ako je a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n su pozitivni brojevi i a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Korol 1: Ako a< b , a I b su pozitivni brojevi, onda a n< b n .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nejednakosti se nazivaju linearnečija su lijeva i desna strana linearne funkcije u odnosu na nepoznatu veličinu. To uključuje, na primjer, nejednakosti:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Stroge nejednakosti: ax +b>0 ili ax+b<0

2) Nestroge nejednakosti: ax +b≤0 ili ax+b≫ 0

Hajde da analiziramo ovaj zadatak. Jedna od stranica paralelograma je 7 cm. Kolika mora biti dužina druge strane da bi obim paralelograma bio veći od 44 cm?

Neka je tražena strana X cm U ovom slučaju, obim paralelograma će biti predstavljen sa (14 + 2x) cm. Nejednakost 14 + 2x > 44 je matematički model problema perimetra. Ako zamijenimo varijablu u ovoj nejednakosti X na, na primjer, broj 16, onda dobijamo ispravnu numeričku nejednačinu 14 + 32 > 44. U ovom slučaju kažu da je broj 16 rješenje nejednačine 14 + 2x > 44.

Rješavanje nejednakosti imenuje vrijednost varijable koja je pretvara u pravu numeričku nejednakost.

Dakle, svaki od brojeva je 15,1; 20;73 su rješenje nejednačine 14 + 2x > 44, ali broj 10, na primjer, nije rješenje za nju.

Riješite nejednakost znači utvrditi sva njegova rješenja ili dokazati da rješenja nema.

Formulacija rješenja nejednačine slična je formulaciji korijena jednadžbe. Pa ipak, nije uobičajeno označavati “korijen nejednakosti”.

Svojstva numeričkih jednakosti pomogla su nam da riješimo jednačine. Slično tome, svojstva numeričkih nejednačina će pomoći u rješavanju nejednakosti.

Prilikom rješavanja jednačine mijenjamo je u drugu, jednostavniju jednačinu, ali ekvivalentnu datoj. Odgovor na nejednakosti nalazi se na sličan način. Kada mijenjaju jednačinu u ekvivalentnu jednačinu, koriste teoremu o prenošenju članova s jedne strane jednačine na suprotnu i o množenju obje strane jednačine istim brojem koji nije nula. Prilikom rješavanja nejednačine postoji značajna razlika između nje i jednačine, koja leži u činjenici da se svako rješenje jednačine može provjeriti jednostavnom zamjenom u izvornu jednadžbu. U nejednačinama ova metoda izostaje, jer nije moguće zamijeniti bezbroj rješenja u izvornu nejednakost. Stoga postoji važan koncept, ove strelice<=>je znak ekvivalentnih, ili ekvivalentnih, transformacija. Transformacija se zove ekvivalent, ili ekvivalentno, ako ne mijenjaju skup rješenja.

Slična pravila za rješavanje nejednačina.

Ako bilo koji pojam pomjerimo iz jednog dijela nejednakosti u drugi, zamjenjujući njegov predznak suprotnim, dobićemo nejednakost ekvivalentnu ovoj.

Ako se obje strane nejednakosti pomnože (podijele) sa istim pozitivnim brojem, dobijamo nejednakost ekvivalentnu ovoj.

Ako se obje strane nejednakosti pomnože (podijele) istim negativnim brojem, zamjenjujući znak nejednakosti suprotnim, dobićemo nejednakost ekvivalentnu datoj.

Koristeći ove pravila Izračunajmo sljedeće nejednakosti.

1) Hajde da analiziramo nejednakost 2x - 5 > 9.

Ovo linearne nejednakosti, naći ćemo njegovo rješenje i razgovarati o osnovnim konceptima.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 je pomaknuto na lijevu stranu sa suprotnim predznakom), onda smo sve podijelili sa 2 i imamo x > 7. Nacrtajmo skup rješenja na osi x

Dobili smo pozitivno usmjereni snop. Skup rješenja bilježimo ili u obliku nejednakosti x > 7, ili u obliku intervala x(7; ∞). Koje je posebno rješenje ove nejednakosti? na primjer, x = 10 je posebno rješenje ove nejednakosti, x = 12- ovo je također posebno rješenje ove nejednakosti.

Postoji mnogo parcijalnih rješenja, ali naš zadatak je pronaći sva rješenja. I obično postoji bezbroj rješenja.

Hajde da to sredimo primjer 2:

2) Riješiti nejednakost 4a - 11 > a + 13.

Hajde da to riješimo: A pomerite ga na jednu stranu 11 pomerimo ga na drugu stranu, dobijamo 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nejednakost ima oblik a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Prikažimo i set a< 8 , ali već na osi A.

Odgovor zapisujemo ili u obliku nejednakosti a< 8, либо A(-∞;8), 8 se ne uključuje.

teorija:

Prilikom rješavanja nejednačina koriste se sljedeća pravila:

1. Bilo koji član nejednakosti može se prenijeti iz jednog dijela
nejednakosti u drugu sa suprotnim predznakom, ali se predznak nejednakosti ne mijenja.

2. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti ili podijeliti s jednim
i isti pozitivan broj bez promjene predznaka nejednakosti.

3. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti ili podijeliti s jednim
i isti negativni broj, mijenjajući predznak nejednakosti u
suprotno.

Riješite nejednakost − 8 x + 11< − 3 x − 4
Rješenje.

1. Pomerimo penis − 3 x na lijevu stranu nejednakosti i pojam 11 - na desnu stranu nejednačine, dok se predznaci mijenjaju u suprotne − 3 x i na 11 .
Onda dobijamo

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Podijelimo obje strane nejednakosti − 5 x< − 15 na negativan broj − 5 , i znak nejednakosti < , promijenit će se u > , tj. prelazimo na nejednakost suprotnog značenja.
dobijamo:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— rješenje date nejednačine.

Obratite pažnju!

Postoje dvije opcije za pisanje rješenja: x > 3 ili kao brojčani interval.

Označimo skup rješenja nejednačine na brojevnoj pravoj i napišimo odgovor u obliku brojčanog intervala.

x ∈ (3 ; + ∞ )

odgovor: x > 3 ili x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebarske nejednakosti.

Kvadratne nejednakosti. Racionalne nejednakosti viših stepeni.

Metode rješavanja nejednakosti uglavnom zavise od toga kojoj klasi pripadaju funkcije koje čine nejednakost.

I. Kvadratne nejednakosti, odnosno nejednakosti oblika

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Da biste riješili nejednakost možete:

Faktori kvadratni trinom, odnosno napišite nejednakost u obliku

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

Ucrtajte korijene polinoma na brojevnu pravu. Korijeni dijele skup realnih brojeva na intervale, u svakom od kojih postoji odgovarajući kvadratna funkcija biće stalnog predznaka.

Odredite predznak a (x - x 1) (x - x 2) u svakom intervalu i zapišite odgovor.

Ako kvadratni trinom nema korijena, onda za D<0 и a>0 kvadratni trinom je pozitivan za bilo koji x.

Riješite nejednakost. x 2 + x - 6 > 0.

Faktori kvadratni trinom (x + 3) (x - 2) > 0

Odgovor: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Ova nejednakost vrijedi za bilo koje x osim za x = 6.

Odgovor: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Ovdje D< 0, a = 1 >0. Kvadratni trinom je pozitivan za sve x.

Odgovor: x Î Ø.

Riješite nejednačine:

1 + x - 2x²< 0. Ответ:

3x² - 12x + 12 ≤ 0. Odgovor:

3x² - 7x + 5 ≤ 0. Odgovor:

2x² - 12x + 18 > 0. Odgovor:

Za koje vrijednosti a vrijedi nejednakost

x² - ax > vrijedi za bilo koji x? odgovor:

II. Racionalne nejednakosti viših stepeni, odnosno nejednakosti oblika

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polinom najviši stepen treba faktorizirati, odnosno nejednakost napisati u obliku

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Označite tačke na brojevnoj pravoj gdje polinom nestaje.

Odrediti predznake polinoma na svakom intervalu.

1) Riješite nejednačinu x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Dakle, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Odgovor: (0; 1) (2; 3).

2) Riješite nejednačinu (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Označimo tačke na brojevnoj osi u kojima polinom nestaje. To su x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

U tački x = - ½ nema promjene predznaka jer je binom (2x + 1) podignut na paran stepen, odnosno izraz (2x + 1) 4 ne mijenja predznak kada prođe kroz tačku x = - ½.

Odgovor: (-∞; -2) (½; 1).

3) Riješite nejednačinu: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem skupu

Rješenje za (1) je x (-∞; -2) (3; +∞). Rješenje za (2) je x = 0, x = -2, x = 3. Kombinacijom dobivenih rješenja dobijamo x O (-∞; -2] (0) (0) )