Pravila za dijeljenje razlomaka. Množenje i dijeljenje razlomaka

Sa razlomcima možete sve, uključujući i dijeljenje. Ovaj članak prikazuje podjelu običnih razlomaka. Biće date definicije i diskutovaće se o primerima. Zaustavimo se detaljno na dijeljenju razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem će se raspravljati.

Dijeljenje razlomaka

Dijeljenje je obrnuto od množenja. Prilikom dijeljenja, nepoznati faktor se nalazi sa poznatim umnoškom drugog faktora, pri čemu je njegovo dato značenje sačuvano običnim razlomcima.

Ako je potrebno podijeliti običan razlomak a b sa c d, tada da biste odredili takav broj trebate pomnožiti s djeliteljem c d, to će na kraju dati dividendu a b. Uzmimo broj i zapišimo ga a b · d c , gdje je d c inverzno od broja c d. Jednačine se mogu napisati koristeći svojstva množenja, i to: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, pri čemu je izraz a b · d c količnik dijeljenja a b sa c d.

Odavde dobijamo i formulišemo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:

Definicija 1

Da biste podijelili običan razlomak a b sa c d, trebate pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.

Zapišimo pravilo u obliku izraza: a b: c d = a b · d c

Pravila dijeljenja se svode na množenje. Da biste se toga držali, morate dobro razumjeti množenje razlomaka.

Prijeđimo na razmatranje podjele običnih razlomaka.

Primjer 1

Podijelite 9 7 sa 5 3. Rezultat zapišite kao razlomak.

Rješenje

Broj 5 3 je recipročni razlomak 3 5. Potrebno je koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz zapisujemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kada smanjujete razlomke, odvojite cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.

Primjer 2

Podijelite 8 15: 24 65. Odgovor napišite kao razlomak.

Rješenje

Da biste riješili, morate prijeći s dijeljenja na množenje. Zapišimo to u ovom obliku: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je izvršiti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Odaberite cijeli dio i dobijete 13 9 = 1 4 9.

odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dijeljenje izvanrednog razlomka prirodnim brojem

Koristimo pravilo dijeljenja razlomka sa prirodni broj: da biste podijelili a b prirodnim brojem n, trebate samo pomnožiti nazivnik sa n. Odavde dobijamo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo dijeljenja je posljedica pravila množenja. Dakle, predstavljanje prirodnog broja kao razlomak će dati jednakost ovog tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Razmotrimo ovo dijeljenje razlomka brojem.

Primjer 3

Podijelite razlomak 16 45 brojem 12.

Rješenje

Primijenimo pravilo za dijeljenje razlomka brojem. Dobijamo izraz oblika 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Smanjimo razlomak. Dobijamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Dijeljenje prirodnog broja razlomkom

Pravilo podjele je slično O pravilo za dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom: da bi se prirodni broj n podijelio običnim razlomkom a b, potrebno je broj n pomnožiti recipročnim razlomkom a b.

Na osnovu pravila imamo n: a b = n · b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom, dobijamo izraz u obliku n: a b = n · b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.

Primjer 4

Podijelite 25 sa 15 28.

Rješenje

Moramo prijeći sa dijeljenja na množenje. Zapišimo to u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Smanjimo razlomak i dobijemo rezultat u obliku razlomka 46 2 3.

odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dijeljenje razlomka mješovitim brojem

Kada dijelite obični razlomak mješovitim brojem, lako možete početi dijeliti obične razlomke. Morate pretvoriti mješoviti broj u nepravilan razlomak.

Primjer 5

Podijelite razlomak 35 16 sa 3 1 8.

Rješenje

Pošto je 3 1 8 mješoviti broj, predstavimo ga kao nepravilan razlomak. Tada dobijamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sada podijelimo razlomke. Dobijamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i obični brojevi.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

1. Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Zbrajanje razlomaka sa različiti imenioci

Prvo, naučimo sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2. Dodajte razlomke i .

Ispostavilo se da je odgovor nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, onda od nepravilni razlomci Uobičajeno je da ga se otarasite. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju cijeli dio lako se izdvaja - dva podeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrajamo brojioce i ostavljamo imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizze, dobijate pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u zbrajanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, potrebno je da saberete njihove brojioce i ostavite imenilac nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo se osvrnuti na samo jednu od njih, budući da se ostale metode za početnika mogu činiti komplikovanim.

Suština ove metode je da se prvo traži LCM nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli sa nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojioci i imenioci razlomaka se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabirati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajmo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju iznad razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabrati takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovim je primjer završen. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri od šest komada). Zbrajanjem ovih komada dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo izdvojili cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu picu i drugu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. IN obrazovne institucije Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM oba imenioca i dodatne faktore uz njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore vašim brojiocima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako ne vodite detaljne bilješke u prvim fazama proučavanja matematike, tada počinju da se pojavljuju pitanja te vrste. “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Naći LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gore navedene upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobijamo treći dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Sve što ostaje je sabirati ove razlomke. Dodaj to:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, pomiče se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, onda označite cijeli njegov dio

Naš odgovor se pokazao kao nepravilan razlomak. Moramo istaći cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke sa sličnim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, ali ostavite imenilac isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako se prisjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojioca prvog razlomka morate oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
2. Ako se pokaže da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili kada smo sabirali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je napisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Prvo nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću crteža. Ako od pizze isečete picu, dobijate picu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Smanjenje ovih razlomaka na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate svesti na isti (zajednički) imenilac.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Pišemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Pišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a imenilac trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Pišemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa ćemo nastavak premjestiti na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa pronađenim gcd, odnosno sa 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je da pomnožite brojilac razlomka s tim brojem i ostavite imenilac nepromijenjen.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Snimak se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, proizvod se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ova notacija se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pice, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množitelj i množitelj, dobićemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Broj koji se množi razlomkom i imenilac razlomka rješavaju se ako imaju zajednički djelitelj, veće od jedan.

Na primjer, izraz se može procijeniti na dva načina.

Prvi način. Pomnožite broj 4 sa brojicom razlomka, a nazivnik razlomka ostavite nepromijenjen:

Drugi način. Četiri koja se množe i četiri u nazivniku razlomka mogu se smanjiti. Ove četvorke se mogu smanjiti za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke sama četvorka:

Dobili smo isti rezultat 3. Nakon smanjenja četvorki, na njihovom mjestu se formiraju novi brojevi: dva jedinica. Ali množenjem jedan sa tri, a zatim dijeljenjem sa jedan ništa se ne mijenja. Stoga se rješenje može ukratko napisati:

Smanjenje se može izvesti čak i kada smo odlučili da koristimo prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojila 3 odlučili smo se za smanjenje:

Ali, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 sa nazivnikom razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj veći od jedan, pa se prema tome ne poništavaju.

Neki učenici greškom skraćuju broj koji se množi i brojilac razlomka. Ne možeš to da uradiš. Na primjer, sljedeći unos nije tačan:

Smanjenje razlomka to znači i brojnik i imenilacće se podijeliti istim brojem. U situaciji sa izrazom, dijeljenje se vrši samo u brojiocu, jer je pisanje isto što i pisanje . Vidimo da se dijeljenje vrši samo u brojiocu, a da se dijeljenje ne događa u nazivniku.

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine iz ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako pizza izgleda kada je podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva koja smo uzeli imaće iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o pizzi iste veličine. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor pravilan razlomak, ali bi bilo dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojilac i nazivnik našeg odgovora s gcd koji smo sada pronašli, odnosno sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Ovo neće promijeniti značenje petice, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati sa vrlo zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo naopako:

Šta će se dogoditi kao rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada pomnožite 5 sa dobijete jedan.

Recipročna vrijednost broja također se može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročni broj za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Deljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidi se da su nakon podjele polovice pice dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećamo, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojilac rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). to je:

na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički imenitelj! Nema potrebe za njim ovde...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate obrnuti drugo(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

na primjer:

Ako naiđete na množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja sa jedan u nazivniku - i samo naprijed! na primjer:

U srednjoj školi često morate imati posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. na primjer:

Kako mogu učiniti da ovaj razlomak izgleda pristojno? Da, vrlo jednostavno! Koristite podjelu na dvije tačke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali lako je pogriješiti u razlomku od tri sprata. Imajte na umu na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz desno):

Osjećate li razliku? 4 i 1/9!

Šta određuje redoslijed podjele? Ili sa zagradama, ili (kao ovde) sa dužinom horizontalnih linija. Razvijte svoje oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:

zatim podijeli i pomnoži redom, s lijeva na desno!

I još jedna vrlo jednostavna i važna tehnika. U akcijama sa diplomama, to će vam biti od velike koristi! Podijelimo jedan bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:

Šut se preokrenuo! I to se uvijek dešava. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo naopako.

To je to za operacije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Imajte na umu praktični saveti, i bit će ih manje (greške)!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Ovo nisu opšte reči, nisu dobre želje! Ovo je strašna potreba! Uradite sve proračune na Jedinstvenom državnom ispitu kao potpuni zadatak, fokusiran i jasan. Bolje je da napišete dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate dok radite mentalne proračune.

2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka prelazimo na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke dok se ne zaustave.

4. Razlomačke izraze na više nivoa svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. Podijelite jedinicu s razlomkom u svojoj glavi, jednostavno okrećući razlomak.

Evo zadataka koje svakako trebate riješiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale na ovu temu i praktične savjete. Procijenite koliko ste primjera uspjeli točno riješiti. Tačno prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamtite - tačan odgovor je primljeno od drugog (naročito trećeg) puta se ne računa! Takav je surov život.

dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, već priprema za Jedinstveni državni ispit. Rešavamo primer, proveravamo ga, rešavamo sledeći. Odlučili smo sve - ponovo provjerili od prvog do posljednjeg. I samo Onda pogledajte odgovore.

Izračunaj:

Jeste li odlučili?

Tražimo odgovore koji odgovaraju vašima. Namerno sam ih zapisivao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, ispisanih tačkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo, drago mi je zbog tebe! Osnovni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali... Ovo rješiv probleme.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Obični razlomčki brojevi prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno posmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dijeli. Udjeli su jednaki dijelovi, na koje je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj dijelova ili udjela neke mjere; Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je ljudima bilo veoma teško razumeti.

Moderan izgled jednostavne razlomke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom linijom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pize. Njegova djela datiraju se u 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se miješani razlomci s različitim nazivnicima množe.

Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima

U početku je vrijedno odrediti vrste frakcija:

• ispravan;
• netačno;
• mješovito.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa nije teško samostalno formulirati: rezultat množenja jednostavnih razlomaka s identičnim nazivnicima je razlomački izraz čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika ovih razlomaka. . Naime, novi nazivnik je kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomka biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste metode za smanjenje frakcijskih izraza. Brojeve brojioca možete smanjiti samo brojevima imenioca koji su iznad ili ispod linije razlomaka;

Uz jednostavne razlomke postoji koncept miješanih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, to jest, to je zbir ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Nekoliko primjera je dato za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja sa obični razlomak, pravilo za ovu radnju se može napisati kao:

a* b/c = a*b /c.

U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka, a broj članova označava ovaj prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedno rješenje za množenje broja s razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:

d* e/f = e/f: d.

Ovu tehniku ​​je korisno koristiti kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje metodu prezentacije mješovita frakcija pogrešno, može se predstaviti i u obliku opšta formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemu se imenilac novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojnika originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.

Ovaj proces takođe funkcioniše u poleđina. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak ostatak, trebate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka sa nazivnikom koristeći "ugao".

Množenje nepravilnih razlomaka proizveden na opšteprihvaćen način. Kada pišete pod jednom linijom razlomaka, morate po potrebi smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i olakšali izračunavanje rezultata.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih problema. matematički problemi u raznim varijantama programa. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mešoviti brojevi. Lako je raditi s njim, popunite odgovarajuća polja na web stranici, odaberete znak matematičke operacije i kliknete na „izračunaj“. Program izračunava automatski.

Tema aritmetičkih operacija sa razlomcima je aktuelna u celom obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne smatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni razlomci, ali poznavanje pravila za transformaciju i proračune dobijeno ranije se primjenjuje u izvornom obliku. Dobro savladano osnovno znanje daje potpuno povjerenje u uspješno rješavanje najsloženijih problema.

U zaključku, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je razlomak. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojilac - svoje zasluge - ali svako može smanjiti svoj imenilac - svoje mišljenje o sebi, i ovim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.

Razlomak je jedan ili više dijelova cjeline, koji se obično uzima kao jedan (1). Kao i kod prirodnih brojeva, možete izvršiti sve osnovne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, dijeljenje, množenje) sa razlomcima, da biste to učinili, morate znati karakteristike rada s razlomcima i razlikovati njihove vrste; Postoji nekoliko vrsta razlomaka: decimalni i obični ili jednostavni. Svaka vrsta razlomaka ima svoje specifičnosti, ali kada temeljno shvatite kako se njima rukuje, moći ćete rješavati bilo koji primjer sa razlomcima, jer ćete znati osnovne principe izvođenja aritmetičkih računanja s razlomcima. Pogledajmo primjere kako podijeliti razlomak cijelim brojem koristeći različite vrste razlomci.

Kako podijeliti decimalu cijelim brojem?
Decimala je razlomak koji se dobija dijeljenjem jedinice na deset, hiljadu i tako dalje. Aritmetika sa decimalima je prilično jednostavna.

Pogledajmo primjer kako podijeliti razlomak cijelim brojem. Recimo da trebamo podijeliti decimalni razlomak 0,925 prirodnim brojem 5.

• za razdvajanje decimalni Podjela stupcima se koristi za prirodni broj;
  
• Zarez se stavlja u količnik kada je podjela cijelog dijela dividende završena.