Primitiivne murd. Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine

Sisestage funktsioon, mille integraali soovite leida

Pärast määramata integraali arvutamist saate sisestatud integraali DETAILSE lahenduse tasuta.

Leiame funktsiooni f(x) määramatu integraali (funktsiooni antituletise) lahendi.

Näited

Kraadi kasutamisega
(ruut ja kuubik) ja murrud

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Ruutjuur

ruut(x)/(x + 1)

kuupjuur

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Siinuse ja koosinuse kasutamine

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*artsin(x)

Kaarkoosinus

x*arccos(x)

Logaritmi rakendamine

X*log(x, 10)

naturaallogaritm

Eksponent

Tg(x)*sin(x)

Kotangent

Ctg(x)*cos(x)

Irratsionaalsed murded

(ruut(x) - 1) / ruut (x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Kaare puutuja

X*arсctg(x)

Hüberboolne siinus ja koosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hüberboolne puutuja ja kotangent

ctgh(x)/tgh(x)

Hüberboolne arkosiin ja arkosiin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hüberboolne arkotangens ja arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Avaldiste ja funktsioonide sisestamise reeglid

Avaldised võivad koosneda funktsioonidest (tähistus on antud tähestikuline järjekord): absoluutne (x) Absoluutne väärtus x
(moodul x või |x|) arccos (x) Funktsioon - kaarekoosinus x arccosh(x) Kaarkoosinus hüperboolne alates x arcsin(x) Arcsine alates x arcsinh(x) Arksiin hüperboolne alates x arctg(x) Funktsioon – kaartangens alates x arctgh(x) Kaartangens on hüperboolne alates x e e arv, mis on ligikaudu võrdne 2,7-ga exp(x) Funktsioon – astendaja alates x(mis on e^x) log(x) või log(x) naturaalne logaritm x
(Et saada log7(x), peate sisestama log(x)/log(7) (või näiteks jaoks log10(x)=log(x)/log(10)) pi Arv on "Pi", mis on ligikaudu võrdne 3,14-ga sin(x) Funktsioon – siinus x cos(x) Funktsioon – koosinus x sinh(x) Funktsioon – hüperboolne siinus x sularaha (x) Funktsioon – hüperboolne koosinus x sqrt(x) Funktsioon - Ruutjuur alates x sqr(x) või x^2 Funktsioon – ruut x tg(x) Funktsioon – puutuja alates x tgh(x) Funktsioon – hüperboolne tangens x cbrt(x) Funktsioon on kuupjuur x

Avaldistes saate kasutada järgmisi toiminguid: Reaalarvud sisestage vormi 7.5 , Mitte 7,5 2*x- korrutamine 3/x- jagunemine x^3- astendamine x + 7- lisamine x - 6- lahutamine
Teised omadused: korrus (x) Funktsioon – ümardamine x alla (näide korrus(4,5)==4,0) lagi (x) Funktsioon – ümardamine x V suur pool(näidis lagi(4,5)==5,0) märk (x) Funktsioon – märk x erf(x) Veafunktsioon (või tõenäosusintegraal) Laplace (x) Laplace'i funktsioon

Murdu nimetatakse õige kui lugeja kõrgeim aste on väiksem nimetaja suurimast astmest. Õige ratsionaalse murru integraalil on vorm:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Integratsiooni valem ratsionaalsed murded oleneb polünoomi juurtest nimetajas. Kui polünoomil $ ax^2+bx+c $ on:

1. Ainult kompleksjuured, siis on vaja sellest valida täisruut: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 ^2) $$
2. Erinevad reaaljuured $ x_1 $ ja $ x_2 $, siis tuleb integraali laiendada ja leida määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Üks mitmekordne juur $ x_1 $, siis laiendame integraali ja leiame selle valemi jaoks määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kui murdosa on vale, see tähendab, et lugeja kõrgeim aste on suurem või võrdne nimetaja kõrgeima astmega, siis tuleb see kõigepealt taandada õige meeles, jagades lugejast pärineva polünoomi nimetaja polünoomiga. Sel juhul on ratsionaalse murru integreerimise valem järgmine:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Lahendusnäited

Antakse integraalide arvutamise valemite tuletamine nelja tüübi kõige lihtsamatest elementaarsetest murdudest. Keerulisemad integraalid neljandat tüüpi murdudest arvutatakse redutseerimisvalemi abil. Vaadeldakse näidet neljanda tüübi murdosa integreerimisest.

Vaata ka: Määramata integraalide tabel
Määramata integraalide arvutamise meetodid

Teatavasti saab mõne muutuja x mis tahes ratsionaalse funktsiooni lagundada polünoomiks ja lihtsateks elementaarmurdudeks. Lihtmurrusid on nelja tüüpi:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Siin on a, A, B, b, c reaalarvud. Võrrand x 2+bx+c=0 tal pole tõelisi juuri.

Kahe esimese tüübi murdude integreerimine

Kahe esimese murru integreerimine toimub integraalide tabelist järgmiste valemite abil:
,
, n ≠ - 1 .

1. Esimese tüübi murdosa integreerimine

Esimese tüübi murdosa asendusega t = x - a taandatakse tabeliintegraaliks:
.

2. Teist tüüpi murdosa integreerimine

Teist tüüpi murdosa taandatakse tabeliintegraaliks sama asendusega t \u003d x - a:

.

3. Kolmanda tüübi murdosa integreerimine

Mõelge kolmanda tüübi murdosa integraalile:
.
Arvutame selle kahes etapis.

3.1. Samm 1. Valige lugejas nimetaja tuletis

Murru lugejas valime nimetaja tuletise. Tähistage: u = x 2+bx+c. Eristada: u′ = 2 x + b. Siis
;
.
Aga
.
Jätsime moodulmärgi välja, sest .

Seejärel:
,
Kus
.

3.2. Etapp 2. Arvutage integraal, kus A = 0, B = 1

Nüüd arvutame ülejäänud integraali:
.

Toome murdosa nimetaja ruutude summaks:
,
Kus.
Usume, et võrrand x 2+bx+c=0 pole juuri. Sellepärast .

Teeme asendus
,
.
.

Niisiis,
.

Seega oleme leidnud kolmanda tüübi murdosa integraali:

,
Kus.

4. Neljanda tüübi murdosa integreerimine

Ja lõpuks, kaaluge neljanda tüübi murdosa integraali:
.
Arvutame selle kolmes etapis.

4.1) Valime lugejas nimetaja tuletise:
.

4.2) Arvutage integraal
.

4.3) Arvuta integraalid
,
kasutades valemit:
.

4.1. Etapp 1. Lugejas oleva nimetaja tuletise eraldamine

Valime lugejas nimetaja tuletise, nagu tegime aastal. Tähistage u = x 2+bx+c. Eristada: u′ = 2 x + b. Siis
.

.
Aga
.

Lõpuks on meil:
.

4.2. Etapp 2. Integraali, mille n = 1, arvutamine

Arvutame integraali
.
Selle arvutus on sätestatud .

4.3. Etapp 3. Redutseerimisvalemi tuletamine

Nüüd kaaluge integraali
.

Toome ruutkolminoomi ruutude summaks:
.
siin .
Teeme asendus.
.
.

Teostame teisendusi ja integreerime osade kaupa.




.

Korrutage arvuga 2 (n - 1):
.
Naaseme x ja I n juurde.
,
;
;
.

Niisiis, I n jaoks saime redutseerimisvalemi:
.
Seda valemit järjest rakendades taandame integraali I n väärtuseks I 1 .

Näide

Arvutage integraal

1. Valime lugejas nimetaja tuletise.
;
;


.
Siin
.

2. Arvutame lihtsaima murru integraali.

.

3. Kasutame redutseerimisvalemit:

integraali jaoks.
Meie puhul b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Kirjutame selle valemi n = jaoks välja 2 ja n = 3 :
;
.
Siit

.

Lõpuks on meil:

.
Leiame koefitsiendi juures .
.

Kõik eelnev eelmistes lõikudes võimaldab sõnastada põhireeglid ratsionaalse murru integreerimiseks.

1. Kui ratsionaalne murd on vale, siis esitatakse see polünoomi ja õige ratsionaalmurdu summana (vt punkt 2).

Seega taandatakse ebaõige ratsionaalse murru integreerimine polünoomi ja õige ratsionaalse murru integreerimiseks.

2. Dekomponeeri nimetaja õige murdosa kordajate jaoks.

3. Õige ratsionaalne murd jaotatakse kõige lihtsamate murdude summaks. Seega taandatakse õige ratsionaalse murru integreerimine lihtmurdude integreerimiseks.

Kaaluge näiteid.

Näide 1. Otsi .

Lahendus. Integraali all on vale ratsionaalne murd. Võttes täisarvulise osa, saame

Seega

Märkides, et laiendame õiget ratsionaalset murdu

lihtmurdudeks:

(vt valemit (18)). Sellepärast

Seega oleme lõpuks saanud

Näide 2. Leia

Lahendus. Integraali all on õige ratsionaalne murd.

Laiendades selle lihtmurdudeks (vt valemit (16)), saame

Antud teemas esitatav materjal põhineb teemas "Ratsionaalmurrud. Ratsionaalmurdude lagundamine elementaar(liht)murdudeks" toodud infol. Soovitan teil tungivalt see teema vähemalt läbi lugeda, enne kui hakkate seda materjali lugema. Lisaks vajame määramata integraalide tabelit.

Lubage mul teile meelde tuletada paar terminit. Neid käsitleti vastavas teemas, seega piirdun siinkohal lühikese sõnastusega.

Kahe polünoomi suhet $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks või ratsionaalseks murdeks. Ratsionaalmurdu nimetatakse õige kui $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется vale.

Elementaarseid (lihtsamaid) ratsionaalseid murde nimetatakse ratsionaalseteks murdudeks nelja tüüpi:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Märkus (soovitav teksti paremaks mõistmiseks): näita\peida

Miks on tingimus $p^2-4q vajalik?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Näiteks avaldise $x^2+5x+10$ jaoks saame: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kuna $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Muide, selle kontrolli jaoks ei ole vaja, et koefitsient $x^2$ ees oleks 1. Näiteks $5x^2+7x-3=0$ korral saame: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Kuna $D > 0$, on avaldis $5x^2+7x-3$ faktoriseeritav.

Võib leida näiteid ratsionaalsetest murdudest (tavalistest ja ebaõigetest), aga ka näiteid ratsionaalse murru laiendamisest elementaarmurdudeks. Siin huvitavad meid ainult nende integreerimise küsimused. Alustame elementaarmurdude integreerimisega. Seega on kõiki ülaltoodud elementaarmurdude nelja tüüpi alltoodud valemite abil lihtne integreerida. Tuletan meelde, et (2) ja (4) tüüpi murdude integreerimisel eeldatakse $n=2,3,4,\ldots$. Valemid (3) ja (4) nõuavad tingimust $p^2-4q< 0$.

\begin(võrrand) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(võrrand)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ jaoks tehakse asendus $t=x+\frac(p)(2)$, mille järel saadakse saadud integraal jagada kaheks. Esimene arvutatakse, lisades selle diferentsiaalmärgi alla, ja teine ​​näeb välja nagu $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. See integraal võetakse kordusseost kasutades

\begin(võrrand) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(võrrand)

Sellise integraali arvutamist analüüsitakse näites nr 7 (vt kolmas osa).

Skeem integraalide arvutamiseks ratsionaalsetest funktsioonidest (ratsionaalmurrud):

1. Kui integrand on elementaarne, rakendage valemeid (1)-(4).
2. Kui integrand ei ole elementaarne, siis esitage see elementaarmurdude summana ja seejärel integreerige valemite (1)-(4) abil.

Ülaltoodud algoritmil ratsionaalsete murdude integreerimiseks on vaieldamatu eelis - see on universaalne. Need. Seda algoritmi kasutades saab integreerida ükskõik milline ratsionaalne murdosa. Seetõttu tehakse peaaegu kõik muutujate asendused määramatus integraalis (Euleri, Tšebõševi asendused, universaalne trigonomeetriline asendus) nii, et pärast seda asendust saame intervalli alla ratsionaalse murdosa. Ja rakendage sellele algoritmi. Pärast väikese märkuse tegemist analüüsime selle algoritmi otsest rakendamist näidete abil.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Põhimõtteliselt on seda integraali lihtne saada ilma valemi mehaanilise rakendamiseta. Kui võtta integraalimärgist välja konstant $7$ ja arvestada, et $dx=d(x+9)$, siis saame:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Täpsema teabe saamiseks soovitan vaadata teemat. See selgitab üksikasjalikult, kuidas selliseid integraale lahendatakse. Muide, valemit tõestavad samad teisendused, mida rakendati selles lõigus "käsitsi" lahendamisel.

2) Jällegi on kaks võimalust: kas rakendada valmis valemit või teha ilma selleta. Kui rakendate valemit, peaksite arvestama, et koefitsient $x$ ees (arv 4) tuleb eemaldada. Selleks võtame sulgudes need neli välja:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nüüd on aeg rakendada valemit:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasak(x+\frac(19)(4) \parem)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Saate teha ilma valemit kasutamata. Ja isegi ilma pidevat $4$ sulgudest välja panemata. Kui võtta arvesse, et $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, siis saame:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Täpsemad selgitused selliste integraalide leidmise kohta on antud teemas "Integreerimine asendusega (sissejuhatus diferentsiaalmärgi alla)" .

3) Peame integreerima murdosa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Selle murdosa struktuur on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kus $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Kuid veendumaks, et see on tõepoolest kolmanda tüübi elementaarmurd, peate kontrollima tingimust $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Lahendame sama näite, kuid ilma valmis valemit kasutamata. Proovime eraldada lugejas nimetaja tuletist. Mida see tähendab? Teame, et $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Lugejas peame isoleerima avaldise $2x+10$. Seni sisaldab lugeja ainult $4x+7$ , kuid see pole pikk. Rakendage lugejale järgmine teisendus:

$ 4x+7=2\cpunkt 2x+7=2\cpunkt (2x+10-10)+7=2\cpunkt(2x+10)-2\cpunkt 10+7=2\cpunkt(2x+10) -13. $$

Nüüd on lugejasse ilmunud vajalik avaldis $2x+10$. Ja meie integraali saab ümber kirjutada järgmiselt:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Jagame integrandi kaheks. Noh, ja vastavalt sellele on ka integraal ise "lõhestatud":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \parem)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Räägime kõigepealt esimesest integraalist, st. umbes $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Kuna $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, siis nimetaja diferentsiaal asub integrandi lugejas. Lühidalt, selle asemel avaldisest $( 2x+10)dx$ kirjutame $d(x^2+10x+34)$.

Nüüd ütleme paar sõna teise integraali kohta. Toome välja nimetaja täisruudu: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisaks võtame arvesse $dx=d(x+5)$. Nüüd saab meie poolt varem saadud integraalide summa veidi teistsugusel kujul ümber kirjutada:

$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Kui teeme esimeses integraalis muudatuse $u=x^2+10x+34$, siis võtab see kuju $\int\frac(du)(u)$ ja võtab lihtne rakendus teine ​​valem alates . Mis puutub teise integraali, siis selle jaoks on võimalik asendada $u=x+5$, misjärel see võtab kuju $\int\frac(du)(u^2+9)$. See puhtaim vesiüheteistkümnes valem määramata integraalide tabelist. Niisiis, naastes integraalide summa juurde, saame:

$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Saime sama vastuse nagu valemi rakendamisel, mis tegelikult pole üllatav. Üldiselt tõestatakse valemit samade meetoditega, mida kasutasime selle integraali leidmiseks. Usun, et tähelepanelikul lugejal võib siin tekkida üks küsimus, seetõttu sõnastan selle:

Küsimus 1

Kui rakendada teist valemit määramata integraalide tabelist integraalile $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, siis saame järgmise:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miks moodul lahendusest puudus?

Vastus küsimusele nr 1

Küsimus on täiesti õigustatud. Moodul puudus ainult seetõttu, et mis tahes $x\in R$ avaldis $x^2+10x+34$ on suurem kui null. Seda on üsna lihtne mitmel viisil näidata. Näiteks kuna $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, siis $(x+5)^2+9 > 0$ . On võimalik hinnata teistmoodi, ilma täisruudu valimiseta. Alates $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mis tahes $x\in R$ (kui see loogiline ahel on üllatav, soovitan teil vaadata graafilise lahenduse meetodit ruudu ebavõrdsused). Igal juhul kuna $x^2+10x+34 > 0$, siis $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, s.o. mooduli asemel võite kasutada tavalisi sulgusid.

Kõik näite nr 1 punktid on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna.

Vastus:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Näide nr 2

Leidke integraal $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on esmapilgul väga sarnane kolmanda tüübi elementaarmurdule, s.t. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Tundub, et ainus erinevus on koefitsient $3$ $x^2$ ees, kuid koefitsiendi eemaldamine (sulgudest välja) ei võta kaua aega. See sarnasus on aga ilmne. Murru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ jaoks tingimus $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Meie koefitsient $x^2$ ees ei ole võrdne ühega, seega kontrollige tingimust $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант vähem kui null, siis ei saa avaldist $x^2+px+q$ faktoriseerida. Arvutame meie murru nimetajas paikneva polünoomi $3x^2-5x-2$ diskriminandi: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Seega, $D > 0$, seega saab avaldise $3x^2-5x-2$ faktoriseerida. Ja see tähendab, et murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmanda tüübi elementaarmurd ja see kehtib integraali $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ valem pole lubatud.

Noh, kui antud ratsionaalne murd ei ole elementaarne, siis tuleb see esitada elementaarmurdude summana ja seejärel integreerida. Lühidalt, rada ära kasutada. Kuidas ratsionaalne murd elementaarseteks lagundada, on üksikasjalikult kirjutatud. Alustuseks arvutame nimetaja:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(joondatud)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Esindame alamfraktsiooni järgmisel kujul:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Nüüd laiendame murdosa $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ elementaarseteks:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\paremal). $$

Koefitsientide $A$ ja $B$ leidmiseks on kaks standardset viisi: määramatute koefitsientide meetod ja osaväärtuste asendamise meetod. Rakendame osalise väärtuse asendusmeetodit, asendades $x=2$ ja seejärel $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Kuna koefitsiendid on leitud, jääb üle vaid valmis laiendus üles kirjutada:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3)+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Põhimõtteliselt võite selle sissekande jätta, kuid mulle meeldib täpsem versioon:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Naastes algse integraali juurde, asendame sellega saadud laienduse. Seejärel jagame integraali kaheks ja rakendame mõlemale valemit. Eelistan integraalmärgist väljaspool olevad konstandid kohe välja võtta:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vastus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Näide nr 3

Leidke integraal $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Peame integreerima murdosa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Lugeja on teise astme polünoom ja nimetaja on kolmanda astme polünoom. Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, s.o. 2 dollarit< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Peame lihtsalt jagama antud integraali kolmeks ja rakendama igaühele valemit. Eelistan integraalmärgist väljaspool olevad konstandid kohe välja võtta:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Vastus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Selle teema näidete analüüsi jätk asub teises osas.