Erityinen yhtälön ratkaisu on funktio. Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Oppilaitos "Valko-Venäjän valtio

maatalousakatemia"

Korkeamman matematiikan laitos

ENSIMMÄISEN ÄÄRÄN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Luentomuistiinpanot kirjanpidon opiskelijoille

kirjeenvaihtokoulutusmuoto (NISPO)

Gorki, 2013

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Konsepti differentiaaliyhtälö. Yleiset ja erityiset ratkaisut

Erilaisia ​​ilmiöitä tutkiessa ei useinkaan ole mahdollista löytää lakia, joka suoraan yhdistäisi riippumattoman muuttujan ja halutun funktion, mutta halutun funktion ja sen derivaattojen välille on mahdollista muodostaa yhteys.

Riippumattoman muuttujan, halutun funktion ja sen derivaatat yhdistävää suhdetta kutsutaan differentiaaliyhtälö :

Tässä x- itsenäinen muuttuja, y– tarvittava toiminto,
- halutun funktion johdannaiset. Tässä tapauksessa suhteella (1) on oltava vähintään yksi derivaatta.

Differentiaaliyhtälön järjestys kutsutaan yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestyksessä.

Harkitse differentiaaliyhtälöä

. (2)

Koska tämä yhtälö sisältää vain ensimmäisen kertaluvun derivaatan, sitä kutsutaan on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö.

Jos yhtälö (2) voidaan ratkaista derivaatan suhteen ja kirjoittaa muotoon

, (3)

silloin tällaista yhtälöä kutsutaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöksi normaalimuodossa.

Monissa tapauksissa on suositeltavaa harkita muodon yhtälöä

jota kutsutaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka on kirjoitettu differentiaalimuotoon.

Koska
, niin yhtälö (3) voidaan kirjoittaa muotoon
tai
, jossa voimme laskea
Ja
. Tämä tarkoittaa, että yhtälö (3) muunnetaan yhtälöksi (4).

Kirjoitetaan yhtälö (4) muotoon
. Sitten
,
,
, jossa voimme laskea
, eli saadaan muotoa (3) oleva yhtälö. Siten yhtälöt (3) ja (4) ovat ekvivalentteja.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen (2) tai (3) kutsutaan miksi tahansa funktioksi
, joka, kun se korvataan yhtälöllä (2) tai (3), muuttaa sen identiteetiksi:

tai
.

Prosessia, jossa löydetään kaikki differentiaaliyhtälön ratkaisut, kutsutaan sen prosessiksi liittäminen , ja ratkaisukaavio
kutsutaan differentiaaliyhtälöksi integraalikäyrä tämä yhtälö.

Jos differentiaaliyhtälön ratkaisu saadaan implisiittisessä muodossa
, niin sitä kutsutaan kiinteä tästä differentiaaliyhtälöstä.

Yleinen ratkaisu ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön funktioperhe muotoa
, riippuen mielivaltaisesta vakiosta KANSSA, joista jokainen on ratkaisu annettuun differentiaaliyhtälöön mielivaltaisen vakion mille tahansa sallitulle arvolle KANSSA. Differentiaaliyhtälöllä on siis ääretön määrä ratkaisuja.

Yksityinen päätös differentiaaliyhtälö on ratkaisu, joka saadaan yleisestä ratkaisukaavasta mielivaltaisen vakion tietylle arvolle KANSSA, mukaan lukien
.

Cauchyn ongelma ja sen geometrinen tulkinta

Yhtälöllä (2) on ääretön määrä ratkaisuja. Jotta voit valita tästä joukosta yhden ratkaisun, jota kutsutaan yksityiseksi, sinun on asetettava joitain lisäehtoja.

Ongelmaa tietyn ratkaisun löytämisestä yhtälölle (2) tietyissä olosuhteissa kutsutaan Cauchy ongelma . Tämä ongelma on yksi tärkeimmistä differentiaaliyhtälöiden teoriassa.

Cauchyn ongelma on muotoiltu seuraavasti: Etsi yhtälön (2) kaikista ratkaisuista sellainen ratkaisu
, jossa funktio
ottaa annetun numeerisen arvon , jos riippumaton muuttuja x ottaa annetun numeerisen arvon , eli

,
, (5)

Missä D– toiminnon määrittelyalue
.

Merkitys nimeltään funktion alkuarvo , A – riippumattoman muuttujan alkuarvo . Ehtoa (5) kutsutaan alkutila tai Kauhea kunto .

Geometrialta katsottuna Cauchyn ongelma differentiaaliyhtälölle (2) voidaan muotoilla seuraavasti: valitse yhtälön (2) integraalikäyrien joukosta se, joka kulkee tietyn pisteen läpi
.

Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Yksi yksinkertaisimmista differentiaaliyhtälöiden tyypeistä on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka ei sisällä haluttua funktiota:

. (6)

Ottaen huomioon
, kirjoitamme yhtälön muotoon
tai
. Integroimalla viimeisen yhtälön molemmat puolet, saamme:
tai

. (7)

Siten (7) on yleinen ratkaisu yhtälölle (6).

Esimerkki 1 . Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu
.

Ratkaisu . Kirjoitetaan yhtälö muotoon
tai
. Integroidaan tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet:
,
. Viimeinkin kirjoitamme sen ylös
.

Esimerkki 2 . Etsi yhtälön ratkaisu
olettaen että
.

Ratkaisu . Etsitään yhtälölle yleinen ratkaisu:
,
,
,
. Ehdon mukaan
,
. Korvataan yleiseen ratkaisuun:
tai
. Korvaamme mielivaltaisen vakion löydetyn arvon yleisen ratkaisun kaavaan:
. Tämä on differentiaaliyhtälön erityinen ratkaisu, joka täyttää annetun ehdon.

Yhtälö

(8)

Nimeltään ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka ei sisällä riippumatonta muuttujaa . Kirjoitetaan se lomakkeeseen
tai
. Integroidaan viimeisen yhtälön molemmat puolet:
tai
- yhtälön (8) yleinen ratkaisu.

Esimerkki . Etsi yhtälön yleinen ratkaisu
.

Ratkaisu . Kirjoitetaan tämä yhtälö muodossa:
tai
. Sitten
,
,
,
. Täten,
on tämän yhtälön yleinen ratkaisu.

Muodon yhtälö

(9)

integroi käyttämällä muuttujien erottelua. Tätä varten kirjoitamme yhtälön muotoon
ja sitten kerto- ja jakolaskuoperaatioilla saamme sen sellaiseen muotoon, että yksi osa sisältää vain funktion X ja erotus dx, ja toisessa osassa – funktio klo ja erotus dy. Tätä varten yhtälön molemmat puolet on kerrottava dx ja jakaa
. Tuloksena saamme yhtälön

, (10)

jossa muuttujat X Ja klo erotettu. Integroidaan yhtälön (10) molemmat puolet:
. Tuloksena oleva relaatio on yhtälön (9) yleinen integraali.

Esimerkki 3 . Integroi yhtälö
.

Ratkaisu . Muunnetaan yhtälö ja erotetaan muuttujat:
,
. Integroidaan:
,
tai on tämän yhtälön yleinen integraali.
.

Olkoon yhtälö annettu muodossa

Tätä yhtälöä kutsutaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö erotettavilla muuttujilla symmetrisessä muodossa.

Jos haluat erottaa muuttujat, sinun on jaettava yhtälön molemmat puolet
:

. (12)

Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan erotettu differentiaaliyhtälö . Integroidaan yhtälö (12):

.(13)

Relaatio (13) on differentiaaliyhtälön (11) yleinen integraali.

Esimerkki 4 . Integroi differentiaaliyhtälö.

Ratkaisu . Kirjoitetaan yhtälö muotoon

ja jaa molemmat osat arvolla
,
. Tuloksena oleva yhtälö:
on erotettu muuttujayhtälö. Integroidaan se:

,
,

,
. Viimeinen yhtälö on tämän differentiaaliyhtälön yleinen integraali.

Esimerkki 5 . Etsi erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön
, ehtoa tyydyttävä
.

Ratkaisu . Ottaen huomioon
, kirjoitamme yhtälön muotoon
tai
. Erottelemme muuttujat:
. Integroidaan tämä yhtälö:
,
,
. Tuloksena oleva relaatio on tämän yhtälön yleinen integraali. Ehdon mukaan
. Korvataan se yleiseen integraaliin ja etsitään KANSSA:
,KANSSA=1. Sitten ilmaisu
on tietyn differentiaaliyhtälön osittaisratkaisu, joka on kirjoitettu osittaisintegraaliksi.

Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

Yhtälö

(14)

nimeltään ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö . Tuntematon toiminto
ja sen derivaatta tulevat tähän yhtälöön lineaarisesti, ja funktiot
Ja
jatkuva.

Jos
, sitten yhtälö

(15)

nimeltään lineaarinen homogeeninen . Jos
, niin kutsutaan yhtälöä (14). lineaarinen epähomogeeninen .

Ratkaisun löytämiseksi yhtälölle (14) käytetään yleensä korvausmenetelmä (Bernoulli) , jonka olemus on seuraava.

Etsimme ratkaisua yhtälöön (14) kahden funktion tulon muodossa

, (16)

Missä
Ja
- Jotkut jatkuvat toiminnot. Korvataan
ja johdannainen
yhtälöön (14):

Toiminto v valitsemme siten, että ehto täyttyy
. Sitten
. Siten yhtälön (14) ratkaisun löytämiseksi on tarpeen ratkaista differentiaaliyhtälöjärjestelmä

Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on lineaarinen homogeeninen yhtälö, ja se voidaan ratkaista muuttujien erotusmenetelmällä:
,
,
,
,
. Toiminnona
voit ottaa yhden homogeenisen yhtälön osaratkaisuista, ts. klo KANSSA=1:
. Korvataan järjestelmän toiseen yhtälöön:
tai
.Sitten
. Siten ensimmäisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleisratkaisulla on muoto
.

Esimerkki 6 . Ratkaise yhtälö
.

Ratkaisu . Etsimme ratkaisua yhtälölle muodossa
. Sitten
. Korvataan yhtälöön:

tai
. Toiminto v valita siten, että tasa-arvo pätee
. Sitten
. Ratkaistaan ​​ensimmäinen näistä yhtälöistä käyttämällä muuttujien erotusmenetelmää:
,
,
,
,. Toiminto v Korvataan toiseen yhtälöön:
,
,
,
. Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on
.

Kysymyksiä tiedon itsehallinnasta

Mikä on differentiaaliyhtälö?

Mikä on differentiaaliyhtälön järjestys?

Mitä differentiaaliyhtälöä kutsutaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöksi?

Miten ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan differentiaalimuotoon?

Mikä on differentiaaliyhtälön ratkaisu?

Mikä on integraalikäyrä?

Mikä on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu?

Mitä kutsutaan differentiaaliyhtälön osittaisratkaisuksi?

Miten Cauchyn ongelma muotoillaan ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle?

Mikä on Cauchyn ongelman geometrinen tulkinta?

Kuinka kirjoittaa differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia symmetrisessä muodossa?

Mitä yhtälöä kutsutaan ensimmäisen asteen lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi?

Millä menetelmällä voidaan ratkaista ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö ja mikä on tämän menetelmän ydin?

Tehtävät itsenäiseen työhön

Ratkaise differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Ratkaise ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Joissakin fysiikan ongelmissa ei ole mahdollista muodostaa suoraa yhteyttä prosessia kuvaavien suureiden välille. Mutta on mahdollista saada yhtälö, joka sisältää tutkittavien funktioiden derivaatat. Näin syntyvät differentiaaliyhtälöt ja tarve ratkaista ne tuntemattoman funktion löytämiseksi.

Tämä artikkeli on tarkoitettu niille, jotka kohtaavat ongelman ratkaista differentiaaliyhtälö, jossa tuntematon funktio on yhden muuttujan funktio. Teoria on rakennettu siten, että ilman differentiaaliyhtälöiden tuntemusta selviät tehtävästäsi.

Jokaiseen differentiaaliyhtälötyyppiin liittyy ratkaisumenetelmä, joka sisältää yksityiskohtaiset selitykset ja ratkaisut tyypillisiin esimerkkeihin ja ongelmiin. Sinun tarvitsee vain määrittää ongelmasi differentiaaliyhtälön tyyppi, löytää samanlainen analysoitu esimerkki ja suorittaa samanlaiset toimet.

Differentiaaliyhtälöiden onnistuneeseen ratkaisemiseen tarvitaan myös kyky löytää eri funktioiden antiderivaatteja (epämääräisiä integraaleja). Suosittelemme tarvittaessa tutustumaan kohtaan.

Ensin tarkastelemme ensimmäisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden tyyppejä, jotka voidaan ratkaista derivaatan suhteen, sitten siirrymme toisen kertaluvun ODE:ihin, sitten pysähdymme korkeamman kertaluvun yhtälöihin ja lopetamme järjestelmiin differentiaaliyhtälöt.

Muista, että jos y on argumentin x funktio.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt.

Muodon yksinkertaisimmat ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt.

Kirjoitetaanpa muutama esimerkki tällaisesta kaukosäätimestä .

Differentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista derivaatan suhteen jakamalla yhtälön molemmat puolet f(x) :llä . Tässä tapauksessa saamme yhtälöön, joka vastaa alkuperäistä yhtälöä f(x) ≠ 0. Esimerkkejä tällaisista ODE:istä ovat .

Jos argumentissa x on arvoja, joissa funktiot f(x) ja g(x) katoavat samanaikaisesti, ilmestyy lisäratkaisuja. Lisäratkaisuja yhtälöön annettu x ovat mitkä tahansa näille argumenttiarvoille määritettyjä funktioita. Esimerkkejä tällaisista differentiaaliyhtälöistä ovat:

Toisen asteen differentiaaliyhtälöt.

Toisen asteen lineaariset homogeeniset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla.

LDE vakiokertoimilla on hyvin yleinen differentiaaliyhtälön tyyppi. Niiden ratkaisu ei ole erityisen vaikea. Ensin löydetään ominaisyhtälön juuret . Eri p:lle ja q:lle kolme tapausta on mahdollista: ominaisyhtälön juuret voivat olla todellisia ja erilaisia, todellisia ja yhteensopivia tai kompleksisia konjugaatteja. Ominaisuusyhtälön juurien arvoista riippuen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti , tai , tai vastaavasti.

Tarkastellaan esimerkiksi lineaarista homogeenista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä vakiokertoimilla. Sen ominaisyhtälön juuret ovat k 1 = -3 ja k 2 = 0. Juuret ovat todellisia ja erilaisia, joten LODE:n yleisellä ratkaisulla vakiokertoimilla on muoto


Toisen asteen lineaariset epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla.

Toisen kertaluvun LDDE:n yleisratkaisua vakiokertoimilla y etsitään vastaavan LDDE:n yleisratkaisun summan muodossa. ja erityinen ratkaisu alkuperäiseen ei ole homogeeninen yhtälö, tuo on, . Edellinen kappale on omistettu yleisen ratkaisun löytämiselle homogeeniselle differentiaaliyhtälölle vakiokertoimilla. Ja tietty ratkaisu määräytyy joko menetelmän mukaan epävarmat kertoimet funktion f(x) tietylle muodolle alkuperäisen yhtälön oikealla puolella tai mielivaltaisten vakioiden vaihtelumenetelmällä.

Esimerkkeinä toisen asteen LDDE:istä, joilla on vakiokertoimet, annamme


Ymmärrä teoria ja tutustu siihen yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja Tarjoamme sivulla esimerkkejä toisen asteen lineaarisista epähomogeenisista differentiaaliyhtälöistä vakiokertoimilla.

Lineaariset homogeeniset differentiaaliyhtälöt (LODE) ja toisen asteen lineaariset epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (LNDE).

Tämän tyyppisten differentiaaliyhtälöiden erikoistapaus ovat LODE ja LDDE vakiokertoimilla.

LODE:n yleinen ratkaisu tietyllä segmentillä esitetään tämän yhtälön kahden lineaarisesti riippumattoman osaratkaisun y 1 ja y 2 lineaarisella yhdistelmällä, eli .

Päävaikeus koostuu nimenomaan lineaarisesti riippumattomien osittaisten ratkaisujen löytämisestä tämän tyyppiselle differentiaaliyhtälölle. Tyypillisesti tietyt ratkaisut valitaan seuraavista lineaarisesti riippumattomien funktioiden järjestelmistä:


Erityisiä ratkaisuja ei kuitenkaan aina esitetä tässä muodossa.

Esimerkki LOD:sta on .

LDDE:n yleistä ratkaisua etsitään muodossa , jossa on vastaavan LDDE:n yleinen ratkaisu, ja se on alkuperäisen differentiaaliyhtälön erityinen ratkaisu. Puhuimme juuri sen löytämisestä, mutta se voidaan määrittää käyttämällä mielivaltaisten vakioiden vaihtelumenetelmää.

Voidaan antaa esimerkki LNDU:sta .

Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt.

Differentiaaliyhtälöt, jotka mahdollistavat pelkistyksen järjestyksessä.

Differentiaaliyhtälön järjestys , joka ei sisällä haluttua funktiota ja sen derivaattoja aina k-1 luokkaan asti, voidaan pienentää n-k:ksi korvaamalla .

Tässä tapauksessa alkuperäinen differentiaaliyhtälö pienennetään arvoon . Kun ratkaisunsa p(x) on löydetty, jää palaa korvaukseen ja määrittää tuntematon funktio y.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö korvauksen jälkeen siitä tulee yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia, ja sen järjestys pienenee kolmannesta ensimmäiseen.

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka yhdistää riippumattoman muuttujan x, halutun funktion y=f(x) ja sen derivaatat y",y",\ldots,y^((n)), eli muodon yhtälö

F(x,y,y",y",\ldots,y^((n)))=0.

Jos haluttu funktio y=y(x) on yhden riippumattoman muuttujan x funktio, kutsutaan differentiaaliyhtälöä tavalliseksi; Esimerkiksi,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Kun haluttu funktio y on kahden tai useamman riippumattoman muuttujan funktio, esimerkiksi jos y=y(x,t) , yhtälö on muotoa

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

Differentiaaliyhtälön järjestys on yhtälössä esiintyvän suurimman derivaatan järjestys. Esimerkiksi differentiaaliyhtälö y"+xy=e^x on ensimmäisen asteen yhtälö, differentiaaliyhtälö y""+p(x)y=0, jossa p(x) on tunnettu funktio, on toisen asteen yhtälö. kertalukuyhtälö; differentiaaliyhtälö y^( (9))-xy""=x^2 - 9. kertaluvun yhtälö.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Välin (a,b) n:s kertaluku on funktio y=\varphi(x), joka on määritetty välille (a,b) ja sen derivaatat n:nnen kertaluvun mukaan lukien ja siten, että funktion y=\ korvaaminen varphi (x) differentiaaliyhtälöksi muuttaa jälkimmäisen identiteetiksi x:ssä on (a,b) . Esimerkiksi funktio y=\sin(x)+\cos(x) on ratkaisu yhtälöön y""+y=0 välissä (-\infty,+\infty). Itse asiassa meillä on funktion erottaminen kahdesti

y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

Korvaamalla lausekkeet y"" ja y differentiaaliyhtälöön saadaan identiteetti

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

Differentiaaliyhtälön ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä tämä yhtälö.

Ensimmäisen kertaluvun yhtälön yleinen muoto

F(x,y,y")=0.

Jos yhtälö (1) voidaan ratkaista suhteessa y", niin saamme ensimmäisen kertaluvun yhtälö ratkaistu derivaatan suhteen.

y"=f(x,y).

Cauchyn ongelma on ongelma löytää ratkaisu y=y(x) yhtälöön y"=f(x,y), joka täyttää alkuehdon y(x_0)=y_0 (toinen merkintä y|_(x=x_0)= y_0).

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että etsimme integraalikäyrää, joka kulkee tietyn läpi
xOy-tason piste M_0(x_0,y_0) (kuva 1).

Olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslause Cauchyn ongelman ratkaisuun

Olkoon differentiaaliyhtälö y"=f(x,y), jossa funktio f(x,y) on määritelty jollain xOy-tason alueella D, joka sisältää pisteen (x_0,y_0). Jos funktio f(x) ,y) täyttää ehdot

a) f(x,y) on jatkuva toiminto kaksi muuttujaa x ja y alueella D;

b) f(x,y):llä on osittaisderivaata, joka on rajoitettu alueelle D, silloin on väli (x_0-h,x_0+h), jolla on tämän yhtälön ainutlaatuinen ratkaisu y=\varphi(x), joka täyttää ehdon y(x_0 )=y_0 .

Lause tarjoaa riittävät ehdot Cauchyn ongelman ainutlaatuisen ratkaisun olemassaololle yhtälölle y"=f(x,y) , mutta nämä ehdot eivät ole tarpeellista. Nimittäin yhtälölle y"=f(x,y) voi olla ainutlaatuinen ratkaisu, joka täyttää ehdon y(x_0)=y_0, vaikka pisteessä (x_0,y_0) ehdot a) tai b) tai molemmat eivät ole tyytyväinen.

Katsotaanpa esimerkkejä.

1. y"=\frac(1)(y^2) . Tässä f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). Ox-akselin pisteissä (x_0,0) ehdot a) ja b) eivät täyty (funktio f(x,y) ja sen osaderivaata \frac(\partial(f))(\partial(y)) ovat epäjatkuvia Ox-akselilla ja rajoittamattomia kohdassa y\to0), mutta kunkin Ox-akselin pisteen läpi kulkee yksi integraalikäyrä y=\sqrt(3(x-x_0))(Kuva 2).

2. y"=xy+e^(-y). Yhtälön f(x,y)=xy+e^(-y) oikea puoli ja sen osaderivaata \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y) jatkuva x:ssä ja y:ssä kaikissa xOy-tason pisteissä. Olemassaolon ja ainutlaatuisuuslauseen perusteella alue, jossa annetulla yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu
on koko xOy-taso.

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). Yhtälön oikea puoli f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2) määritelty ja jatkuva xOy-tason kaikissa pisteissä. Osittainen johdannainen \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y)) menee äärettömään, kun y=0, ts. Ox-akselilla siten, että y=0:ssa olemassaolon ja ainutlaatuisuuslauseen ehto b) rikotaan. Tämän seurauksena Ox-akselin kohdissa yksilöllisyyttä voidaan loukata. On helppo varmistaa, että funktio on ratkaisu tähän yhtälöön. Lisäksi yhtälöllä on ilmeinen ratkaisu y\equiv0 . Siten vähintään kaksi integraaliviivaa kulkee kunkin Ox-akselin pisteen läpi ja tämän akselin pisteissä yksilöllisyys todellakin rikotaan (kuva 3).

Tämän yhtälön integraaliviivat ovat myös viivoja, jotka koostuvat kuutiomaisten paraabelien paloista y=\frac((x+c)^3)(8) ja Ox-akselin segmentit, esimerkiksi ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x jne., niin että ääretön määrä integraaliviivoja kulkee kunkin Ox-akselin pisteen läpi.

Lipschitz kunto

Kommentti. Edellytys, että derivaatta on rajoitettu \partial(f)/\partial(y), joka esiintyy Cauchyn ongelman ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden lauseessa, voidaan jonkin verran heikentää ja korvata ns. Lipschitz kunto.

Jossain alueella D määritellyn funktion f(x,y) sanotaan täyttävän D:n y:n Lipschitzin ehdon, jos on olemassa sellainen vakio L ( Lipschitzin vakio), että mille tahansa y_1,y_2:lle D:stä ja mille tahansa x:lle D:stä seuraava epäyhtälö pätee:

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Rajoitettu derivaatan olemassaolo alueella D \frac(\partial(f))(\partial(y)) riittää, että funktio f(x,y) täyttää Lipschitzin ehdon D:ssä. Päinvastoin, Lipschitzin ehto ei tarkoita rajoitusehtoa \frac(\partial(f))(\partial(y)); jälkimmäistä ei ehkä ole edes olemassa. Esimerkiksi yhtälölle y"=2|y|\cos(x) funktio f(x,y)=2|y|\cos(x) ei erotettavissa y:n suhteen pisteessä (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z), mutta Lipschitzin ehto täyttyy tämän pisteen läheisyydessä. Todellakin,

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

koska |\cos(x)|\leqslant1, A ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Siten Lipschitzin ehto täyttyy vakiolla L=2.

Lause. Jos funktio f(x,y) on jatkuva ja täyttää Lipschitzin ehdon y:lle alueella D, niin Cauchyn ongelma

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

Lipschitzin ehto on välttämätön Cauchyn ongelman ratkaisun ainutlaatuisuudelle. Esimerkkinä harkitse yhtälöä

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(tapaukset)

On helppo nähdä, että funktio f(x,y) on jatkuva; toisella puolella,

f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

Jos y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, Että

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta ^2))|Y-y|,

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista y=C^2-\sqrt(x^4+C^4), jossa C on mielivaltainen vakio. Tämä osoittaa, että on ääretön määrä ratkaisuja, jotka täyttävät alkuehdon y(0)=0.

Yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöä (2) kutsutaan funktioksi

y=\varphi(x,C),

1) se täyttää yhtälön (2) kaikille vakion C sallituille arvoille;

2) mikä tahansa alkuehto

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

Yksityinen päätös differentiaaliyhtälö (2) on ratkaisu, joka saadaan yleisestä ratkaisusta (3) mielivaltaisen vakion C tietylle arvolle.

Esimerkki 1. Tarkista, että funktio y=x+C on yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön y"=1 ja etsi erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdon y|_(x=0)=0. Anna geometrinen tulkinta lopputulos.

Ratkaisu. Funktio y=x+C täyttää tämän yhtälön mille tahansa mielivaltaisen vakion C arvolle. Todellakin, y"=(x+C)"=1.

Asetetaan mielivaltainen alkuehto y|_(x=x_0)=y_0 . Laittamalla x=x_0 ja y=y_0 yhtälään y=x+C, huomaamme, että C=y_0-x_0. Kun tämä C:n arvo korvataan tähän funktioon, saadaan y=x+y_0-x_0. Tämä funktio täyttää annetun alkuehdon: laittamalla x=x_0, saamme y=x_0+y_0-x_0=y_0. Joten funktio y=x+C on yleinen ratkaisu tähän yhtälöön.

Erityisesti olettaen, että x_0=0 ja y_0=0, saadaan tietty ratkaisu y=x.

Tämän yhtälön yleinen ratkaisu, ts. funktio y=x+C määrittää xOy-tasossa yhdensuuntaisten suorien perheen, joiden kulmakerroin k=1. Jokaisen xOy-tason pisteen M_0(x_0,y_0) läpi kulkee yksi integraaliviiva y=x+y_0-x_0. Tietty ratkaisu y=x määrittää yhden integraalikäyristä, nimittäin origon kautta kulkevan suoran (kuva 4).

Esimerkki 2. Tarkista, että funktio y=Ce^x on yleinen ratkaisu yhtälöön y"-y=0 ja etsi erityinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdon y|_(x=1)=-1. .

Ratkaisu. Meillä on y=Ce^x,~y"=Ce^x. Korvaamalla lausekkeet y ja y" tähän yhtälöön, saadaan Ce^x-Ce^x\equiv0, eli funktio y=Ce^x täyttää tämän yhtälön mille tahansa vakion C arvolle.

Asetetaan mielivaltainen alkuehto y|_(x=x_0)=y_0 . Korvaamalla x_0 ja y_0 x:n ja y:n sijasta funktioon y=Ce^x, saamme y_0=Ce^(x_0) , josta C=y_0e^(-x_0) . Funktio y=y_0e^(x-x_0) täyttää alkuehdon. Todellakin, olettaen x=x_0, saamme y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. Funktio y=Ce^x on tämän yhtälön yleinen ratkaisu.

Kohdille x_0=1 ja y_0=-1 saadaan tietty ratkaisu y=-e^(x-1) .

Geometrialta katsottuna yleinen ratkaisu määrittää integraalikäyrien perheen, jotka ovat eksponentiaalisten funktioiden kuvaajia; tietty ratkaisu on pisteen M_0(1;-1) kautta kulkeva integraalikäyrä (kuva 5).

Relaatio muotoa \Phi(x,y,C)=0, joka implisiittisesti määrittelee yleisen ratkaisun, kutsutaan yleinen integraali ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö.

Yleisestä integraalista saatua relaatiota vakion C tietylle arvolle kutsutaan osittainen integraali differentiaaliyhtälö.

Differentiaaliyhtälön ratkaisemisen tai integroinnin ongelmana on löytää annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu tai yleinen integraali. Jos alkuehto on lisäksi määritelty, on tarpeen valita tietty ratkaisu tai osaintegraali, joka täyttää annetun alkuehdon.

Koska geometriselta kannalta katsottuna koordinaatit x ja y ovat yhtä suuret, niin yhtälön kanssa \frac(dx)(dy)=f(x,y) tarkastelemme yhtälöä \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

Differentiaaliyhtälö (DE) - tämä on yhtälö,
missä ovat riippumattomat muuttujat, y on funktio ja osittaiset derivaatat.

Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jolla on vain yksi riippumaton muuttuja, .

Osittaisdifferentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on kaksi tai useampia riippumattomia muuttujia.

Sanat "tavallinen" ja "osittaisjohdannaiset" voidaan jättää pois, jos on selvää, mitä yhtälöä tarkastellaan. Seuraavassa tarkastellaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä.

Differentiaaliyhtälön järjestys on korkeimman derivaatan järjestys.

Tässä on esimerkki ensimmäisen asteen yhtälöstä:

Tässä on esimerkki neljännen kertaluvun yhtälöstä:

Joskus ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö kirjoitetaan differentiaalien avulla:

Tässä tapauksessa muuttujat x ja y ovat yhtä suuret. Eli riippumaton muuttuja voi olla joko x tai y. Ensimmäisessä tapauksessa y on x:n funktio. Toisessa tapauksessa x on y:n funktio. Tarvittaessa voimme pelkistää tämän yhtälön muotoon, joka eksplisiittisesti sisältää derivaatan y′.
Jakamalla tämän yhtälön dx:llä saamme:
.
Koska ja, siitä seuraa siitä
.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

Alkuperäisten funktioiden johdannaiset ilmaistaan ​​alkeisfunktioiden kautta. Alkeisfunktioiden integraaleja ei usein ilmaista alkeisfunktioilla. Differentiaaliyhtälöiden kanssa tilanne on vielä pahempi. Ratkaisun tuloksena voit saada:

• funktion eksplisiittinen riippuvuus muuttujasta;

  Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen on funktio y = u (x), joka on määritelty, n kertaa differentioituva ja .

• implisiittinen riippuvuus tyypin Φ yhtälön muodossa (x, y) = 0 tai yhtälöjärjestelmät;

  Differentiaaliyhtälön integraali on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, jolla on implisiittinen muoto.

• alkeisfunktioiden ja niiden integraalien kautta ilmaistu riippuvuus;

  Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen kvadratuurissa - tämä on ratkaisun löytäminen alkeisfunktioiden ja niiden integraalien yhdistelmän muodossa.

• ratkaisua ei voi ilmaista alkeisfunktioiden kautta.

Koska differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen rajoittuu integraalien laskemiseen, ratkaisu sisältää joukon vakioita C 1, C 2, C 3, ... C n. Vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Differentiaaliyhtälön osaintegraali on yleinen integraali vakioiden C 1, C 2, C 3, ..., C n annetuille arvoille.

Viitteet:
V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Korkeamman matematiikan tehtäväkokoelma, "Lan", 2003.

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan. Useimmissa käytännön ongelmissa funktiot ovat fyysisiä määriä, derivaatat vastaavat näiden suureiden muutosnopeuksia, ja yhtälö määrittää niiden välisen suhteen.

Tässä artikkelissa käsitellään menetelmiä tietyntyyppisten tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, joiden ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon perustoiminnot, eli polynominen, eksponentiaalinen, logaritminen ja trigonometrinen, sekä niiden käänteisfunktiot. Monet näistä yhtälöistä esiintyvät tosielämässä, vaikka useimpia muita differentiaaliyhtälöitä ei voida ratkaista näillä menetelmillä, ja niille vastaus kirjoitetaan erikoisfunktioiden tai funktioiden muodossa. teho sarja, tai se löydetään numeerisilla menetelmillä.

Ymmärtääksesi tämän artikkelin, sinun on oltava taitava differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä jonkin verran ymmärrystä osittaisista derivaatoista. On myös suositeltavaa tuntea lineaarisen algebran perusteet differentiaaliyhtälöiden, erityisesti toisen asteen differentiaaliyhtälöiden, perusteet, vaikka niiden ratkaisemiseen riittääkin differentiaali- ja integraalilaskennan tuntemus.

Ennakkotiedot

• Differentiaaliyhtälöillä on laaja luokitus. Tässä artikkelissa puhutaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä, eli yhtälöistä, jotka sisältävät yhden muuttujan funktion ja sen derivaatat. Tavallisia differentiaaliyhtälöitä on paljon helpompi ymmärtää ja ratkaista kuin osittaisdifferentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät useiden muuttujien funktioita. Tässä artikkelissa ei käsitellä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, koska näiden yhtälöiden ratkaisumenetelmät määräytyvät yleensä niiden tietyn muodon mukaan.
  • Alla on esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Alla on esimerkkejä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\osittainen y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Tilaus differentiaaliyhtälön arvo määräytyy tähän yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestyksessä. Ensimmäinen yllä olevista tavallisista differentiaaliyhtälöistä on ensimmäisen kertaluvun yhtälö, kun taas toinen on toisen kertaluvun yhtälö. Tutkinto kutsutaan differentiaaliyhtälöksi korkein tutkinto, johon yksi tämän yhtälön ehdoista korotetaan.
  • Esimerkiksi alla oleva yhtälö on kolmannen asteen ja toisen asteen.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ oikea)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differentiaaliyhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö siinä tapauksessa, että funktio ja kaikki sen derivaatat ovat ensimmäisessä asteessa. Muuten yhtälö on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat merkittäviä siinä mielessä, että niiden ratkaisuilla voidaan muodostaa lineaarisia yhdistelmiä, jotka ovat myös ratkaisuja annettuun yhtälöön.
  • Alla on esimerkkejä lineaarisista differentiaaliyhtälöistä.
  • Alla on esimerkkejä epälineaarisista differentiaaliyhtälöistä. Ensimmäinen yhtälö on epälineaarinen sinitermin vuoksi.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Yhteinen päätös tavallinen differentiaaliyhtälö ei ole ainutlaatuinen, se sisältää mielivaltaiset integrointivakiot. Useimmissa tapauksissa mielivaltaisten vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Käytännössä näiden vakioiden arvot määritetään annettujen perusteella alkuolosuhteet eli funktion ja sen johdannaisten arvojen mukaan x = 0. (\displaystyle x=0.) Alkuehtojen lukumäärä, jotka on löydettävä yksityinen ratkaisu differentiaaliyhtälö, useimmissa tapauksissa on myös yhtä suuri kuin annetun yhtälön järjestys.
  • Esimerkiksi tässä artikkelissa tarkastellaan alla olevan yhtälön ratkaisemista. Tämä on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö. Sen yleinen ratkaisu sisältää kaksi mielivaltaista vakiota. Näiden vakioiden löytämiseksi on tarpeen tietää alkuehdot at x (0) (\displaystyle x(0)) Ja x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Yleensä alkuehdot määritellään pisteessä x = 0, (\displaystyle x=0,), vaikka tämä ei ole välttämätöntä. Tässä artikkelissa keskustellaan myös siitä, kuinka löytää tiettyjä ratkaisuja tietyille alkuolosuhteille.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Askeleet

Osa 1

Tätä palvelua käytettäessä osa tiedoista saatetaan siirtää YouTubeen.

1. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt. Tässä osiossa käsitellään menetelmiä ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi yleisesti ja erikoistapauksissa, joissa jotkut termit ovat yhtä kuin nolla. Teeskennetäänpä sitä y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Ja q (x) (\displaystyle q(x)) ovat toimintoja x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\näyttötyyli (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Yhden pääteoreeman mukaan matemaattinen analyysi, funktion derivaatan integraali on myös funktio. Näin ollen riittää, että yhtälö yksinkertaisesti integroidaan ratkaisun löytämiseksi. Se on otettava huomioon laskettaessa epämääräinen integraali mielivaltainen vakio tulee näkyviin.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\näyttötyyli y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Käytämme menetelmää muuttujien erottelu. Tämä siirtää eri muuttujat yhtälön eri puolille. Voit esimerkiksi siirtää kaikki jäsenet kohteesta y (\displaystyle y) yhdeksi ja kaikki jäsenet x (\displaystyle x) yhtälön toiselle puolelle. Jäseniä voidaan myös siirtää d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Ja d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), jotka sisältyvät johdannaislausekkeisiin, mutta on muistettava, että nämä ovat vain symboli, mikä on kätevää erotettaessa monimutkainen toiminto. Keskustelu näistä jäsenistä, jotka ovat ns erottimet, ei kuulu tämän artikkelin soveltamisalaan.

   • Ensin sinun on siirrettävä muuttujat yhtäläisyysmerkin vastakkaisille puolille.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\näyttötyyli (\frac (1) (y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integroidaan yhtälön molemmat puolet. Integroinnin jälkeen molemmille puolille ilmestyy mielivaltaisia ​​vakioita, jotka voidaan siirtää yhtälön oikealle puolelle.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\näyttötyyli y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.1. Viimeisessä vaiheessa käytimme sääntöä e a + b = e a e b (\näyttötyyli e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ja vaihdettu e C (\displaystyle e^(C)) päällä C (\displaystyle C), koska tämä on myös mielivaltainen integrointivakio.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(tasattu)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Esittelimme yleisen ratkaisun löytämiseksi integroiva tekijä funktiona x (\displaystyle x) pelkistääksesi vasemman puolen yhteiseksi derivaatiksi ja siten ratkaistaksesi yhtälön.

   • Kerro molemmat puolet μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Vasemman puolen pelkistämiseksi yleisderivaataan on tehtävä seuraavat muunnokset:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Viimeinen tasa-arvo tarkoittaa sitä d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tämä on integroiva tekijä, joka riittää ratkaisemaan minkä tahansa ensimmäisen asteen lineaariyhtälön. Nyt voimme johtaa kaavan tämän yhtälön ratkaisemiseksi suhteessa μ , (\displaystyle \mu ,) vaikka koulutuksessa on hyödyllistä tehdä kaikki välilaskelmat.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.2. Tämä esimerkki näyttää kuinka löytää tietty ratkaisu differentiaaliyhtälöön annetuilla alkuehdoilla.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\näyttötyyli \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d t t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(tasattu)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(tasattu)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Epälineaariset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt. Tässä osassa käsitellään menetelmiä joidenkin ensimmäisen asteen epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Vaikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa yleistä menetelmää, jotkin niistä voidaan ratkaista alla olevilla menetelmillä.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jos toiminto f (x , y) = h (x) g (y) (\näyttötyyli f(x,y)=h(x)g(y)) voidaan jakaa yhden muuttujan funktioiksi, tällaista yhtälöä kutsutaan differentiaaliyhtälö erotettavilla muuttujilla. Tässä tapauksessa voit käyttää yllä olevaa menetelmää:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Esimerkki 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\näyttötyyli (\ alkaa(tasattu)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(tasattu)))

   D y d x = g(x, y) h(x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Teeskennetäänpä sitä g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Ja h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) ovat toimintoja x (\displaystyle x) Ja y. (\displaystyle y.) Sitten homogeeninen differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa g (\displaystyle g) Ja h (\displaystyle h) ovat homogeeniset toiminnot samassa määrin. Eli toimintojen on täytettävä ehto g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Missä k (\displaystyle k) kutsutaan homogeenisuusasteeksi. Mitä tahansa homogeenista differentiaaliyhtälöä voidaan käyttää sopivalla muuttujien korvaukset (v = y / x (\displaystyle v=y/x) tai v = x / y (\displaystyle v=x/y)) muuntaa erotettavissa olevaksi yhtälöksi.

   • Esimerkki 1.4. Yllä oleva homogeenisuuden kuvaus saattaa tuntua epäselvältä. Katsotaanpa tätä konseptia esimerkin avulla.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Aluksi on huomattava, että tämä yhtälö on epälineaarinen suhteessa y. (\displaystyle y.) Näemme myös, että tässä tapauksessa on mahdotonta erottaa muuttujia. Samalla tämä differentiaaliyhtälö on homogeeninen, koska sekä osoittaja että nimittäjä ovat homogeenisia potenssilla 3. Siksi voimme tehdä muuttujien muutoksen v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Tämän seurauksena meillä on yhtälö for v (\displaystyle v) erotettavissa olevilla muuttujilla.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Tämä Bernoullin differentiaaliyhtälö- erityinen ensimmäisen asteen epälineaarinen yhtälö, jonka ratkaisu voidaan kirjoittaa alkeisfunktioilla.

   • Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\näyttötyyli (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Käytämme sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseen vasemmalla puolella ja muunnamme yhtälön muotoon lineaarinen yhtälö suhteellisesti y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) jotka voidaan ratkaista yllä olevilla menetelmillä.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\näyttötyyli M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) Tämä yhtälö kokonaisdifferentiaaleina. On tarpeen löytää ns potentiaalinen toiminto φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), joka täyttää ehdon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Tämän ehdon täyttämiseksi tarvitaan kokonaisjohdannainen. Kokonaisderivaata ottaa huomioon riippuvuuden muista muuttujista. Kokonaisjohdannaisen laskeminen φ (\displaystyle \varphi) Tekijä: x , (\displaystyle x,) oletamme niin y (\displaystyle y) voi myös riippua x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Ehtojen vertailu antaa meille M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Ja N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tämä on tyypillinen tulos useiden muuttujien yhtälöille, joissa tasaisten funktioiden sekaderivaatat ovat keskenään yhtä suuret. Joskus tätä tapausta kutsutaan Clairaut'n lause. Tässä tapauksessa differentiaaliyhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö, jos seuraava ehto täyttyy:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Menetelmä kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi on samanlainen kuin potentiaalisten funktioiden löytäminen useiden derivaattojen läsnä ollessa, joita käsittelemme lyhyesti. Ensin integroidaan M (\displaystyle M) Tekijä: x. (\displaystyle x.) Koska M (\displaystyle M) on toiminto ja x (\displaystyle x), Ja y , (\displaystyle y,) integroinnin yhteydessä saamme epätäydellisen funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) nimetty φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Tulos riippuu myös y (\displaystyle y) integraatiovakio.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Tämän jälkeen saada c (y) (\displaystyle c(y)) voimme ottaa tuloksena olevan funktion osittaisen derivaatan suhteessa y , (\displaystyle y,) rinnastaa tulos N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) ja integroida. Voit myös ensin integroida N (\displaystyle N), ja ota sitten osaderivaata suhteessa x (\displaystyle x), jonka avulla voit löytää mielivaltaisen funktion d(x). (\displaystyle d(x).) Molemmat menetelmät ovat sopivia, ja yleensä integrointiin valitaan yksinkertaisempi funktio.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) osittainen (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Esimerkki 1.5. Voit ottaa osittaisia ​​derivaattoja ja nähdä, että alla oleva yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\näyttötyyli 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(tasattu)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\osittinen \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(tasattu)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\näyttötyyli x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jos differentiaaliyhtälö ei ole kokonaisdifferentiaaliyhtälö, joissakin tapauksissa voit löytää integroivan tekijän, jonka avulla voit muuntaa sen kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi. Tällaisia ​​yhtälöitä käytetään kuitenkin harvoin käytännössä, ja vaikka integroiva tekijä olemassa, se sattuu löytämään sen ei helppoa, joten näitä yhtälöitä ei käsitellä tässä artikkelissa.

Osa 2

1. Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Näitä yhtälöitä käytetään laajasti käytännössä, joten niiden ratkaiseminen on ensiarvoisen tärkeää. Tässä tapauksessa ei puhuta homogeenisista funktioista, vaan siitä, että yhtälön oikealla puolella on 0. Seuraavassa osiossa näytetään, kuinka vastaava ratkaistaan heterogeeninen differentiaaliyhtälöt. Alla a (\displaystyle a) Ja b (\displaystyle b) ovat vakioita.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Tämä differentiaaliyhtälö on merkittävä siinä mielessä, että se voidaan ratkaista erittäin helposti, jos kiinnittää huomiota siihen, mitä ominaisuuksia sen ratkaisuilla tulisi olla. Yhtälöstä käy selväksi y (\displaystyle y) ja sen johdannaiset ovat verrannollisia toisiinsa. Aiemmista esimerkeistä, joita käsiteltiin ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä käsittelevässä osassa, tiedämme, että vain eksponentiaalisella funktiolla on tämä ominaisuus. Siksi on mahdollista esittää ansatz(koulutettu arvaus) siitä, mikä tämän yhtälön ratkaisu on.

   • Ratkaisu tulee olemaan eksponentiaalisen funktion muotoinen e r x , (\displaystyle e^(rx),) Missä r (\displaystyle r) on vakio, jonka arvo pitäisi löytää. Korvaa tämä funktio yhtälöön ja hanki seuraava lauseke
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Tämä yhtälö osoittaa, että eksponentiaalisen funktion ja polynomin tulon on oltava nolla. Tiedetään, että eksponentti ei voi olla yhtä suuri kuin nolla millekään asteen arvolle. Tästä päätämme, että polynomi on yhtä suuri kuin nolla. Näin ollen olemme pelkistäneet differentiaaliyhtälön ratkaisuongelman paljon yksinkertaisemmalle algebrallisen yhtälön ratkaisutehtäväksi, jota kutsutaan tietyn differentiaaliyhtälön ominaisyhtälöksi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\näyttötyyli r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Meillä on kaksi juurta. Koska tämä differentiaaliyhtälö on lineaarinen, sen yleinen ratkaisu on osittaisten ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. Koska tämä on toisen asteen yhtälö, tiedämme, että se on Todella yleinen ratkaisu, eikä muita ole. Ankarampi perustelu tälle on ratkaisun olemassaoloa ja ainutlaatuisuutta koskevissa teoreemoissa, jotka löytyvät oppikirjoista.
   • Hyödyllinen tapa tarkistaa, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia, on laskea Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W) on matriisin determinantti, jonka sarakkeet sisältävät funktioita ja niiden peräkkäisiä derivaattoja. Lineaarialgebran lauseessa sanotaan, että Wronskin funktiot ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos Wronski on nolla. Tässä osiossa voimme tarkistaa, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia - tätä varten meidän on varmistettava, että Wronskian ei ole nolla. Wronskian on tärkeä ratkaistaessa epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä, joissa on vakiokertoimet muuttuvien parametrien menetelmällä.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Lineaarialgebran kannalta tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisujen joukko muodostaa vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on yhtä suuri kuin differentiaaliyhtälön kertaluku. Tässä tilassa voi valita pohjan lineaarisesti riippumaton päätöksiä toisiltaan. Tämä on mahdollista, koska toiminto y (x) (\displaystyle y(x)) pätevä lineaarinen operaattori. Johdannainen On lineaarinen operaattori, koska se muuttaa differentioituvien funktioiden avaruuden kaikkien funktioiden avaruuteen. Yhtälöitä kutsutaan homogeenisiksi niissä tapauksissa, joissa joillekin lineaarinen operaattori L (\displaystyle L) meidän on löydettävä ratkaisu yhtälöön L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Siirrytään nyt tarkastelemaan useita konkreettisia esimerkkejä. Käsittelemme ominaisyhtälön useiden juurien tapausta hieman myöhemmin järjestyksen vähentämistä käsittelevässä osiossa.

   Jos juuret r ± (\displaystyle r_(\pm )) ovat erilaisia ​​reaalilukuja, differentiaaliyhtälöllä on seuraava ratkaisu

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\näyttötyyli y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Kaksi monimutkaista juurta. Algebran peruslauseesta seuraa, että polynomiyhtälöiden ratkaisuilla reaalikertoimilla on juuret, jotka ovat reaalisia tai muodostavat konjugaattipareja. Jos siis kompleksiluku r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) on siis ominaisyhtälön juuri r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) on myös tämän yhtälön juuri. Siten voimme kirjoittaa ratkaisun muotoon c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Se on kuitenkin kompleksiluku, eikä se ole toivottava käytännön ongelmien ratkaisemiseksi.

   • Sen sijaan voit käyttää Eulerin kaava e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), jonka avulla voimme kirjoittaa ratkaisun muotoon trigonometriset funktiot:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nyt voit vakion sijaan c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Kirjoita ylös c 1 (\displaystyle c_(1)), ja ilmaisu i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) korvattu c 2. (\displaystyle c_(2).) Tämän jälkeen saamme seuraavan ratkaisun:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • On olemassa toinen tapa kirjoittaa ratkaisu amplitudin ja vaiheen suhteen, mikä sopii paremmin fysiikan ongelmiin.
   • Esimerkki 2.1. Etsitään ratkaisu alla olevaan differentiaaliyhtälöön annetuilla alkuehdoilla. Tätä varten sinun on otettava tuloksena oleva ratkaisu, sekä sen johdannainen, ja korvaa ne alkuehtoihin, jolloin voimme määrittää mielivaltaisia ​​vakioita.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\näyttötyyli r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\ näyttötyyli x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(tasattu)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\end(tasattu)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
   
   N:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen vakiokertoimilla (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Laskeva järjestys. Järjestyspelkistys on menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, kun tunnetaan yksi lineaarisesti riippumaton ratkaisu. Tämä menetelmä koostuu yhtälön järjestyksen alentamisesta yhdellä, mikä mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen edellisessä osiossa kuvatuilla menetelmillä. Olkoon ratkaisu tiedossa. Tilauksen vähentämisen pääideana on löytää ratkaisu alla olevaan muotoon, jossa on tarpeen määritellä toiminto v (x) (\displaystyle v(x)), korvaa se differentiaaliyhtälöön ja löytää v(x). (\displaystyle v(x).) Katsotaanpa, kuinka järjestysvähennystä voidaan käyttää differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen vakiokertoimilla ja useilla juurilla.

   
   

   Useita juuria homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla. Muista, että toisen kertaluvun yhtälöllä on oltava kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Jos ominaisyhtälöllä on useita juuria, ratkaisujen joukko Ei muodostaa avaruuden, koska nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tässä tapauksessa on tarpeen käyttää kertalukua toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun löytämiseksi.

   • Olkoon ominaisyhtälöllä useita juuria r (\displaystyle r). Oletetaan, että toinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ja korvaa se differentiaaliyhtälöön. Tässä tapauksessa useimmat termit, paitsi termi, jossa on funktion toinen derivaatta v , (\displaystyle v,) vähennetään.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Esimerkki 2.2. Olkoon seuraava yhtälö, jolla on useita juuria r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Korvauksen aikana useimmat termit pienenevät.
     • d 2 v d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(tasattu)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(tasattu)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(tasattu) )v""e^(-4x)&-(\peruuta (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(tasattu)))
   • Samoin kuin ansatzissamme vakiokertoimien differentiaaliyhtälölle, tässä tapauksessa vain toinen derivaatta voi olla nolla. Integroimme kahdesti ja saamme halutun lausekkeen for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Sitten vakiokertoimien differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu siinä tapauksessa, että ominaisyhtälöllä on useita juuria, voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Mukavuuden vuoksi voit muistaa, että lineaarisen riippumattomuuden saamiseksi riittää yksinkertaisesti kertoa toinen termi x (\displaystyle x). Tämä ratkaisujoukko on lineaarisesti riippumaton, joten olemme löytäneet kaikki ratkaisut tähän yhtälöön.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\näyttötyyli y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Tilauksen alennusta sovelletaan, jos ratkaisu on tiedossa y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), joka löytyy tai annetaan ongelmalausekkeessa.

   • Etsimme ratkaisua muodossa y (x) = v (x) y 1 (x) (\näyttötyyli y(x)=v(x)y_(1)(x)) ja korvaa se tähän yhtälöön:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Koska y 1 (\displaystyle y_(1)) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, jonka kaikki termit ovat v (\displaystyle v) vähennetään. Lopulta se jää ensimmäisen asteen lineaarinen yhtälö. Jos haluat nähdä tämän selkeämmin, muutetaan muuttujia w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\oikea)(\mathrm (d) )x\oikea))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jos integraalit voidaan laskea, saadaan yleinen ratkaisu alkeisfunktioiden yhdistelmänä. Muuten ratkaisu voidaan jättää kiinteään muotoon.

3. Cauchy-Euler yhtälö. Cauchy-Euler-yhtälö on esimerkki toisen asteen differentiaaliyhtälöstä muuttujia kertoimet, joilla on tarkat ratkaisut. Tätä yhtälöä käytetään käytännössä esimerkiksi Laplacen yhtälön ratkaisemiseen pallokoordinaateissa.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Kuten näette, tässä differentiaaliyhtälössä jokainen termi sisältää tehokertoimen, jonka aste on yhtä suuri kuin vastaavan derivaatan järjestys.

   • Voit siis yrittää etsiä ratkaisua lomakkeesta y (x) = x n , (\näyttötyyli y(x)=x^(n),) missä se on määritettävä n (\displaystyle n), aivan kuten etsimme ratkaisua eksponentiaalisen funktion muodossa lineaariselle differentiaaliyhtälölle, jolla on vakiokertoimet. Erilaistumisen ja korvaamisen jälkeen saamme
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\näyttötyyli x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Käyttääksemme ominaisyhtälöä meidän on oletettava, että se x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Piste x = 0 (\displaystyle x=0) nimeltään säännöllinen yksikköpiste differentiaaliyhtälö. Tällaiset pisteet ovat tärkeitä ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä potenssisarjoilla. Tällä yhtälöllä on kaksi juurta, jotka voivat olla eri ja reaali-, moni- tai monimutkainen konjugaatti.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Kaksi erilaista todellista juurta. Jos juuret n ± (\displaystyle n_(\pm )) ovat todellisia ja erilaisia, niin differentiaaliyhtälön ratkaisulla on seuraava muoto:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\näyttötyyli y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Kaksi monimutkaista juurta. Jos ominaisyhtälöllä on juuret n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ratkaisu on monimutkainen funktio.

   • Muuttaaksemme ratkaisun todelliseksi funktioksi teemme muuttujien muutoksen x = e t , (\näyttötyyli x=e^(t),) tuo on t = ln ⁡ x , (\näyttötyyli t=\ln x,) ja käytä Eulerin kaavaa. Samanlaisia ​​toimenpiteitä tehtiin aiemmin mielivaltaisia ​​vakioita määritettäessä.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\näyttötyyli y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Sitten yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Useita juuria. Toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun saamiseksi on tarpeen pienentää järjestystä uudelleen.

   • Se vaatii melko paljon laskelmia, mutta periaate pysyy samana: korvaamme y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) yhtälöön, jonka ensimmäinen ratkaisu on y 1 (\displaystyle y_(1)). Vähennysten jälkeen saadaan seuraava yhtälö:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tämä on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö suhteessa v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Hänen ratkaisunsa on v (x) = c 1 + c 2 ln x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Siten ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Tämä on melko helppo muistaa - toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun saaminen vaatii yksinkertaisesti lisätermin ln ⁡ x (\näyttötyyli \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\näyttötyyli y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Epähomogeeniset yhtälöt näyttää joltakin L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Missä f (x) (\displaystyle f(x))- niin sanottu vapaa jäsen. Differentiaaliyhtälöiden teorian mukaan tämän yhtälön yleinen ratkaisu on superpositio yksityinen ratkaisu y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Ja lisäratkaisu y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tässä tapauksessa tietty ratkaisu ei kuitenkaan tarkoita alkuolosuhteiden antamaa ratkaisua, vaan ratkaisua, jonka määrää heterogeenisyyden läsnäolo (vapaa termi). Lisäratkaisu on ratkaisu vastaavaan homogeeniseen yhtälöön, jossa f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Kokonaisratkaisu on näiden kahden ratkaisun päällekkäisyys, koska L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\näyttötyyli L=L+L=f(x)), ja siitä lähtien L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tällainen superpositio on todellakin yleinen ratkaisu.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Määrittämättömien kertoimien menetelmä. Epämääräisten kertoimien menetelmää käytetään tapauksissa, joissa valetermi on yhdistelmä eksponentiaalista, trigonometristä, hyperbolista tai tehotoiminnot. Vain näillä funktioilla taataan äärellinen määrä lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Tässä osiossa löydämme erityisen ratkaisun yhtälöön.

   • Vertaataan termejä f (x) (\displaystyle f(x)) ehdoilla kiinnittämättä huomiota pysyviin tekijöihin. Mahdollisia tapauksia on kolme.
     • Ei kahta samanlaista jäsentä. Tässä tapauksessa erityinen ratkaisu y p (\displaystyle y_(p)) on lineaarinen yhdistelmä termejä alkaen y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen alkaen y c , (\displaystyle y_(c),) Missä n (\displaystyle n) on nolla tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa ominaisyhtälön erillistä juuria. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) koostuu toimintojen yhdistelmästä x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset sekä muut termit f (x) (\displaystyle f(x)) ja niiden lineaarisesti riippumattomat derivaatat.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen h (x) , (\displaystyle h(x),) joka on teos x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen alkaen y c , (\displaystyle y_(c),) Missä n (\displaystyle n) on yhtä kuin 0 tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa useita ominaisyhtälön juuri. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) on funktion lineaarinen yhdistelmä x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Missä s (\displaystyle s)- juuren monikerta) ja sen lineaarisesti riippumattomat derivaatat sekä muut funktion jäsenet f (x) (\displaystyle f(x)) ja sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset.
   • Kirjoitetaan se ylös y p (\displaystyle y_(p)) edellä lueteltujen termien lineaarisena yhdistelmänä. Näiden kertoimien ansiosta lineaarisessa yhdistelmässä tätä menetelmää kutsutaan "määrittelemättömien kertoimien menetelmäksi". Kun se sisältyy y c (\displaystyle y_(c)) jäsenet voidaan hylätä mielivaltaisten vakioiden vuoksi y c . (\displaystyle y_(c).) Tämän jälkeen korvaamme y p (\displaystyle y_(p)) yhtälöön ja rinnastaa samanlaiset termit.
   • Määritämme kertoimet. Tässä vaiheessa järjestelmä hankitaan algebralliset yhtälöt, joka voidaan yleensä ratkaista ilman ongelmia. Tämän järjestelmän ratkaisu antaa meille mahdollisuuden saada y p (\displaystyle y_(p)) ja siten ratkaise yhtälö.
   • Esimerkki 2.3. Tarkastellaan epähomogeenistä differentiaaliyhtälöä, jonka vapaa termi sisältää äärellisen määrän lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Erityinen ratkaisu tällaiselle yhtälölle voidaan löytää määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\näyttötyyli y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\näyttötyyli y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 Ae 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(tasattu)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ loppu (tapaukset)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrangen menetelmä. Lagrangen menetelmä tai mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmä on yleisempi menetelmä epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, erityisesti tapauksissa, joissa leikkaustermi ei sisällä äärellistä määrää lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Esimerkiksi ilmaisilla jäsenillä tan ⁡ x (\näyttötyyli \rusketus x) tai x − n (\displaystyle x^(-n)) tietyn ratkaisun löytämiseksi on tarpeen käyttää Lagrange-menetelmää. Lagrange-menetelmää voidaan käyttää jopa muuttuvien kertoimien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, vaikka tässä tapauksessa Cauchy-Euler-yhtälöä lukuun ottamatta sitä käytetään harvemmin, koska lisäratkaisua ei yleensä ilmaista alkeisfunktioilla.

   • Oletetaan, että ratkaisulla on seuraava muoto. Sen johdannainen annetaan toisella rivillä.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\näyttötyyli y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Koska ehdotettu ratkaisu sisältää kaksi tuntemattomia määriä, on tarpeen määrätä lisää kunto. Valitsemme tämä lisäehto seuraavassa muodossa:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nyt voimme saada toisen yhtälön. Jäsenten vaihtamisen ja uudelleenjakamisen jälkeen voit ryhmitellä jäseniä v 1 (\displaystyle v_(1)) ja jäsenet kanssa v 2 (\displaystyle v_(2)). Näitä ehtoja vähennetään, koska y 1 (\displaystyle y_(1)) Ja y 2 (\displaystyle y_(2)) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisuja. Tuloksena saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(tasattu)))
   • Tämä järjestelmä voidaan muuntaa muodon matriisiyhtälöksi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kenen ratkaisu on x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Matriisille 2 × 2 (\näyttötyyli 2\kertaa 2) käänteinen matriisi löydetään jakamalla determinantilla, järjestämällä diagonaaliset elementit uudelleen ja muuttamalla ei-diagonaalisten elementtien etumerkkiä. Itse asiassa tämän matriisin determinantti on Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_() 2)"\end(pmatriisi))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Ilmaisut for v 1 (\displaystyle v_(1)) Ja v 2 (\displaystyle v_(2)) annetaan alla. Kuten järjestysvähennysmenetelmässä, tässä tapauksessa integroinnin aikana ilmestyy mielivaltainen vakio, joka sisältää lisäratkaisun differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Luento National Open University Intuitista otsikolla "N:nnen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla."

Käytännöllinen käyttö

Differentiaaliyhtälöt muodostavat suhteen funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan välille. Koska tällaiset suhteet ovat erittäin yleisiä, differentiaaliyhtälöt ovat löytäneet laajan käytön monilla aloilla, ja koska elämme neljässä ulottuvuudessa, nämä yhtälöt ovat usein differentiaaliyhtälöitä. yksityinen johdannaisia. Tämä osio kattaa joitakin tämän tyyppisiä tärkeimpiä yhtälöitä.

• Eksponentiaalinen kasvu ja rappeutuminen. Radioaktiivinen hajoaminen. Korkoa korolle. Nopeus kemialliset reaktiot. Lääkkeiden pitoisuus veressä. Rajoittamaton väestönkasvu. Newton-Richmannin laki. SISÄÄN todellista maailmaa On monia järjestelmiä, joissa kasvu- tai rappeutumisnopeus kulloinkin on verrannollinen sen määrään Tämä hetki aika tai se voidaan hyvin arvioida mallin mukaan. Tämä johtuu siitä, että tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisu, eksponentiaalinen funktio, on yksi matematiikan ja muiden tieteiden tärkeimmistä funktioista. Yleisemmin hallitulla väestönkasvulla järjestelmä voi sisältää lisätermejä, jotka rajoittavat kasvua. Alla olevassa yhtälössä vakio k (\displaystyle k) voi olla suurempi tai pienempi kuin nolla.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniset värähtelyt. Sekä klassisessa että in kvanttimekaniikka Harmoninen oskillaattori on yksi tärkeimmistä fysikaalisista järjestelmistä johtuen sen yksinkertaisuudesta ja laajasta sovelluksesta monimutkaisempien järjestelmien, kuten yksinkertaisen heilurin, lähentämisessä. Klassisessa mekaniikassa harmonisia värähtelyjä kuvataan yhtälöllä, joka yhdistää paikan aineellinen kohta sen kiihtyvyydellä Hooken lain mukaan. Tässä tapauksessa voidaan ottaa huomioon myös vaimennus- ja käyttövoimat. Alla olevassa ilmaisussa x ˙ (\displaystyle (\piste (x)))- aikajohdannainen x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)- vaimennusvoimaa kuvaava parametri, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- järjestelmän kulmataajuus, F (t) (\displaystyle F(t))- ajasta riippuvainen liikkeellepaneva voima. Harmoninen oskillaattori on mukana myös sähkömagneettisissa värähtelypiireissä, joissa se voidaan toteuttaa mekaanisia järjestelmiä tarkemmin.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\piste (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselin yhtälö. Besselin differentiaaliyhtälöä käytetään monilla fysiikan alueilla, mukaan lukien ratkaiseminen aaltoyhtälö, Laplacen yhtälöt ja Schrödingerin yhtälöt, erityisesti sylinterimäisen tai pallomaisen symmetrian esiintyessä. Tämä muuttujakertoiminen toisen asteen differentiaaliyhtälö ei ole Cauchy-Euler-yhtälö, joten sen ratkaisuja ei voida kirjoittaa alkeisfunktioina. Besselin yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktiot, jotka ovat hyvin tutkittuja, koska niitä voidaan soveltaa useilla aloilla. Alla olevassa ilmaisussa α (\displaystyle \alpha )- vakio, joka vastaa järjestyksessä Besselin toiminnot.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwellin yhtälöt. Lorentzin voiman ohella Maxwellin yhtälöt muodostavat klassisen sähködynamiikan perustan. Nämä ovat neljä osittaista differentiaaliyhtälöä sähkölle E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ja magneettinen B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) kentät. Alla olevissa ilmaisuissa ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- lataustiheys, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- virrantiheys ja ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Ja μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- sähköiset ja magneettiset vakiot, vastaavasti.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\dotnabla(tasattu)) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(tasattu)))
• Schrödingerin yhtälö. Kvanttimekaniikassa Schrödingerin yhtälö on perusliikkeen yhtälö, joka kuvaa hiukkasten liikettä muutoksen mukaan. aaltofunktio Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) ajan kanssa. Liikeyhtälö kuvataan käyttäytymisellä Hamiltonin H^(\displaystyle (\hattu (H))) - operaattori, joka kuvaa järjestelmän energiaa. Yksi laajalti kuuluisia esimerkkejä Schrödingerin yhtälö fysiikassa on yhtälö yhdelle ei-relativistiselle hiukkaselle, johon potentiaali vaikuttaa V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Monia järjestelmiä kuvataan ajasta riippuvalla Schrödingerin yhtälöllä, ja yhtälön vasemmalla puolella on E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Missä E (\displaystyle E)- hiukkasenergia. Alla olevissa ilmaisuissa ℏ (\displaystyle \hbar )- alennettu Planck-vakio.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\oikea)\Psi )
• Aaltoyhtälö. Fysiikkaa ja tekniikkaa ei voida kuvitella ilman aaltoja, niitä on kaikentyyppisissä järjestelmissä. Yleensä aallot kuvataan alla olevalla yhtälöllä, jossa u = u (r , t) (\näyttötyyli u=u((\mathbf (r) ),t)) on haluttu toiminto ja c (\displaystyle c)- kokeellisesti määritetty vakio. d'Alembert havaitsi ensimmäisenä, että yksiulotteisen tapauksen ratkaisu aaltoyhtälöön on minkä tahansa funktio argumentin kanssa x − c t (\displaystyle x-ct), joka kuvaa mielivaltaisen muotoista aaltoa, joka etenee oikealle. Yksiulotteisen tapauksen yleinen ratkaisu on tämän funktion lineaarinen yhdistelmä toisen argumentin sisältävän funktion kanssa x + c t (\displaystyle x+ct), joka kuvaa vasemmalle etenevää aaltoa. Tämä ratkaisu esitetään toisella rivillä.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\näyttötyyli u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes yhtälöt. Navier-Stokes-yhtälöt kuvaavat nesteiden liikettä. Koska nesteitä esiintyy käytännössä kaikilla tieteen ja tekniikan aloilla, nämä yhtälöt ovat erittäin tärkeitä sään ennustamisessa, lentokoneiden suunnittelussa, merivirtojen tutkimisessa ja monien muiden sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa. Navier-Stokes-yhtälöt ovat epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja useimmissa tapauksissa niitä on erittäin vaikea ratkaista, koska epälineaarisuus johtaa turbulenssiin ja vakaan ratkaisun saaminen numeerisilla menetelmillä edellyttää osiointia hyvin pieniin soluihin, mikä vaatii huomattavaa laskentatehoa. Hydrodynamiikan käytännön syistä turbulenttisten virtausten mallintamiseen käytetään menetelmiä, kuten aikakeskiarvon laskemista. Jopa peruskysymykset, kuten epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaolo ja ainutlaatuisuus, ovat haastavia ongelmia, ja Navier-Stokesin yhtälöiden kolmiulotteisen ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden todistaminen on yksi matemaattisia ongelmia vuosituhannen. Alla on kokoonpuristumattoman nesteen virtausyhtälö ja jatkuvuusyhtälö.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\näyttötyyli (\frac (\osittais (\math)b )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Monia differentiaaliyhtälöitä ei yksinkertaisesti voida ratkaista yllä olevilla menetelmillä, etenkään niillä, jotka mainittiin viimeisessä osassa. Tämä koskee tapauksia, joissa yhtälö sisältää muuttuvat kertoimet ja se ei ole Cauchy-Euler-yhtälö tai kun yhtälö on epälineaarinen, lukuun ottamatta muutamia erittäin harvinaisia ​​tapauksia. Yllä olevat menetelmät voivat kuitenkin ratkaista monia tärkeitä differentiaaliyhtälöitä, joita usein kohdataan eri tieteenaloilla.
• Toisin kuin differentiaatio, jonka avulla voit löytää minkä tahansa funktion derivaatan, monien lausekkeiden integraalia ei voida ilmaista alkeisfunktioissa. Älä siis tuhlaa aikaa integraalin laskemiseen siellä, missä se on mahdotonta. Katso integraalitaulukkoa. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisua ei voida ilmaista alkeisfunktioilla, se voidaan joskus esittää integraalimuodossa, ja tässä tapauksessa ei ole väliä, voidaanko tämä integraali laskea analyyttisesti.

Varoitukset

• Ulkomuoto differentiaaliyhtälö voi olla harhaanjohtava. Esimerkiksi alla on kaksi ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä. Ensimmäinen yhtälö voidaan ratkaista helposti tässä artikkelissa kuvatuilla menetelmillä. Ensi silmäyksellä pieni muutos y (\displaystyle y) päällä y 2 (\displaystyle y^(2)) toisessa yhtälössä tekee siitä epälineaarisen ja siitä tulee erittäin vaikea ratkaista.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))