Matrica kvadratne forme. Kvadratni oblici i kvadrike
Pozitivno određeni kvadratni oblici
Definicija. Kvadratni oblik iz n nepoznate se nazivaju pozitivno definitivno, ako je njegov rang jednak pozitivnom indeksu inercije i jednak broju nepoznatih.
Teorema. Kvadratični oblik je pozitivno određen ako i samo ako na bilo kojem skupu varijabilnih vrijednosti koji nije nula uzima pozitivne vrijednosti.
Dokaz. Neka je kvadratni oblik nedegenerirana linearna transformacija nepoznatih
vratio u normalu
.
Za bilo koji skup varijabilnih vrijednosti koji nije nula, barem jedan od brojeva 
različito od nule, tj. . Neophodnost teoreme je dokazana.
Pretpostavimo da kvadratni oblik ima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli koji nije nula, ali njegov pozitivni indeks inercije je nedegenerirana linearna transformacija nepoznatih
Hajde da to dovedemo u normalnu formu. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je u ovom normalnom obliku kvadrat posljednje varijable ili odsutan ili uključen sa predznakom minus, tj. 
, gdje ili . Pretpostavimo da je to različit od nule skup varijabilnih vrijednosti dobivenih kao rezultat rješavanja sistema linearne jednačine
U ovom sistemu, broj jednačina je jednak broju varijabli, a determinanta sistema je različita od nule. Prema Cramerovoj teoremi, sistem ima jedinstveno rješenje i ono je različito od nule. Za ovaj set. Kontradikcija sa uslovom. Dolazimo do kontradikcije sa pretpostavkom, što dokazuje dovoljnost teoreme.
Koristeći ovaj kriterij, nemoguće je iz koeficijenata utvrditi da li je kvadratni oblik pozitivno određen. Odgovor na ovo pitanje daje druga teorema, za čiju formulaciju uvodimo još jedan koncept. Glavni dijagonalni minori matrice– ovo su maloljetnici koji se nalaze u njegovom gornjem lijevom uglu:
,
, 
, … , 
.
Teorema.Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi njegovi glavni dijagonalni minori pozitivni.
Dokaz sprovešćemo metod kompletnog matematička indukcija po broju n kvadratne varijable f.
Hipoteza indukcije. Pretpostavimo da je to za kvadratne forme sa manje varijabli n izjava je tačna.
Razmotrimo kvadratni oblik n varijable. Stavimo sve pojmove koji sadrže . Preostali članovi čine kvadratni oblik varijabli. Prema hipotezi indukcije, izjava je tačna za nju.
Pretpostavimo da je kvadratni oblik pozitivno određen. Tada je kvadratni oblik pozitivno određen. Ako pretpostavimo da to nije slučaj, onda postoji skup vrijednosti varijabli koji nije nula 
, za koje 
i, shodno tome, 
, a to je u suprotnosti s činjenicom da je kvadratni oblik pozitivno određen. Po hipotezi indukcije, svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika su pozitivni, tj. svi prvi glavni minori kvadratnog oblika f su pozitivni. Zadnji glavni mol kvadratnog oblika –
ovo je determinanta njegove matrice. Ova determinanta je pozitivna, jer se njen predznak poklapa sa predznakom matrice njenog normalnog oblika, tj. sa predznakom determinante matrice identiteta.
Neka su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni. Tada su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni iz jednakosti 
. Prema indukcijskoj hipotezi, kvadratni oblik je pozitivno određen, tako da postoji nedegenerirana linearna transformacija varijabli koja formu svodi na oblik zbira kvadrata novih varijabli. Ova linearna transformacija se može proširiti na nedegenerisanu linearnu transformaciju svih varijabli postavljanjem . Ova transformacija svodi kvadratni oblik na oblik
U ovom paragrafu ćemo se fokusirati na posebno, ali važna klasa pozitivni kvadratni oblici.
Definicija 3. Realni kvadratni oblik naziva se nenegativan (nepozitivan) ako za bilo koju realnu vrijednost varijabli
. (35)
U ovom slučaju, simetrična matrica koeficijenata naziva se pozitivna semidefinita (negativna semidefinita).
Definicija 4. Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno određen (negativno određen) ako za bilo koju realnu vrijednost varijabli koje nisu istovremeno nula,
. (36)
U ovom slučaju, matrica se naziva i pozitivno određena (negativno određena).
Klasa pozitivnih određenih (negativno određenih) oblika je dio klase nenegativnih (odnosno nepozitivnih) oblika.
Neka je zadan nenegativan oblik. Zamislimo to kao zbir nezavisnih kvadrata:
. (37)
U ovom prikazu, svi kvadrati moraju biti pozitivni:
. (38)
Zaista, ako ih ima, onda bi bilo moguće odabrati takve vrijednosti
Ali tada, sa ovim vrijednostima varijabli, oblik bi imao negativnu vrijednost, što je uvjetom nemoguće. Očigledno, obrnuto, iz (37) i (38) slijedi da je oblik pozitivan.
Dakle, nenegativni kvadratni oblik karakteriziraju jednakosti.
Neka sada bude pozitivno definitivnog oblika. Tada je to nenegativan oblik. Stoga se može predstaviti u obliku (37), gdje su svi pozitivni. Iz pozitivne određenosti oblika slijedi da . Zaista, u slučaju da je moguće odabrati vrijednosti koje nisu istovremeno jednake nuli, pri čemu bi se sve okrenulo na nulu. Ali onda, na osnovu (37), na , što je u suprotnosti sa uslovom (36).
Lako je vidjeti da je obrnuto, ako su u (37) i svi pozitivni, onda je to pozitivno određen oblik.
Drugim riječima, nenegativni oblik je pozitivno određen ako i samo ako nije singularan.
Sljedeća teorema daje kriterij za pozitivnu određenost forme u obliku nejednakosti koje koeficijenti oblika moraju zadovoljiti. U ovom slučaju, koristi se notacija koja se već susrela u prethodnim paragrafima za uzastopne glavne minore matrice:
.
Teorema 3. Da bi kvadratni oblik bio pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da nejednakosti budu zadovoljene
Dokaz. Dovoljnost uslova (39) proizilazi direktno iz Jacobijeve formule (28). Neophodnost uslova (39) utvrđuje se na sledeći način. Iz pozitivne određenosti oblika proizlazi pozitivna određenost „krnjih“ oblika
.
Ali tada svi ovi oblici moraju biti nejednini, tj.
Sada imamo priliku koristiti Jacobijevu formulu (28) (na ). Pošto na desnoj strani ove formule svi kvadrati moraju biti pozitivni, onda
To implicira nejednakosti (39). Teorema je dokazana.
Pošto se bilo koji glavni minor matrice, uz pravilno prenumerisanje varijabli, može postaviti u gornji lijevi kut, onda imamo
Posljedica. U pozitivno određenom kvadratnom obliku, svi glavni minori matrice koeficijenata su pozitivni:
Komentar. Iz nenegativnosti uzastopnih glavnih maloljetnika
ne-negativnost forme ne slijedi. Zaista, forma
,
u kojoj 
, zadovoljava uslove , ali nije nenegativno.
Međutim, vrijedi sljedeće
Teorema 4. Da bi kvadratni oblik bio nenegativan, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori njegove matrice koeficijenata budu nenegativni:
Dokaz. Hajde da uvedemo pomoćni oblik je bio nepozitivan, potreban je i dovoljan da se nejednakosti ostvare
Homogeni polinom stepena 2 u nekoliko varijabli naziva se kvadratni oblik.
Kvadratni oblik varijabli sastoji se od dva tipa pojmova: kvadrata varijabli i njihovih parnih proizvoda sa određenim koeficijentima. Kvadratni oblik se obično piše kao sljedeći kvadratni dijagram:
Parovi sličnih članova zapisuju se sa jednakim koeficijentima, tako da svaki od njih čini polovinu koeficijenta odgovarajućeg proizvoda varijabli. Dakle, svaki kvadratni oblik je prirodno povezan sa svojom matricom koeficijenata, koja je simetrična.
Kvadratnu formu pogodno je predstaviti u sljedećoj matričnoj notaciji. Označimo sa X stupac varijabli kroz X - red, tj. matrica transponovana sa X. Tada
Kvadratni oblici nalazi se u mnogim granama matematike i njenim primjenama.
U teoriji brojeva i kristalografiji, kvadratni oblici se razmatraju pod pretpostavkom da varijable imaju samo cjelobrojne vrijednosti. U analitičkoj geometriji, kvadratni oblik je dio jednadžbe krive (ili površine) reda. U mehanici i fizici, čini se da kvadratni oblik izražava kinetička energija sistema kroz komponente generalizovanih brzina itd. Ali, osim toga, proučavanje kvadratnih oblika je neophodno i u analizi kada se proučavaju funkcije mnogih varijabli, u pitanjima za čije je rešavanje važno saznati kako je data funkcija u blizina date tačke odstupa od njene aproksimacije linearna funkcija. Primjer problema ovog tipa je proučavanje funkcije za njen maksimum i minimum.
Razmotrimo, na primjer, problem proučavanja maksimuma i minimuma za funkciju dvije varijable koja ima kontinuirane parcijalne izvode do reda. Neophodan uslov Da bi tačka dala maksimum ili minimum funkcije, parcijalni derivati reda u tački su jednaki nuli. Zadajmo varijablama x i y male priraštaje i k i razmotrimo odgovarajući prirast funkcije Prema Taylorovoj formuli, ovaj prirast, do malih viših redova, jednak je kvadratnom obliku gdje su vrijednosti drugih izvoda. izračunato u tački Ako je ovaj kvadratni oblik pozitivan za sve vrijednosti i k (osim ), tada funkcija ima minimum u tački ako je negativna, onda ima maksimum. Konačno, ako oblik ima i pozitivan i negativne vrijednosti, tada neće biti ni maksimuma ni minimuma. Funkcije od više varijable.
Proučavanje kvadratnih oblika uglavnom se sastoji od proučavanja problema ekvivalencije oblika u odnosu na jedan ili drugi skup linearnih transformacija varijabli. Za dva kvadratna oblika se kaže da su ekvivalentna ako se jedan od njih može pretvoriti u drugi jednom od transformacija datog skupa. Usko vezan za problem ekvivalencije je problem redukcije forme, tj. transformišući ga u neki moguće najjednostavniji oblik.
IN razna pitanja povezane s kvadratnim oblicima, razmatraju se i različiti skupovi prihvatljivih transformacija varijabli.
U pitanjima analize koriste se sve nespecijalne transformacije varijabli; za potrebe analitičke geometrije od najvećeg su interesa ortogonalne transformacije, odnosno one koje odgovaraju prelazu iz jednog sistema varijabli Kartezijanske koordinate drugome. Konačno, u teoriji brojeva i kristalografiji razmatraju se linearne transformacije sa cjelobrojnim koeficijentima i s determinantom jednakom jedinici.
Razmotrit ćemo dva od ovih problema: pitanje redukcije kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik kroz bilo koje nesingularne transformacije i isto pitanje za ortogonalne transformacije. Prije svega, hajde da saznamo kako se matrica kvadratne forme transformira tijekom linearne transformacije varijabli.
Neka je , gdje je A simetrična matrica koeficijenata oblika, X je stupac varijabli.
Napravimo linearnu transformaciju varijabli, pišući je skraćeno kao . Ovdje C označava matricu koeficijenata ove transformacije, X je stupac novih varijabli. Tada i stoga je matrica transformiranog kvadratnog oblika
Matrica se automatski ispostavi da je simetrična, što je lako provjeriti. Dakle, problem svođenja kvadratnog oblika na najjednostavniji oblik je ekvivalentan problemu svođenja simetrične matrice na najjednostavniji oblik množenjem s lijeve i desne strane međusobno transponovanim matricama.
Kvadratni oblik f(x 1, x 2,...,x n) od n varijabli je zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).
Matrica A sastavljena od ovih koeficijenata naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij =a ji).
U matričnom zapisu, kvadratni oblik je f(X) = X T AX, gdje je
Zaista
Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.
Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima varijabli na kvadrat, a preostali elementi jednaki su polovinama odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zato
Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nesingularna matrica n-tog reda. Tada je kvadratni oblik f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.
Dakle, sa nedegenerisanom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * =C T AC.
Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2), dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.
Kvadratni oblik se zove kanonski(ima kanonski pogled), ako su svi njegovi koeficijenti ij = 0 za i≠j, tj. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .
Njegova matrica je dijagonalna.
Teorema(dokaz nije dat ovdje). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.
Na primjer, dovedemo u kanonski oblik kvadratni oblik f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.
Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat s promjenljivom x 1:
f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.
Sada biramo ceo kvadrat sa promenljivom x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.
Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .
Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika određen dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine 1). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o načinu svođenja forme na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.
Provjerimo ovo dovođenjem istog kvadratnog oblika u kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s promjenljivom x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , gdje je y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje postoji pozitivan koeficijent 2 za y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) za y 1 i y 2 (a drugom metodom dobili smo pozitivan koeficijent 2 za y 1 i dva negativna - (-5) za y 2 i (-1/20) za y 3 ).
Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.
Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno(negativan)siguran, ako za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno nula, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj. f(X)< 0).
Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.
U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi definitivni predznak kvadratnog oblika, pa za to koristimo jednu od sljedećih teorema (formulisaćemo ih bez dokaza).
Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako je sve sopstvene vrijednosti njegove matrice su pozitivne (negativne).
Teorema (Sylvesterov kriterij). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi vodeći minori matrice ovog oblika pozitivni.
Glavni (ugaoni) mol Matrice k-tog reda An-tog reda nazivaju se determinantom matrice, sastavljene od prvih k redova i stupaca matrice A ().
Imajte na umu da se za negativno određene kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.
Na primjer, hajde da ispitamo kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 radi definicije predznaka.
= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17; 
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.
Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A 1 =a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju kvadrat oblik je pozitivno određen.
Hajde da ispitamo još jedan kvadratni oblik za definitivnost znaka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik 
= (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; 
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.
Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A 1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je negativno određen (znakovi glavnih minora se izmjenjuju, počevši od minusa).
I kao drugi primjer, ispitujemo znakom određen kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik 
= (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; 
. Jedan od ovih brojeva je negativan, a drugi pozitivan. Znaci sopstvenih vrednosti su različiti. Prema tome, kvadratni oblik ne može biti ni negativan ni pozitivno određen, tj. ovaj kvadratni oblik nije znakom određen (može uzeti vrijednosti bilo kojeg predznaka).
Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A 1 =a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).
1Razmatrani metod svođenja kvadratnog oblika na kanonski oblik je pogodan za korištenje kada se naiđu na koeficijente koji nisu nula s kvadratima varijabli. Ako ih nema, još uvijek je moguće izvršiti konverziju, ali morate koristiti neke druge tehnike. Na primjer, neka je f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =
= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, gdje je y 1 = x 1 + x 2, aj 2 = x 1 – x 2.
Učitavanje...
