Izračunavanje ranga matrice po definiciji. Rang matrice i matrični bazni minor

Neka je A matrica veličina m\puta n i k je prirodni broj, ne prelazi m i n: k\leqslant\min\(m;n\). Manji k-ti red matrica A je determinanta matrice k-tog reda koju čine elementi na presjeku proizvoljno odabranih k redova i k stupaca matrice A. Prilikom označavanja minora označit ćemo brojeve odabranih redova kao gornje indekse, a brojeve odabranih stupaca kao niže indekse, slažući ih u rastućem redoslijedu.

Primjer 3.4. Napišite minore različitog reda matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Rješenje. Matrica A ima dimenzije 3\x4. Ima: 12 maloljetnika 1. reda, na primjer, maloljetnika M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 maloljetnici 2. reda, npr. M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 maloljetnici 3. reda, npr.

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

U matrici A veličine m\puta n, poziva se minor r-tog reda osnovni, ako je različit od nule i svi minori (r+1)-ro reda su jednaki nuli ili uopšte ne postoje.

Matrični rang naziva se red baznog mola. U nultoj matrici nema baznog mola. Prema tome, rang nulte matrice je, po definiciji, jednak nuli. Rang matrice A je označen sa \operatorname(rg)A.

Primjer 3.5. Pronađite sve bazne mole i rang matrice

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Rješenje. Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer ove determinante imaju nula treći red. Dakle, samo minor drugog reda koji se nalazi u prva dva reda matrice može biti osnovni. Prolazeći kroz 6 mogućih minora, biramo različitu od nule

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Svaki od ovih pet maloljetnika je osnovni. Dakle, rang matrice je 2.

Napomene 3.2

1. Ako su u matrici svi minori k-tog reda jednaki nuli, onda su i minori višeg reda jednaki nuli. Zaista, širenjem minora (k+1)-ro reda na bilo koji red, dobijamo zbir proizvoda elemenata ovog reda po minorima k-tog reda, a oni su jednaki nuli.

2. Rang matrice je jednak najvišem redu minora različitog od nule ove matrice.

3. Ako kvadratna matrica nije singularna, tada je njen rang jednak njenom redu. Ako je kvadratna matrica singularna, tada je njen rang manji od njenog reda.

4. Oznake se također koriste za rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Blok matrica rang definira se kao rang regularne (numeričke) matrice, tj. bez obzira na njegovu blok strukturu. U ovom slučaju, rang matrice blokova nije manji od ranga njenih blokova: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A I \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, budući da su svi minori matrice A (ili B ) također i minori blok matrice (A\mid B) .

Teoreme o baznom molu i rangu matrice

Razmotrimo glavne teoreme koje izražavaju svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti kolona (redova) matrice.

Teorema 3.1 o baznom molu. U proizvoljnoj matrici A, svaka kolona (red) je linearna kombinacija kolona (redova) u kojoj se nalazi bazni minor.

Zaista, bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da se u matrici A veličine m\puta n osnovni minor nalazi u prvih r redova i prvih r stupaca. Uzmite u obzir determinantu

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

koji se dobija tako što se baznom minoru matrice A dodeli odgovarajući sth elementi redove i k-tu kolonu. Imajte na umu da za bilo koje 1\leqslant s\leqslant m a ova determinanta je jednaka nuli. Ako je s\leqslant r ili k\leqslant r , tada determinanta D sadrži dva identična reda ili dva identična stupca. Ako je s>r i k>r, onda je determinanta D jednaka nuli, jer je minor (r+l)-ro reda. Proširujući determinantu duž zadnje linije, dobijamo

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

gdje su D_(r+1\,j) algebarski komplementi elemenata posljednjeg reda. Imajte na umu da je D_(r+1\,r+1)\ne0 pošto je ovo bazni mol. Zato

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Gdje \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

one. k-ti stupac (za bilo koju 1\leqslant k\leqslant n) je linearna kombinacija stupaca baznog minora, što smo trebali dokazati.

Osnovna mala teorema služi za dokazivanje sljedećih važnih teorema.

Uslov da determinanta bude nula

Teorema 3.2 (neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude nula). Da bi determinanta bila jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da jedna njena kolona (jedan od njenih redova) bude linearna kombinacija preostalih kolona (redova).

Zaista, nužnost slijedi iz teoreme o baznom manjem. Ako je determinanta kvadratna matrica n-ti red je jednak nuli, tada je njegov rang manji od n, tj. najmanje jedan stupac nije uključen u bazni mol. Tada je ovaj odabrani stupac, prema teoremi 3.1, linearna kombinacija stupaca u kojima se nalazi bazni minor. Dodavanjem, ako je potrebno, ovoj kombinaciji drugih kolona sa nultim koeficijentima, dobijamo da je odabrani stupac linearna kombinacija preostalih stupaca matrice. Dovoljnost proizlazi iz svojstava determinante. Ako je, na primjer, posljednji stupac A_n determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linearno izraženo kroz ostalo

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

zatim dodavanje u A_n kolonu A_1 pomnoženo sa (-\lambda_1), zatim kolonu A_2 pomnoženo sa (-\lambda_2), itd. stupac A_(n-1) pomnožen sa (-\lambda_(n-1)) dobijamo determinantu \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) sa nultom kolonom koja je jednaka nuli (svojstvo 2 determinante).

Invarijantnost ranga matrice prema elementarnim transformacijama

Teorema 3.3 (o invarijantnosti ranga prema elementarnim transformacijama). Prilikom elementarnih transformacija stupaca (redova) matrice, njen rang se ne mijenja.

Zaista, neka bude. Pretpostavimo da smo kao rezultat jedne elementarne transformacije stupaca matrice A dobili matricu A". Ako je izvršena transformacija tipa I (permutacija dva stupca), onda bilo koji manji (r+l)-ro reda matrice A" ili je jednak odgovarajućem minoru (r+l )-ro reda matrice A, ili se od njega razlikuje po predznaku (svojstvo 3 determinante). Ako je izvršena transformacija tipa II (množenjem stupca brojem \lambda\ne0 ), tada je bilo koji minor (r+l)-ro reda matrice A" ili jednak odgovarajućem minoru (r+l) -ro reda matrice A ili različit od nje faktor \lambda\ne0 (svojstvo 6 determinante ako je izvršena transformacija tipa III (dodavanje u jedan stupac drugog stupca pomnoženog brojem \Lambda), onda bilo koji. minor (r+1)-tog reda matrice A" je ili jednak odgovarajućem minoru. (r+1)-ti red matrice A (svojstvo 9 determinante), ili je jednak zbiru dva minora (r+l)-ro reda matrice A (svojstvo 8 determinante). Prema tome, pod elementarnom transformacijom bilo koje vrste, svi minori (r+l)-ro reda matrice A" jednaki su nuli, pošto su svi minori (r+l)-ro reda matrice A jednaka nuli, dokazano je da se kod elementarnih transformacija stupaca matrica ranga ne može povećati. dokazao da se rang matrice ne mijenja tokom elementarnih transformacija redova.

Zaključak 1. Ako je jedan red (stupac) matrice linearna kombinacija njegovih drugih redova (kolona), tada se ovaj red (kolona) može izbrisati iz matrice bez promjene njegovog ranga.

Zaista, takav niz se može učiniti nula koristeći elementarne transformacije, a nulti niz ne može biti uključen u bazni minor.

Zaključak 2. Ako se matrica svede na najjednostavniji oblik (1.7), onda

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Zaista, matrica najjednostavnijeg oblika (1.7) ima bazni minor r-tog reda.

Zaključak 3. Svaka nesingularna kvadratna matrica je elementarna, drugim riječima, svaka nesingularna kvadratna matrica je ekvivalentna matrici identiteta istog reda.

Zaista, ako je A nesingularna kvadratna matrica n-tog reda, onda \operatorname(rg)A=n(vidi paragraf 3 komentara 3.2). Stoga, dovodeći matricu A u najjednostavniji oblik (1.7) elementarnim transformacijama, dobijamo matricu identiteta \Lambda=E_n , pošto \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vidi Korol 2). Prema tome, matrica A je ekvivalentna matrici identiteta E_n i može se dobiti iz nje kao rezultat konačnog broja elementarnih transformacija. To znači da je matrica A elementarna.

Teorema 3.4 (o rangu matrice). Rang matrice je jednak maksimalnom broju linearno nezavisnih redova ove matrice.

U stvari, neka \operatorname(rg)A=r. Tada matrica A ima r linearno nezavisnih redova. Ovo su redovi u kojima se nalazi bazni mol. Ako bi bili linearno zavisni, onda bi ovaj minor bio jednak nuli prema teoremi 3.2, a rang matrice A ne bi bio jednak r. Pokažimo da je r maksimalni broj linearno nezavisnih redova, tj. bilo koji p redovi su linearno zavisni za p>r. Zaista, mi formiramo matricu B iz ovih p redova. Pošto je matrica B dio matrice A, onda \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

To znači da barem jedan red matrice B nije uključen u bazni minor ove matrice. Tada je, prema teoremi o baznom molu, jednaka linearnoj kombinaciji redova u kojima se nalazi bazni minor. Prema tome, redovi matrice B su linearno zavisni. Dakle, matrica A ima najviše r linearno nezavisnih redova.

Zaključak 1. Maksimalni broj linearno nezavisnih redova u matrici jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih stupaca:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Ova tvrdnja slijedi iz teoreme 3.4 ako je primijenimo na redove transponovane matrice i uzmemo u obzir da se minori ne mijenjaju tokom transpozicije (svojstvo 1 determinante).

Zaključak 2. Tokom elementarnih transformacija redova matrice, linearna zavisnost (ili linearna nezavisnost) bilo kojeg sistema kolona ove matrice je očuvana.

U stvari, izaberemo bilo koje k stupaca date matrice A i sačinimo matricu B od njih. Neka se matrica A" dobije kao rezultat elementarnih transformacija redova matrice A, a matrica B" dobije se kao rezultat istih transformacija redova matrice B. Prema teoremi 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Dakle, ako bi stupci matrice B bili linearno nezavisni, tj. k=\ime operatora(rg)B(vidi Korolar 1), tada su i stupci matrice B" linearno nezavisni, jer k=\ime operatera(rg)B". Kad bi stupci matrice B bili linearno zavisni (k>\operatorname(rg)B), tada su stupci matrice B" također linearno zavisni (k>\operatorname(rg)B"). Posljedično, za bilo koje stupce matrice A, linearna ovisnost ili linearna neovisnost je sačuvana pod elementarnim transformacijama reda.

Napomene 3.3

1. Na osnovu posledica 1 teoreme 3.4, svojstvo kolona naznačeno u posledicama 2 važi i za svaki sistem redova matrice ako se elementarne transformacije izvode samo na njegovim kolonama.

2. Korolar 3 teoreme 3.3 može se precizirati na sljedeći način: bilo koja nesingularna kvadratna matrica, koristeći elementarne transformacije samo njenih redova (ili samo njenih kolona), može se svesti na matricu identiteta istog reda.

U stvari, koristeći samo elementarne transformacije reda, bilo koja matrica A može se svesti na pojednostavljeni oblik \Lambda (slika 1.5) (vidjeti teoremu 1.1). Pošto je matrica A nesingularna (\det(A)\ne0), njeni stupci su linearno nezavisni. To znači da su stupci matrice \Lambda također linearno neovisni (korolar 2 teoreme 3.4). Prema tome, pojednostavljeni oblik \Lambda nesingularne matrice A koincidira sa njenim najjednostavnijim oblikom (slika 1.6) i predstavlja matrica identiteta \Lambda=E (vidi Korolar 3 teoreme 3.3). Dakle, transformacijom samo redova nesingularne matrice, ona se može svesti na matricu identiteta. Slično razmišljanje vrijedi za elementarne transformacije stupaca nesingularne matrice.

Rang proizvoda i zbir matrica

Teorema 3.5 (o rangu proizvoda matrica). Rang proizvoda matrica ne prelazi rang faktora:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Zaista, neka matrice A i B imaju veličine m\ puta p i p\ puta n. Dodijelimo matrici A matricu C=AB\dvotočka\,(A\sredina C). Naravno da \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), pošto je C dio matrice (A\mid C) (vidi paragraf 5 napomena 3.2). Imajte na umu da je svaki stupac C_j, prema operaciji množenja matrice, linearna kombinacija stupaca A_1,A_2,\ldots,A_p matrice A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Takav stupac se može obrisati iz matrice (A\mid C) bez promjene njegovog ranga (posledica 1 teoreme 3.3). Precrtavanjem svih stupaca matrice C dobijamo: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. odavde, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Slično, možemo dokazati da je uslov istovremeno zadovoljen \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, i izvući zaključak o valjanosti teoreme.

Posljedica. Ako A je dakle nesingularna kvadratna matrica I \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B, tj. rang matrice se ne mijenja kada se pomnoži s lijeve ili desne strane nesingularnom kvadratnom matricom.

Teorema 3.6 o rangu zbira matrica. Rang zbira matrica ne prelazi zbir rangova pojmova:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Zaista, hajde da napravimo matricu (A+B\srednja A\sredina B). Imajte na umu da je svaki stupac matrice A+B linearna kombinacija stupaca matrice A i B. Zato \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Uzimajući u obzir da broj linearno nezavisnih stupaca u matrici (A\mid B) ne prelazi \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vidi odeljak 5 napomene 3.2), dobijamo nejednakost koja se dokazuje.

Neka je data neka matrica:

.

Odaberimo u ovoj matrici proizvoljni nizovi i proizvoljnih kolona
. Zatim determinanta reda, sastavljena od matričnih elemenata
, koji se nalazi na sjecištu odabranih redova i kolona, ​​naziva se manjim matrica th reda
.

Definicija 1.13. Matrix rang
je najveći nenulti poredak minora ove matrice.

Da bi se izračunao rang matrice, treba uzeti u obzir sve njene minore najnižeg reda i, ako je barem jedan od njih različit od nule, preći na razmatranje minora najvišeg reda. Ovaj pristup određivanju ranga matrice naziva se granična metoda (ili metoda obrubljivanja minora).

Problem 1.4. Koristeći metodu graničnih minora, odredite rang matrice
.

.

Uzmite u obzir ivice prvog reda, na primjer,
. Zatim prelazimo na razmatranje neke ivice drugog reda.

na primjer,
.

Konačno, analizirajmo graničenje trećeg reda.

.

dakle, najviši red manji ne-nula je 2, dakle
.

Prilikom rješavanja Zadatka 1.4, možete primijetiti da je broj graničnih minora drugog reda različit od nule. U tom smislu, primjenjuje se sljedeći koncept.

Definicija 1.14. Bazni minor matrice je svaki minor različit od nule čiji je red jednak rangu matrice.

Teorema 1.2.(Osnovna mala teorema). Osnovni redovi (osnovni stupci) su linearno nezavisni.

Imajte na umu da su redovi (stupci) matrice linearno zavisni ako i samo ako se barem jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih.

Teorema 1.3. Broj linearno nezavisnih redova matrice jednak je broju linearno nezavisnih kolona matrice i jednak je rangu matrice.

Teorema 1.4.(Neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude jednaka nuli). Da bi determinanta -th red bio jednak nuli, potrebno je i dovoljno da njegovi redovi (kolone) budu linearno zavisni.

Izračunavanje ranga matrice na osnovu njene definicije je previše glomazno. Ovo postaje posebno važno za matrice visokog reda. S tim u vezi, u praksi se rang matrice izračunava na osnovu primjene teorema 10.2 - 10.4, kao i upotrebe koncepata ekvivalencije matrice i elementarnih transformacija.

Definicija 1.15. Dvije matrice
I nazivaju se ekvivalentnim ako su im rangovi jednaki, tj.
.

Ako matrice
I su ekvivalentni, onda zapazite
 .

Teorema 1.5. Rang matrice se ne mijenja zbog elementarnih transformacija.

Nazvat ćemo elementarne matrične transformacije
bilo koji od sljedeći koraci iznad matrice:

Zamjena redova kolonama i stupaca odgovarajućim redovima;

Preuređivanje redova matrice;

Precrtavanje linije čiji su svi elementi nula;

Množenje niza brojem koji nije nula;

Dodavanje elemenata jedne linije odgovarajućih elemenata druge linije pomnožene istim brojem
.

Korolar teoreme 1.5. Ako je matrica
dobijeno iz matrice koristeći konačan broj elementarnih transformacija, a zatim matricu
I su ekvivalentni.

Prilikom izračunavanja ranga matrice, treba je svesti na trapezoidni oblik korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija.

Definicija 1.16. Trapezoidnim ćemo nazvati oblik reprezentacije matrice kada, u graničnom minoru najvišeg reda različitog od nule, svi elementi ispod dijagonalnih nestanu. na primjer:

.

Evo
, matrični elementi
idi na nulu. Tada će oblik reprezentacije takve matrice biti trapezoidan.

U pravilu se matrice svode na trapezoidni oblik korištenjem Gaussovog algoritma. Ideja Gaussovog algoritma je da se množenjem elemenata prvog reda matrice sa odgovarajućim faktorima postiže da se svi elementi prvog stupca nalaze ispod elementa.
, okrenuo bi se na nulu. Zatim, množenjem elemenata drugog stupca sa odgovarajućim faktorima, osiguravamo da se svi elementi drugog stupca nalaze ispod elementa
, okrenuo bi se na nulu. Zatim nastavite na isti način.

Problem 1.5. Odredite rang matrice svođenjem na trapezoidni oblik.

.

Da biste olakšali korištenje Gaussovog algoritma, možete zamijeniti prvi i treći red.








.

Očigledno je to ovdje
. Međutim, da biste rezultat doveli u elegantniji oblik, možete nastaviti s transformacijom stupaca.










.

Broj r se naziva rangom matrice A ako:
1) u matrici A postoji minor reda r, različit od nule;
2) svi minori reda (r+1) i više, ako postoje, jednaki su nuli.
Inače, rang matrice je najviši manji poredak osim nule.
Oznake: rangA, r A ili r.
Iz definicije slijedi da je r pozitivan cijeli broj. Za nultu matricu, rang se smatra nula.

Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran za pronalaženje matrični rang. U ovom slučaju rješenje se pohranjuje u Word i Excel formatu. vidi primjer rješenja.

Uputstva. Odaberite dimenziju matrice, kliknite na Next.

Definicija . Neka je data matrica ranga r. Svaki minor matrice koji se razlikuje od nule i ima red r naziva se osnovnim, a redovi i stupci njenih komponenti nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.
Prema ovoj definiciji, matrica A može imati nekoliko baznih minora.

Rang matrice identiteta E je n (broj redova).

Primjer 1. Date dvije matrice, i njihove maloljetne osobe , . Koji se od njih može uzeti kao osnovni?
Rješenje. Minor M 1 =0, tako da ne može biti osnova ni za jednu od matrica. Minor M 2 =-9≠0 i ima red 2, što znači da se može uzeti kao osnovne matrice A ili/i B pod uslovom da imaju rangove jednake 2. Pošto je detB=0 (kao determinanta sa dva proporcionalna stupca), onda se rangB=2 i M 2 mogu uzeti kao bazni minor matrice B. Rang matrice A je 3, zbog činjenice da je detA=-27≠ 0 i, prema tome, osnovni minor ove matrice mora biti jednak 3, odnosno M 2 nije baza za matricu A. Imajte na umu da matrica A ima jedan bazni minor, jednak determinanti matrice A.

Teorema (o baznom molu). Bilo koji red (stupac) matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih redova (kolona).
Posljedice iz teoreme.

1. Svaka (r+1) kolona (red) matrica ranga r je linearno zavisna.
2. Ako je rang matrice manji broj njegovi redovi (kolone), zatim su njegovi redovi (kolone) linearno zavisni. Ako je rang A jednak broju njegovih redova (kolona), tada su redovi (kolone) linearno nezavisni.
3. Determinanta matrice A jednaka je nuli ako i samo ako su njeni redovi (kolone) linearno zavisni.
4. Ako dodate još jedan red (kolona) u red (kolona) matrice, pomnožen bilo kojim brojem osim nule, tada se rang matrice neće promijeniti.
5. Ako precrtate red (kolona) u matrici, koja je linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada se rang matrice neće promijeniti.
6. Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).
7. Maksimalan broj linearno nezavisnih redova je isti kao i maksimalan broj linearno nezavisnih kolona.

Primjer 2. Pronađite rang matrice .
Rješenje. Na osnovu definicije ranga matrice, tražićemo minor najvišeg reda, različit od nule. Prvo, transformirajmo matricu u jednostavniji oblik. Da biste to učinili, pomnožite prvi red matrice sa (-2) i dodajte ga drugom, a zatim ga pomnožite sa (-1) i dodajte trećem.

Rang matrice je važna numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera kompatibilnosti sistema linearnih algebarske jednačine. U ovom članku ćemo dati koncept ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Da bismo bolje razumjeli gradivo, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.

Prije nego što izgovorite definiciju ranga matrice, trebali biste dobro razumjeti koncept minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga, ako je potrebno, preporučujemo da se prisjetite teorije članka, metoda za pronalaženje determinante matrice i svojstava determinante.

Uzmimo matricu A reda. Neka je k neki prirodni broj koji ne prelazi najmanji od brojeva m i n, tj. .

Definicija.

Manji k-ti red matrica A je determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u prethodno odabranih k redova i k kolona, ​​a raspored elemenata matrice A je očuvan.

Drugim riječima, ako u matrici A izbrišemo (p–k) redove i (n–k) stupce, a od preostalih elemenata kreiramo matricu, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuća matrica je minor reda k matrice A.

Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.

Razmotrite matricu .

Zapišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, onda naš izbor odgovara umanjem redu prvog reda . Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, precrtali smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa napravili determinantu. Ako odaberemo prvi red i treći stupac matrice A, onda ćemo dobiti minor .

Ilustrujmo postupak za dobijanje razmatranih maloletnika prvog reda
I .

Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.

Pokažimo nekoliko maloljetnika drugog reda. Odaberite dva reda i dvije kolone. Na primjer, uzmite prvi i drugi red i treći i četvrti stupac. Ovim izborom imamo maloljetnicu drugog reda . Ovaj minor se također može kreirati brisanjem trećeg reda, prvog i drugog stupca iz matrice A.

Drugi minor drugog reda matrice A je .

Ilustrujmo konstrukciju ovih minora drugog reda
I .

Slično, mogu se naći minori trećeg reda matrice A. Pošto u matrici A postoje samo tri reda, biramo ih sve. Ako odaberemo prve tri kolone ovih redova, dobićemo minor trećeg reda

Može se konstruisati i precrtavanjem posljednje kolone matrice A.

Drugi minor trećeg reda je

dobijeno brisanjem treće kolone matrice A.

Evo slike koja prikazuje konstrukciju ovih minora trećeg reda
I .

Za datu matricu A nema minora reda većeg od trećeg, budući da .

Koliko ima minora k-tog reda matrice A reda?

Broj minora reda k može se izračunati kao , gdje I - broj kombinacija od p do k i od n do k, respektivno.

Kako konstruisati sve minore reda k matrice A reda p po n?

Trebat će nam mnogo brojeva redova matrice i mnogo brojeva kolona. Zapisujemo sve kombinacije p elemenata po k(oni će odgovarati odabranim redovima matrice A kada se konstruiše minor reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redova uzastopno dodajemo sve kombinacije od n elemenata od k brojeva kolona. Ovi skupovi kombinacija brojeva redova i brojeva kolona matrice A pomoći će da se sastave svi minori reda k.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Pronađite sve minore drugog reda matrice.

Rješenje.

Budući da je redoslijed originalne matrice 3 puta 3, tada će ukupni minori drugog reda biti .

Zapišimo sve kombinacije brojeva 3 do 2 reda matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva od 3 do 2 stupca su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.

Uzmimo prvi i drugi red matrice A. Odabirom prve i druge kolone, prve i treće kolone, druge i treće kolone za ove redove, dobijamo minore, redom

Za prvi i treći red, sa sličnim izborom kolona, ​​imamo

Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red:

Dakle, svih devet minora drugog reda matrice A je pronađeno.

Sada možemo nastaviti sa određivanjem ranga matrice.

Definicija.

Matrix rang je najviši red različitog od nule minor matrice.

Rang matrice A je označen kao Rank(A). Možete pronaći i oznake Rg(A) ili Rang(A).

Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang matrice različite od nule nije manji od jedan.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji.

Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metoda popisivanja maloljetnika. Ova metoda se zasniva na određivanju ranga matrice.

Trebamo pronaći rang matrice A reda .

Hajde da ukratko opišemo algoritam rješavanje ovog problema nabrajanjem maloljetnika.

Ako postoji barem jedan element matrice koji je različit od nule, tada je rang matrice barem jednak jedan (pošto postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).

Zatim ćemo pogledati maloljetnike drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje jednak dva.

Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda osim nule, tada je rang matrice najmanje tri, i prelazimo na nabrajanje minora četvrtog reda.

Imajte na umu da rang matrice ne može premašiti najmanji od brojeva p i n.

Primjer.

Pronađite rang matrice .

Rješenje.

Pošto je matrica različita od nule, njen rang nije manji od jedan.

Minor drugog reda je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na nabrajanje maloljetnika trećeg reda. Ukupno njih stvari.

Svi minori trećeg reda jednaki su nuli. Dakle, rang matrice je dva.

odgovor:

Rang(A) = 2.

Određivanje ranga matrice metodom obrubljivanja minora.

Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućavaju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Jedna takva metoda je Edge minor metoda.

Hajde da se pozabavimo koncept ivice minor.

Kaže se da manji M ok (k+1)-tog reda matrice A graniči sa manjim M reda k matrice A ako matrica koja odgovara minoru M ok "sadrži" matricu koja odgovara minoru M .

Drugim riječima, matrica koja odgovara graničnom minoru M dobija se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog reda i jedne kolone.

Na primjer, razmotrite matricu i uzeti drugi red minor. Zapišimo sve granične maloljetnike:

Metoda graničnih minora opravdana je sljedećom teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).

Teorema.

Ako su svi minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A reda p po n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k+1) matrice A jednaki nuli.

Dakle, za pronalaženje ranga matrice nije potrebno proći kroz sve minore koji se dovoljno graniče. Broj minora koji graniči s minorom k-tog reda matrice A reda , nalazi se po formuli . Imajte na umu da nema više minora koji graniče s minorom k-tog reda matrice A nego što ima (k + 1) minora reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva isplativije korištenje metode graničenja maloljetnika nego jednostavno popisivanje svih maloljetnika.

Pređimo na pronalaženje ranga matrice metodom graničnih minora. Hajde da ukratko opišemo algoritam ovu metodu.

Ako je matrica A različita od nule, tada kao minor prvog reda uzimamo bilo koji element matrice A koji je različit od nule. Pogledajmo njegove granične maloljetnike. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njihov red je dva), onda nastavljamo s razmatranjem njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, onda je rang(A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (redoslijed mu je tri), onda smatramo njegove granične minore. I tako dalje. Kao rezultat, Rank(A) = k ako su svi granični minori (k + 1)-og reda matrice A jednaki nuli, ili Rank(A) = min(p, n) ako postoji ne- nulti minor koji graniči sa minorom reda (min( p, n) – 1) .

Pogledajmo metodu graničanja minora da bismo pronašli rang matrice koristeći primjer.

Primjer.

Pronađite rang matrice metodom graničenja maloletnika.

Rješenje.

Pošto je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji se razlikuje od nule:

Pronađen je minor ivice drugog reda, različit od nule. Pogledajmo njegove granične maloljetnike (njihove stvari):

Svi minori koji se graniče sa minorom drugog reda jednaki su nuli, stoga je rang matrice A jednak dva.

odgovor:

Rang(A) = 2.

Primjer.

Pronađite rang matrice korištenje graničnih maloljetnika.

Rješenje.

Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Okolni mol drugog reda nije jednako nuli. Ovaj minor omeđen je maloletnikom trećeg reda
. Pošto nije jednaka nuli i za nju ne postoji niti jedan granični minor, rang matrice A je jednak tri.

odgovor:

Rang(A) = 3.

Pronalaženje ranga pomoću elementarnih matričnih transformacija (Gaussova metoda).

Razmotrimo još jedan način za pronalaženje ranga matrice.

Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:

• preuređivanje redova (ili stupaca) matrice;
• množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice proizvoljnim brojem k, različitim od nule;
• dodajući elementima reda (kolone) odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k.

Matrica B se naziva ekvivalentnom matrici A, ako se B dobije iz A pomoću konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalentnost matrica je označena simbolom “~”, odnosno napisano A ~ B.

Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih matričnih transformacija zasniva se na izjavi: ako je matrica B dobijena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank(A) = Rank(B) .

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:

• Prilikom preuređivanja redova (ili stupaca) matrice, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, onda kada se redovi (kolone) preurede, ostaje jednak nuli.
• Kada se množe svi elementi bilo kojeg reda (stupca) matrice sa proizvoljnim brojem k koji nije nula, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti originalne matrice pomnoženoj s k. Ako je determinanta izvorne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
• Dodavanje elementima određenog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) matrice, pomnoženih određenim brojem k, ne mijenja njenu determinantu.

Suština metode elementarnih transformacija sastoji se u reduciranju matrice čiji rang treba da nađemo na trapezoidnu (u konkretnom slučaju na gornji trokutasti) pomoću elementarnih transformacija.

Zašto se to radi? Rang matrica ovog tipa je vrlo lako pronaći. Jednako je broju linija koje sadrže najmanje jedan element različit od nule. A budući da se rang matrice ne mijenja prilikom izvođenja elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost će biti rang originalne matrice.

Dajemo ilustracije matrica od kojih jednu treba dobiti nakon transformacije. Njihov izgled zavisi od redosleda matrice.

Ove ilustracije su šabloni u koje ćemo transformisati matricu A.

Hajde da opišemo algoritam metoda.

Trebamo pronaći rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).

Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog reda matrice A sa . U ovom slučaju dobijamo ekvivalentnu matricu koja je označava A (1):

Elementima drugog reda rezultirajuće matrice A (1) dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . Elementima trećeg reda dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . I tako sve do p-tog reda. Hajde da dobijemo ekvivalentnu matricu, označimo je A (2):

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice koji se nalaze u redovima od drugog do p-tog jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, a samim tim i rang originalne matrice je jednak do jednog.

Ako u linijama od drugog do p-tog postoji barem jedan element različit od nule, onda nastavljamo provoditi transformacije. Štaviše, postupamo na potpuno isti način, ali samo sa dijelom matrice A (2) označenim na slici.

Ako je , tada preuređujemo redove i (ili) stupce matrice A (2) tako da "novi" element postane različit od nule.

Definicija. Matrix rang je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji se smatraju vektorima.

Teorema 1 o rangu matrice. Matrix rang naziva se maksimalni red različitog od nule minor matrice.

Već smo govorili o pojmu minor u lekciji o determinantama, a sada ćemo ga generalizovati. Uzmimo određeni broj redova i određeni broj stupaca u matrici, i ovo "nešto" bi trebalo da bude manje od broja redova i stupaca matrice, a za redove i kolone ovo "nešto" treba da bude isti broj . Zatim na presjeku koliko redova i koliko kolona će biti matrica nižeg reda od naše originalne matrice. Determinanta je matrica i bit će minor k-tog reda ako se spomenuti “neki” (broj redova i stupaca) označi sa k.

Definicija. manji ( r+1)-ti red, u okviru kojeg se nalazi izabrani maloljetnik r-ti red se naziva graničnim za dati minor.

Dvije najčešće korištene metode su pronalaženje ranga matrice. Ovo način graničenja maloljetnika I metoda elementarnih transformacija(Gaussova metoda).

Kada se koristi metoda graničnih minora, koristi se sljedeća teorema.

Teorema 2 o rangu matrice. Ako se minor može sastaviti od matričnih elemenata r reda, nije jednak nuli, tada je rang matrice jednak r.

Kada se koristi metoda elementarne transformacije, koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se kroz elementarne transformacije dobije trapezoidna matrica koja je ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj linija u njemu osim linija koje se u potpunosti sastoje od nula.

Određivanje ranga matrice metodom obrubljivanja minora

Okvirni minor je minor višeg reda u odnosu na dati ako ovaj minor višeg reda sadrži dati minor.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

Granični maloljetnici će biti:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice sljedeći.

1. Naći minore drugog reda koji nisu jednaki nuli. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore trećeg reda. Ako su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od graničnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore. Ako su svi granični minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak tri ( r =2 ).

4. Nastavite na ovaj način sve dok veličina matrice dozvoljava.

Primjer 1. Pronađite rang matrice

.

Rješenje. Minor drugog reda .

Hajde da ga graničimo. Biće četiri granična maloletnika:

,

,

Dakle, svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice jednak dva ( r =2 ).

Primjer 2. Pronađite rang matrice

Rješenje. Rang ove matrice je jednak 1, pošto su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovom slučaju, kao iu slučajevima graničnih minora u dva sljedeća primjera, dragi studenti su pozvani da provjere za sami, možda koristeći pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, postoje oni različiti od nule.

Primjer 3. Pronađite rang matrice

Rješenje. Minor drugog reda ove matrice je, a svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli. Dakle, rang ove matrice je dva.

Primjer 4. Pronađite rang matrice

Rješenje. Rang ove matrice je 3, pošto je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussova metoda)

Već u primjeru 1 jasno je da zadatak određivanja ranga matrice metodom graničnih minora zahtijeva izračunavanje velikog broja determinanti. Međutim, postoji način da se količina izračunavanja svede na minimum. Ova metoda se zasniva na korištenju elementarnih matričnih transformacija i naziva se i Gaussova metoda.

Sljedeće operacije se shvataju kao elementarne matrične transformacije:

1) množenje bilo kog reda ili kolone matrice brojem koji nije nula;

2) dodavanje elemenata bilo kog reda ili kolone matrice odgovarajućih elemenata drugog reda ili kolone, pomnoženih istim brojem;

3) zamena dva reda ili kolone matrice;

4) uklanjanje „nultih” redova, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija osim jedne.

Teorema. Tokom elementarne transformacije, rang matrice se ne mijenja. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A otišao na matricu B, To .