Naći opće rješenje prve diferencijalne jednadžbe. Diferencijalne jednadžbe

Rješenje diferencijalne jednadžbe. Hvala našim online usluga Možete rješavati diferencijalne jednadžbe bilo koje vrste i složenosti: nehomogene, homogene, nelinearne, linearne, prvog, drugog reda, sa odvojivim ili neodvojivim varijablama, itd. Dobijate rješenje diferencijalnih jednadžbi u analitičkom obliku sa detaljnim opisom. Mnoge ljude zanima: zašto je potrebno rješavati diferencijalne jednadžbe na mreži? Ovaj tip jednadžbe su vrlo česte u matematici i fizici, gdje će biti nemoguće riješiti mnoge probleme bez izračunavanja diferencijalne jednačine. Diferencijalne jednačine su uobičajene i u ekonomiji, medicini, biologiji, hemiji i drugim naukama. Rješenje takve jednačine je online modu To vam znatno olakšava zadatke, daje vam priliku da bolje razumete gradivo i testirate se. Prednosti rješavanja diferencijalnih jednadžbi na mreži. Moderna web stranica matematičke usluge omogućava vam rješavanje diferencijalnih jednadžbi na mreži bilo koje složenosti. Kao što znate postoji veliki broj vrste diferencijalnih jednadžbi i svaka od njih ima svoje metode rješavanja. Na našem servisu možete pronaći rješenja diferencijalnih jednadžbi bilo kojeg reda i tipa online. Da biste dobili rješenje, predlažemo da popunite početne podatke i kliknete na dugme “Rješenje”. Greške u radu servisa su isključene, tako da možete biti 100% sigurni da ste dobili tačan odgovor. Riješite diferencijalne jednadžbe uz našu uslugu. Riješite diferencijalne jednadžbe online. Po defaultu, u takvoj jednadžbi, funkcija y je funkcija varijable x. Ali možete odrediti i vlastitu oznaku varijable. Na primjer, ako navedete y(t) u diferencijalnoj jednadžbi, tada će naš servis automatski odrediti da je y funkcija t varijable. Redoslijed cijele diferencijalne jednadžbe ovisit će o maksimalnom redu derivacije funkcije prisutne u jednadžbi. Rješavanje takve jednadžbe znači pronalaženje željene funkcije. Naša usluga će vam pomoći da riješite diferencijalne jednadžbe na mreži. Nije potrebno mnogo truda s vaše strane da riješite jednačinu. Potrebno je samo da unesete lijevu i desnu stranu vaše jednadžbe u potrebna polja i kliknete na dugme “Rješenje”. Prilikom unosa, derivacija funkcije mora biti označena apostrofom. Za nekoliko sekundi dobit ćete gotov proizvod detaljno rješenje diferencijalna jednadžba. Naša usluga je potpuno besplatna. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Ako u diferencijalnoj jednadžbi postoji izraz na lijevoj strani koji ovisi o y, a na desnoj strani izraz koji ovisi o x, tada se takva diferencijalna jednadžba naziva s odvojivim varijablama. Lijeva strana može sadržavati izvod od y rješenje za diferencijalne jednadžbe ovog tipa će biti u obliku funkcije y, izražene kroz integral desne strane jednačine. Ako se na lijevoj strani nalazi diferencijal funkcije od y, tada su u ovom slučaju obje strane jednadžbe integrirane. Kada varijable u diferencijalnoj jednadžbi nisu razdvojene, morat će se razdvojiti da bi se dobila odvojena diferencijalna jednačina. Linearna diferencijalna jednadžba. Diferencijalna jednačina čija su funkcija i svi njeni derivati ​​u prvom stepenu naziva se linearna. Opšti pogled jednačine: y’+a1(x)y=f(x). f(x) i a1(x) su kontinuirane funkcije od x. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi ovog tipa svodi se na integraciju dvije diferencijalne jednadžbe sa odvojenim varijablama. Red diferencijalne jednadžbe. Diferencijalna jednadžba može biti prvog, drugog, n-tog reda. Redoslijed diferencijalne jednadžbe određuje red najvišeg izvoda koji sadrži. U našem servisu možete rješavati diferencijalne jednadžbe prvo online, drugi, treći itd. red. Rješenje jednadžbe će biti bilo koja funkcija y=f(x), zamjenom je u jednačinu dobićete identitet. Proces nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe naziva se integracija. Cauchy problem. Ako je, pored same diferencijalne jednadžbe, dat početni uvjet y(x0)=y0, onda se to naziva Cauchyev problem. Rješenju jednačine se dodaju indikatori y0 i x0 i određuje se vrijednost proizvoljne konstante C, a zatim se određuje određeno rješenje jednadžbe na ovoj vrijednosti C. Ovo je rješenje Cauchyjevog problema. Cauchyjev problem se naziva i problem sa graničnim uslovima, koji je vrlo čest u fizici i mehanici. Takođe imate priliku da postavite Cauchyjev problem, odnosno od svih moguća rješenja jednačina, odaberite količnik koji ispunjava date početne uslove.

Ili su već riješeni u odnosu na izvod, ili se mogu riješiti u odnosu na izvod .

Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi tipa na intervalu X, koji je dat, može se naći uzimanjem integrala obje strane ove jednakosti.

Dobili smo .

Ako pogledate nekretnine neodređeni integral, onda ćemo pronaći traženo opšte rešenje:

y = F(x) + C,

Gdje F(x)- jedna od primitivnih funkcija f(x) između X, A WITH- proizvoljna konstanta.

Imajte na umu da u većini problema interval X nemojte naznačiti. To znači da se za svakoga mora naći rješenje. x, za koju i željenu funkciju y, i originalna jednadžba ima smisla.

Ako trebate izračunati određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y(x 0) = y 0, zatim nakon izračunavanja opšteg integrala y = F(x) + C, još uvijek je potrebno odrediti vrijednost konstante C = C 0, koristeći početni uslov. Odnosno, konstanta C = C 0 određeno iz jednačine F(x 0) + C = y 0, a željeno parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe će imati oblik:

y = F(x) + C 0.

Pogledajmo primjer:

Nađimo opće rješenje diferencijalne jednadžbe i provjerimo ispravnost rezultata. Nađimo određeno rješenje ove jednačine koje bi zadovoljilo početni uslov.

Rješenje:

Nakon što integrišemo datu diferencijalnu jednačinu, dobijamo:

.

Uzmimo ovaj integral koristeći metodu integracije po dijelovima:

to., je opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.

Da bismo bili sigurni da je rezultat tačan, izvršimo provjeru. Da bismo to učinili, rješenje koje smo pronašli zamjenjujemo u datu jednačinu:

.

Odnosno kada originalna jednadžba se pretvara u identitet:

stoga je opće rješenje diferencijalne jednadžbe tačno određeno.

Rješenje koje smo pronašli je opće rješenje diferencijalne jednadžbe za svaku realnu vrijednost argumenta x.

Ostaje da se izračuna određeno rješenje za ODE koje bi zadovoljilo početni uvjet. Drugim riječima, potrebno je izračunati vrijednost konstante WITH, pri čemu će jednakost biti tačna:

.

.

Zatim, zamena C = 2 u opće rješenje ODE-a, dobivamo posebno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet:

.

Obična diferencijalna jednadžba može se riješiti za izvod dijeljenjem 2 strane jednadžbe sa f(x). Ova transformacija će biti ekvivalentna ako f(x) ni pod kojim okolnostima ne prelazi na nulu x iz intervala integracije diferencijalne jednadžbe X.

Vjerovatne su situacije kada za neke vrijednosti argumenta x ∈ X funkcije f(x) I g(x) istovremeno postati nula. Za slične vrijednosti x opšte rješenje diferencijalne jednadžbe je bilo koja funkcija y, što je u njima definisano, jer .

Ako za neke vrijednosti argumenata x ∈ X uslov je zadovoljen, što znači da u ovom slučaju ODE nema rješenja.

Za sve ostale x iz intervala X opšte rješenje diferencijalne jednadžbe je određeno iz transformirane jednačine.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1.

Hajde da pronađemo opšte rešenje za ODE: .

Rješenje.

Iz svojstava osnovnih elementarnih funkcija jasno je da je funkcija prirodnog logaritma definirana za nenegativne vrijednosti argumenta, dakle domena definicije izraza ln(x+3) postoji interval x > -3 . To znači da data diferencijalna jednačina ima smisla za x > -3 . Za ove vrijednosti argumenata, izraz x+3 ne nestaje, tako da možete riješiti ODE za izvod dijeljenjem 2 dijela sa x + 3.

Dobili smo .

Zatim integriramo rezultirajuću diferencijalnu jednadžbu riješenu s obzirom na derivaciju: . Da bismo uzeli ovaj integral, koristimo metodu njegovog podvođenja pod diferencijalni predznak.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja.
Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama

Diferencijalne jednadžbe (DE). Ove dvije riječi obično užasavaju prosječnu osobu. Čini se da su diferencijalne jednadžbe nešto nedovoljno i teško za savladavanje za mnoge učenike. Uuuuuu... diferencijalne jednadžbe, kako da preživim sve ovo?!

Ovo mišljenje i ovaj stav je u osnovi pogrešan, jer u stvari DIFERENCIJALNE JEDNAČINE - JEDNOSTAVNO JE I ZABAVNO. Šta treba da znate i umete da uradite da biste naučili kako da rešavate diferencijalne jednadžbe? Da biste uspješno proučavali difuzije, morate biti dobri u integraciji i razlikovanju. Što se bolje proučavaju teme Derivat funkcije jedne varijable I Neodređeni integral, lakše će biti razumjeti diferencijalne jednačine. Reći ću više, ako imate više ili manje pristojne vještine integracije, onda je tema skoro savladana! Što više integrala razne vrste znate kako se odlučiti - tim bolje. Zašto? Moraćete mnogo da integrišete. I razlikovati. Također toplo preporučujem naučite da pronađete.

U 95% slučajeva u testovi Postoje 3 vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda: odvojive jednačine koje ćemo pogledati u ovoj lekciji; homogene jednačine I linearne nehomogene jednadžbe. Za one koji počinju proučavati difuzore, savjetujem vam da lekcije čitate upravo ovim redoslijedom, a nakon što proučite prva dva članka, neće vam škoditi da učvrstite svoje vještine u dodatnoj radionici - jednačine koje se svode na homogene.

Postoje još rjeđi tipovi diferencijalnih jednadžbi: totalne diferencijalne jednadžbe, Bernoullijeve jednadžbe i neke druge. Najvažnije od posljednje dvije vrste su jednadžbe u totalnim diferencijalima, jer pored ove diferencijalne jednačine razmatram novi materijal – djelomična integracija.

Ako imate još samo dan ili dva, To za ultra brzu pripremu Postoji blitz kurs u pdf formatu.

Dakle, orijentiri su postavljeni - idemo:

Prvo, prisjetimo se uobičajenih algebarskih jednadžbi. Sadrže varijable i brojeve. Najjednostavniji primjer: . Šta znači riješiti običnu jednačinu? To znači pronalaženje skup brojeva, koji zadovoljavaju ovu jednačinu. Lako je primijetiti da dječja jednačina ima jedan korijen: . Iz zabave, provjerimo i zamijenimo pronađeni korijen u našu jednadžbu:

– dobijena je tačna jednakost, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Difuzori su dizajnirani na skoro isti način!

Diferencijalna jednadžba prva narudžba u opštem slučaju sadrži:
1) nezavisna varijabla;
2) zavisna varijabla (funkcija);
3) prvi izvod funkcije: .

U nekim jednačinama prvog reda možda nema “x” i/ili “y”, ali to nije značajno - važno da odem u kontrolnu sobu bio prvi derivat, i nije bilo derivati ​​višeg reda – , itd.

šta to znači? Rješavanje diferencijalne jednadžbe znači pronalaženje skup svih funkcija, koji zadovoljavaju ovu jednačinu. Takav skup funkcija često ima oblik (- proizvoljna konstanta), koji se zove opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite diferencijalnu jednačinu

Puna municija. Odakle početi rješenje?

Prije svega, trebate prepisati derivat u malo drugačijem obliku. Podsjećamo na glomaznu oznaku koja se mnogima od vas vjerojatno činila smiješnom i nepotrebnom. To je ono što vlada u difuzerima!

U drugom koraku, da vidimo da li je to moguće odvojene varijable?Šta znači odvojiti varijable? grubo govoreći, na lijevoj strani moramo da odemo samo "grci", A na desnoj strani organizovati samo "X". Podjela varijabli vrši se „školskim“ manipulacijama: stavljanjem iz zagrada, prijenosom pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, prijenosom faktora iz dijela u dio prema pravilu proporcije itd.

Diferencijali su i potpuni multiplikatori i aktivni učesnici u neprijateljstvima. U primjeru koji se razmatra, varijable se lako odvajaju bacanjem faktora prema pravilu proporcije:

Varijable su odvojene. Na lijevoj strani su samo "Y", na desnoj - samo "X".

Sljedeća faza je integracija diferencijalne jednadžbe. Jednostavno je, stavljamo integrale na obje strane:

Naravno, moramo uzeti integrale. U ovom slučaju su tabelarno:

Kao što se sjećamo, svakom antiderivatu je dodijeljena konstanta. Ovdje postoje dva integrala, ali dovoljno je jednom napisati konstantu (pošto je konstanta + konstanta i dalje jednaka drugoj konstanti). U većini slučajeva se postavlja na desnu stranu.

Strogo govoreći, nakon što se uzmu integrali, diferencijalna jednačina se smatra riješenom. Jedino što naše “y” nije izraženo kroz “x”, odnosno predstavljeno je rješenje u implicitnom formu. Rješenje diferencijalne jednadžbe u implicitnom obliku se zove opšti integral diferencijalne jednadžbe. To jest, ovo je opšti integral.

Odgovor u ovom obliku je sasvim prihvatljiv, ali postoji li bolja opcija? Hajde da pokušamo da dobijemo opšte rešenje.

molim te zapamtite prvu tehniku, vrlo je čest i često se koristi u praktični zadaci: ako se logaritam pojavi na desnoj strani nakon integracije, tada je u mnogim slučajevima (ali ne uvijek!) također preporučljivo napisati konstantu ispod logaritma.

to je, UMJESTO unosi su obično napisani .

Zašto je to potrebno? I kako bi se lakše izrazio "igre". Korištenje svojstva logaritma . u ovom slučaju:

Sada se logaritmi i moduli mogu ukloniti:

Funkcija je predstavljena eksplicitno. Ovo je generalno rješenje.

Odgovori: generalno rješenje: .

Odgovore na mnoge diferencijalne jednadžbe prilično je lako provjeriti. U našem slučaju to se radi prilično jednostavno, uzimamo pronađeno rješenje i razlikujemo ga:

Zatim zamjenjujemo derivat u originalnu jednačinu:

– dobija se tačna jednakost, što znači da opšte rješenje zadovoljava jednačinu, što je i trebalo provjeriti.

Davanje konstante različita značenja, možete dobiti beskonačno mnogo privatna rješenja diferencijalna jednadžba. Jasno je da bilo koja od funkcija , itd. zadovoljava diferencijalnu jednačinu.

Ponekad se naziva opće rješenje porodica funkcija. U ovom primjeru, opće rješenje - ovo je porodica linearne funkcije, tačnije, porodica direktne proporcionalnosti.

Nakon detaljnog pregleda prvog primjera, prikladno je odgovoriti na nekoliko naivna pitanja o diferencijalnim jednadžbama:

1)U ovom primjeru uspjeli smo razdvojiti varijable. Može li se to uvijek uraditi? Ne, ne uvek. A još češće, varijable se ne mogu odvojiti. Na primjer, u homogene jednadžbe prvog reda, prvo ga morate zamijeniti. U drugim vrstama jednadžbi, na primjer, u linearnoj nehomogenoj jednadžbi prvog reda, morate koristiti različite tehnike i metode da biste pronašli opće rješenje. Jednačine sa odvojivim varijablama, koje razmatramo u prvoj lekciji - najjednostavniji tip diferencijalne jednadžbe.

2) Da li je uvijek moguće integrirati diferencijalnu jednačinu? Ne, ne uvek. Vrlo je lako smisliti “fensi” jednačinu koja se ne može integrirati, osim toga, postoje integrali koji se ne mogu uzeti; Ali takvi DE mogu se približno riješiti posebnim metodama. D’Alembert i Cauchy garantuju... ...uh, lurkmore.da bih sad puno čitao, zamalo sam dodao "sa drugog svijeta."

3) U ovom primjeru dobili smo rješenje u obliku općeg integrala . Da li je uvek moguće naći opšte rešenje iz opšteg integrala, odnosno eksplicitno izraziti „y”? Ne, ne uvek. Na primjer: . Pa, kako se ovde može izraziti "grčki"?! U takvim slučajevima odgovor treba napisati kao opšti integral. Osim toga, ponekad je moguće pronaći opće rješenje, ali je napisano toliko glomazno i ​​nespretno da je bolje ostaviti odgovor u obliku općeg integrala

4) ...možda je to za sada dovoljno. U prvom primjeru na koji smo naišli drugi važna tačka , ali da ne bih zatrpao "lutke" lavinom novih informacija, ostaviću to do sljedeće lekcije.

Nećemo žuriti. Još jedan jednostavan daljinski upravljač i još jedno tipično rješenje:

Primjer 2

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet

Rješenje: prema stanju, morate pronaći privatno rešenje DE koji zadovoljava dati početni uslov. Ova formulacija pitanja se još naziva Cauchy problem.

Prvo pronalazimo opšte rešenje. U jednadžbi nema varijable "x", ali to ne bi trebalo da zbuni, glavna stvar je da ima prvi izvod.

Izvod prepisujemo u traženom obliku:

Očigledno, varijable se mogu razdvojiti, dječaci lijevo, djevojčice desno:

Integrirajmo jednačinu:

Dobija se opšti integral. Ovdje sam nacrtao konstantu sa zvjezdicom, činjenica je da će se vrlo brzo pretvoriti u drugu konstantu.

Sada pokušavamo da transformišemo opšti integral u opšte rešenje (izrazite „y” eksplicitno). Prisjetimo se dobrih starih stvari iz škole: . u ovom slučaju:

Konstanta u indikatoru izgleda nekako nekosher, pa se obično spušta na zemlju. Detaljno, ovako se to dešava. Koristeći svojstvo stupnjeva, funkciju prepisujemo na sljedeći način:

Ako je konstanta, onda je i neka konstanta, označimo je slovom:

Zapamtite da je „rušenje“ konstante druga tehnika, koji se često koristi pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

Dakle, opšte rešenje je: . Ovo je lijepa porodica eksponencijalnih funkcija.

U završnoj fazi potrebno je pronaći određeno rješenje koje zadovoljava zadati početni uvjet. Ovo je takođe jednostavno.

Šta je zadatak? Treba se pokupiti takav vrijednost konstante tako da je uvjet zadovoljen.

Može se formatirati na različite načine, ali ovo će vjerovatno biti najjasniji način. U opštem rješenju, umjesto “X” zamjenjujemo nulu, a umjesto “Y” zamjenjujemo dvojku:



to je,

Standardna verzija dizajna:

Sada zamjenjujemo pronađenu vrijednost konstante u opšte rješenje:
– ovo je konkretno rješenje koje nam je potrebno.

Odgovori: privatno rješenje:

Hajde da proverimo. Provjera privatnog rješenja uključuje dvije faze:

Prvo morate provjeriti da li pronađeno rješenje zaista zadovoljava početni uvjet? Umjesto "X" zamjenjujemo nulu i vidimo šta se dešava:
- da, zaista, primljena je dvojka, što znači da je početni uslov ispunjen.

Druga faza je već poznata. Uzimamo rezultirajuće određeno rješenje i nalazimo izvod:

Zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

– dobija se tačna jednakost.

Zaključak: konkretno rješenje je pronađeno ispravno.

Pređimo na smislenije primjere.

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Izvod prepisujemo u obliku koji nam je potreban:

Procjenjujemo da li je moguće odvojiti varijable? Može. Drugi član pomjeramo na desnu stranu sa promjenom predznaka:

I prenosimo množitelje prema pravilu proporcije:

Varijable su razdvojene, integrirajmo oba dijela:

Moram vas upozoriti da se približava sudnji dan. Ako niste dobro učili neodređeni integrali, riješili nekoliko primjera, onda nema kuda - sada ćete ih morati savladati.

Integral na lijevoj strani je lako pronaći. Integral kotangensa se bavimo standardnom tehnikom koju smo pogledali u lekciji Integracija trigonometrijskih funkcija prošle godine:

Na desnoj strani imamo logaritam, a prema mojoj prvoj tehničkoj preporuci i konstantu treba upisati ispod logaritma.

Sada pokušavamo da pojednostavimo opšti integral. Pošto imamo samo logaritme, sasvim je moguće (i neophodno) ih se riješiti. Korišćenjem poznata svojstva Logaritme „pakujemo“ što je više moguće. Zapisat ću to vrlo detaljno:

Ambalaža je gotova da bude barbarski otrcana:

Da li je moguće izraziti "igru"? Može. Potrebno je kvadrirati oba dijela.

Ali ne morate ovo da radite.

Treće tehnički savet: ako je za dobijanje opšteg rešenja potrebno da se podigne na stepen ili da se ukorijeni, onda u većini slučajeva trebali biste se suzdržati od ovih radnji i ostaviti odgovor u obliku opšteg integrala. Činjenica je da će opće rješenje izgledati jednostavno strašno - s velikim korijenjem, znakovima i drugim smećem.

Stoga odgovor zapisujemo u obliku opšteg integrala. Na dobar način Smatra se da ga predstavlja u obliku , odnosno na desnoj strani, ako je moguće, ostavite samo konstantu. Nije potrebno ovo raditi, ali uvijek je korisno ugoditi profesoru ;-)

odgovor: opšti integral:

! Napomena: opšti integral bilo koje jednačine može se napisati ne jedini način. Dakle, ako se vaš rezultat ne poklapa sa prethodno poznatim odgovorom, to ne znači da ste pogrešno riješili jednačinu.

Opšti integral je također prilično lako provjeriti, glavna stvar je moći pronaći derivat funkcije specificirane implicitno. Hajde da razlikujemo odgovor:

Oba člana množimo sa:

I podijeli sa:

Originalna diferencijalna jednadžba je tačno dobijena, što znači da je opšti integral ispravno pronađen.

Primjer 4

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet. Izvršite provjeru.

Ovo je primjer za nezavisna odluka.

Da vas podsjetim da se algoritam sastoji od dvije faze:
1) pronalaženje opšteg rešenja;
2) pronalaženje traženog konkretnog rješenja.

Provjera se također vrši u dva koraka (vidi uzorak u primjeru br. 2), potrebno je:
1) osigurati da određeno rješenje zadovoljava početni uslov;
2) provjeriti da li određeno rješenje općenito zadovoljava diferencijalnu jednačinu.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 5

Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe , zadovoljavajući početni uslov. Izvršite provjeru.

Rješenje: Prvo, hajde da pronađemo opšte rešenje. Ova jednačina već sadrži gotove diferencijale i stoga je rešenje pojednostavljeno. Odvajamo varijable:

Integrirajmo jednačinu:

Integral na lijevoj strani je tabelarni, integral na desnoj strani je uzet metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak:

Dobijen je opšti integral; da li je moguće uspešno izraziti opšte rešenje? Može. Na obje strane vješamo logaritme. Budući da su pozitivni, znakovi modula su nepotrebni:

(Nadam se da svi razumiju transformaciju, takve stvari bi već trebale biti poznate)

Dakle, generalno rješenje je:

Nađimo određeno rješenje koje odgovara datom početnom stanju.
U opštem rješenju, umjesto “X” zamjenjujemo nulu, a umjesto “Y” zamjenjujemo logaritam od dva:

Poznatiji dizajn:

Pronađenu vrijednost konstante zamjenjujemo u opšte rješenje.

odgovor: privatno rješenje:

Provjera: Prvo, hajde da provjerimo je li ispunjen početni uvjet:
- sve zuji.

Sada provjerimo da li pronađeno određeno rješenje uopće zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Pronalaženje derivata:

Pogledajmo originalnu jednačinu: – predstavlja se u diferencijalima. Postoje dva načina za provjeru. Moguće je izraziti diferencijal od pronađene derivacije:

Zamijenimo pronađeno partikularno rješenje i rezultirajući diferencijal u originalnu jednačinu :

Koristimo osnovni logaritamski identitet:

Dobije se tačna jednakost, što znači da je određeno rješenje ispravno pronađeno.

Druga metoda provjere je preslikana i poznatija: iz jednačine Izrazimo derivaciju, da bismo to učinili, podijelimo sve dijelove sa:

I u transformirani DE zamjenjujemo dobijeno parcijalno rješenje i pronađeni izvod. Kao rezultat pojednostavljenja, trebalo bi dobiti i ispravnu jednakost.

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednačinu. Odgovor predstaviti u obliku opšteg integrala.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Koje poteškoće čekaju pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi s odvojivim varijablama?

1) Nije uvijek očigledno (posebno za “čajnik”) da se varijable mogu odvojiti. Hajde da razmotrimo uslovni primjer: . Ovdje trebate izvaditi faktore iz zagrada: i razdvojiti korijene: . Jasno je šta dalje.

2) Poteškoće sa samom integracijom. Integrali često nisu najjednostavniji i ako postoje nedostaci u vještini pronalaženja neodređeni integral, onda će to biti teško s mnogo difuzora. Osim toga, logika “pošto je diferencijalna jednadžba jednostavna, onda neka su barem integrali složeniji” popularna je među kompajlerima zbirki i priručnika za obuku.

3) Transformacije sa konstantom. Kao što su svi primijetili, konstantom u diferencijalnim jednadžbama može se rukovati prilično slobodno, a neke transformacije početniku nisu uvijek jasne. Pogledajmo još jedan uslovni primjer: . Preporučljivo je pomnožiti sve pojmove sa 2: . Rezultirajuća konstanta je također neka vrsta konstante, koja se može označiti sa: . Da, a pošto je na desnoj strani logaritam, preporučljivo je prepisati konstantu u obliku druge konstante: .

Problem je u tome što se često ne zamaraju indeksima i koriste isto slovo. Kao rezultat toga, zapisnik odluke ima sljedeći oblik:

Kakva jeres? Tu su greške! Strogo govoreći, da. Međutim, sa suštinske tačke gledišta, nema grešaka, jer se kao rezultat transformacije varijabilne konstante ipak dobija promenljiva konstanta.

Ili drugi primjer, pretpostavimo da se u toku rješavanja jednadžbe dobije opći integral. Ovaj odgovor izgleda ružno, pa je preporučljivo promijeniti predznak svakog pojma: . Formalno, tu je još jedna greška - trebalo bi da bude napisano sa desne strane. Ali neformalno se podrazumijeva da je “minus ce” još uvijek konstanta ( koji jednako lako može poprimiti bilo koje značenje!), tako da stavljanje "minusa" nema smisla i možete koristiti isto slovo.

Pokušat ću izbjeći nemaran pristup, i dalje dodijeliti različite indekse konstantama prilikom njihovog pretvaranja.

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednačinu. Izvršite provjeru.

Rješenje: Ova jednadžba omogućava odvajanje varijabli. Odvajamo varijable:

Hajde da integrišemo:

Ovdje nije potrebno definirati konstantu kao logaritam, jer od toga neće biti ništa korisno.

odgovor: opšti integral:

Provjera: diferencirajte odgovor (implicitna funkcija):

Riješimo se razlomaka množenjem oba člana sa:

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je opći integral ispravno pronađen.

Primjer 8

Pronađite određeno rješenje DE.
,

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Jedini nagovještaj je da ćete ovdje dobiti opći integral i, tačnije rečeno, morate pokušati pronaći ne određeno rješenje, već parcijalni integral. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I. Obične diferencijalne jednadžbe

1.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba je jednačina koja povezuje nezavisnu varijablu x, traženu funkciju y i njegove derivate ili diferencijale.

Simbolično, diferencijalna jednadžba se piše na sljedeći način:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencijalna jednadžba se naziva običnom ako tražena funkcija ovisi o jednoj nezavisnoj varijabli.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcija koja pretvara ovu jednačinu u identitet.

Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije uključene u ovu jednačinu

Primjeri.

1. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu prvog reda

Rješenje ove jednadžbe je funkcija y = 5 ln x. Zaista, zamjena y" u jednačinu, dobijamo identitet.

A to znači da je funkcija y = 5 ln x– rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

2. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu drugog reda y" - 5y" +6y = 0. Funkcija je rješenje ove jednadžbe.

Zaista, .

Zamjenom ovih izraza u jednačinu dobijamo: , – identičnost.

A to znači da je funkcija rješenje ove diferencijalne jednadžbe.

Integriranje diferencijalnih jednadžbi je proces pronalaženja rješenja diferencijalnih jednačina.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcija forme , koji uključuje onoliko nezavisnih proizvoljnih konstanti koliko je redoslijed jednadžbe.

Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za različite numeričke vrijednosti proizvoljnih konstanti. Vrijednosti proizvoljnih konstanti nalaze se na određenim početnim vrijednostima argumenta i funkcije.

Graf određenog rješenja diferencijalne jednadžbe se zove integralna kriva.

Primjeri

1. Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednačine prvog reda

xdx + ydy = 0, Ako y= 4 at x = 3.

Rješenje. Integracijom obe strane jednačine dobijamo

Komentar. Proizvoljna konstanta C dobijena kao rezultat integracije može se predstaviti u bilo kom obliku pogodnom za dalje transformacije. U ovom slučaju, uzimajući u obzir kanonsku jednadžbu kruga, pogodno je predstaviti proizvoljnu konstantu C u obliku .

- opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.

Konkretno rješenje jednačine koje zadovoljava početne uslove y = 4 at x = 3 se dobija iz opšteg zamenom početnih uslova u opšte rešenje: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Zamjenom C=5 u opšte rješenje dobijamo x 2 +y 2 = 5 2 .

Ovo je posebno rješenje diferencijalne jednadžbe dobivene iz općeg rješenja pod datim početnim uvjetima.

2. Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe

Rješenje ove jednadžbe je bilo koja funkcija oblika , gdje je C proizvoljna konstanta. Zaista, zamjenom u jednadžbe, dobivamo: , .

Posljedično, ova diferencijalna jednadžba ima beskonačan broj rješenja, jer za različite vrijednosti konstante C, jednakost određuje različita rješenja jednadžbe.

Na primjer, direktnom zamjenom možete provjeriti da li su funkcije su rješenja jednadžbe.

Problem u kojem trebate pronaći određeno rješenje jednačine y" = f(x,y) zadovoljavajući početni uslov y(x 0) = y 0, se zove Cauchyjev problem.

Rješavanje jednačine y" = f(x,y), zadovoljavajući početni uslov, y(x 0) = y 0, naziva se rješenjem Cauchyjevog problema.

Rješenje Cauchyjevog problema ima jednostavno geometrijsko značenje. Zaista, prema ovim definicijama, riješiti Cauchyjev problem y" = f(x,y) s obzirom na to y(x 0) = y 0, znači pronaći integralnu krivu jednadžbe y" = f(x,y) koji prolazi kroz dati poen M 0 (x 0,y 0).

II. Diferencijalne jednadžbe prvog reda

2.1. Osnovni koncepti

Diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika F(x,y,y") = 0.

Diferencijalna jednačina prvog reda uključuje prvi izvod i ne uključuje izvode višeg reda.

Jednačina y" = f(x,y) naziva se jednadžba prvog reda riješena u odnosu na izvod.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija oblika , koja sadrži jednu proizvoljnu konstantu.

Primjer. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu prvog reda.

Rješenje ove jednadžbe je funkcija.

Zaista, zamenivši ovu jednačinu njenom vrednošću, dobijamo

to jest 3x=3x

Stoga je funkcija opće rješenje jednadžbe za bilo koju konstantu C.

Pronađite određeno rješenje ove jednačine koje zadovoljava početni uvjet y(1)=1 Zamjena početnih uslova x = 1, y =1 u opšte rešenje jednačine, dobijamo odakle C=0.

Dakle, dobijamo posebno rešenje iz opšteg tako što u ovu jednačinu zamenimo rezultujuću vrednost C=0– privatno rješenje.

2.2. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama

Diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama je jednadžba oblika: y"=f(x)g(y) ili kroz diferencijale, gdje f(x) I g(y)– specificirane funkcije.

Za one y, za koje , jednadžba y"=f(x)g(y) je ekvivalentan jednadžbi, u kojoj je varijabla y je prisutna samo na lijevoj strani, a varijabla x je samo na desnoj strani. Kažu, "u jednadžbi. y"=f(x)g(y Hajde da odvojimo varijable."

Jednačina oblika naziva se jednadžba odvojene varijable.

Integriranje obje strane jednačine By x, dobijamo G(y) = F(x) + C je opšte rješenje jednačine, gdje je G(y) I F(x)– neki antiderivati, respektivno, funkcija i f(x), C proizvoljna konstanta.

Algoritam za rješavanje diferencijalne jednadžbe prvog reda sa odvojivim varijablama

Primjer 1

Riješite jednačinu y" = xy

Rješenje. Derivat funkcije y" zamijenite ga sa

hajde da odvojimo varijable

Integrirajmo obje strane jednakosti:

Primjer 2

2yy" = 1- 3x 2, Ako y 0 = 3 at x 0 = 1

Ovo je jednačina odvojene varijable. Zamislimo to u diferencijalima. Da bismo to učinili, prepisujemo ovu jednačinu u obliku Odavde

Integrirajući obje strane posljednje jednakosti, nalazimo

Zamjena početnih vrijednosti x 0 = 1, y 0 = 3 naći ćemo WITH 9=1-1+C, tj. C = 9.

Stoga će traženi parcijalni integral biti ili

Primjer 3

Napišite jednačinu za krivu koja prolazi kroz tačku M(2;-3) i ima tangentu sa ugaonim koeficijentom

Rješenje. Prema stanju

Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama. Dijeljenjem varijabli dobijamo:

Integracijom obe strane jednačine dobijamo:

Koristeći početne uslove, x = 2 I y = - 3 naći ćemo C:

Prema tome, tražena jednačina ima oblik

2.3. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika y" = f(x)y + g(x)

Gdje f(x) I g(x)- neke specificirane funkcije.

Ako g(x)=0 tada se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogena i ima oblik: y" = f(x)y

Ako je onda jednačina y" = f(x)y + g(x) naziva se heterogena.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y je data formulom: gdje WITH– proizvoljna konstanta.

Konkretno, ako C =0, onda je rješenje y = 0 Ako je linearno homogena jednačina izgleda kao y" = ky Gdje k je neka konstanta, onda njeno opće rješenje ima oblik: .

Opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y + g(x) je data formulom ,

one. jednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajuće linearne homogene jednačine i posebnog rešenja ove jednačine.

Za linearnu nehomogenu jednačinu oblika y" = kx + b,

Gdje k I b- neki brojevi i određeno rješenje bit će konstantna funkcija. Stoga, opće rješenje ima oblik .

Primjer. Riješite jednačinu y" + 2y +3 = 0

Rješenje. Hajde da predstavimo jednačinu u obliku y" = -2y - 3 Gdje k = -2, b= -3 Opće rješenje je dato formulom.

Dakle, gdje je C proizvoljna konstanta.

2.4. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda Bernoullijevom metodom

Pronalaženje općeg rješenja linearne diferencijalne jednačine prvog reda y" = f(x)y + g(x) svodi na rješavanje dvije diferencijalne jednadžbe sa odvojenim varijablama korištenjem zamjene y=uv, Gdje u I v- nepoznate funkcije iz x. Ova metoda rješenja naziva se Bernoullijeva metoda.

Algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

y" = f(x)y + g(x)

1. Unesite zamjenu y=uv.

2. Razlikujte ovu jednakost y" = u"v + uv"

3. Zamjena y I y" u ovu jednačinu: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ili u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupirajte članove jednačine tako da u izvadi iz zagrada:

5. Iz zagrade, izjednačavajući je sa nulom, pronađite funkciju

Ovo je jednadžba koja se može odvojiti:

Podijelimo varijable i dobijemo:

Gdje . .

6. Zamijenite rezultirajuću vrijednost v u jednačinu (iz koraka 4):

i pronađite funkciju Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama:

7. Opće rješenje napišite u obliku: , tj. .

Primjer 1

Pronađite određeno rješenje jednačine y" = -2y +3 = 0 Ako y=1 at x = 0

Rješenje. Hajde da to riješimo zamjenom y=uv,.y" = u"v + uv"

Zamena y I y" u ovu jednačinu, dobijamo

Grupisanjem drugog i trećeg člana na levoj strani jednačine izvlačimo zajednički faktor u van zagrada

Izjednačavamo izraz u zagradama sa nulom i, nakon što smo riješili rezultirajuću jednadžbu, nalazimo funkciju v = v(x)

Dobijamo jednačinu sa odvojenim varijablama. Integrirajmo obje strane ove jednadžbe: Nađi funkciju v:

Zamijenimo rezultirajuću vrijednost v u jednacinu dobijamo:

Ovo je jednačina odvojene varijable. Integrirajmo obje strane jednačine: Nađimo funkciju u = u(x,c) Hajde da nađemo opšte rešenje: Nađimo određeno rješenje jednačine koje zadovoljava početne uslove y = 1 at x = 0:

III. Diferencijalne jednadžbe višeg reda

3.1. Osnovni pojmovi i definicije

Diferencijalna jednadžba drugog reda je jednačina koja sadrži derivate ne većeg od drugog reda. U opštem slučaju, diferencijalna jednačina drugog reda se piše kao: F(x,y,y",y") = 0

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je funkcija oblika , koja uključuje dvije proizvoljne konstante C 1 I C 2.

Posebno rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za određene vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 I C 2.

3.2. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima naziva jednačina oblika y" + py" +qy = 0, Gdje str I q- konstantne vrijednosti.

Algoritam za rješavanje homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima

1. Napišite diferencijalnu jednačinu u obliku: y" + py" +qy = 0.

2. Kreirajte njegovu karakterističnu jednačinu, označavajući y" kroz r 2, y" kroz r, y u 1: r 2 + pr +q = 0

Dato online kalkulator omogućava rješavanje diferencijalnih jednadžbi na mreži. Dovoljno je da unesete svoju jednačinu u odgovarajuće polje, označite izvod funkcije kroz apostrof i kliknete na dugme „riješi jednačinu“ i sistem, implementiran na osnovu popularne web stranice WolframAlpha, će dati detaljan opis rješavanje diferencijalne jednadžbe potpuno besplatno. Također možete definirati Cauchyjev problem kako biste iz cijelog skupa mogućih rješenja odabrali količnik koji odgovara datim početnim uvjetima. Cauchyjev problem se unosi u posebno polje.

Diferencijalna jednadžba

Po defaultu, funkcija u jednadžbi y je funkcija varijable x. Međutim, možete odrediti svoju oznaku za varijablu ako upišete, na primjer, y(t) u jednačinu, kalkulator će to automatski prepoznati y postoji funkcija iz varijable t. Uz pomoć kalkulatora možete riješiti diferencijalne jednadžbe bilo koje složenosti i tipa: homogene i nehomogene, linearne ili nelinearne, prvog ili drugog i višeg reda, jednačine sa odvojivim ili neodvojivim varijablama, itd. Rješenje dif. jednačina je data u analitičkom obliku, has detaljan opis. Diferencijalne jednadžbe su vrlo česte u fizici i matematici. Bez njihovog izračunavanja nemoguće je riješiti mnoge probleme (posebno u matematičkoj fizici).

Jedna od faza rješavanja diferencijalnih jednadžbi je integracija funkcija. Postoje standardne metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Potrebno je svesti jednadžbe na oblik sa odvojivim varijablama y i x i posebno integrirati razdvojene funkcije. Da biste to učinili, ponekad se mora izvršiti određena zamjena.