Koja je formula za centripetalno ubrzanje? Kružno kretanje

centripetalno ubrzanje- komponenta tačkastog ubrzanja, koja karakterizira brzinu promjene smjera vektora brzine za putanju sa krivinom (druga komponenta, tangencijalno ubrzanje, karakterizira promjenu modula brzine). Usmjereno ka centru zakrivljenosti putanje, što je i razlog za termin. Veličina je jednaka kvadratu brzine podijeljenom radijusom zakrivljenosti. Pojam " centripetalno ubrzanje" je ekvivalentno terminu " normalno ubrzanje". Ta komponenta zbira sila koja uzrokuje ovo ubrzanje naziva se centripetalna sila.

Većina jednostavan primjer centripetalno ubrzanje je vektor ubrzanja za jednoliko kružno kretanje (usmjereno prema centru kruga).

Brzo ubrzanje projektovana na ravan okomitu na osu, izgleda kao centripetala.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
gdje a n (\displaystyle a_(n)\ )- normalno (centripetalno) ubrzanje, v (\displaystyle v\)- (trenutna) linearna brzina kretanja duž putanje, ω (\displaystyle \omega \ )- (trenutna) ugaona brzina ovog kretanja u odnosu na centar zakrivljenosti putanje, R (\displaystyle R\)- radijus zakrivljenosti putanje u datoj tački. (Veza između prve formule i druge je očigledna, data v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Izrazi iznad uključuju apsolutne vrijednosti. Mogu se lako napisati u vektorskom obliku množenjem sa e R (\displaystyle \mathbf (e) _(R))- jedinični vektor od centra zakrivljenosti putanje do zadate tačke:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)
Ove formule su podjednako primjenjive na slučaj kretanja sa konstantnom (u apsolutnoj vrijednosti) brzinom i na proizvoljan slučaj. Međutim, u drugom se mora imati na umu da centripetalno ubrzanje nije kompletan vektor ubrzanje, ali samo njegova komponenta okomita na putanju (ili, što je isto, okomita na vektor trenutne brzine); vektor ukupnog ubrzanja tada uključuje i tangencijalnu komponentu ( tangencijalno ubrzanje) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), koji se poklapa u pravcu sa tangentom putanje (ili, što je isto, sa trenutnom brzinom) .

Motivacija i zaključak

Da dekompozicija vektora ubrzanja na komponente - jednu duž vektora tangentne na putanju (tangencijalno ubrzanje) i drugu ortogonalnu na nju (normalno ubrzanje) - može biti zgodna i korisna, prilično je očigledno samo po sebi. Prilikom kretanja konstantnom modulo brzinom, tangencijalna komponenta postaje jednaka nuli, odnosno u ovom važnom konkretnom slučaju ostaje samo normalna komponenta. Osim toga, kao što se može vidjeti u nastavku, svaka od ovih komponenti ima izražena svojstva i vlastitu strukturu, a normalno ubrzanje sadrži prilično važan i netrivijalan geometrijski sadržaj u strukturi svoje formule. Da ne spominjemo važan poseban slučaj kretanja u krug.

Formalna derivacija

Proširenje ubrzanja na tangencijalne i normalne komponente (od kojih je druga centripetalno ili normalno ubrzanje) može se naći diferenciranjem s obzirom na vrijeme vektora brzine predstavljenog kao v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) kroz jedinični tangentni vektor e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathb(\mac (\mathbcf) v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)
Ovdje koristimo notaciju za jedinični vektor normale na putanju i l (\displaystyle l\ )- za trenutnu dužinu putanje ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); posljednja tranzicija također koristi očigledno d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).
v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )
Normalno (centripetalno) ubrzanje. Istovremeno, njegovo značenje, značenje objekata koji su u njemu uključeni, kao i dokaz činjenice da je on zaista ortogonan na tangentni vektor (tj. e n (\displaystyle \mathbf (e) _(n)\ )- zapravo normalan vektor) - slijedi iz geometrijskih razmatranja (međutim, činjenica da je derivacija bilo kojeg vektora konstantne dužine u odnosu na vrijeme okomita na sam vektor prilično je jednostavna činjenica; u ovom slučaju primjenjujemo ovu izjavu to d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

Napomene

Lako je vidjeti da apsolutna vrijednost tangencijalnog ubrzanja ovisi samo o ubrzanju tla, što se poklapa s njegovom apsolutnom vrijednošću, za razliku od apsolutne vrijednosti normalnog ubrzanja, koje ne ovisi o ubrzanju tla, već ovisi o brzini tla.
Metode predstavljene ovdje, ili njihove varijacije, mogu se koristiti za uvođenje pojmova kao što su zakrivljenost krive i polumjer zakrivljenosti krive (jer u slučaju kada je kriva kružnica, R poklapa se sa poluprečnikom takve kružnice; takođe nije teško pokazati da je krug u ravni e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),e_(n)\ ) centriran u pravcu e n (\displaystyle e_(n)\ ) daleko od ove tačke R od nje - poklapaće se sa datom krivom - trajektorijom - do drugog reda male udaljenosti do date tačke).

Priča

Prvo ispravne formule za centripetalno ubrzanje (ili centrifugalnu silu) je očito dobio Huygens. Praktično od tog vremena, razmatranje centripetalnog ubrzanja je uobičajena tehnika za rješavanje mehaničkih problema itd.
Nešto kasnije, ove su formule odigrale značajnu ulogu u otkriću zakona univerzalne gravitacije (formula centripetalnog ubrzanja je korištena da se dobije zakon ovisnosti gravitacijske sile od udaljenosti do izvora gravitacije, zasnovan na trećem Keplerovom zakon izveden iz zapažanja).
To XIX veka razmatranje centripetalnog ubrzanja već postaje prilično rutinsko i za čistu nauku i za inženjerske aplikacije.

Dozvoljava nam da postojimo na ovoj planeti. Kako možete razumjeti šta čini centripetalno ubrzanje? Definicija ovoga fizička količina predstavljeno u nastavku.
Zapažanja
Najjednostavniji primjer ubrzanja tijela koje se kreće u krugu može se promatrati rotiranjem kamena na užetu. Povučete konopac, a uže vuče stenu prema centru. U svakom trenutku uže daje kamenu određenu količinu kretanja i svaki put u novom smjeru. Kretanje užeta možete zamisliti kao niz slabih trzaja. Trzaj - i konopac mijenja smjer, drugi trzaj - još jedna promjena, i tako u krug. Ako naglo pustite konopac, trzaji će prestati, a sa njima i promjena smjera brzine. Kamen će se kretati u smjeru tangente na krug. Postavlja se pitanje: "Kojim će se ubrzanjem kretati tijelo u ovom trenutku?"
formula za centripetalno ubrzanje
Prije svega, vrijedi napomenuti da je kretanje tijela u krugu složeno. Kamen istovremeno učestvuje u dve vrste kretanja: pod dejstvom sile kreće se ka centru rotacije, a istovremeno se tangencijalno na kružnicu udaljava od ovog centra. Prema drugom Newtonovom zakonu, sila koja drži kamen na niti je usmjerena prema centru rotacije duž te žice. Vektor ubrzanja će također biti usmjeren tamo.
Neka za neko vrijeme t naš kamen, krećući se jednoliko brzinom V, stigne od tačke A do tačke B. Pretpostavimo da je u trenutku kada je tijelo prešlo tačku B, na njega prestala djelovati centripetalna sila. Zatim bi neko vrijeme udario u tačku K. Leži na tangenti. Kada bi istovremeno na tijelo djelovale samo centripetalne sile, onda bi u vremenu t, krećući se istim ubrzanjem, završilo u tački O koja se nalazi na pravoj liniji koja predstavlja prečnik kružnice. Oba segmenta su vektori i poštuju pravilo zbrajanja vektora. Kao rezultat zbrajanja ova dva kretanja za vremenski period t, dobijamo rezultujuće kretanje duž luka AB.
Ako se vremenski interval t uzme zanemarljivo malim, tada će se luk AB malo razlikovati od tetive AB. Dakle, moguće je zamijeniti kretanje duž luka kretanjem duž tetive. U ovom slučaju, kretanje kamena duž tetive će se pokoravati zakonima pravolinijskog kretanja, to jest, pređena udaljenost AB bit će jednaka proizvodu brzine kamena i vremena njegovog kretanja. AB = V x t.
Označimo željeno centripetalno ubrzanje slovom a. Tada se put pređen samo pod djelovanjem centripetalnog ubrzanja može izračunati po formuli ravnomerno ubrzano kretanje:
Udaljenost AB jednaka je proizvodu brzine i vremena, tj. AB = V x t,
AO - izračunato ranije koristeći formulu ravnomjerno ubrzanog kretanja za pravolinijsko kretanje: AO = na 2 / 2.
Zamijenivši ove podatke u formulu i transformirajući ih, dobivamo jednostavnu i elegantnu formulu za centripetalno ubrzanje:
Riječima se to može izraziti na sljedeći način: centripetalno ubrzanje tijela koje se kreće u krugu jednako je količniku dijeljenja linearne brzine na kvadrat polumjera kružnice duž koje tijelo rotira. Centripetalna sila u ovom slučaju će izgledati kao na slici ispod.
Ugaona brzina
Ugaona brzina jednaka je linearnoj brzini podijeljenoj polumjerom kružnice. Vrijedi i obrnuto: V = ωR, gdje je ω ugaona brzina
Ako ovu vrijednost zamijenimo u formulu, možemo dobiti izraz za centrifugalno ubrzanje za kutnu brzinu. To će izgledati ovako:
Ubrzanje bez promjene brzine
Pa ipak, zašto se tijelo s ubrzanjem usmjerenim prema centru ne kreće brže i ne približava se centru rotacije? Odgovor leži u formulaciji samog ubrzanja. Činjenice pokazuju da je kružno kretanje stvarno, ali da je za njegovo održavanje potrebno ubrzanje prema centru. Pod djelovanjem sile uzrokovane ovim ubrzanjem dolazi do promjene količine gibanja, uslijed čega je putanja kretanja stalno zakrivljena, cijelo vrijeme mijenjajući smjer vektora brzine, ali ne mijenjajući njegovu apsolutnu vrijednost. Krećući se u krug, naš mnogostradalni kamen juri unutra, inače bi nastavio da se kreće tangencijalno. Svaki trenutak vremena, napuštajući tangentu, kamen se privlači u centar, ali ne pada u njega. Drugi primjer centripetalnog ubrzanja bi bio skijaš na vodi koji pravi male krugove na vodi. Figura sportiste je nagnuta; čini se da pada, nastavlja da se kreće i naginje se naprijed.
Dakle, možemo zaključiti da ubrzanje ne povećava brzinu tijela, jer su vektori brzine i ubrzanja okomiti jedan na drugi. Dodato vektoru brzine, ubrzanje samo mijenja smjer kretanja i drži tijelo u orbiti.
Sigurnosna granica je premašena
U prethodnom iskustvu imali smo posla sa idealnim konopcem koji nije puknuo. Ali, recimo, naš konopac je najčešći, pa čak možete izračunati i napor nakon kojeg će se jednostavno puknuti. Da bi se izračunala ova sila, dovoljno je uporediti sigurnosnu granicu užeta sa opterećenjem koje doživljava tokom rotacije kamena. Rotirajući kamen većom brzinom, dajete mu više kretanja, a time i više ubrzanja.
Uz promjer užeta od jute od oko 20 mm, njegova vlačna čvrstoća je oko 26 kN. Važno je napomenuti da se dužina užeta nigdje ne pojavljuje. Rotirajući teret od 1 kg na užetu poluprečnika 1 m, možemo izračunati da je linearna brzina potrebna za njegovo kidanje 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Dakle, brzina koju je opasno prekoračiti će biti jednak √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
Gravitacija
Prilikom razmatranja eksperimenta zanemarili smo djelovanje gravitacije, jer je pri tako velikim brzinama njen utjecaj zanemarljivo mali. Ali možete vidjeti da kada odmotate dugačko uže, tijelo opisuje složeniju putanju i postepeno se približava tlu.
nebeska tela
Ako zakone kružnog kretanja prenesemo u svemir i primijenimo ih na kretanje nebeskih tijela, možemo ponovo otkriti nekoliko odavno poznatih formula. Na primjer, sila kojom tijelo privlači Zemlju poznata je po formuli:
U našem slučaju, faktor g je samo centripetalno ubrzanje koje je izvedeno iz prethodne formule. Samo u ovom slučaju će ulogu kamena igrati nebesko tijelo koje je privučeno Zemljom, a ulogu užeta bit će sila Zemljine privlačnosti. Faktor g će biti izražen u terminima radijusa naše planete i brzine njene rotacije.
Rezultati
Suština centripetalnog ubrzanja je težak i nezahvalan rad držanja tijela koje se kreće u orbiti. Uočen je paradoksalan slučaj kada, uz konstantno ubrzanje, tijelo ne mijenja svoju brzinu. Za neobučen um, takva izjava je prilično paradoksalna. Ipak, pri izračunavanju kretanja elektrona oko jezgre i pri izračunavanju brzine rotacije zvijezde oko crne rupe, centripetalno ubrzanje igra važnu ulogu.

Budući da linearna brzina ravnomjerno mijenja smjer, onda se kretanje duž kruga ne može nazvati ravnomjernim, ono je jednoliko ubrzano.

Ugaona brzina

Odaberite tačku na krugu 1 . Napravimo radijus. Za jedinicu vremena, tačka će se pomeriti do tačke 2 . U ovom slučaju, radijus opisuje ugao. Ugaona brzina je numerički jednaka kutu rotacije polumjera u jedinici vremena.

Period i učestalost

Period rotacije T je vrijeme potrebno tijelu da napravi jednu revoluciju.

RPM je broj okretaja u sekundi.

Učestalost i period su povezani odnosom

Odnos sa ugaonom brzinom

Brzina linije

Svaka tačka na kružnici se kreće određenom brzinom. Ova brzina se zove linearna. Pravac vektora linearne brzine uvek se poklapa sa tangentom na kružnicu. Na primjer, iskre ispod brusilice se kreću, ponavljajući smjer trenutne brzine.

Razmotrite tačku na kružnici koja pravi jedan okret, vrijeme koje se potroši - ovo je period T. Putanja koju prelazi tačka je obim kružnice.

centripetalno ubrzanje

Kada se krećete po kružnici, vektor ubrzanja je uvijek okomit na vektor brzine, usmjeren na centar kružnice.

Koristeći prethodne formule, možemo izvesti sljedeće relacije

Tačke koje leže na istoj pravoj liniji koja izlazi iz središta kruga (na primjer, to mogu biti točke koje leže na žbici kotača) imat će iste ugaone brzine, period i frekvenciju. To jest, oni će se rotirati na isti način, ali s različitim linearnim brzinama. Što je tačka udaljenija od centra, brže će se kretati.

Zakon sabiranja brzina važi i za rotaciono kretanje. Ako kretanje tijela ili referentnog okvira nije ravnomjerno, onda se na njega primjenjuje zakon trenutne brzine. Na primjer, brzina osobe koja hoda po rubu rotirajuće vrtuljke jednaka je vektorskom zbroju linearne brzine rotacije ruba vrtuljka i brzine osobe.

Zemlja je uključena u dva glavna rotacionim pokretima: dnevni (oko vlastite ose) i orbitalni (oko Sunca). Period rotacije Zemlje oko Sunca je 1 godina ili 365 dana. Zemlja rotira oko svoje ose od zapada prema istoku, period ove rotacije je 1 dan ili 24 sata. Geografska širina je ugao između ravni ekvatora i pravca od centra Zemlje do tačke na njenoj površini.

Prema drugom Newtonovom zakonu, uzrok svakog ubrzanja je sila. Ako tijelo koje se kreće doživljava centripetalno ubrzanje, tada priroda sila koje uzrokuju ovo ubrzanje može biti drugačija. Na primjer, ako se tijelo kreće u krug na užetu vezanom za njega, onda aktivna sila je elastična sila.

Ako tijelo koje leži na disku rotira zajedno s diskom oko svoje ose, tada je takva sila sila trenja. Ako sila prestane djelovati, tada će se tijelo nastaviti kretati pravolinijski

Razmotrimo kretanje tačke na kružnici od A do B. Linearna brzina je jednaka v A i v B respektivno. Ubrzanje je promjena brzine u jedinici vremena. Nađimo razliku vektora.

Dozvoljava nam da postojimo na ovoj planeti. Kako možete razumjeti šta čini centripetalno ubrzanje? Definicija ove fizičke veličine je predstavljena u nastavku.
Zapažanja
Najjednostavniji primjer ubrzanja tijela koje se kreće u krugu može se promatrati rotiranjem kamena na užetu. Povučete konopac, a uže vuče stenu prema centru. U svakom trenutku uže daje kamenu određenu količinu kretanja i svaki put u novom smjeru. Kretanje užeta možete zamisliti kao niz slabih trzaja. Trzaj - i konopac mijenja smjer, drugi trzaj - još jedna promjena, i tako u krug. Ako naglo pustite konopac, trzaji će prestati, a sa njima i promjena smjera brzine. Kamen će se kretati u smjeru tangente na krug. Postavlja se pitanje: "Kojim će se ubrzanjem kretati tijelo u ovom trenutku?"
formula za centripetalno ubrzanje
Prije svega, vrijedi napomenuti da je kretanje tijela u krugu složeno. Kamen istovremeno učestvuje u dve vrste kretanja: pod dejstvom sile kreće se ka centru rotacije, a istovremeno se tangencijalno na kružnicu udaljava od ovog centra. Prema drugom Newtonovom zakonu, sila koja drži kamen na niti je usmjerena prema centru rotacije duž te žice. Vektor ubrzanja će također biti usmjeren tamo.
Neka za neko vrijeme t naš kamen, krećući se jednoliko brzinom V, stigne od tačke A do tačke B. Pretpostavimo da je u trenutku kada je tijelo prešlo tačku B, na njega prestala djelovati centripetalna sila. Zatim bi neko vrijeme udario u tačku K. Leži na tangenti. Kada bi istovremeno na tijelo djelovale samo centripetalne sile, onda bi u vremenu t, krećući se istim ubrzanjem, završilo u tački O koja se nalazi na pravoj liniji koja predstavlja prečnik kružnice. Oba segmenta su vektori i poštuju pravilo zbrajanja vektora. Kao rezultat zbrajanja ova dva kretanja za vremenski period t, dobijamo rezultujuće kretanje duž luka AB.
Ako se vremenski interval t uzme zanemarljivo malim, tada će se luk AB malo razlikovati od tetive AB. Dakle, moguće je zamijeniti kretanje duž luka kretanjem duž tetive. U ovom slučaju, kretanje kamena duž tetive će se pokoravati zakonima pravolinijskog kretanja, to jest, pređena udaljenost AB bit će jednaka proizvodu brzine kamena i vremena njegovog kretanja. AB = V x t.
Označimo željeno centripetalno ubrzanje slovom a. Tada se put koji se prijeđe samo pod djelovanjem centripetalnog ubrzanja može izračunati pomoću formule jednoliko ubrzanog kretanja:
Udaljenost AB jednaka je proizvodu brzine i vremena, tj. AB = V x t,
AO - izračunato ranije koristeći formulu ravnomjerno ubrzanog kretanja za pravolinijsko kretanje: AO = na 2 / 2.
Zamijenivši ove podatke u formulu i transformirajući ih, dobivamo jednostavnu i elegantnu formulu za centripetalno ubrzanje:
Riječima se to može izraziti na sljedeći način: centripetalno ubrzanje tijela koje se kreće u krugu jednako je količniku dijeljenja linearne brzine na kvadrat polumjera kružnice duž koje tijelo rotira. Centripetalna sila u ovom slučaju će izgledati kao na slici ispod.
Ugaona brzina
Ugaona brzina jednaka je linearnoj brzini podijeljenoj polumjerom kružnice. Vrijedi i obrnuto: V = ωR, gdje je ω ugaona brzina
Ako ovu vrijednost zamijenimo u formulu, možemo dobiti izraz za centrifugalno ubrzanje za kutnu brzinu. To će izgledati ovako:
Ubrzanje bez promjene brzine
Pa ipak, zašto se tijelo s ubrzanjem usmjerenim prema centru ne kreće brže i ne približava se centru rotacije? Odgovor leži u formulaciji samog ubrzanja. Činjenice pokazuju da je kružno kretanje stvarno, ali da je za njegovo održavanje potrebno ubrzanje prema centru. Pod djelovanjem sile uzrokovane ovim ubrzanjem dolazi do promjene količine gibanja, uslijed čega je putanja kretanja stalno zakrivljena, cijelo vrijeme mijenjajući smjer vektora brzine, ali ne mijenjajući njegovu apsolutnu vrijednost. Krećući se u krug, naš mnogostradalni kamen juri unutra, inače bi nastavio da se kreće tangencijalno. Svaki trenutak vremena, napuštajući tangentu, kamen se privlači u centar, ali ne pada u njega. Drugi primjer centripetalnog ubrzanja bi bio skijaš na vodi koji pravi male krugove na vodi. Figura sportiste je nagnuta; čini se da pada, nastavlja da se kreće i naginje se naprijed.
Dakle, možemo zaključiti da ubrzanje ne povećava brzinu tijela, jer su vektori brzine i ubrzanja okomiti jedan na drugi. Dodato vektoru brzine, ubrzanje samo mijenja smjer kretanja i drži tijelo u orbiti.
Sigurnosna granica je premašena
U prethodnom iskustvu imali smo posla sa idealnim konopcem koji nije puknuo. Ali, recimo, naš konopac je najčešći, pa čak možete izračunati i napor nakon kojeg će se jednostavno puknuti. Da bi se izračunala ova sila, dovoljno je uporediti sigurnosnu granicu užeta sa opterećenjem koje doživljava tokom rotacije kamena. Rotirajući kamen većom brzinom, dajete mu više kretanja, a time i više ubrzanja.
Uz promjer užeta od jute od oko 20 mm, njegova vlačna čvrstoća je oko 26 kN. Važno je napomenuti da se dužina užeta nigdje ne pojavljuje. Rotirajući teret od 1 kg na užetu poluprečnika 1 m, možemo izračunati da je linearna brzina potrebna za njegovo kidanje 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Dakle, brzina koju je opasno prekoračiti će biti jednak √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
Gravitacija
Prilikom razmatranja eksperimenta zanemarili smo djelovanje gravitacije, jer je pri tako velikim brzinama njen utjecaj zanemarljivo mali. Ali možete vidjeti da kada odmotate dugačko uže, tijelo opisuje složeniju putanju i postepeno se približava tlu.
nebeska tela
Ako zakone kružnog kretanja prenesemo u svemir i primijenimo ih na kretanje nebeskih tijela, možemo ponovo otkriti nekoliko odavno poznatih formula. Na primjer, sila kojom tijelo privlači Zemlju poznata je po formuli:
U našem slučaju, faktor g je samo centripetalno ubrzanje koje je izvedeno iz prethodne formule. Samo u ovom slučaju će ulogu kamena igrati nebesko tijelo koje je privučeno Zemljom, a ulogu užeta bit će sila Zemljine privlačnosti. Faktor g će biti izražen u terminima radijusa naše planete i brzine njene rotacije.
Rezultati
Suština centripetalnog ubrzanja je težak i nezahvalan rad držanja tijela koje se kreće u orbiti. Uočen je paradoksalan slučaj kada, uz konstantno ubrzanje, tijelo ne mijenja svoju brzinu. Za neobučen um, takva izjava je prilično paradoksalna. Ipak, pri izračunavanju kretanja elektrona oko jezgre i pri izračunavanju brzine rotacije zvijezde oko crne rupe, centripetalno ubrzanje igra važnu ulogu.

Objekt koji se kreće po kružnoj orbiti polumjera r sa ravnomernom tangencijalnom brzinom u je vektor brzine v, čija je veličina konstantna, ali čiji se smjer stalno mijenja. Iz toga slijedi da objekt mora imati ubrzanje, budući da je (vektor) brzina promjene (vektorske) brzine, a (vektorske) brzine su zaista različite u vremenu.

Pretpostavimo da se objekat kreće iz tačke P do tačke Q između vremena t i, t + δ t kao što je prikazano na gornjoj slici. Pretpostavimo dalje da je objekt rotiran za δθ radijana tokom ovog vremenskog perioda. Vektor, kao što je prikazano na dijagramu, je identičan vektoru. Također, ugao između vektora i ovog δθ . Vektor predstavlja promjenu vektora brzine, δ v, između vremena t i t + δ t. Iz ovoga je jasno da je ovaj vektor usmjeren prema centru kruga. Iz standardne trigonometrije, dužina vektora:

Međutim, pod malim uglovima grijeh θ ≃ θ , pod uslovom da θ mjereno u radijanima. shodno tome,

δv ≃ v δθ.

gdje je ugaona brzina objekta u radijanima u sekundi. Dakle, objekat se kreće po kružnoj orbiti poluprečnika r, ujednačenom tangencijalnom brzinom v, i ujednačene ugaone brzine , ima ubrzanje usmjereno prema centru kruga - tj. centripetalno ubrzanje- vrijednost:

Pretpostavimo da je tijelo, masa m, pričvršćen na kraj kabla, dužina r, i rotira se na takav način da tijelo opisuje horizontalni krug radijusa r, sa ujednačenom tangencijalnom brzinom v. Kao što smo upravo naučili, tijelo ima centripetalno ubrzanje veličine . Stoga tijelo doživljava centripetalnu silu

Šta daje ovu moć? Pa, u ovom primeru, sila je obezbeđena zatezanjem u kablu. shodno tome, .

Pretpostavimo da je kabel takav da puca kada napon u njemu prijeđe neku kritičnu vrijednost. Iz ovoga proizilazi da postoji maksimalna brzina, kojim se tijelo može kretati, i to:

Ako a v premašuje vmax, kabl će puknuti. Čim se sajla pokida, tijelo više neće osjećati centripetalnu silu, pa će se kretati velikom brzinom vmax u pravoj liniji koja je tangenta na već postojeću kružnu orbitu.