Mitä kutsutaan geometriseksi vektoriksi. Vektorit tutille

Vektori on euklidisessa avaruudessa olevan suoran suunnattu segmentti, jonka toista päätä (piste A) kutsutaan vektorin alusta ja toista päätä (piste B) vektorin lopuksi (kuva 1). Vektorit on merkitty:

Jos vektorin alku ja loppu ovat samat, vektoria kutsutaan nolla vektori ja on nimetty 0 .

Esimerkki. Olkoon vektorin alussa kaksiulotteisessa avaruudessa koordinaatit A(12.6) , ja vektorin loppu on koordinaatit B(12.6). Silloin vektori on nollavektori.

Osion pituus AB nimeltään moduuli (pituus, normi) -vektori ja sitä merkitään | a|. Kutsutaan vektoria, jonka pituus on yhtä suuri kuin yksi yksikkövektori. Moduulin lisäksi vektorille on tunnusomaista suunta: vektorilla on suunta alkaen A Vastaanottaja B. Vektoria kutsutaan vektoriksi, vastapäätä vektori.

Näitä kahta vektoria kutsutaan kollineaarinen, jos ne sijaitsevat samalla viivalla tai rinnakkaisilla viivoilla. Kuvassa fig. 3 punaista vektoria ovat kollineaarisia, koska ne sijaitsevat samalla suoralla, ja siniset vektorit ovat kollineaarisia, koska ne sijaitsevat yhdensuuntaisilla linjoilla. Kutsutaan kahta kollineaarista vektoria yhtä ohjattu, jos niiden päät ovat samalla puolella niiden alkua yhdistävää suoraa. Kutsutaan kahta kollineaarista vektoria vastakkaiseen suuntaan, jos niiden päät sijaitsevat niiden alkua yhdistävän suoran vastakkaisilla puolilla. Jos kaksi kollineaarista vektoria on samalla suoralla, niin niitä kutsutaan identtisesti suunnatuiksi, jos yksi yhden vektorin muodostamista säteistä sisältää kokonaan toisen vektorin muodostaman säteen. Muuten vektorien sanotaan olevan vastakkaisia. Kuvassa 3 siniset vektorit ovat samansuuntaisia ​​ja punaiset vektorit vastakkaiseen suuntaan.

Näitä kahta vektoria kutsutaan yhtä suuri jos niillä on samat moduulit ja samat suunnat. Kuvassa 2 vektorit ovat yhtä suuret, koska niiden moduulit ovat samanarvoisia ja niillä on sama suunta.

Vektoreita kutsutaan koplanaarinen, jos ne sijaitsevat samassa tai yhdensuuntaisissa tasoissa.

SISÄÄN n Tarkastellaan dimensiovektoriavaruudessa kaikkien vektoreiden joukkoa, joiden aloituspiste on sama kuin koordinaattien origon. Sitten vektori voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

Missä x 1 , x 2 , ..., x n vektorin loppupisteen koordinaatit x.

Muotoon (1) kirjoitettua vektoria kutsutaan rivivektori, ja muotoon kirjoitettu vektori

nimeltään sarakevektori.

Määrä n nimeltään ulottuvuus (järjestyksessä) vektori. Jos silloin vektoria kutsutaan nolla vektori(vektorin aloituspisteestä lähtien ). Kaksi vektoria x Ja y ovat yhtä suuret silloin ja vain, jos niitä vastaavat elementit ovat yhtä suuret.

Vektori on matemaattinen objekti, jolle on tunnusomaista suunta ja suuruus. Geometriassa vektori on tasossa tai avaruudessa oleva suora jana, jolla on oma suunta ja pituus.

Vektorimerkintä

Vektorin osoittamiseen käytetään joko yhtä pientä kirjainta tai kahta isoa kirjainta, jotka vastaavat vektorin alkua ja loppua, kun taas kirjainten yläpuolella on vaakaviiva. Ensimmäinen kirjain osoittaa vektorin alkua, toinen sen loppua (katso kuva 1). Päällä graafinen näyttö vektoria edustaa sen suuntaa osoittava nuoli.

Mitkä ovat vektorin koordinaatit tasossa ja avaruudessa?

Vektorikoordinaatit ovat valitun koordinaattijärjestelmän ainoan mahdollisen lineaarisen kantavektoreiden yhdistelmän kertoimia. Se kuulostaa monimutkaiselta, mutta itse asiassa se on melko yksinkertainen. Katsotaanpa sitä esimerkin avulla.

Oletetaan, että meidän on löydettävä vektorin a koordinaatit. Laitetaan se kolmiulotteiseen koordinaattijärjestelmään (katso kuva 2) ja suoritetaan vektoriprojektio jokaiselle akselille. Vektori a kirjoitetaan tässä tapauksessa seuraavasti: a= a x i+ a y j+ a z k, missä i, j, k ovat kantavektorit, a x, a y, a z ovat kertoimet, jotka määrittävät vektorin a koordinaatit. Itse lauseketta kutsutaan lineaariseksi yhdistelmäksi. Tasossa (suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä) lineaarinen yhdistelmä koostuu kahdesta kantasta ja kertoimesta.

Vektorisuhteet

Vektoriteoriassa on sellainen termi kuin vektorisuhde. Tämä käsite määrittelee vektorien sijainnin suhteessa toisiinsa tasossa ja avaruudessa. Tunnetuimmat vektorirelaatioiden erikoistapaukset:

• kollineaarisuus;
• yhteisohjaus;
• samantasoisuus;
• tasa-arvo.

Kollineaariset vektorit sijaitsevat samalla viivalla tai ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa, samansuuntaisille vektoreille on tunnusomaista sama suunta, koplanaariset vektorit sijaitsevat samassa tasossa tai yhdensuuntaisissa tasoissa, yhtäläisillä vektoreilla on sama suunta ja pituus.

MÄÄRITELMÄ

Vektori(alkaen lat." vektori" - "kantava") - suoran suoran suunnattu segmentti avaruudessa tai tasossa.

Graafisesti vektori on kuvattu tietyn pituisena suunnattuna suorana segmenttina. Vektoria, jonka alku on pisteessä ja loppu pisteessä, merkitään (Kuva 1). Vektoria voidaan merkitä myös yhdellä pienellä kirjaimella, esimerkiksi .

Jos koordinaattijärjestelmä on määritelty avaruudessa, niin vektori voidaan määrittää yksiselitteisesti sen koordinaattijoukolla. Eli vektori ymmärretään objektiksi, jolla on suuruus (pituus), suunta ja sovelluskohta (vektorin alku).

Vektorilaskennan periaatteet ilmestyivät saksalaisen matemaatikon, mekaanikon, fyysikon, tähtitieteilijän ja katsastaja Johann Carl Friedrich Gaussin (1777-1855) teoksiin vuonna 1831. Irlantilainen matemaatikko, mekaanikko ja teoreettinen fyysikko Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) julkaisi vektoreilla suoritettavia operaatioita koskevia teoksia osana kvaternionilaskentaansa. Tiedemies ehdotti termiä "vektori" ja kuvasi joitain vektoreita koskevia toimintoja. Vektorilaskenta on saanut aikansa edelleen kehittäminen brittiläisen fyysikon, matemaatikon ja mekaanikon James Clerk Maxwellin (1831-1879) sähkömagnetismiin liittyvän työn ansiosta. 1880-luvulla julkaistiin amerikkalaisen fyysikon, fysiikan kemistin, matemaatikon ja mekaanikon Josiah Willard Gibbsin (1839-1903) kirja "Elements of Vector Analysis". Moderni vektorianalyysi kuvattiin vuonna 1903 itseoppineen englantilaisen tiedemiehen, insinöörin, matemaatikon ja fyysikon Oliver Heavisiden (1850-1925) teoksissa.

MÄÄRITELMÄ

Pituus tai vektori moduuli on vektorin määrittävän suunnatun segmentin pituus. Merkitty nimellä .

Vektorien päätyypit

Nolla vektori kutsutaan vektoriksi, jonka aloituspiste ja loppupiste ovat samat. Nollavektorin pituus on nolla.

Kutsutaan vektoreita, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​yhden suoran kanssa tai sijaitsevat yhdellä suoralla kollineaarinen(Kuva 2).

ohjattu yhdessä, jos niiden suunnat ovat samat.

Kuvassa 2 nämä ovat vektoreita ja . Vektorien samansuuntaisuus on osoitettu seuraavasti: .

Kutsutaan kahta kollineaarista vektoria vastakkaiseen suuntaan, jos niiden suunnat ovat vastakkaiset.

Kuvassa 3 nämä ovat vektoreita ja . Nimitys: .

Vakiomäärittely: "Vektori on suunnattu segmentti." Tämä on yleensä valmistuneen vektorien tietämyksen laajuus. Kuka tarvitsee "suunnattuja segmenttejä"?

Mutta mitä vektorit oikeastaan ​​ovat ja mitä varten ne ovat?
Sääennuste. "Tuuli luoteesta, nopeus 18 metriä sekunnissa." Samaa mieltä, sekä tuulen suunta (mistä se puhaltaa) että sen nopeuden suuruus (eli absoluuttinen arvo) ovat tärkeitä.

Summia, joilla ei ole suuntaa, kutsutaan skalaariksi. Messu, työ, sähkövaraus ei ole ohjattu mihinkään. Niille on vain tunnusomaista numeerinen arvo- "kuinka monta kiloa" tai "kuinka monta joulea".

Fysikaalisia suureita, joilla ei ole vain absoluuttista arvoa, vaan myös suunta, kutsutaan vektorisuureiksi.

Nopeus, voima, kiihtyvyys - vektorit. Heille "kuinka paljon" on tärkeää ja "missä" on tärkeää. Esimerkiksi kiihtyvyys vapaa pudotus suunnattu maan pintaan ja sen magnitudi on 9,8 m/s 2. Impulssi, jännitys sähkökenttä, induktio magneettikenttä- myös vektorisuureet.

Muistatko, että fyysisiä määriä merkitty kirjaimilla, latinaksi tai kreikkaksi. Kirjaimen yläpuolella oleva nuoli osoittaa, että määrä on vektori:

Tässä on toinen esimerkki.
Auto liikkuu paikasta A paikkaan B. Lopputuloksena on sen liike pisteestä A pisteeseen B, eli liike vektorilla.

Nyt on selvää, miksi vektori on suunnattu segmentti. Huomaa, että vektorin loppu on nuolen kohdalla. Vektorin pituus kutsutaan tämän segmentin pituudeksi. Osoittaa: tai

Tähän asti olemme työskennelleet skalaarisuureiden kanssa aritmeettisen ja alkeisalgebran sääntöjen mukaisesti. Vektorit ovat uusi käsite. Tämä on toinen matemaattisten objektien luokka. Heillä on omat säännöt.

Olipa kerran emme edes tienneet numeroista mitään. Tutustumiseni heihin alkoi peruskoulussa. Kävi ilmi, että lukuja voidaan verrata toisiinsa, lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa. Opimme, että on numero yksi ja numero nolla.
Nyt tutustutaan vektoreihin.

Käsitteitä "enemmän" ja "vähemmän" vektoreille ei ole olemassa - loppujen lopuksi niiden suunnat voivat olla erilaisia. Vain vektorien pituuksia voidaan verrata.

Mutta vektoreille on olemassa käsite tasa-arvosta.
Yhtä suuri kutsutaan vektoreita, joilla on sama pituus ja sama suunta. Tämä tarkoittaa, että vektori voidaan siirtää yhdensuuntaisesti itsensä kanssa mihin tahansa tason pisteeseen.
Yksittäinen on vektori, jonka pituus on 1. Nolla on vektori, jonka pituus on nolla, eli sen alku on sama kuin loppu.

On kätevintä työskennellä vektorien kanssa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä - samassa järjestelmässä, jossa piirrämme funktioiden kaavioita. Jokainen piste koordinaattijärjestelmässä vastaa kahta numeroa - sen x- ja y-koordinaatteja, abskissaa ja ordinaatta.
Vektori määritellään myös kahdella koordinaatilla:

Tässä vektorin koordinaatit kirjoitetaan suluissa - x ja y.
Ne löytyvät yksinkertaisesti: vektorin lopun koordinaatti miinus sen alun koordinaatti.

Jos vektorin koordinaatit on annettu, sen pituus löydetään kaavasta

Vektorin lisäys

On kaksi tapaa lisätä vektoreita.

1 . Rinnakkaissääntö. Jos haluat lisätä vektorit ja , asetamme molempien origot samaan pisteeseen. Rakennamme suunnikkaan ja piirretään samasta pisteestä suunnikkaan diagonaali. Tämä on vektorien ja .

Muistatko sadun joutsenesta, rapuista ja hauesta? He yrittivät kovasti, mutta he eivät koskaan siirtäneet kärryä. Loppujen lopuksi niiden vaunuun kohdistamien voimien vektorisumma oli nolla.

2. Toinen tapa lisätä vektoreita on kolmisääntö. Otetaan samat vektorit ja . Lisäämme toisen alun ensimmäisen vektorin loppuun. Yhdistetään nyt ensimmäisen alku ja toisen loppu. Tämä on vektorien ja .

Samaa sääntöä käyttämällä voit lisätä useita vektoreita. Järjestämme ne peräkkäin ja yhdistämme sitten ensimmäisen alun viimeisen loppuun.

Kuvittele, että olet menossa pisteestä A pisteeseen B, paikasta B paikkaan C, paikasta C D, sitten E ja F. Näiden toimien lopputulos on siirtyminen paikasta A paikkaan F.

Kun lisäät vektoreita ja saamme:

Vektorivähennys

Vektori on suunnattu vastapäätä vektoria. Vektorien ja pituudet ovat yhtä suuret.

Nyt on selvää, mitä vektorivähennys on. Vektoriero ja on vektorin ja vektorin summa.

Vektorin kertominen luvulla

Kun vektori kerrotaan luvulla k, saadaan vektori, jonka pituus on k kertaa erilainen kuin pituus . Se on samansuuntainen vektorin kanssa, jos k on suurempi kuin nolla, ja päinvastainen, jos k on pienempi kuin nolla.

Vektorien pistetulo

Vektorit voidaan kertoa paitsi numeroilla, myös keskenään.

Vektorien skalaaritulo on vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo.

Huomaa, että kerroimme kaksi vektoria, ja tuloksena oli skalaari, eli luku. Esimerkiksi fysiikassa mekaaninen työ yhtä suuri kuin kahden vektorin skalaaritulo - voima ja siirtymä:

Jos vektorit ovat kohtisuorassa, niiden skalaarituote on yhtä kuin nolla.
Ja näin skalaaritulo ilmaistaan ​​vektorien koordinaattien kautta ja:

Skalaaritulon kaavasta löydät vektorien välisen kulman:

Tämä kaava on erityisen kätevä stereometriassa. Esimerkiksi tehtävässä 14 Profiilin yhtenäinen valtiotarkastus matematiikassa sinun on löydettävä kulma risteävien viivojen tai suoran ja tason välillä. Tehtävä 14 ratkaistaan ​​usein useita kertoja nopeammin vektorimenetelmällä kuin klassisella menetelmällä.

SISÄÄN koulun opetussuunnitelma matematiikassa he tutkivat vain vektorien skalaarituloa.
Osoittautuu, että skalaarin lisäksi on myös vektorituote, kun kertomalla kaksi vektoria saadaan vektori. Jokainen, joka suorittaa yhtenäisen fysiikan valtionkokeen, tietää, mitä Lorentzin voima ja Ampere-voima ovat. Kaavat näiden voimien löytämiseksi sisältävät vektoritulot.

Vektorit ovat erittäin hyödyllinen matemaattinen työkalu. Näet tämän ensimmäisenä vuonna.