Kinematička energija rotacionog kretanja. Kinetička energija rotirajućeg tijela

Glavne dinamičke karakteristike rotacionog kretanja su ugaoni moment oko ose rotacije z:

i kinetičku energiju

U opštem slučaju, energija tokom rotacije sa ugaonom brzinom nalazi se po formuli:

U termodinamici

Potpuno istim obrazloženjem kao u slučaju kretanje napred, ekviparticija implicira da je u toplotnoj ravnoteži prosječna energija rotacije svake čestice jednoatomnog plina: (3/2)k B T. Slično, teorema ekviparticije omogućava da se izračuna srednji kvadratni korijen ugaona brzina molekule.

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Energija rotacionog kretanja" u drugim rječnicima:

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Energija (značenja). Energija, Dimenzija ... Wikipedia

KRETANJA- KRETANJA. Sadržaj: Geometrija D.................................452 Kinematika D................................456 Dinamika D. ...................461 Motorni mehanizmi ......................465 Metode izučavanja D. osobe ..........471 Patologija D. osobe ............. 474 ... ... Velika medicinska enciklopedija

Kinetička energija energije mehanički sistem, u zavisnosti od brzina njegovih tačaka. Često se dodjeljuje kinetička energija translacijskog i rotacijskog kretanja. Strogo rečeno, kinetička energija je razlika između ukupne ... ... Wikipedije

Toplotno kretanje α peptida. Složeno drhtavo kretanje atoma koji čine peptid je nasumično, a energija pojedinačnog atoma fluktuira u širokom rasponu, ali korištenjem zakona ekviparticije izračunava se kao prosječna kinetička energija svakog ... ... Wikipedia

Toplotno kretanje α peptida. Složeno drhtavo kretanje atoma koji čine peptid je nasumično, a energija pojedinačnog atoma fluktuira u širokom rasponu, ali korištenjem zakona ekviparticije izračunava se kao prosječna kinetička energija svakog ... ... Wikipedia

- (francuski marées, njemački Gezeiten, engleski tides) periodične fluktuacije nivo vode zbog privlačenja mjeseca i sunca. Opće informacije. P. je najuočljiviji uz obale okeana. Neposredno nakon niske vode najveće oseke, nivo okeana počinje da pada ... ... enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron

Posuda za hlađenje Ivory Tirupati početna stabilnost je negativna Sposobnost stabilnosti ... Wikipedia

Hladnjak Ivory Tirupati početna stabilnost je negativna Stabilnost Sposobnost plutajućeg objekta da izdrži vanjske sile koje uzrokuju da se kotrlja ili trim i vrati u stanje ravnoteže na kraju poremećaja ... ... Wikipedia

« fizika - 10. razred

Zašto se klizač rasteže duž ose rotacije da bi povećao ugaonu brzinu rotacije.
Da li helikopter treba da se okreće kada mu se rotira propeler?

Postavljena pitanja sugeriraju da ako vanjske sile ne djeluju na tijelo ili se njihovo djelovanje kompenzira i jedan dio tijela počne da se okreće u jednom smjeru, onda se drugi dio mora okretati u drugom smjeru, baš kao kada se gorivo izbacuje iz raketa, sama raketa se kreće u suprotnom smjeru.

moment impulsa.

Ako uzmemo u obzir rotirajući disk, postaje očigledno da je ukupni impuls diska jednak nuli, jer bilo kojoj čestici tijela odgovara čestica koja se kreće jednakom brzinom u apsolutnoj vrijednosti, ali u suprotnom smjeru (slika 6.9).

Ali disk se kreće, ugaona brzina rotacije svih čestica je ista. Međutim, jasno je da što je čestica dalje od ose rotacije, to je njen impuls veći. Stoga je za rotacijsko kretanje potrebno uvesti još jednu karakteristiku, sličnu impulsu, - ugaoni moment.

Ugaoni moment čestice koja se kreće po kružnici je proizvod impulsa čestice i udaljenosti od nje do ose rotacije (slika 6.10):

Linearna i ugaona brzina su, dakle, povezane sa v = ωr

Sve tačke krute materije kreću se u odnosu na fiksnu os rotacije istom ugaonom brzinom. Kruto tijelo se može predstaviti kao zbirka materijalne tačke.

Ugaoni moment krutog tijela jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine rotacije:

Ugaoni moment je vektorska veličina, prema formuli (6.3), ugaoni moment je usmjeren na isti način kao i kutna brzina.

Osnovna jednadžba dinamike rotacijskog kretanja u impulsivnom obliku.

Kutno ubrzanje tijela jednako je promjeni ugaone brzine podijeljenoj s vremenskim intervalom tokom kojeg se ta promjena dogodila: Zamijenite ovaj izraz u osnovnu jednačinu za dinamiku rotacionog kretanja dakle I(ω 2 - ω 1) = MΔt, ili IΔω = MΔt.

Na ovaj način,

∆L = M∆t. (6.4)

Promjena ugaonog momenta jednaka je proizvodu ukupnog momenta sila koje djeluju na tijelo ili sistem i vremena djelovanja tih sila.

Zakon održanja ugaonog momenta:

Ako je ukupni moment sila koje djeluju na tijelo ili sistem tijela sa fiksnom osom rotacije jednak nuli, tada je i promjena ugaonog momenta jednaka nuli, tj. ugaoni moment sistema ostaje konstantan.

∆L=0, L=konst.

Promjena količine gibanja sistema jednaka je ukupnom impulsu sila koje djeluju na sistem.

Klizač koji se okreće raširi ruke u stranu, čime se povećava moment inercije kako bi se smanjila ugaona brzina rotacije.

Zakon održanja ugaonog momenta može se demonstrirati korištenjem sljedećeg eksperimenta, nazvanog "eksperiment sa klupom Žukovskog". Osoba stoji na klupi sa okomitom osom rotacije koja prolazi kroz njen centar. Čovjek u rukama drži bučice. Ako je klupa napravljena da se rotira, tada osoba može promijeniti brzinu rotacije pritiskom bučica na prsa ili spuštanjem ruku, a zatim ih raširivši. Raširivši ruke, on povećava moment inercije, a kutna brzina rotacije se smanjuje (slika 6.11, a), spuštajući ruke, smanjuje moment inercije, a kutna brzina rotacije klupe se povećava (sl. 6.11, b).

Osoba također može natjerati klupu da se okreće hodajući duž njene ivice. U tom slučaju, klupa će se rotirati u suprotnom smjeru, jer ukupni ugaoni moment mora ostati jednak nuli.

Princip rada uređaja koji se nazivaju žiroskopi zasniva se na zakonu održanja ugaonog momenta. Glavno svojstvo žiroskopa je očuvanje smjera osi rotacije, ako vanjske sile ne djeluju na ovu os. U 19. vijeku žiroskope su navigatori koristili za navigaciju morem.

Kinetička energija rotirajućeg krutog tijela.

Kinetička energija rotirajućeg čvrstog tijela jednaka je zbiru kinetičkih energija njegovih pojedinačnih čestica. Podijelimo tijelo na male elemente, od kojih se svaki može smatrati materijalnom tačkom. Tada je kinetička energija tijela jednaka zbroju kinetičkih energija materijalnih tačaka od kojih se sastoji:

Ugaona brzina rotacije svih tačaka tela je ista, dakle,

Vrijednost u zagradama, kao što već znamo, je moment inercije krutog tijela. Konačno, formula za kinetičku energiju krutog tijela s fiksnom osom rotacije ima oblik

U opštem slučaju kretanja krutog tela, kada je os rotacije slobodna, njegova kinetička energija jednaka je zbiru energija translacionog i rotacionog kretanja. Dakle, kinetička energija točka, čija je masa koncentrisana u obodu, koji se kotrlja duž puta konstantnom brzinom, jednaka je

U tabeli se porede formule mehanike translacionog kretanja materijalne tačke sa sličnim formulama za rotaciono kretanje krutog tela.

Odredimo kinetičku energiju krutog tijela koje rotira oko fiksne ose. Podijelimo ovo tijelo na n materijalnih tačaka. Svaka tačka se kreće linearnom brzinom υ i =ωr i , tada kinetička energija tačke

ili

Ukupna kinetička energija rotacije čvrsto telo jednak je zbiru kinetičkih energija svih njegovih materijalnih tačaka:

(3.22)

(J - moment inercije tijela oko ose rotacije)

Ako putanje svih tačaka leže u paralelnim ravnima (kao cilindar koji se kotrlja niz nagnutu ravan, svaka tačka se kreće u svojoj ravni), to je ravno kretanje. U skladu sa Ojlerovim principom, kretanje u ravnini se uvek može razložiti na beskonačan broj načina na translaciono i rotaciono kretanje. Ako lopta padne ili klizi duž nagnute ravni, kreće se samo naprijed; kada se lopta kotrlja, ona se takođe rotira.

Ako tijelo istovremeno vrši translacijske i rotacijske kretnje, tada je njegova ukupna kinetička energija jednaka

(3.23)

Iz poređenja formula za kinetičku energiju za translatorno i rotaciono kretanje, može se vidjeti da je mjera inercije pri rotacionom kretanju moment inercije tijela.

§ 3.6 Rad vanjskih sila tokom rotacije krutog tijela

Kada se kruto tijelo rotira, njegova potencijalna energija se ne mijenja, pa je elementarni rad spoljne sile jednaka je prirastu kinetičke energije tijela:

dA = dE ili

Uzimajući u obzir da je Jβ = M, ωdr = dφ, imamo α tijela pod konačnim uglom φ jednako

(3.25)

Kada se kruto tijelo rotira oko fiksne ose, rad vanjskih sila određen je djelovanjem momenta tih sila oko date ose. Ako je moment sila oko ose jednak nuli, tada te sile ne proizvode rad.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 2.1. masa zamajcam=5kg i radijusr= 0,2 m rotira oko horizontalne ose sa frekvencijomν 0 =720 min -1 i zaustavlja se prilikom kočenjat=20 s. Pronađite kočioni moment i broj okretaja prije zaustavljanja.

Za određivanje momenta kočenja primjenjujemo osnovnu jednačinu za dinamiku rotacijskog kretanja

gdje je I=mr 2 moment inercije diska; Δω \u003d ω - ω 0, a ω = 0 je konačna kutna brzina, ω 0 = 2πν 0 je početna. M je moment kočenja sila koje djeluju na disk.

Poznavajući sve količine, moguće je odrediti kočioni moment

Mr 2 2πν 0 = MΔt (1)

(2)

Iz kinematike rotacionog kretanja, ugao rotacije tokom rotacije diska do zaustavljanja može se odrediti formulom

(3)

gdje je β kutno ubrzanje.

Prema uslovu zadatka: ω = ω 0 - βΔt, pošto je ω=0, ω 0 = βΔt

Tada se izraz (2) može zapisati kao:

Primjer 2.2. Dva zamašnjaka u obliku diskova istih poluprečnika i mase zavrtjena su do brzine rotacijen= 480 o/min i prepušteni sami sebi. Pod djelovanjem sila trenja osovina na ležajeve, prvi se zaustavio nakon togat\u003d 80 s, a drugi jeN= 240 obrtaja za zaustavljanje. U kom zamajcu je i koliko puta bio veći moment sila trenja vratila na ležajeve.

Moment sila trna M 1 prvog zamašnjaka ćemo pronaći koristeći osnovnu jednadžbu dinamike rotacionog kretanja

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

gdje je Δt vrijeme djelovanja momenta sila trenja, I = mr 2 - moment inercije zamašnjaka, ω 1 \u003d 2πν i ω 2 = 0 su početna i konačna kutna brzina zamašnjaka

Onda

Moment sila trenja M 2 drugog zamašnjaka izražava se kroz odnos između rada A sila trenja i promjene njegove kinetičke energije ΔE k:

gdje je Δφ = 2πN ugao rotacije, N je broj okretaja zamašnjaka.

Onda gde

O omjer će biti

Moment trenja drugog zamajca je 1,33 puta veći.

Primjer 2.3. Masa homogenog čvrstog diska m, mase tereta m 1 i m 2 (sl.15). Nema klizanja i trenja navoja u osi cilindra. Pronađite ubrzanje masa i omjer napetosti nitiu procesu kretanja.

Nema klizanja niti, dakle, kada će m 1 i m 2 napraviti translatorno kretanje, cilindar će se rotirati oko ose koja prolazi kroz tačku O. Pretpostavimo za određenost da je m 2 > m 1.

Zatim se opterećenje m 2 spušta i cilindar se okreće u smjeru kazaljke na satu. Zapišimo jednačine kretanja tijela uključenih u sistem

Prve dvije jednadžbe su napisane za tijela s masama m 1 i m 2 koja se gibaju translatorno, a treća jednačina je za rotirajući cilindar. U trećoj jednadžbi, lijevo je ukupan moment sila koje djeluju na cilindar (moment sile T 1 uzima se sa predznakom minus, jer sila T 1 teži da okrene cilindar u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Na desnoj strani, I je moment inercije cilindra oko ose O, koji je jednak

gdje je R polumjer cilindra; β je ugaono ubrzanje cilindra.

Pošto nema klizanja konca,
. Uzimajući u obzir izraze za I i β, dobijamo:

Sabiranjem jednačina sistema dolazimo do jednačine

Odavde nalazimo ubrzanje a tereta

Iz rezultirajuće jednačine se vidi da će napetosti niti biti iste, tj. =1 ako je masa cilindra mnogo manja od mase utega.

Primjer 2.4. Šuplja kugla mase m = 0,5 kg ima vanjski polumjer R = 0,08 m, a unutrašnji polumjer r = 0,06 m. Lopta se rotira oko ose koja prolazi kroz njen centar. U određenom trenutku na loptu počinje djelovati sila, zbog čega se kut rotacije lopte mijenja prema zakonu
. Odredite moment primijenjene sile.

Zadatak rješavamo korištenjem osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja
. Glavna poteškoća je odrediti moment inercije šuplje lopte, a kutno ubrzanje β nalazi se kao
. Moment inercije I šuplje lopte jednak je razlici između momenata inercije lopte poluprečnika R i lopte poluprečnika r:

gdje je ρ gustina materijala kugle. Gustinu nalazimo, znajući masu šuplje lopte

Odavde određujemo gustinu materijala lopte

Za moment sile M dobijamo sledeći izraz:

Primjer 2.5. Tanka šipka mase 300 g i dužine 50 cm rotira ugaonom brzinom od 10 s -1 u horizontalnoj ravni oko vertikalne ose koja prolazi kroz sredinu štapa. Pronađite ugaonu brzinu ako se tokom rotacije u istoj ravni štap pomiče tako da osa rotacije prolazi kroz kraj štapa.

Koristimo zakon održanja ugaonog momenta

(1)

(J i - moment inercije štapa u odnosu na os rotacije).

Za izolovani sistem tela, vektorski zbir ugaonog momenta ostaje konstantan. Zbog činjenice da se distribucija mase štapa u odnosu na os rotacije mijenja, moment inercije štapa se također mijenja u skladu sa (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Poznato je da je moment inercije štapa oko ose koja prolazi kroz centar mase i okomita na štap jednak

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Prema Steinerovoj teoremi

J = J 0 +m a 2

(J je moment inercije štapa oko proizvoljne ose rotacije; J 0 je moment inercije oko paralelne ose koja prolazi kroz centar mase; a- udaljenost od centra mase do odabrane ose rotacije).

Nađimo moment inercije oko ose koja prolazi kroz njegov kraj i okomita na štap:

J 2 \u003d J 0 +m a 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (četiri)

Zamijenimo formule (3) i (4) u (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 = 10s-1/4 = 2,5s -1

Primjer 2.6 . masovni čovekm= 60 kg, stoji na rubu platforme mase M = 120 kg, rotira po inerciji oko fiksne vertikalne ose sa frekvencijom ν 1 =12min -1 , ide u njegov centar. Razmatrajući platformu kao okrugli homogeni disk, a osobu kao točkastu masu, odredite s kojom frekvencijom ν 2 platforma će se tada rotirati.

Dato: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0,2s -1 .

Nađi: v 1

Rješenje: Prema stanju zadatka, platforma sa osobom se rotira po inerciji, tj. rezultujući moment svih sila primenjenih na rotirajući sistem je nula. Dakle, za sistem „platforma-čovjek“ zakon održanja momenta je ispunjen

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

gdje
- moment inercije sistema kada osoba stoji na ivici platforme (uzeli smo u obzir da je moment inercije platforme jednak (R je poluprečnik p
platforma), moment inercije osobe na ivici platforme je mR 2).

- moment inercije sistema kada osoba stoji u centru platforme (uzeli smo u obzir da je momenat osobe koja stoji u centru platforme jednak nuli). Ugaona brzina ω 1 = 2π ν 1 i ω 1 = 2π ν 2 .

Zamjenom pisanih izraza u formulu (1) dobijamo

odakle željena brzina rotacije

Odgovori: v 2 =24 min -1 .

Kinetička energija je aditivna veličina. Dakle, kinetička energija tijela koje se kreće na proizvoljan način jednaka je zbiru kinetičkih energija svih n materijalnih tačaka na koje se ovo tijelo može mentalno podijeliti:

Ako se tijelo rotira oko fiksne ose z ugaonom brzinom , tada je linearna i-ta brzina bodova , Ri je udaljenost do ose rotacije. shodno tome,

Upoređujući i može se vidjeti da je moment inercije tijela I mjera inercije pri rotacionom kretanju, kao što je masa m mjera inercije pri translatornom kretanju.

U opštem slučaju, kretanje krutog tela može se predstaviti kao zbir dva kretanja - translacionog sa brzinom vc i rotacionog sa ugaonom brzinom ω oko trenutne ose koja prolazi kroz centar inercije. Zatim ukupna kinetička energija ovog tijela

Ovdje je Ic moment inercije oko trenutne ose rotacije koja prolazi kroz centar inercije.

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja.

Dinamika rotacije

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja:

ili M=Je, gdje je M moment sile M=[ r F ] , J - moment inercije je moment impulsa tijela.

ako je M(eksterno)=0 - zakon održanja ugaonog momenta. - kinetička energija rotirajućeg tijela.

rotacioni rad.

Zakon održanja ugaonog momenta.

Ugaoni moment (moment) materijalne tačke A u odnosu na fiksnu tačku O naziva se fizička količina, definisano vektorski proizvod:

gdje je r radijus vektor povučen od tačke O do tačke A, p=mv je impuls materijalne tačke (slika 1); L je pseudovektor čiji se smjer poklapa sa smjerom translacijskog kretanja desnog vijka tokom njegove rotacije od r do p.

Modul vektora momenta

gdje je α ugao između vektora r i p, l je rame vektora p u odnosu na tačku O.

Ugaoni moment u odnosu na fiksnu osu z je skalarna vrijednost Lz, koja je jednaka projekciji na ovu osu vektora ugaonog momenta, definiranog u odnosu na proizvoljnu tačku O ove ose. Ugaoni moment Lz ne zavisi od položaja tačke O na osi z.

Kada se apsolutno kruto tijelo rotira oko fiksne ose z, svaka tačka tijela kreće se duž kružnice konstantnog polumjera ri brzinom vi. Brzina vi i zamah mivi su okomiti na ovaj poluprečnik, tj. radijus je krak vektora mivi. Dakle, možemo napisati da je ugaoni moment pojedinačne čestice

a usmjeren je duž ose u smjeru određenom pravilom desnog vijka.

Moć kretanja krutog tijela u odnosu na osu je zbir impulsa pojedinačnih čestica:

Koristeći formulu vi = ωri, dobijamo

Dakle, ugaoni moment krutog tijela oko ose jednak je momentu inercije tijela oko iste ose, pomnoženom s ugaonom brzinom. Razlikujemo jednačinu (2) s obzirom na vrijeme:

Ova formula je još jedan oblik jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja krutog tijela oko fiksne ose: derivacija ugaonog momenta krutog tijela oko ose jednaka je momentu sila oko iste ose.

Može se pokazati da vrijedi vektorska jednakost

U zatvorenom sistemu, moment spoljnih sila je M = 0 i odakle

Izraz (4) je zakon održanja ugaonog momenta: ugaoni moment zatvorenog sistema je očuvan, tj. ne menja se tokom vremena.

Zakon održanja ugaonog momenta kao i zakon održanja energije je osnovni zakon prirode. Povezuje se sa svojstvom simetrije prostora - njegovom izotropijom, tj. sa invarijantnošću fizičkih zakona u odnosu na izbor pravca koordinatnih osa referentnog sistema (u odnosu na rotaciju zatvorenog sistema u prostoru za bilo koji ugao).

Ovdje ćemo demonstrirati zakon održanja ugaonog momenta koristeći klupu Žukovskog. Osoba koja sjedi na klupi, rotira oko vertikalne ose i drži bučice u ispruženim rukama (slika 2), rotira se vanjskim mehanizmom ugaonom brzinom ω1. Ako osoba pritisne bučice na tijelo, tada će se moment inercije sistema smanjiti. Ali moment vanjskih sila jednak je nuli, ugaoni moment sistema je očuvan i ugaona brzina rotacije ω2 raste. Slično, gimnastičar, skačući preko glave, privlači ruke i noge uz tijelo kako bi smanjio svoj moment inercije i time povećao kutnu brzinu rotacije.

Pritisak u tečnosti i gasu.

Molekule gasa, čineći haotičnim, haotično kretanje, nisu povezani ili prilično slabo povezani silama interakcije, zbog čega se kreću gotovo slobodno i, kao rezultat sudara, raspršuju se u svim smjerovima, dok ispunjavaju cjelokupnu zapreminu koja im je data, tj. zapreminu plina određuje zapreminu posude koju zauzima gas.

A tečnost, koja ima određenu zapreminu, poprima oblik posude u kojoj je zatvorena. Ali za razliku od gasova u tečnostima, prosečna udaljenost između molekula ostaje u proseku konstantna, tako da tečnost ima gotovo nepromenjenu zapreminu.

Osobine tečnosti i gasova su veoma različite u mnogim aspektima, ali u nekoliko mehaničke pojave njihova svojstva su određena istim parametrima i identičnim jednačinama. Iz tog razloga, hidroaeromehanika je grana mehanike koja proučava ravnotežu i kretanje gasova i tečnosti, interakciju između njih i između čvrstih tela koja teku oko njih, tj. primenjuje se jedinstven pristup proučavanju tečnosti i gasova.

U mehanici se tečnosti i gasovi sa visokim stepenom tačnosti smatraju neprekidnim, neprekidno raspoređenim u delu prostora koji zauzimaju. U gasovima, gustina značajno zavisi od pritiska. Utvrđeno iz iskustva. da se kompresibilnost tečnosti i gasa često može zanemariti i preporučljivo je koristiti jedan koncept - nestišljivost tečnosti - tečnosti sa istom gustinom svuda, koja se ne menja tokom vremena.

Stavljamo ga u tanku ploču u mirovanju, kao rezultat toga, dijelovi tekućine koji se nalaze na suprotnim stranama ploče će djelovati na svaki od njegovih elemenata ΔS sa silama ΔF, koje će biti jednake apsolutnoj vrijednosti i usmjerene okomito na mjesto ΔS, bez obzira na orijentaciju mjesta, inače bi prisustvo tangencijalnih sila pokrenulo čestice tečnosti (slika 1)

Utvrđena fizička količina normalna sila, koji djeluje sa strane tekućine (ili plina) po jedinici površine, naziva se tlak p / tekućina (ili plin): p=ΔF/ΔS.

Jedinica za pritisak je paskal (Pa): 1 Pa je jednak pritisku koji stvara sila od 1 N, koja je ravnomerno raspoređena na površini od 1 m2 normalno na nju (1 Pa = 1 N/m2).

Pritisak u ravnoteži tečnosti (gasova) podleže Pascalovom zakonu: pritisak na bilo kom mestu fluida koji miruje je isti u svim pravcima, a pritisak se podjednako prenosi na celu zapreminu koju zauzima fluid u mirovanju.

Istražimo uticaj težine fluida na distribuciju pritiska unutar stacionarnog nestišljivog fluida. Kada je tečnost u ravnoteži, pritisak duž bilo koje horizontalne linije je uvek isti, inače ne bi bilo ravnoteže. To znači da je slobodna površina fluida u mirovanju uvijek horizontalna (ne uzimamo u obzir privlačenje fluida zidovima posude). Ako je fluid nestišljiv, tada je gustina fluida nezavisna od pritiska. Tada je sa poprečnim presekom S stuba tečnosti, njegovom visinom h i gustinom ρ, težina P=ρgSh, dok je pritisak na donju osnovu: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

tj. pritisak se linearno mijenja sa visinom. Pritisak ρgh se naziva hidrostatički pritisak.

Prema formuli (1), sila pritiska na donje slojeve tečnosti bit će veća nego na gornje, stoga, sila određena Arhimedovim zakonom djeluje na tijelo uronjeno u tekućinu (gas): plutajući prema gore sila jednaka težini tečnost (gas) istisnuta telom: FA=ρgV, gde je ρ gustina tečnosti, V je zapremina tela uronjenog u tečnost.

Zamislite apsolutno kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose. Hajde da mentalno razbijemo ovo tijelo na beskonačno male komade beskonačno malih veličina i masa. m v t., t 3 ,... na udaljenostima R v R 0 , R 3 ,... od ose. Kinetička energija rotirajućeg tijela nalazimo kao zbir kinetičkih energija njegovih malih dijelova:

- moment inercije kruto tijelo u odnosu na datu osu 00,. Iz poređenja formula za kinetičku energiju translacionog i rotacionog kretanja, očigledno je da moment inercije u rotacionom kretanju je analogan masi u translatornom kretanju. Formula (4.14) je pogodna za izračunavanje momenta inercije sistema koji se sastoji od pojedinačnih materijalnih tačaka. Da biste izračunali moment inercije čvrstih tijela, koristeći definiciju integrala, možete ga pretvoriti u oblik

Lako je uočiti da moment inercije zavisi od izbora ose i da se menja sa njenim paralelnim translacijom i rotacijom. Nađimo vrijednosti momenata inercije za neka homogena tijela.

Iz formule (4.14) je očigledno da moment inercije materijalne tačke jednaki

gdje t - tačka mase; R- udaljenost do ose rotacije.

Lako je izračunati moment inercije za šuplji cilindar tankih zidova(ili poseban slučaj cilindra male visine - tanak prsten) radijus R oko ose simetrije. Udaljenost do ose rotacije svih tačaka za takvo tijelo je ista, jednaka je poluprečniku i može se izvaditi ispod znaka zbira (4.14):

Rice. 4.5

čvrst cilindar(ili poseban slučaj cilindar male visine disk) radijus R za izračunavanje momenta inercije oko ose simetrije potrebno je izračunavanje integrala (4.15). Unaprijed se može razumjeti da je masa u ovom slučaju, u prosjeku, koncentrisana nešto bliže osi nego u slučaju šupljeg cilindra, a formula će biti slična (4.17), ali će koeficijent manji od jedan pojaviti u njemu. Nađimo ovaj koeficijent. Neka čvrsti cilindar ima gustinu p i visinu A. Podijelimo ga na šuplje cilindre (tanke cilindrične površine) debljine dr(Slika 4.5 prikazuje projekciju okomitu na os simetrije). Zapremina takvog šupljeg cilindra polumjera r jednaka površini površina puta debljina: dV = 2nrhdr, težina: dm=2nphdrr, i moment inercije u skladu sa formulom (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Ukupni moment inercije čvrstog cilindra dobija se integrisanjem (zbirom) momenata inercije šupljih cilindara:

Slično pretraženo moment inercije tanke šipke dužina L i mase t, ako je os rotacije okomita na štap i prolazi kroz njegovu sredinu. Hajde da prekinemo ovo

Uzimajući u obzir činjenicu da je masa čvrstog cilindra povezana sa gustinom po formuli t = nR 2 ks, konačno imamo moment inercije čvrstog cilindra:

Rice. 4.6

šipka u skladu sa sl. 4,6 komada debljine dl. Masa takvog komada je dm = mdl/L, i moment inercije u skladu sa formulom (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Ukupni moment inercije tankog štapa dobije se integracijom (zbrajanjem) momenata inercije dijelova:

Uzimanje elementarnog integrala daje moment inercije tankog štapa dužine L i mase t

Rice. 4.7

Integral se uzima nešto komplikovanije kada se traži moment inercije homogene lopte radijus R i masa /77 u odnosu na osu simetrije. Neka čvrsta lopta ima gustinu p. Hajde da ga raščlanimo kao što je prikazano na sl. 4.7 za debljinu šupljih tankih cilindara dr,čija se osa simetrije poklapa sa osom rotacije lopte. Zapremina takvog šupljeg cilindra radijusa G jednaka je površini pomnoženoj sa debljinom:

gdje je visina cilindra h pronađeno pomoću Pitagorine teoreme:

Tada je lako pronaći masu šupljeg cilindra:

kao i moment inercije u skladu sa formulom (4.15):

Ukupni moment inercije čvrste kugle dobija se integrisanjem (zbirom) momenata inercije šupljih cilindara:

Uzimajući u obzir činjenicu da je masa čvrste lopte povezana sa gustinom oblika - 4 .

loy t = -npR A y konačno imamo moment inercije oko ose

simetrija homogene lopte poluprečnika R mase t: