Pronađite granicu koja teži 1. Granice u matematici za lutke: objašnjenje, teorija, primjeri rješenja

Teorija granica je jedan od odjeljaka matematička analiza. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica razne vrste. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite ovu ili onu granicu. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo kratko istorijska pozadina. U 19. veku je živeo Francuz, Augustin Louis Cauchy, koji je dao stroge definicije mnogim pojmovima matana i postavio njegove temelje. Moram reći da se ovaj uvaženi matematičar sanjao, sanja se i sanjat će se i dalje noćne more svim studentima fizičko-matematičkih fakulteta, kako je dokazao ogromna količina teoreme matematičke analize, a jedna teorema je smrtonosnija od druge. S tim u vezi, nećemo još razmatrati određivanje Cauchyjeve granice, ali hajde da pokušamo uraditi dvije stvari:

1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, cilj projekta.

Dakle, koja je granica?

I samo primjer zašto čupavoj baki....

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi “X teži jedan”. Najčešće - upravo, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. IN praktični zadaci umjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam snimak glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."

Pogledajmo sljedeće važno pitanje - šta znači izraz "x"? nastoji do jednog"? I šta uopće znači "stremiti"?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Napravimo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz „x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se beskonačno približavaju jedinstvu i praktično se s njim poklapaju.

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:

Dakle, prvo pravilo: Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se javljaju u praksi, i to ne tako rijetko!

Primjer sa beskonačnosti:

Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.

Šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo rečeno, prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo beskonačnost u funkciju i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Opet počinjemo povećavati do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:

I još niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako sumnjate, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte konstruirati niz , , . Ako , onda , , .

! Napomena: Strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pažnju i na sljedeću stvar. Čak i ako se da ograničenje sa veliki broj na vrhu, čak i sa milion: sve je isto , jer će prije ili kasnije "X" početi poprimati takve gigantske vrijednosti da će milion u poređenju biti pravi mikrob.

Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr .

Štaviše, limit ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Za bolje razumijevanje teme preporučujem da pročitate metodološki materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Nakon čitanja ovog članka, ne samo da ćete konačno shvatiti što je granica, već ćete se i upoznati zanimljivi slučajevi, kada je granica funkcije općenito ne postoji!

U praksi je, nažalost, malo poklona. Stoga prelazimo na razmatranje složenijih ograničenja. Usput, na ovu temu postoji intenzivni kurs u pdf formatu, što je posebno korisno ako imate VRLO malo vremena za pripremu. Ali materijali stranice, naravno, nisu ništa lošiji:

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

primjer:

Izračunajte limit

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove nesigurnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je , i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i potrebno je primijeniti neku tehniku rješenja, koju ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Vodeća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen:

Najviši stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojilac i imenilac podijeliti najvećim stepenom.

Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.

Šta je suštinski važno u kreiranju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti šta kuda ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate ništa od ovoga da radite, ali tada će, možda, nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi pitati dodatna pitanja na zadatku. Da li ti treba?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu:

Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak bi mogao izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stepen "X" u brojiocu: 2
Maksimalni stepen “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Konačno rješenje bi moglo izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Zapis ne znači dijeljenje nulom (ne možete dijeliti nulom), već dijeljenje beskonačno malim brojem.

Stoga, otkrivanjem nesigurnosti vrste, možda ćemo moći konačan broj, nula ili beskonačnost.

Granice sa nesigurnošću tipa i metode za njihovo rješavanje

Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: brojilac i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Riješite limit
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.

Opšte pravilo : ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika , onda da se otkrije morate rastaviti brojilac i imenilac.

Da biste to učinili, najčešće morate odlučiti kvadratna jednačina i/ili koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i pročitajte nastavni materijal Vruće formule školski kurs matematičari. Inače, najbolje ga je ispisati vrlo često, a informacije se bolje upijaju iz papira.

Dakle, riješimo našu granicu

Faktori brojilac i imenilac

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu:

Prvo nalazimo diskriminanta:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkciju ekstrakcije kvadratni korijen dostupno na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako korijen nije u potpunosti izvađen (ispostavilo se frakcijski broj sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je došlo do greške u kucanju u zadatku.

Zatim nalazimo korijene:

ovako:

Sve. Brojilac je faktorizovan.

Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.

Očigledno, može se skratiti na:

Sada zamjenjujemo -1 u izraz koji ostaje pod znakom granice:

Naravno, u testni rad, tokom testa ili ispita, rješenje nikada nije napisano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:

Rastavimo brojilac na faktore.

Primjer 5

Izračunajte limit

Prvo, "finiš" verzija rješenja

Razložimo brojilac i imenilac.

Brojač:
imenilac:

,

Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvadili 2 iz zagrada, a zatim koristili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.

Preporuka: Ako je u limitu (skoro bilo kojeg tipa) moguće izvući broj iz zagrada, onda to uvijek radimo.
Štaviše, preporučljivo je premjestiti takve brojeve izvan ikone ograničenja. Za šta? Da, samo da im ne smetaju. Glavna stvar je da ne izgubite ove brojeve kasnije tokom rješavanja.

Imajte na umu da sam u završnoj fazi rješenja uzeo dva iz ikone ograničenja, a zatim i minus.

! Važno
Tokom rješenja, fragment tipa se javlja vrlo često. Smanjite ovaj razlomakzabranjeno je . Prvo morate promijeniti predznak brojnika ili nazivnika (iz zagrada staviti -1).
, odnosno pojavljuje se znak minus, koji se uzima u obzir pri izračunavanju limita i nema potrebe da ga gubite.

Općenito, primijetio sam da najčešće u pronalaženju granica ovog tipa morate riješiti dvije kvadratne jednadžbe, odnosno da i brojnik i nazivnik sadrže kvadratne trinome.

Metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom

Nastavljamo sa razmatranjem nesigurnosti forme

Sljedeća vrsta ograničenja je slična prethodnoj vrsti. Jedina stvar, pored polinoma, dodaćemo korijene.

Primjer 6

Pronađite granicu

Počnimo da odlučujemo.

Prvo pokušavamo zamijeniti 3 u izraz ispod predznaka granice
Ponavljam još jednom - ovo je prva stvar koju trebate učiniti za BILO KOJI limit. Ova radnja se obično izvodi mentalno ili u obliku nacrta.

Dobijena je nesigurnost forme koju treba eliminisati.

Kao što ste vjerovatno primijetili, naš brojilac sadrži razliku korijena. A u matematici je uobičajeno da se riješite korijena, ako je moguće. Za šta? A život je lakši bez njih.

Teorija granica- jedan od dijelova matematičke analize koji jedni mogu savladati, dok drugi imaju poteškoća u izračunavanju granica. Pitanje pronalaženja granica je prilično općenito, budući da postoje desetine tehnika granice rješenja razne vrste. Ista ograničenja se mogu pronaći i korištenjem L'Hopitalovog pravila i bez njega. Dešava se da vam planiranje niza beskonačno malih funkcija omogućava brzo postizanje željenog rezultata. Postoji niz tehnika i trikova koji vam omogućavaju da pronađete granicu funkcije bilo koje složenosti. U ovom članku pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja koje se najčešće susreću u praksi. Ovdje nećemo iznositi teoriju i definiciju granice, na internetu postoji mnogo izvora gdje se o tome raspravlja. Stoga, pređimo na praktične proračune, ovdje je vaše "Ne znam ne mogu!"

Izračunavanje granica korištenjem metode zamjene

Primjer 1. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rješenje: Primjeri ove vrste mogu se teoretski izračunati korištenjem uobičajene zamjene

Ograničenje je 18/11.
Nema ništa komplikovano ili mudro u takvim granicama – zamenili smo vrednost, izračunali je i zapisali granicu kao odgovor. Međutim, na osnovu takvih ograničenja, svi se uče da prije svega treba zamijeniti vrijednost u funkciju. Nadalje, granice postaju složenije, uvodeći koncept beskonačnosti, neizvjesnosti i slično.

Granica s neizvjesnošću poput beskonačnosti podijeljene sa beskonačnošću. Tehnike otkrivanja nesigurnosti

Primjer 2. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=beskonačnost).
Rješenje: Zadana je granica polinoma oblika podijeljenog polinomom, a varijabla teži beskonačnosti

Jednostavna zamjena vrijednosti za koju varijablu treba pronaći da bi se pronašle granice neće pomoći, dobijamo nesigurnost oblika beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću.
Prema teoriji granica, algoritam za izračunavanje granice je pronalaženje najvećeg stepena "x" u brojniku ili nazivniku. Zatim, brojnik i nazivnik se pojednostavljuju na njega i nalazi se granica funkcije

Budući da vrijednost teži nuli kada se varijabla približi beskonačnosti, one se zanemaruju ili upisuju u konačni izraz u obliku nula

Odmah iz prakse možete dobiti dva zaključka koji su nagovještaj u proračunima. Ako varijabla teži beskonačnosti i stepen brojioca je veći od stepena nazivnika, tada je granica jednako beskonačnosti. Inače, ako je polinom u nazivniku višeg reda nego u brojniku, granica je nula.
Granica se može napisati u formulama poput ove:

Ako imamo funkciju u obliku običnog polja bez razlomaka, onda je njena granica jednaka beskonačnosti

Sljedeća vrsta ograničenja tiče se ponašanja funkcija blizu nule.

Primjer 3. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Rješenje: Ovdje nema potrebe uklanjati vodeći faktor polinoma. Upravo suprotno, potrebno je pronaći najmanji stepen brojnika i nazivnika i izračunati granicu

Vrijednost x^2; x teži nuli kada varijabla teži nuli. Stoga se zanemaruju, tako da dobijamo

da je granica 2,5.

Sad znaš kako pronaći granicu funkcije oblika, podijelite polinom polinomom ako varijabla teži beskonačnosti ili 0. Ali ovo je samo mali i lak dio primjera. Iz sljedećeg materijala naučit ćete kako otkriti nesigurnosti u granicama funkcije.

Granica sa nesigurnošću tipa 0/0 i metode za njeno izračunavanje

Svi se odmah sjete pravila da se ne može dijeliti sa nulom. Međutim, teorija granica u ovom kontekstu implicira infinitezimalne funkcije.
Pogledajmo nekoliko primjera radi jasnoće.

Primjer 4. Pronađite granicu funkcije
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rješenje: Kada vrijednost varijable x = -1 zamenimo u nazivnik, dobijamo nulu, a isto dobijemo u brojiocu. Tako da imamo nesigurnost oblika 0/0.
Suočavanje s takvom nesigurnošću je jednostavno: potrebno je faktorizirati polinom, odnosno odabrati faktor koji pretvara funkciju u nulu.

Nakon proširenja, granica funkcije može se napisati kao

To je cijela metoda za izračunavanje granice funkcije. Isto radimo ako postoji granica polinoma oblika podijeljenog polinomom.

Primjer 5. Pronađite granicu funkcije
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Rješenje: Direktna zamjena pokazuje
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
šta imamo tip 0/0 nesigurnosti.
Podijelimo polinome sa faktorom koji uvodi singularnost

Postoje nastavnici koji uče da polinome 2. reda, odnosno tipa „kvadratnih jednačina“ treba rješavati preko diskriminanta. Ali prava praksa pokazuje da je to duže i zbunjujuće, pa se riješite karakteristika u granicama prema navedenom algoritmu. Dakle, zapisujemo funkciju u obliku jednostavnih faktora i izračunavamo je u limitu

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u izračunavanju takvih ograničenja. Dok proučite granice, znate kako dijeliti polinome, barem prema programu koji ste već trebali položiti.
Među zadacima na tip 0/0 nesigurnosti Postoje neke u kojima morate koristiti skraćene formule za množenje. Ali ako ih ne znate, onda dijeljenjem polinoma monomom možete dobiti željenu formulu.

Primjer 6. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rješenje: Imamo nesigurnost tipa 0/0. U brojiocu koristimo skraćenu formulu množenja

i izračunajte potrebnu granicu

Metoda za otkrivanje nesigurnosti množenjem njenim konjugatom

Metoda se primjenjuje na granice u kojima iracionalne funkcije stvaraju nesigurnost. Brojnik ili imenilac se pretvara u nulu u tački računanja i ne zna se kako pronaći granicu.

Primjer 7. Pronađite granicu funkcije
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Rješenje: Predstavimo varijablu u formuli ograničenja

Prilikom zamjene dobijamo nesigurnost tipa 0/0.
Prema teoriji granica, način da se zaobiđe ovo svojstvo je da se iracionalni izraz pomnoži njegovim konjugatom. Da bi se osiguralo da se izraz ne promijeni, nazivnik mora biti podijeljen istom vrijednošću

Koristeći pravilo razlike kvadrata, pojednostavljujemo brojnik i izračunavamo granicu funkcije

Pojednostavljujemo pojmove koji stvaraju singularnost u limitu i vršimo zamjenu

Primjer 8. Pronađite granicu funkcije
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rješenje: Direktna zamjena pokazuje da granica ima singularnost oblika 0/0.

Za proširenje množimo i dijelimo konjugatom brojnika

Zapisujemo razliku kvadrata

Pojednostavljujemo pojmove koji uvode singularnost i nalazimo granicu funkcije

Primjer 9. Pronađite granicu funkcije
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Rješenje: Zamijenite dva u formulu

Dobili smo nesigurnost 0/0.
Imenilac se mora pomnožiti konjugiranim izrazom, a u brojniku kvadratna jednačina mora biti riješena ili faktorirana, uzimajući u obzir singularnost. Pošto je poznato da je 2 korijen, nalazimo drugi korijen koristeći Vietin teorem

Dakle, zapisujemo brojilac u obliku

i zamijenite ga u granicu

Smanjenjem razlike kvadrata oslobađamo se singulariteta u brojniku i nazivniku

Na ovaj način možete se riješiti singularnosti u mnogim primjerima, a primjenu treba zabilježiti gdje god se data razlika korijena pretvori u nulu tokom zamjene. Druge vrste ograničenja odnose se na eksponencijalne funkcije, infinitezimalne funkcije, logaritme, posebne granice i druge tehnike. Ali o tome možete pročitati u dolje navedenim člancima o ograničenjima.

Teorija granica je jedna od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica različitih tipova. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite ovu ili onu granicu. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka istorijska pozadina. U 19. vijeku živio je Francuz Augustin Louis Cauchy, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, posebno definiciju granice. Mora se reći da je taj isti Cauchy bio, jeste i bit će u noćnim morama svih studenata fizičko-matematičkih odsjeka, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a svaka teorema je odvratnija od druge. S tim u vezi, nećemo razmatrati striktnu definiciju granice, već ćemo pokušati učiniti dvije stvari:

1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, cilj projekta.

Dakle, koja je granica?

I samo primjer zašto čupavoj baki....

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi “X teži jedan”. Najčešće - upravo, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, mjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam snimak glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:

Dakle, prvo pravilo: Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se javljaju u praksi, i to ne tako rijetko!

Primjer sa beskonačnosti:

Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, odnosno: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.

Šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo rečeno, prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo beskonačnost u funkciju i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Ponovo počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada se funkcija neograničeno povećava:

I još niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako sumnjate, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte konstruirati niz , , . Ako , onda , , .

Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pažnju i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje dato sa velikim brojem na vrhu, ili čak sa milionom: , onda je svejedno , jer će prije ili kasnije "X" poprimiti takve gigantske vrijednosti da će milion u poređenju sa njima biti pravi mikrob.

Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr .

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

primjer:

Izračunajte limit

Kako riješiti limite ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Vodeća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen:

Najviši stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojilac i imenilac podijeliti najvećim stepenom.

Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.

Šta je suštinski važno u kreiranju odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, ali znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti šta kuda ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate ništa od ovoga, ali tada će možda nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. Da li ti treba?

Primjer 2

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 3

Podijelite brojilac i imenilac sa

Zapis ne znači dijeljenje nulom (ne možete dijeliti nulom), već dijeljenje beskonačno malim brojem.

Stoga, otkrivanjem nesigurnosti vrste, možda ćemo moći konačan broj, nula ili beskonačnost.

Granice sa nesigurnošću tipa i metode za njihovo rješavanje

Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: brojilac i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Riješite limit
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.

Opšte pravilo: ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika , onda da se otkrije morate rastaviti brojilac i imenilac.

Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i pročitajte nastavni materijal Vruće formule za školski kurs matematike. Inače, najbolje ga je ispisati vrlo često, a informacije se bolje upijaju iz papira.

Dakle, riješimo našu granicu

Faktori brojilac i imenilac

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu:

Prvo nalazimo diskriminanta:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkcija vađenja kvadratnog korijena je na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izvuče u cijelosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je u zadatku došlo do greške u kucanju.

Zatim nalazimo korijene:

ovako:

Sve. Brojilac je faktorizovan.

Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.

Očigledno, može se skratiti na:

Sada zamjenjujemo -1 u izraz koji ostaje pod znakom granice:

Naravno, na testu, testu ili ispitu rješenje nikada nije opisano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:

Rastavimo brojilac na faktore.

Primjer 5

Izračunajte limit

Prvo, "finiš" verzija rješenja

Razložimo brojilac i imenilac.

Brojač:
imenilac:

,

Koncepti granica nizova i funkcija. Kada je potrebno pronaći granicu niza, to se piše na sljedeći način: lim xn=a. U takvom nizu nizova, xn teži ka a, a n teži beskonačnosti. Niz se obično predstavlja kao niz, na primjer:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Nizovi se dijele na rastuće i opadajuće. na primjer:
xn=n^2 - rastući niz
yn=1/n - niz
Tako, na primjer, granica niza xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Ova granica je jednaka nuli, jer n→∞, a niz 1/n^2 teži nuli.

Obično varijabilna količina x teži konačnoj granici a, a x se stalno približava a, a vrijednost a je konstantna. Ovo se piše na sljedeći način: limx =a, dok n također može težiti nuli ili beskonačnosti. Postoje beskonačne funkcije, za koje granica teži beskonačnosti. U drugim slučajevima, kada, na primjer, funkcija usporava vlak, moguće je da granica teži nuli.
Ograničenja imaju niz svojstava. Tipično, svaka funkcija ima samo jedno ograničenje. Ovo je glavno svojstvo limita. Ostali su navedeni u nastavku:
* Ograničenje iznosa je jednako zbiru limita:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Ograničenje proizvoda je jednako umnošku ograničenja:
lim(xy)=lim x*lim y
* Granica količnika je jednaka količniku granica:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantni faktor se uzima izvan graničnog znaka:
lim(Cx)=C lim x
Zadata funkcija 1 /x u kojoj je x →∞, njena granica je nula. Ako je x→0, granica takve funkcije je ∞.
Za trigonometrijske funkcije su iz ovih pravila. Budući da funkcija sin x uvijek teži jedinici kada se približi nuli, za nju vrijedi identitet:
lim sin x/x=1

U nizu funkcija postoje funkcije kod kojih se pri izračunavanju granica javlja nesigurnost – situacija u kojoj se granica ne može izračunati. Jedini izlaz iz ove situacije je L'Hopital. Postoje dvije vrste neizvjesnosti:
* nesigurnost oblika 0/0
* nesigurnost oblika ∞/∞
Na primjer, dato je ograničenje sljedećeg oblika: lim f(x)/l(x), i f(x0)=l(x0)=0. U ovom slučaju se javlja nesigurnost oblika 0/0. Da bi se riješio takav problem, obje funkcije se diferenciraju, nakon čega se nalazi granica rezultata. Za nesigurnosti tipa 0/0, granica je:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (na x→0)
Isto pravilo vrijedi i za nesigurnosti tipa ∞/∞. Ali u ovom slučaju vrijedi sljedeća jednakost: f(x)=l(x)=∞
Koristeći L'Hopitalovo pravilo, možete pronaći vrijednosti svih granica u kojima se pojavljuju nesigurnosti. Preduslov za

volumen - nema grešaka pri pronalaženju izvedenica. Tako je, na primjer, derivacija funkcije (x^2)" jednaka 2x. Odavde možemo zaključiti da:
f"(x)=nx^(n-1)

Granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Određivanje Cauchyjeve granice
Neka je funkcija f (x) je definirana u određenom susjedstvu tačke u beskonačnosti, sa |x| > Broj a naziva se granica funkcije f (x) kao što x teži beskonačnosti (), ako je za bilo koji, koliko god mali, pozitivan broj ε > 0 , postoji broj N ε >K, u zavisnosti od ε, što za sve x, |x| > N ε, vrijednosti funkcije pripadaju ε-susjedstvu tačke a:
|f (x)-a|< ε .
Granica funkcije u beskonačnosti označava se na sljedeći način:
.
Ili u .

Često se koristi i sljedeća notacija:
.

Napišimo ovu definiciju koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti:
.
Ovo pretpostavlja da vrijednosti pripadaju domeni funkcije.

Jednostrane granice

Lijeva granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Često postoje slučajevi kada je funkcija definirana samo za pozitivne ili negativne vrijednosti varijabla x (tačnije u blizini tačke ili ). Također, granice na beskonačnosti za pozitivne i negativne vrijednosti x mogu imati različita značenja. Tada se koriste jednostrane granice.

Lijeva granica u beskonačnosti ili granica kako x teži minus beskonačnost () je definirana na sljedeći način:
.
Desna granica u beskonačnosti ili granica kako x teži plus beskonačnosti ():
.
Jednostrane granice u beskonačnosti često se označavaju na sljedeći način:
; .

Beskonačna granica funkcije u beskonačnosti

Beskonačna granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x)| > M za |x| > N

Definicija beskonačne granice prema Cauchyju
Neka je funkcija f (x) je definirana u određenom susjedstvu tačke u beskonačnosti, sa |x| > K, gdje je K pozitivan broj. Granica funkcije f (x) kako x teži beskonačnosti (), jednako je beskonačnosti, ako je za bilo koji proizvoljno veliki broj M > 0 , postoji takav broj N M >K, u zavisnosti od M, što za sve x, |x| > N M , vrijednosti funkcije pripadaju susjedstvu tačke u beskonačnosti:
|f (x) | >M.
Beskonačna granica kako x teži beskonačnosti označava se na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Slično, uvode se definicije beskonačnih granica određenih znakova jednakih i:
.
.

Definicije jednostranih granica u beskonačnosti.
Lijeve granice.
.
.
.
Prave granice.
.
.
.

Određivanje granice funkcije prema Heineu

Neka je funkcija f (x) definisano na nekom beskonačnoj beskonačnoj okolini tačke x 0 , gdje ili ili .
Broj a (konačan ili beskonačan) naziva se granica funkcije f (x) u tački x 0 :
,
ako za bilo koju sekvencu (xn), konvergirajući na x 0 : ,
čiji elementi pripadaju susjedstvu, nizu (f(xn)) konvergira na:
.

Ako kao susjedstvo uzmemo susjedstvo neoznačene točke u beskonačnosti: , tada ćemo dobiti definiciju granice funkcije kako x teži beskonačnosti, . 0 Ako uzmemo lijevo ili desno susjedstvo tačke x u beskonačnosti

: ili , tada dobijamo definiciju granice kako x teži ka minus beskonačnosti i plus beskonačnosti, respektivno.

Heineove i Cauchyjeve definicije granice su ekvivalentne.

Primjeri

Primjer 1
.

Koristeći Cauchyjevu definiciju da to pokažemo
.
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:
.
Nađimo domenu definicije funkcije.
; .
Budući da su brojilac i nazivnik razlomka polinomi, funkcija je definirana za sve x osim za točke u kojima nazivnik nestaje. Hajde da pronađemo ove tačke. Rješavanje kvadratne jednadžbe. ;
Korijeni jednadžbe:

Od , zatim i .
.
Stoga je funkcija definirana na .
.
Ovo ćemo koristiti kasnije. -1 :
.

Zapišimo definiciju konačne granice funkcije u beskonačnosti prema Cauchyju:
Hajde da transformišemo razliku:
;
;
;
.

Podijelite brojilac i imenilac sa i pomnožite sa
.
.
Neka .
Onda

Dakle, otkrili smo da kada,
Iz toga slijedi
u , i .

Pošto ga uvijek možete povećati, uzmimo .

Zapišimo definiciju konačne granice funkcije u beskonačnosti prema Cauchyju:
Onda za bilo koga,
1) ;
2) .

u .

To znači da .
Primjer 2
.

Koristeći Cauchyjevu definiciju granice, pokažite da:
;
.

Podijelite brojilac i imenilac sa i pomnožite sa
.
1) Rješenje kao x teži ka minus beskonačnosti
.
Budući da je , funkcija je definirana za sve x.
.

Zapišimo definiciju granice funkcije na jednakoj minus beskonačnosti:

Neka .

Onda
.
Unesite pozitivne brojeve i :

.
Iz toga slijedi da za bilo koji pozitivan broj M postoji broj, tako da za ,
.

To znači da .
Stoga je funkcija definirana na .
.
2) Rješenje kao x teži plus beskonačnosti
.

Transformirajmo originalnu funkciju. Pomnožite brojilac i imenilac razlomka i primijenite formulu razlike kvadrata:
.
Hajde da transformišemo razliku:
;
.

Podijelite brojilac i imenilac sa i pomnožite sa
.
1) Rješenje kao x teži ka minus beskonačnosti
.
Neka .
imamo:

Zapišimo definiciju desne granice funkcije na:
.

Hajde da uvedemo notaciju: .
Pomnožite brojilac i imenilac sa: