Racionalni broj se može predstaviti kao: Brojevi

U ovom članku ćemo početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon toga ćemo se fokusirati na to kako odrediti da li je dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Uprkos razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, baš kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomke.

Počnimo sa definicije racionalnih brojeva, što se percipira najprirodnije.

Iz navedene definicije proizilazi da je racionalan broj:

Bilo koji prirodni broj n. Zaista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj se može napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
Bilo koji zajednički razlomak (pozitivan ili negativan). Ovo direktno potvrđuje data definicija racionalnih brojeva.
Bilo koji mešoviti broj. Zaista, uvijek se može zamisliti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Na primjer, i.
Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak. To je zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, , i 0,(3)=1/3.

Takođe je jasno da bilo koji beskonačan neperiodičan decimalni NIJE racionalan broj jer se ne može predstaviti kao razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 su također primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 su također primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su takođe brojevi.

Iz gornjih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulisati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da liniju razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, a zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva, slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na osnovu ovu definiciju. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi, jer se mogu zapisati kao razlomci sa celim brojnikom i prirodnim imeniocem oblika i, respektivno.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Ova definicija je također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a bilo koji cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom sa nulama iza decimalnog zareza.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 su primjeri racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7, (18).

Završimo teoriju ove tačke sa sljedećim izjavama:

cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojicom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
svaki racionalni broj se može predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Da li je ovaj broj racionalan?

U prethodnom pasusu smo saznali da je svaki prirodni broj, bilo koji cijeli broj, bilo koji obični razlomak, bilo koji mješoviti broj, bilo koji konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućava da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa zapisanih brojeva.

Ali šta ako je broj dat u obliku nekog , ili kao, itd., kako odgovoriti na pitanje da li je ovaj broj racionalan? U mnogim slučajevima je veoma teško odgovoriti. Hajde da navedemo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj dat kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost ovog izraza racionalan broj. Ovo proizilazi iz toga kako su definirane operacije s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobijamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon pojednostavljivanja izraza i više složenog tipa, postaje moguće utvrditi da li je dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodan broj racionalan. Šta je sa brojem? Da li je to racionalno? Ispostavilo se da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradiktorno je dat u udžbeniku algebre za 8. razred, naveden dolje u listi literature). To je takođe dokazano kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo u onim slučajevima kada korijen sadrži broj koji je savršen kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, jer 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, jer brojevi 7 i 199 nisu savršeni kvadrati prirodni brojevi.

Da li je broj racionalan ili ne? U ovom slučaju, lako je uočiti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Da li je broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj pod predznakom korijena k-ti stepen nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čiji je peti stepen 121.

Metoda kontradikcije vam omogućava da dokažete da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao običan razlomak m/n. Tada dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer se na lijevoj strani nalazi neparan broj 5 n, a na desnoj strani je paran broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netačna, dakle nije racionalan broj.

U zaključku, posebno je vrijedno napomenuti da se prilikom utvrđivanja racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od iznenadnih zaključaka.

Na primjer, ne treba odmah tvrditi da je proizvod iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj, to je „naizgled očigledno“, ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji proizvod daje racionalan broj: .

Takođe je nepoznato da li su brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi čija je iracionalna snaga racionalan broj. Za ilustraciju, predstavljamo stepen oblika , baza ovog stepena i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Reference.

Matematika. 6. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

) su brojevi sa pozitivnim ili negativan predznak(cijeli brojevi i razlomci) i nula. Precizniji koncept racionalnih brojeva zvuči ovako:

Racionalni broj- broj koji je predstavljen obična frakcija m/n, gdje je brojilac m su cijeli brojevi i imenilac n- prirodni brojevi, na primjer 2/3.

Beskonačni neperiodični razlomci NISU uključeni u skup racionalnih brojeva.

a/b, Gdje a∈ Z (a pripada cijelim brojevima), b∈ N (b pripada prirodnim brojevima).

Korištenje racionalnih brojeva u stvarnom životu.

IN stvarnom životu skup racionalnih brojeva koristi se za brojanje dijelova nekih cjelobrojnih djeljivih objekata, Na primjer, kolače ili druge namirnice koje se režu na komade prije konzumiranja ili za grubu procjenu prostornih odnosa proširenih objekata.

Svojstva racionalnih brojeva.

Osnovna svojstva racionalnih brojeva.

1. Urednost a I b postoji pravilo koje vam omogućava da nedvosmisleno identifikujete 1 i samo jedan od 3 odnosa između njih: “<», «>" ili "=". Ovo je pravilo - pravilo naručivanja i formulirajte to ovako:

2 pozitivna broja a=m a /n a I b=m b /n b povezani su istim odnosom kao 2 cijela broja m a⋅ n b I m b⋅ n a;
2 negativna broja a I b povezani su istim omjerom kao 2 pozitivna broja |b| I |a|;
Kada a pozitivno i b- negativan, onda a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacija sabiranja. Za sve racionalne brojeve a I b Postoji pravilo sumiranja, što im dodeljuje određeni racionalni broj c. Štaviše, sam broj c- Ovo suma brojevi a I b i označava se kao (a+b) sumiranje.

Pravilo sumiranja izgleda ovako:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b Postoji pravilo množenja, povezuje ih sa određenim racionalnim brojem c. Poziva se broj c rad brojevi a I b i označiti (a⋅b), a proces pronalaženja ovog broja se zove množenje.

Pravilo množenja izgleda ovako: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivnost odnosa poretka. Za bilo koja tri racionalna broja a, b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutativnost sabiranja. Promena mesta racionalnih članova ne menja zbir.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asocijativnost sabiranja. Redoslijed kojim se zbrajaju 3 racionalna broja ne utječe na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0, on čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, a kada se zbroje, rezultat je 0.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe 3 racionalna broja nema utjecaja na rezultat.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1, on čuva svaki drugi racionalni broj u procesu množenja.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj osim nule ima inverzni racionalni broj, množenjem s kojim dobijamo 1 .

∀ a∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja povezana je sa sabiranjem pomoću distributivnog zakona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Odnos između relacije naloga i operacije sabiranja. Isti racionalni broj se dodaje lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Odnos između relacije reda i operacije množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti istim nenegativnim racionalnim brojem.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, lako je uzeti toliko jedinica da će njihov zbir biti veći a.

U ovoj lekciji ćemo naučiti o mnogim racionalnim brojevima. Hajde da analiziramo osnovna svojstva racionalnih brojeva, naučimo kako pretvoriti decimalne razlomke u obične i obrnuto.

Već smo govorili o skupovima prirodnih i cijelih brojeva. Skup prirodnih brojeva je podskup cijelih brojeva.

Sada smo naučili šta su razlomci i naučili kako raditi s njima. Razlomak, na primjer, nije cijeli broj. To znači da trebamo opisati novi skup brojeva koji će uključivati sve razlomke, a ovom skupu je potrebno ime, jasna definicija i oznaka.

Počnimo s imenom. Latinska riječ ratio se na ruski prevodi kao omjer, razlomak. Naziv novog skupa “racionalni brojevi” dolazi od ove riječi. To jest, "racionalni brojevi" se mogu prevesti kao "razlomci".

Hajde da shvatimo od kojih se brojeva ovaj skup sastoji. Možemo pretpostaviti da se sastoji od svih razlomaka. Na primjer, takav - . Ali takva definicija ne bi bila sasvim tačna. Razlomak nije sam broj, već oblik pisanja broja. U primjeru ispod, dva različite frakcije predstavljaju isti broj:

Tada bi bilo tačnije reći da su racionalni brojevi oni brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak. A ovo je, zapravo, gotovo ista definicija koja se koristi u matematici.

Ovaj set je označen slovom . Kako su skupovi prirodnih i cijelih brojeva povezani s novim skupom racionalnih brojeva? Prirodni broj se može napisati kao razlomak na beskonačan broj načina. A pošto se može predstaviti kao razlomak, onda je i racionalan.

Slična je situacija i sa negativnim cijelim brojevima. Bilo koja cjelina negativan broj može se predstaviti kao razlomak . Da li je moguće broj nula predstaviti kao razlomak? Naravno da možete, takođe na beskonačan broj načina .

Dakle, svi prirodni brojevi i svi celi brojevi su takođe racionalni brojevi. Skupovi prirodnih brojeva i cijelih brojeva su podskupovi skupa racionalnih brojeva ().

Zatvorenost skupova u odnosu na aritmetičke operacije

Potreba za uvođenjem novih brojeva - cijelih, zatim racionalnih - može se objasniti ne samo problemima iz stvarnog života. To nam govore same aritmetičke operacije. Dodajmo dva prirodna broja: . Ponovo dobijamo prirodan broj.

Kažu da je skup prirodnih brojeva zatvoren pod operacijom sabiranja (zatvoren pod sabiranjem). Razmislite sami da li je skup prirodnih brojeva zatvoren množenjem.

Čim pokušamo da oduzmemo nešto jednako ili veće od broja, ostaje nam manjak prirodnih brojeva. Uvođenje nula i negativnih cijelih brojeva ispravlja situaciju:

Skup cijelih brojeva je zatvoren pod oduzimanjem. Možemo sabirati i oduzimati bilo koji cijeli broj bez straha da nećemo imati broj s kojim bismo zapisali rezultat (zatvoreno sa sabiranjem i oduzimanjem).

Je li skup cijelih brojeva zatvoren pod množenjem? Da, proizvod bilo koja dva cijela broja rezultira cijelim brojem (zatvoren pod sabiranjem, oduzimanjem i množenjem).

Ostala je još jedna akcija - podjela. Je li skup cijelih brojeva zatvoren pod dijeljenjem? Odgovor je očigledan: ne. Hajde da podelimo. Među cijelim brojevima ne postoji takav broj da se zapiše odgovor: .

Ali uz pomoć frakcijski broj gotovo uvijek možemo zapisati rezultat dijeljenja jednog cijelog broja drugim. Zašto skoro? Podsjetimo da, po definiciji, ne možete dijeliti sa nulom.

Dakle, skup racionalnih brojeva (koji nastaje kada se uvedu razlomci) tvrdi da je skup zatvoren prema sve četiri aritmetičke operacije.

Hajde da to proverimo.

Odnosno, skup racionalnih brojeva je zatvoren sabiranjem, oduzimanjem, množenjem i deljenjem, isključujući deljenje nulom. U tom smislu, možemo reći da je skup racionalnih brojeva strukturiran „bolje“ od prethodnih skupova prirodnih i cijelih brojeva. Znači li to da su racionalni brojevi posljednji skup brojeva koji proučavamo? br. Nakon toga, imat ćemo druge brojeve koji se ne mogu napisati kao razlomci, na primjer, iracionalni.

Brojevi kao alat

Brojevi su alat koji je čovjek stvorio po potrebi.

Rice. 1. Korištenje prirodnih brojeva

Kasnije, kada je bilo potrebno izvršiti novčane obračune, počeli su ispred broja stavljati znake plus ili minus koji su označavali da li prvobitnu vrijednost treba povećati ili smanjiti. Tako su se pojavili negativni i pozitivni brojevi. Novi skup je nazvan skup cijelih brojeva ().

Rice. 2. Korištenje razlomaka

Stoga se čini novi alat, novi brojevi su razlomci. Zapisujemo ih na različite ekvivalentne načine: obične i decimalne razlomke ( ).

Svi brojevi - "stari" (cijeli) i "novi" (razlomak) - spojeni su u jedan skup i nazvali ga skup racionalnih brojeva ( - racionalni brojevi)

Dakle, racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao običan razlomak. Ali ova definicija u matematici je dodatno pojašnjena. Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak s pozitivnim nazivnikom, odnosno omjerom cijelog broja i prirodnog broja: .

Tada dobijamo definiciju: broj se naziva racionalnim ako se može predstaviti kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom ( ).

Osim obične frakcije, koristimo i decimale. Pogledajmo kako se oni odnose na skup racionalnih brojeva.

Postoje tri vrste decimala: konačne, periodične i neperiodične.

Beskonačni neperiodični razlomci: takvi razlomci također imaju beskonačan broj decimalnih mjesta, ali nema tačke. Primjer je decimalni zapis PI:

Svaki konačni decimalni razlomak po definiciji je običan razlomak sa nazivnikom itd.

Pročitajmo decimalni razlomak naglas i zapišimo ga u običnom obliku: , .

Kada se vratite sa pisanja kao razlomka na decimalu, možete dobiti konačne decimalne razlomke ili beskonačne periodične razlomke.

Pretvaranje iz razlomka u decimalu

Najjednostavniji slučaj je kada je nazivnik razlomka stepen deset: itd. Zatim koristimo definiciju decimalnog razlomka:

Postoje razlomci čiji se imenilac lako može svesti na ovaj oblik: . Moguće je ići na takav zapis ako proširenje nazivnika uključuje samo dvojke i petice.

Imenilac se sastoji od tri dvojke i jedne petice. Svaki od njih formira desetku. To znači da nam nedostaju dva. Pomnožite i brojiocem i imeniocem:

Moglo je i drugačije. Podijelite kolonom (vidi sliku 1).

Rice. 2. Podjela kolone

U slučaju sa, nazivnik se ne može pretvoriti u ili u drugi cifren broj, jer njegovo proširenje uključuje trojku. Ostaje samo jedan način - podijeliti u kolonu (vidi sliku 2).

Takva podjela na svakom koraku će dati ostatak i količnik. Ovaj proces je beskonačan. To jest, dobili smo beskonačan periodični razlomak sa periodom

Hajde da vežbamo. Pretvorimo obične razlomke u decimale.

U svim ovim primjerima završili smo s konačnim decimalnim razlomkom jer je proširenje nazivnika uključivalo samo dvojke i petice.

(provjerimo se podjelom u tabelu – vidi sliku 3).

Rice. 3. Duga podjela

Rice. 4. Podjela kolona

(vidi sliku 4)

Proširenje nazivnika uključuje trojku, što znači dovođenje nazivnika u oblik, itd. neće raditi. Podijelite u kolonu. Situacija će se ponoviti. U zapisu rezultata će biti beskonačan broj trojki. Dakle, .

(vidi sliku 5)

Rice. 5. Podjela kolone

Dakle, svaki racionalni broj se može predstaviti kao običan razlomak. Ovo je njegova definicija.

I bilo koji obični razlomak može se predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak.

Vrste snimanja razlomaka:

zapisivanje decimalnog razlomka u obliku običnog razlomka: ; ;

pisanje običnog razlomka kao decimalnog: (konačni razlomak); (beskonačno periodično).

To jest, svaki racionalni broj se može napisati kao konačni ili periodični decimalni razlomak. U ovom slučaju, konačni razlomak se također može smatrati periodičnim s periodom od nule.

Ponekad se racionalnom broju daje upravo ovakva definicija: racionalni broj je broj koji se može napisati kao periodični decimalni razlomak.

Periodična konverzija razlomaka

Razmotrimo prvo razlomak čiji se period sastoji od jedne cifre i nema pred-period. Označimo ovaj broj slovom . Metoda je da dobijete drugi broj sa istim periodom:

To se može učiniti množenjem originalnog broja sa . Dakle, broj ima isti period. Oduzmite od samog broja:

Da bismo bili sigurni da smo sve uradili ispravno, napravimo prijelaz na poleđina, na nama već poznat način - dijeljenjem u kolonu po (vidi sliku 1).

U stvari, dobijamo broj u originalnom obliku sa tačkom.

Razmotrimo broj s pred-periodom i dužim periodom: . Metoda ostaje potpuno ista kao u prethodnom primjeru. Moramo dobiti novi broj sa istim periodom i pre-periodom iste dužine. Da biste to učinili, potrebno je da se zarez pomjeri udesno za dužinu tačke, tj. po dva karaktera. Pomnožite originalni broj sa:

Oduzmimo originalni izraz od rezultirajućeg izraza:

Dakle, koji je algoritam prevođenja? Periodični razlomak se mora pomnožiti brojem oblika, itd., koji ima onoliko nula koliko ima cifara u periodu decimalnog razlomka. Dobijamo novi periodični. na primjer:

Oduzimanjem drugog od jednog periodičnog razlomka, dobijamo konačni decimalni razlomak:

Ostaje da se originalni periodični razlomak izrazi u obliku običnog razlomka.

Da biste vježbali, sami zapišite nekoliko periodičnih razlomaka. Koristeći ovaj algoritam, svesti ih na oblik običnog razlomka. Da biste provjerili na kalkulatoru, podijelite brojilac sa nazivnikom. Ako je sve ispravno, onda ćete dobiti originalni periodični razlomak

Dakle, bilo koji konačni ili beskonačan periodični razlomak možemo napisati kao običan razlomak, kao omjer prirodnog broja i cijelog broja. One. svi takvi razlomci su racionalni brojevi.

Šta je sa neperiodnim razlomcima? Ispada da se neperiodični razlomci ne mogu predstaviti kao obični razlomci (tu činjenicu ćemo prihvatiti bez dokaza). To znači da nisu racionalni brojevi. Nazivaju se iracionalnim.

Beskonačni neperiodični razlomci

Kao što smo već rekli, racionalan broj u decimalni zapis- ovo je ili konačni ili periodični razlomak. To znači da ako možemo konstruirati beskonačan neperiodični razlomak, onda ćemo dobiti neracionalan, odnosno iracionalan broj.

Evo jednog načina da se ovo konstruiše: Razlomak ovog broja sastoji se samo od nula i jedinica. Broj nula između jedinica povećava se za . Ovdje je nemoguće istaknuti dio koji se ponavlja. To jest, razlomak nije periodičan.

Vježbajte samostalno konstruirati neperiodične decimalne razlomke, odnosno iracionalne brojeve

Poznat primjer iracionalnog broja je pi ( ). U ovom unosu nema tačke. Ali osim pi, postoji beskonačno mnogo drugih iracionalnih brojeva. Kasnije ćemo više govoriti o iracionalnim brojevima.

Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31. izdanje, izbrisano. - M: Mnemosyne, 2013.
Matematika 5. razred. Erina T.M. Radna sveska na udžbenik Vilenkin N.Ya., M.: Ispit, 2013.
Matematika 5. razred. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013.

Math-prosto.ru ().
Cleverstudents.ru ().
Mathematics-repetition.com ().

Domaći

Racionalni brojevi

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje vam omogućava da jedinstveno identifikujete jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativno, onda a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka Operacija sabiranja. a I b Za sve racionalne brojeve pravilo sumiranja c postoji tzv c. Štaviše, sam broj pozvao brojevi a I b iznos i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje .
. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: Operacija sabiranja. a I b Za sve racionalne brojeve pravilo množenja Operacija množenja. c postoji tzv c. Štaviše, sam broj rad brojevi a I b, što im dodeljuje neki racionalni broj i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje .
Tranzitivnost odnosa poretka.. Pravilo množenja izgleda ovako: a , b I c Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a Ako b I b Ako c manje a Ako c, To a, i ako b I b, i ako c manje a, i ako c jednaki
. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Operacija množenja je koordinirana sa operacijom sabiranja kroz zakon raspodjele:
Povezanost relacije narudžbe sa operacijom sabiranja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arhimedov aksiom. a Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> Dodatne nekretnine Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Takve

dodatna svojstva

toliko. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. j i th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova pravila se pretražuju od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodnim brojem. Odnosno, razlomak 1/1 je dodijeljen broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerirani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežnija od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se izmjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Bilješke

Književnost

I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školsku decu. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: pogl. ed. fizike i matematike lit. ed. "Nauka", 1977
I. L. Hmeljnicki. Uvod u teoriju algebarskih sistema

Linkovi

Wikimedia Foundation.

2010. Stariji školarci i studenti matematičke specijalnosti

, vjerovatno će s lakoćom odgovoriti na ovo pitanje. Ali onima koji su po struci daleko od ovoga, biće teže. Šta je to zapravo?

Racionalni brojevi su oni koji se mogu predstaviti kao obični razlomak. Pozitivni, negativni i nula su također uključeni u ovaj skup. Brojač razlomka mora biti cijeli broj, a nazivnik mora biti

Ovaj skup u matematici se označava kao Q i naziva se "polje racionalnih brojeva". Uključuje sve cijele i prirodne brojeve, označene kao Z i N. Sam skup Q je uključen u skup R. To je slovo koje označava tzv. realni ili

Performanse

Kao što je već spomenuto, racionalni brojevi su skup koji uključuje sve cjelobrojne i razlomke. Mogu se predstaviti u različite forme. Prvo, u obliku običnog razlomka: 5/7, 1/5, 11/15, itd. Naravno, i cijeli brojevi se mogu napisati u sličnom obliku: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, itd. Drugo, drugi tip predstavljanja je decimalni razlomak sa završnim razlomkom: 0,01, -15,001006, itd. Ovo je možda jedan od najčešćih oblika.

Ali postoji i treći - periodični razlomak. Ova vrsta nije vrlo česta, ali se još uvijek koristi. Na primjer, razlomak 10/3 može se napisati kao 3,33333... ili 3,(3). U ovom slučaju, različite reprezentacije će se smatrati sličnim brojevima. Razlomci koji su međusobno jednaki također će se zvati istim, na primjer 3/5 i 6/10. Čini se da je postalo jasno šta su racionalni brojevi. Ali zašto se ovaj termin koristi za njih?

Porijeklo imena

Riječ "racionalno" u modernom ruskom općenito ima malo drugačije značenje. To je više kao "razumno", "promišljeno". Ali matematički termini su blizu doslovno Ovo na latinskom, "razmjer" je "omjer", "razlomak" ili "podjela". Dakle, naziv obuhvata suštinu onoga što su racionalni brojevi. Međutim, drugo značenje

nije daleko od istine.

Akcije sa njima

Prilikom odlučivanja matematički problemi Stalno nailazimo na racionalne brojeve, a da to i sami ne znamo. I oni su blizu zanimljiva svojstva. Svi oni proizlaze ili iz definicije skupa ili iz radnji.

Prvo, racionalni brojevi imaju svojstvo odnosa reda. To znači da između dva broja može postojati samo jedan odnos - ili su jednaki jedan drugom, ili je jedan veći ili manji od drugog. to je:

ili a = b ; ili a > b, ili a< b.

Osim toga, iz ovog svojstva proizlazi i tranzitivnost relacije. Odnosno, ako a više b, b više c, To a više c. Matematičkim jezikom to izgleda ovako:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Drugo, tu su aritmetičke operacije s racionalnim brojevima, odnosno sabiranje, oduzimanje, dijeljenje i, naravno, množenje. Istovremeno, u procesu transformacije, može se identifikovati i niz svojstava.

a + b = b + a (promena mesta termina, komutativnost);
0 + a = a + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);
a + (-a) = 0;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (distributivnost);
a x 1 = 1 x a = a;
a x (1 / a) = 1 (u ovom slučaju a nije jednako 0);
(a + b)c = ac + ab;
(a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Kada je riječ o običnim brojevima, a ne cijelim, rad s njima može uzrokovati određene poteškoće. Dakle, sabiranje i oduzimanje su mogući samo ako su nazivnici jednaki. Ako su u početku različiti, trebali biste pronaći zajednički tako što ćete cijeli razlomak pomnožiti određenim brojevima. Poređenje je takođe najčešće moguće samo ako je ovaj uslov ispunjen.

Dijeljenje i množenje običnih razlomaka vrši se u skladu sa dovoljnim jednostavna pravila. Svođenje na zajednički imenilac nije potrebno. Brojioci i imenioci se množe odvojeno, a u procesu izvođenja radnje, ako je moguće, razlomak treba što više smanjiti i pojednostaviti.

Što se tiče podjele, ova radnja je slična prvoj sa malom razlikom. Za drugi razlomak treba pronaći inverz, tj

"okreni" ga. Dakle, brojilac prvog razlomka treba da se pomnoži sa nazivnikom drugog i obrnuto.

Konačno, još jedno svojstvo svojstveno racionalnim brojevima naziva se Arhimedov aksiom. Često se u literaturi nalazi i naziv „princip“. Vrijedi za cijeli skup realnih brojeva, ali ne svugdje. Stoga se ovaj princip ne primjenjuje na neke populacije. racionalne funkcije. U suštini, ovaj aksiom znači da s obzirom na postojanje dvije veličine a i b, uvijek možete uzeti dovoljno a da premaši b.

Područje primjene

Dakle, za one koji su naučili ili zapamtili šta su racionalni brojevi, postaje jasno da se koriste svuda: u računovodstvu, ekonomiji, statistici, fizici, hemiji i drugim naukama. Naravno, i njima je mjesto u matematici. Ne znajući uvijek da imamo posla s njima, stalno koristimo racionalne brojeve. Čak i mala djeca, koja uče da broje predmete, režu jabuku na komade ili izvode druge jednostavne radnje, nailaze na njih. Bukvalno nas okružuju. Pa ipak, oni nisu dovoljni da se riješe neki problemi posebno, koristeći Pitagorinu teoremu kao primjer, može se razumjeti potreba za uvođenjem koncepta