Vektori i j k imaju koordinate. Vektorski proizvod vektora

Definicija Uređena kolekcija (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih brojeva naziva se n-dimenzionalni vektor, i brojevi x i (i = ) - komponente, ili koordinate,

Primjer. Ako, na primjer, neki automobilska fabrika mora proizvesti po smeni 50 automobila, 100 kamiona, 10 autobusa, 50 kompleta rezervnih delova za automobile i 150 kompleta za kamione i autobuse, zatim proizvodni program ova biljka se može napisati kao vektor (50, 100, 10, 50, 150) koji ima pet komponenti.

Notacija. Vektori su označeni podebljanim malim slovima ili slovima sa trakom ili strelicom na vrhu, npr. a ili. Dva vektora se nazivaju jednaka, ako imaju isti broj komponenti i njihove odgovarajuće komponente su jednake.

Vektorske komponente se ne mogu zamijeniti, na primjer, (3, 2, 5, 0, 1) i (2, 3, 5, 0, 1) različiti vektori.
Operacije na vektorima. Posao x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) realnim brojemλ zove se vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Iznosx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) i y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) naziva se vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektorski prostor. N -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kao skup svih n-dimenzionalnih vektora za koje su definirane operacije množenja realnim brojevima i sabiranja.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnog vektorskog prostora: prostor robe (robe). Ispod robe razumećemo neku robu ili uslugu koja se prodaje u određeno vreme na određenom mestu. Pretpostavimo da postoji konačan broj n dostupnih dobara; količine svakog od njih koje potrošač kupuje karakteriše skup robe

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

gdje x i označava količinu i-te robe koju je kupio potrošač. Pretpostavit ćemo da sva dobra imaju svojstvo proizvoljne djeljivosti, tako da se može kupiti bilo koja nenegativna količina svakog od njih. Tada su svi mogući skupovi dobara vektori prostora roba C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna nezavisnost. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimenzionalni vektori se nazivaju linearno zavisna, ako postoje takvi brojeviλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od kojih je barem jedan različit od nule, tako da je jednakostλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; inače ovaj sistem vektori se zove linearno nezavisna, odnosno naznačena jednakost je moguća samo u slučaju kada su svi . Geometrijsko značenje linearne zavisnosti vektora u R 3, interpretirani kao usmjereni segmenti, objašnjavaju sljedeće teoreme.

Teorema 1. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno zavisan ako i samo ako je ovaj vektor nula.

Teorema 2. Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu kolinearni (paralelni).

Teorema 3 . Da bi tri vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni (leže u istoj ravni).

Lijeve i desne trojke vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c pozvao u pravu, ako posmatrač iz njihovog zajedničkog porekla zaobiđe krajeve vektora a, b, c u datom redosledu se pojavljuje u smeru kazaljke na satu. Inače a, b, c -lijevo tri. Pozivaju se sve desne (ili lijeve) trojke vektora isto orijentisan.

Osnova i koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarna vektora u R 3 se zove osnovu, i sami vektori e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Bilo koji vektor a mogu se jedinstveno proširiti u bazne vektore, odnosno predstaviti u obliku

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

pozivaju se brojevi x 1 , x 2 , x 3 u ekspanziji (1.1). koordinatea u osnovi e 1, e 2 , e 3 i označeni su a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormalna osnova. Ako vektori e 1, e 2 , e 3 su u paru okomite i dužina svakog od njih jednaka je jedan, tada se naziva baza ortonormalno, a koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravougaona. Bazni vektori ortonormalne baze će biti označeni sa i, j, k.

Pretpostavićemo to u svemiru R 3 je odabran pravi sistem kartezijanskih pravokutnih koordinata (0, i, j, k}.

Vector artwork. Vector artwork A na vektor b zove se vektor c, što je određeno sljedeća tri uslova:

1. Dužina vektora c brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima a I b, tj.
c= |a||b| grijeh ( a^b).

2. Vektor c okomito na svaki od vektora a I b.

3. Vektori a, b I c, uzeti navedenim redoslijedom, formiraju desnu trojku.

Za unakrsni proizvod c uvodi se oznaka c =[ab] ili
c = a × b.

Ako vektori a I b su kolinearni, onda sin( a^b) = 0 i [ ab] = 0, posebno [ aa] = 0. Vektorski produkti jediničnih vektora: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ako vektori a I b navedeno u osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), onda

Mješoviti posao. Ako je vektorski proizvod dva vektora A I b skalarno pomnoženo trećim vektorom c, onda se takav proizvod tri vektora naziva mješoviti rad i označen je simbolom a b c.

Ako vektori a, b I c u osnovi i, j, k date njihovim koordinatama
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), onda

.

Mješoviti proizvod ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju - to je skalar, jednak po apsolutnoj vrijednosti volumenu paralelepipeda izgrađenog na tri data vektora.

Ako vektori formiraju desnu trojku, tada je njihov mješoviti proizvod pozitivan broj jednak naznačenom volumenu; ako je trojka a, b, c - lijevo, onda a b c<0 и V = - a b c, dakle V =|a b c|.

Pretpostavlja se da su koordinate vektora na koje se susrećemo u problemima iz prvog poglavlja date u odnosu na desnu ortonormalnu osnovu. Jedinični vektor kosmjeran s vektorom A, označeno simbolom A O. Simbol r=OM označen radijus vektorom tačke M, simbolima a, AB ili|a|, | AB|moduli vektora su označeni A I AB.

Primjer 1.2. Pronađite ugao između vektora a= 2m+4n I b= m-n, Gdje m I n- jedinični vektori i ugao između m I n jednako 120 o.

Rješenje. Imamo: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, što znači a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, što znači b = . Konačno imamo: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Primjer 1.3.Poznavanje vektora AB(-3,-2.6) i B.C.(-2,4,4),izračunaj dužinu visine AD trougla ABC.

Rješenje. Označavajući površinu trokuta ABC sa S, dobijamo:
S = 1/2 pne. Onda AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, što znači vektor A.C. ima koordinate
. .

Primjer 1.4 . Data su dva vektora a(11,10,2) i b(4,0,3). Pronađite jedinični vektor c, ortogonalno na vektore a I b i usmjeren tako da uređena trojka vektora a, b, c bio u pravu.

Rješenje.Označimo koordinate vektora c s obzirom na datu desnu ortonormalnu bazu u terminima x, y, z.

Pošto c ⊥ a, c ⊥b, To ca= 0,cb= 0. Prema uslovima zadatka, potrebno je da je c = 1 i a b c >0.

Imamo sistem jednačina za nalaženje x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iz prve i druge jednačine sistema dobijamo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Zamjenom y i z u treću jednačinu imamo: x 2 = 36/125, odakle
x =± . Koristeći uslov a b c > 0, dobijamo nejednakost

Uzimajući u obzir izraze za z i y, rezultujuću nejednakost prepisujemo u obliku: 625/6 x > 0, što implicira da je x>0. Dakle, x = , y = - , z =- .

Definicija. Vektorski proizvod vektora a (množenik) i nekolinearnog vektora (množenik) je treći vektor c (proizvod), koji je konstruisan na sledeći način:

1) njegov modul je numerički jednaka površini paralelogram na sl. 155), izgrađen na vektorima, odnosno jednak je pravcu okomitom na ravan navedenog paralelograma;

3) u ovom slučaju se bira pravac vektora c (od dva moguća) tako da vektori c formiraju desnoruki sistem (§ 110).

Oznaka: ili

Dodatak definiciji. Ako su vektori kolinearni, smatrajući figuru (uslovno) paralelogramom, prirodno je dodijeliti nultu površinu. Stoga se vektorski proizvod kolinearnih vektora smatra jednakim nultom vektoru.

Pošto se nultom vektoru može dodijeliti bilo koji smjer, ovaj sporazum nije u suprotnosti sa paragrafima 2 i 3 definicije.

Napomena 1. U terminu “vektorski proizvod” prva riječ označava da je rezultat akcije vektor (za razliku od skalarnog proizvoda; up. § 104, napomena 1).

Primjer 1. Pronađite vektorski proizvod gdje su glavni vektori desnog koordinatnog sistema (Sl. 156).

1. Pošto su dužine glavnih vektora jednake jednoj skali, površina paralelograma (kvadrata) je brojčano jednaka jedan. To znači da je modul vektorskog proizvoda jednak jedan.

2. Pošto je okomita na ravan os, željeni vektorski proizvod je vektor kolinearan vektoru k; a pošto oba imaju modul 1, željeni vektorski proizvod je jednak ili k ili -k.

3. Od ova dva moguća vektora, mora se izabrati prvi, pošto vektori k čine desnoruki sistem (a vektori levoruki).

Primjer 2. Pronađite unakrsni proizvod

Rješenje. Kao u primjeru 1, zaključujemo da je vektor jednak ili k ili -k. Ali sada treba da izaberemo -k, pošto vektori formiraju desnoruki sistem (a vektori formiraju levoruki sistem). dakle,

Primjer 3. Vektori imaju dužine jednake 80 i 50 cm, respektivno, i formiraju ugao od 30°. Uzimajući metar kao jedinicu dužine, pronađite dužinu vektorskog proizvoda a

Rješenje. Površina paralelograma izgrađenog na vektorima je jednaka Dužina željenog vektorskog proizvoda jednaka je

Primjer 4. Odrediti dužinu vektorskog proizvoda istih vektora, uzimajući centimetre kao jedinicu dužine.

Rješenje. Pošto je površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka, dužina vektorskog proizvoda je jednaka 2000 cm, tj.

Iz poređenja primjera 3 i 4 jasno je da dužina vektora ne zavisi samo od dužina faktora već i od izbora jedinice dužine.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda. Od mnogih fizičke veličine, predstavljen vektorskim proizvodom, razmatramo samo moment sile.

Neka je A tačka primene sile u odnosu na tačku O, jer je modul ovog vektorskog proizvoda brojčano jednak površini paralelograma (slika 157). Modul momenta jednak je umnošku osnove i visine, tj. sili pomnoženoj sa rastojanjem od tačke O do prave linije duž koje sila deluje.

U mehanici je dokazano da za ravnotežu solidan Neophodno je da ne samo zbir vektora koji predstavljaju sile primijenjene na tijelo bude jednak nuli, već i zbir momenata sila. U slučaju kada su sve sile paralelne jednoj ravni, sabiranje vektora koji predstavljaju momente može se zamijeniti sabiranjem i oduzimanjem njihovih veličina. Ali sa proizvoljnim smjerovima sila, takva zamjena je nemoguća. U skladu s tim, vektorski proizvod je definiran upravo kao vektor, a ne kao broj.

Jedinični vektor- Ovo vektor, čija je apsolutna vrijednost (modulus) jednaka jedinici. Da bismo označili jedinični vektor, koristićemo indeks e. Dakle, ako je dat vektor A, tada će njegov jedinični vektor biti vektor A e. Ovaj jedinični vektor je usmjeren u istom smjeru kao i sam vektor A, a njegov modul je jednak jedinici, odnosno a e = 1.

Očigledno, A= a A e (a - vektorski modul A). Ovo proizilazi iz pravila po kojem se izvodi operacija množenja skalara vektorom.

Jedinični vektoričesto se povezuje sa koordinatnim osama koordinatnog sistema (posebno sa osovinama kartezijanskog koordinatnog sistema). Smjerovi ovih vektori poklapaju se sa pravcima odgovarajućih osa, a njihova početka se često kombinuju sa ishodištem koordinatnog sistema.

Dozvolite mi da vas podsjetim na to Dekartov koordinatni sistem u prostoru, tradicionalno se naziva trio međusobno okomitih osa koje se sijeku u tački koja se naziva ishodište koordinata. Koordinatne ose se obično označavaju slovima X, Y, Z i nazivaju se osa apscisa, ordinatna osa i aplikatna osa, respektivno. Sam Descartes je koristio samo jednu osu na kojoj su ucrtane apscise. Zasluge upotrebe sistemima sjekire pripadaju njegovim učenicima. Stoga fraza kartezijanski sistem koordinate istorijski pogrešno. Bolje je razgovarati pravougaona koordinatni sistem ili ortogonalni koordinatni sistem. Međutim, nećemo mijenjati tradicije i u budućnosti ćemo pretpostaviti da su kartezijanski i pravougaoni (ortogonalni) koordinatni sistemi jedno te isto.

Jedinični vektor, usmjeren duž ose X, označava se i, jedinični vektor, usmjeren duž ose Y, označava se j, A jedinični vektor, usmjeren duž ose Z, označen je k. Vektori i, j, k su pozvani orts(Sl. 12, lijevo), imaju pojedinačne module, tj
i = 1, j = 1, k = 1.

Axes and jedinični vektori pravougaoni koordinatni sistem u nekim slučajevima imaju različite nazive i oznake. Dakle, os apscise X može se nazvati tangentnom osom, a njen jedinični vektor je označen τ (grčko malo slovo tau), ordinatna os je normalna os, njen jedinični vektor je označen n, aplikativna osa je binormalna osa, njen jedinični vektor je označen b. Zašto mijenjati imena ako je suština ista?

Činjenica je da se, na primjer, u mehanici, kada se proučava kretanje tijela, vrlo često koristi pravokutni koordinatni sistem. Dakle, ako je sam koordinatni sistem stacionaran, a promjena koordinata pokretnog objekta se prati u ovom stacionarnom sistemu, tada se obično osi označavaju X, Y, Z, a njihove jedinični vektori respektivno i, j, k.

Ali često, kada se objekt kreće duž neke vrste krivolinijskog puta (na primjer, u krugu), prikladnije je razmotriti mehaničke procese u koordinatnom sistemu koji se kreće s ovim objektom. Za takav pokretni koordinatni sistem se koriste drugi nazivi osa i njihovih jediničnih vektora. To je jednostavno tako kako je. U ovom slučaju, X os je usmjerena tangencijalno na putanju u tački u kojoj trenutno ovaj objekat se nalazi. I tada se ova os više ne zove X osa, već tangentna os, a njen jedinični vektor se više ne označava i, A τ . Y os je usmjerena duž radijusa zakrivljenosti putanje (u slučaju kretanja u krugu - do centra kruga). A budući da je polumjer okomit na tangentu, os se naziva normalna osa (okomica i normala su ista stvar). Jedinični vektor ove ose se više ne označava j, A n. Treća osa (ranije Z) je okomita na prethodne dvije. Ovo je binormalno sa ortom b(Sl. 12, desno). Inače, u ovom slučaju takva pravougaoni koordinatni sistemčesto nazivaju "prirodnim" ili prirodnim.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored toga skalarni proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska zavisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije u redu. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog tačkasti proizvod, čak tipične zadatke biće manje. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je NE PRAVITI GREŠKE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama. Pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze praktičan rad

Šta će vas odmah usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni proizvod, uključuje dva vektora. Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno sa kako slijedi: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da vektorski proizvod vektora označavam na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe u čemu je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, odatle potiče i naziv operacije. U raznim edukativna literatura oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Hajde da raščlanimo definiciju, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće važne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" sa "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobićemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Napomena : crtež je shematski i, naravno, nazivna dužina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se formula radi o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva dijela jednak trougao. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Ne manje važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (strijela maline) je također ortogonan prema originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti šta je prostorna orijentacija. Objasniću na prstima desna ruka . Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domali prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat thumb – vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? „Dodeli“ istim prstima leva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti smješten u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda u općenitom slučaju to neće biti moguće kombinovati sa "originalom". Usput, držite tri prsta uz ogledalo i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro to što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razmotrena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu pravu liniju i naš paralelogram se također „dodaje“ u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je jednak nuli. Isto proizlazi iz formule - sinus od nule ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda . Strogo govoreći, sam vektorski proizvod je jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i pišu da je jednostavno jednak nuli.

Poseban slučaj– vektorski proizvod vektora sa samim sobom:

Koristeći vektorski proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, morate pronaći dužina vektor (unakrsni proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Ako su vas pitali o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, morate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Imajte na umu da odgovor uopće ne govori o vektorskom proizvodu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA treba da nađemo prema uslovu i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dosta literalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta zafrkancija – ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili da nije razumjela suštinu zadatka. Ovu tačku uvijek treba držati pod kontrolom prilikom rješavanja bilo kojeg zadatka iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo “en”? U principu je moglo biti dodatno priloženo rješenju, ali da bih skratio unos nisam to uradio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je zaista vrlo čest, trouglovi vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u u praktičnom smislu. Neka bude.

2) – o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) – asocijativni ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) – distribucija ili distributivni zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Da bismo demonstrirali, pogledajmo kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Uvjet opet zahtijeva pronalaženje dužine vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu uzimamo izvan modula, a modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da dodate još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Kvaka je u tome što su vektori “tse” i “de” sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izrazimo vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, korak 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja su mogle biti napisane u jednom redu.

Odgovori:

Problem koji se razmatra je prilično čest u testovi, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, a zatim koordinate “double-ve” vektora. Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti redove:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Rješenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava ovu lekciju: ako su vektori kolinearni, onda je njihov vektorski proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će zavisiti od definicije, geometrijsko značenje i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Tako su se postrojili kao voz i jedva čekaju da budu identifikovani.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zvao zapremina paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “–” ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno preuređivanje vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne nastaje bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, napominjem očigledna činjenica: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji, ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat proračuna slovom “pe”.

Po definiciji mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Napomena : Crtež je šematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima.