Desimaalit. Oppitunnin esitys: "Desimaalimurtoluvut. Desimaalimurtolukujen lukeminen ja kirjoittaminen" (5. luokka Matematiikka) Desimaalimurtolukujen lukeminen ja kirjoittaminen

Numerot

sekalaisia numeroita

luonnollinen

Väärät yhteiset jakeet

Oikeat yhteiset murtoluvut

NIMEÄ LUONNOLLINEN NUMERO

NIMI sekoitettu NUMEROT

NAME yhteisiä murtolukuja

Mitä numeroita on jäljellä?

MURKKOLUKUJA

DESIMAALINEN ennätys.

Desimaalimurtoluvut.

PÄIVÄN OPPIEN AIHE:

Desimaalit. Desimaalien lukeminen ja kirjoittaminen.

TUNNIN TARKOITUS:

Esittele desimaalien käsite. Opi lukemaan ja kirjoittamaan desimaalilukuja Opi kääntämään tavallinen murtoluku, jonka nimittäjät ovat 10, 100, 1000 jne. desimaaleihin ja päinvastoin Kehitä loogista ajattelua uudessa tilanteessa Kasvata itsenäisyyttä ja vastuuta omasta toiminnasta.

Murtoluvut

Tavallinen

Desimaalit, murtoluvut

Desimaalit.

KIRJAUDU

LUKEA

Desimaalit

TOIMINNOT

DESIMAALILLA

VERTAILLA

Jos luvun desimaalimerkinnässä käytetään pilkkua, he sanovat, että luku kirjoitetaan desimaalimurtolukuna.

Numerot, joissa on nimittäjä kymmenen; 100; 1000 jne. suostui kirjoittamaan ilman nimittäjää

MATEMAATTINEN SANAT

KIRJOITA NUMEROT

KOLME PISTETTÄ SEITSEMÄN KYMMENES
KUUSI YKSI sadas
VIISI NELJÄ TUHANNESTA

MATEMAATTINEN SANAT

KIRJOITA NUMEROT

Kirjoita ensin kokonaislukuosa ja sitten murto-osan osoittaja

Kokonaislukuosa erotetaan murto-osasta pilkulla

Numerot nimittäjillä 10, 100, 1000 jne.

suostui kirjoittamaan ilman nimittäjää

Desimaalipilkun jälkeen murto-osan osoittajassa tulee olla niin monta numeroa kuin nimittäjässä on nollia

ALGORITMI

1. KIRJOITA NUMERON KOKONAISLUKUOSA

2. LAITA PILKU

3. LISÄÄ NIIN MONTA PISTETTÄ PILPUN jälkeen KUIN NIMETTÄJÄSSÄ ON NOLLAJA

4. KIRJOITA NUMERO VIIMEISESTÄ PISTEESTÄ

5. KORVAAMME JÄLJELLÄ OLEVAT PISTEET NOLLALLA

Desimaalit koostuvat kokonaislukuosasta ja murtoluvusta

Numeron kokonaislukuosan numerot

Murtolukuja

tuhannesosaa

kymmenen tuhannesosaa

sadat tuhannesosat

miljoonia

VIISI PISTETTÄ KOLME KYMMENES

KAHDENKYMMÄN YKSI PISTÄ SEITSEMÄN sadasosaa

KOLME PISTETTÄ SEITSEMÄN KYMMENES

KAKSIASATA VIISIkymmentä KUUSI TUHASTISTA

SEITSEMÄN PISTEEN KAHDENKYMMÄN YHdeksän sadasosaa

KUUSI YKSI sadas

VIISI NELJÄ TUHANNESTA

YHDEKSÄN PISTEEN KAHdeksAN KYMMENEN TUHTA

= 9,0008

ETSI JA KIRJOITA PUUTTUVAT NUMEROT

Desimaalilukujen alkuperä ja kehitys

Uzbekistan, XV vuosisata

Eurooppa, 1500-luku

Venäjä, XVIII vuosisata

Muinainen Kiina, 2. vuosisadalla eKr

Desimaalimurtolukujen alkuperä ja kehitys Kiinassa liittyi läheisesti metrologiaan (mittojen tutkimiseen). Jo II vuosisadalla eKr. oli pituuden desimaalijärjestelmä.

AT 1427 vuosi, matemaatikko

ja tähtitieteilijä Uzbekistan ,

Al-Kashi kirjoitti kirjan

"Aritmeettinen avain"

jossa hän muotoili

pää

toimintasäännöt

desimaalien kanssa

Uzbekistan, XV vuosisata

EUROOPPA,

vuosisadalla

AT 1579 desimaalilukuja käytetään ranskalaisen matemaatikon François Vietan (1540-1603) "Mathematical Canonissa", joka julkaistiin Pariisissa.

leveä

desimaaliero

Euroopassa alkoi vasta flaamilaisen matemaatikon kirjan "Kymmenes" julkaisemisen jälkeen Simon Stevin (1548-1620). ). Häntä pidetään desimaalilukujen keksijänä.

Venäjä, XVIII vuosisata

AT Venäjä ensimmäinen

järjestelmällistä tietoa

desimaaleista

löytyy "aritmetiikasta"

L. F. Magnitsky (1703)

2,135436

2 | 135436

Uzbekistan

Ranska

Venäjä

Euroopassa

1 cun

3 osaketta,

5 järjestyslukua,

4 hiusta,

3 ohuinta,

6 hämähäkinverkkoa

2,135436

Kiina

2 135436

2 0 1 1 3 2 5 3 4 4 3 5 6 6

Oletko väsynyt?

No, sitten kaikki nousivat seisomaan yhdessä.

Ojennamme käsiämme, olkapäitä,

Jotta meidän olisi helpompi istua.

Ja älä väsy.

tarkistaa

Kirjoita seuraavat murtoluvut desimaalilukuina:

Kirjoita seuraavat murtoluvut yleisinä murtolukuina tai sekalukuina:

Yhteenveto:

Mikä murto-osa voi korvata tavallisen murtoluvun, jonka murto-osan nimittäjä ilmaistaan yksikkö yhden kanssa tai muutama nolla?

Mikä erottaa desimaaliluvun kokonaislukuosan

murto-osa?

Jos murtoluku on oikea, niin mitä on kirjoitettu aiemmin

kirjoittaa pilkku?

Kuinka monta numeroa on oltava desimaalipilkun jälkeen

desimaalimerkintä?

Kotitehtävät

kohta 7.1;

vastaa kysymyksiin

№ 1211,№1212

(toistossa #1216)

Aihe: matematiikka Arvosana: 5

Oppitunnin aihe: " Desimaali. Desimaalien lukeminen ja kirjoittaminen.

Oppitunnin tavoitteet:

koulutuksellinen: opiskella desimaalilukujen käsitettä, oppia lukemaan ja kirjoittamaan desimaalimurtolukuja, muodostamaan kyky lukea ja kirjoittaa desimaalilukuja;kehitetään: kehittää loogista ajattelua, kykyä analysoida, vertailla, yleistää, tehdä johtopäätöksiä, kehittää huomiokykyä;koulutuksellinen: kasvattaa opiskelijoille ahkeruutta, tarkkuutta, itsehillintätaitoja, ystävällisyyttä, keskinäistä apua.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Opetusmenetelmät: sanallinen, käytännöllinen, yksilöllinen.

Tuntisuunnitelma:

1. Organisatorinen hetki.

2. Suullinen kuulustelu.

3. Uuden materiaalin selitys.

3. Esimerkkien tarkastelu suullisesti.

4. Tiedon konsolidointi.

5. Oppitunnin arvosanat.

6. Selvitys tehtävästä kotona.

Tuntien aikana:

1. Järjestäytymishetki.

Hei kaverit! Istu alas! (Päiväkirja täytetään, poissaolevat opiskelijat merkitään muistiin).

2. Suullinen kuulustelu:

a) Mitä murtolukuja olemme tutkineet?

b) Mitä ovat yhteiset murtoluvut?

c) Mitä operaatioita tavallisille murtoluvuille voimme tehdä?

Tänään oppitunnilla tutustumme uusiin murtolukuihin - desimaalilukuihin.

3. Uuden materiaalin oppiminen.

Tavallisten murtolukujen ja sekalukujen joukosta löytyy usein murtolukuja, joiden nimittäjä on 10:n kerrannainen. Jos esimerkiksi ilmaistat 9 mm senttimetreinä; 15m 2 39dm 2 - neliömetrinä; 18 kg 327 g - kilogrammoina; 937895 mm 3 - kuutiometreissä saamme:

cm; m2; kg; m 3.

Murtoluvut, joiden nimittäjä on 10, 100, 1000 jne. kirjoitettu ilman nimittäjää: =0.9; = 15,39; = 18,327; =0,937895.

0,9; 15,39; 18,327; 0,937895 ovat desimaaleja.

Niissä on kokonaislukuosa - numero ennen desimaalipistettä ja murto-osa - se kirjoitetaan desimaalipilkun jälkeen. Murto-osa erotetaan kokonaislukuosasta pilkulla.

Sekaluvut ja niitä vastaavat desimaalimurtoluvut luetaan samalla tavalla.

Esimerkiksi 7 ja 7.3 lukevat: seitsemän pistettä kolme.

Tavallisen ja yhtä suuren desimaaliluvun lukema on erilainen.

Esimerkiksi,

Lukemat: seitsemän kymmenesosaa,

0,7 lue: nolla piste seitsemän.

Tämä tarkoittaa, että kun kirjoitetaan desimaalilukuja, joissa ei ole kokonaislukuosaa, ne kirjoittavat 0:n ennen murto-osaa ja lukevat "nolla kokonaislukua".

Alla olevissa esimerkeissä desimaalilukujen kirjoittamisesta kävi ilmi, että tavallisen murtoluvun osoittajassa on yhtä monta numeroa kuin nimittäjässä on nollia. Numeroiden lukumäärä numeroissa ja nollien määrä nimittäjässä voi olla erilainen.

Kirjoitetaan se esimerkiksi desimaalilukuna. Tässä sekaluvussa murto-osan osoittajassa on kaksi numeroa ja nimittäjässä kolme nollaa. Siksi tasoitetaan ensin numeroiden lukumäärä osoittajassa ja nollien lukumäärä nimittäjässä: lisäämme yhden nollan ennen osoittajaa. Saamme:

Sitten = = 23,071

tarkoittaa,

kirjoittaaksesi sekaluvun tai tavallisen murtoluvun, jonka nimittäjä on 10:n kerrannainen, desimaalimurtoluvuksi, sinun on:

Tasaa tarvittaessa osoittajan numeroiden lukumäärä ja nimittäjän nollien määrä lisäämällä nollia osoittajan eteen;

Kirjoita muistiin kokonaislukuosa (se voi olla nolla);

Laita pilkku, joka erottaa kokonaisluvun osan murtoluvusta;

Kirjoita murto-osan osoittaja muistiin.

Esimerkiksi = =0,007;14 = =14,000423

Desimaaliluku, kuten luonnollinen luku, on jaettu numeroihin. Desimaaliluvun kokonaislukuosan numeroiden nimet ovat samat kuin luonnollisen luvun numeroiden nimet ja murto-osa on erilainen. Ensimmäistä paikkaa desimaalipilkun oikealla puolella kutsutaan kymmenesosia, seuraava numero - sadasosat, ja sitten - tuhannesosat, sadat tuhannesosat jne.

4. Päätös konsolidoida uusi materiaali.

№697

Lue desimaalit:

1)25,4

2)0,136

3)103,15

4)8,234

5)1,39

6)267,267

7)1015,1

8)307,3078

№698

Lue desimaalit:

1)36,04

2)0,003

3)181,105

4)0,0809

5)200,7001

6)6,00081

№700

Kirjoita desimaalit:

1) kolme pistettä kuusitoista sadasosaa

2) kahdeksan pisteen kolme sadasosaa

3) nolla piste kolme sadasosaa

4) kaksikymmentäkahdeksan pisteen seitsemänsadan tuhannesosaa

5) neljäsataaviisitoista miljoonasosaa

5. Oppitunnin tuloksena ilmoitetaan oppitunnin arvosanat, kirjoita d / z.

6. Kotitehtävä: opi sääntö ja tee seuraavat numerot:

№701 (9-16), №702

Oppitunti 5. luokalla, opettaja-Shabarshova Ekaterina Anatolyevna.

Oppitunnin aihe: Desimaalimurtoluvut. Desimaalien lukeminen ja kirjoittaminen.

Oppitunnin tavoitteet:

Luo olosuhteet opiskelijoille tämän aiheen tutkimiselle ja toistamiselle;

Muistin, logiikan, matemaattisen ajattelun kehittäminen;

Kiinnostuksen herättäminen aihetta kohtaan.

Oppitunnin tarkoitus:

Toista desimaalilukujen kirjoittaminen ja lukeminen;

desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi ja päinvastoin, yhteinen murto desimaaliksi.

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty;

Opetusmenetelmä : sanallinen, käytännöllinen, visuaalinen.

Järjestäytymismuoto : kollektiivinen, yksilöllinen;

Aktiviteetin sisältö : historiallinen tausta, kysely opastinkorteilla (suullinen), tehtävien ratkaiseminen oppikirjan mukaan, suullinen laskenta "Etsi pari", itsenäinen työskentely.

Laitteet : signaalikortit, heijastustarrat, itsearviointikortit, kortit itsenäiseen työhön.

Tuntisuunnitelma :

Ajan järjestäminen. Emotionaalinen tunnelma.

Tiedon päivitys. Historiallinen viittaus.

Suullinen laskenta "Etsi pari."

Oppikirjatyötä

Itsenäinen työ.

Opiskelijoiden arviointi.

Heijastus.

Kotitehtävät.

Tuntien aikana:

Ajan järjestäminen.

Hei kaverit! Tervehditään toisiamme! Kääntykää päin toisianne päin ja hymyilkää.

Hyvin tehty! Ja tällä miellyttävällä nuotilla aloitamme tämän päivän oppituntimme!

Tahallinen jako ryhmiin opiskelijoiden yksilöllisten ominaisuuksien mukaan.

Kirjoita päivämäärä muistikirjaasi, siistiä työtä. Haluan kiinnittää huomionne työpöydälläsi oleviin monisteisiin, laitamme tarrat sivuun toistaiseksi ja arviointilomakkeet ovat hyödyllisiä ensimmäisestä tehtävästä lähtien, heti kun saamme seuraavan tehtävän valmiiksi, sinun on tehtävä itse arvioinnin taulukoissa tätä tehtävää suoritettaessa.

Tiedon päivitys.

Kaverit, viimeisillä tunneilla aloimme tutkia aihetta "Desimaaliluku. Desimaalien lukeminen ja kirjoittaminen. Mutta sinä ja minä aloimme tutkia aihetta tietämättä sen historiaa, luokkamme opiskelija Anatoli Shabarshov, joka valmisteli meille historiallisen taustan, auttaa meitä tässä.

Historiallinen viittaus.

Ensimmäisen kerran käsite abstraktista desimaaliluvusta syntyi 1400-luvulla. Sen esitteli tunnettu matemaatikko ja tähtitieteilijä al-Koshi (täysinimi Jamiad ibn - Masud al - Koshi ) töissä"Aritmeettinen avain" (1427) . Al-Koshin löytö Euroopasta tuli tunnetuksi vasta 300 vuoden kuluttua.

Koska al-Koshin löydöstä ei tiedetty mitään, flaamilainen matemaatikko ja insinööri löysi desimaalimurtoluvut toisen kerran, noin 150 vuotta hänen jälkeensä.Simon Stevin työssä"Desimaali "(1585).

Venäjällä desimaalilukujen opin julkaisi ensimmäisenäL.P. Magnitski hänen "Aritmeettinen" - ensimmäinen venäläinen matematiikan oppikirja.(1703)

Esitettiin erottaa kokonaislukuosa murto-osasta eri tavoin. Al-Koshi kirjoitti kokonaisluku- ja murto-osat yhdelle riville, vaikka hän kirjoitti muistiin eri musteilla tai laittoi pystysuoran viivan niiden väliin. S. Stevin laittoi ympyrään nollan erottaakseen kokonaislukuosan murtoluvusta. Meidän aikanamme hyväksytyn pilkun ehdotti saksalainen tähtitieteilijäJ. Kepler (1571 - 1630).

Ja nyt muistetaan joitain desimaalilukujen sääntöjä ja ominaisuuksia.

Säännöt ovat hyvin yksinkertaiset, jos olet samaa mieltä väitteen kanssa, nosta punainen signaalikortti, jos ei, niin sininen. Aloitetaan!

Murtolukupalkkia käytetään desimaalilukujen kirjoittamiseen; (ei mitään)

Pilkua käytetään desimaalien kirjoittamiseen; (kyllä)

Murtoluvun kokonaislukuosa on ennen desimaalipistettä; (kyllä)

Jos nollia pudotetaan desimaaliluvun loppuun, murtoluvun arvo muuttuu; (ei)

Desimaalipilkun jälkeisiä numeroita kutsutaan desimaalipisteiksi. (Joo).

2. Hyvin tehty! Avaa nyt oppikirjasi sivulla 197, nro 942. (työskentele taululla)

Henkinen laskeminen "Etsi pari"

0,1

0,5

0,2

0,75

0,04

0,05

Oppikirjatyötä.

№936 (1) - ensimmäisen monimutkaisuustason tehtävä

№951 (1,2) - toisen monimutkaisuuden tason tehtävä

№956(1-3) - kolmannen vaikeustason tehtävä

Tehtävät lasketaan kaikkien ryhmän jäsenten yksilöllisistä ominaisuuksista

Itsenäinen työ.

Vaihtoehto 1

Kirjoita desimaalilukuna

; ; ;

Vaihtoehto 2

Kirjoita osamäärä murtolukuna ja muunna desimaaliksi

5: 100; 5749:100; 34:1000; 324:10.

Vaihtoehto 3

Muunna sekaluvut nimittäjäksi 100 ja kirjoita vastaavat desimaalit muistiin

Itsenäisen työn harjoitustyöt laaditaan opiskelijan yksilölliset ominaisuudet huomioon ottaen. Vaihtoehdot vastaavat vaikeustasoja.

Opiskelijoiden arviointi.

Oppilaat tekevät omat arvosanansa oppitunnille arviointilomakkeessa ja luovuttavat ne opettajalle.

Heijastus.

Hyvin tehty kaverit, kaikki tekivät hyvää työtä tänään, joten tehdään yhteenveto:

Mitä uutta opit tänään tunnilla?

Mitä tietoja ja taitoja vahvistit tänään oppitunnilla?

Piditkö oppitunnista?

Tarrat pöydälle, oppilaat kirjoittavat asenteensa oppiaiheeseen ja kiinnittävät sen valmiille ilmoitustaululle.

Kotitehtävät

№950,№945

SOVELLUKSET

Tehtävän numero

Erinomainen

Hyvä

voisi tehdä paremmin

Oppitunnin kokonaisarvosana:

Opettajien arviointilomake: __________________________________________________________________

Tehtävän numero

Erinomainen

Hyvä

voisi tehdä paremmin

Omistamme tämän materiaalin niin tärkeälle aiheelle kuin desimaalimurtoluvut. Ensin määritellään perusmääritelmät, annetaan esimerkkejä ja mietitään desimaalimerkinnän sääntöjä sekä mitä desimaalimurtoluvut ovat. Seuraavaksi korostamme päätyypit: äärelliset ja äärettömät, jaksolliset ja ei-jaksolliset murtoluvut. Viimeisessä osassa näytämme kuinka murtolukuja vastaavat pisteet sijaitsevat koordinaattiakselilla.

Mikä on murtolukujen desimaalimerkintä

Murtolukujen ns. desimaalilukua voidaan käyttää sekä luonnollisille että murtoluvuille. Se näyttää kahden tai useamman luvun joukolta, joiden välissä on pilkku.

Desimaalipistettä käytetään erottamaan kokonaislukuosa murto-osasta. Yleensä desimaaliluvun viimeinen numero ei ole koskaan nolla, ellei desimaalipilkku ole välittömästi ensimmäisen nollan jälkeen.

Mitkä ovat esimerkkejä murtoluvuista desimaalimuodossa? Se voi olla 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 jne.

Joissakin oppikirjoissa voi löytää pisteen käytön pilkun sijaan (5. 67, 6789. 1011 jne.) Tätä vaihtoehtoa pidetään vastaavana, mutta se on tyypillisempi englanninkielisille lähteille.

Desimaalien määritelmä

Yllä olevan desimaalimerkinnän käsitteen perusteella voimme muotoilla seuraavan desimaalimurtomäärityksen:

Määritelmä 1

Desimaalit ovat murtolukuja desimaalimuodossa.

Miksi meidän täytyy kirjoittaa murtolukuja tässä muodossa? Se antaa meille joitain etuja tavallisiin verrattuna, esimerkiksi kompaktimman merkinnän, erityisesti tapauksissa, joissa nimittäjä on 1000, 100, 10 jne. tai sekaluku. Esimerkiksi 6 10 sijasta voimme määrittää 0 , 6 , 25 10000 - 0 , 0023 sijasta 512 3 100 - 512 , 03 sijasta.

Kuinka esittää oikein tavalliset murtoluvut, joiden nimittäjässä on kymmeniä, satoja, tuhansia desimaalimuodossa, kuvataan erillisessä materiaalissa.

Kuinka lukea desimaalit oikein

Desimaalien tietueiden lukemiseen on joitain sääntöjä. Joten ne desimaalimurtoluvut, jotka vastaavat niiden oikeita tavallisia vastineita, luetaan lähes samoina, mutta lisätään sanat "nolla kymmenesosaa" alkuun. Joten merkintä 0 , 14 , joka vastaa lukua 14 100, luetaan "nollapisteen neljäntoista sadasosana".

Jos desimaalimurto voidaan yhdistää sekalukuun, se luetaan samalla tavalla kuin tämä luku. Joten jos meillä on murtoluku 56 002, joka vastaa lukua 56 2 1000, luemme sellaisen merkinnän "viisikymmentäkuusi pisteen kaksi tuhannesosaa".

Numeron arvo desimaaliluvussa riippuu sen sijainnista (kuten luonnollisten lukujen tapauksessa). Joten desimaalimurtoluvussa 0, 7, seitsemän on kymmenesosaa, 0, 0007:ssä se on kymmenen tuhannesosaa ja murto-osassa 70 000, 345 se tarkoittaa seitsemää kymmentä tuhatta kokonaista yksikköä. Siten desimaalimurtoluvuissa on myös lukunumeron käsite.

Ennen pilkkua olevien numeroiden nimet ovat samanlaisia kuin luonnollisissa luvuissa esiintyvät nimet. Niiden nimet, jotka sijaitsevat jälkeen, esitetään selvästi taulukossa:

Otetaan esimerkki.

Esimerkki 1

Meillä on desimaaliluku 43 098. Hänellä on neljä kymmenissä, kolme yksiköissä, nolla kymmenennessä, 9 sadassa ja 8 tuhannesssa.

Desimaalilukujen numerot on tapana erottaa vanhemmuuden perusteella. Jos siirrymme numeroiden läpi vasemmalta oikealle, siirrymme suurista numeroista pieniin. Osoittautuu, että sadat ovat vanhempia kuin kymmeniä ja miljoonasosat ovat nuorempia kuin sadasosat. Jos otamme sen viimeisen desimaaliluvun, jonka mainitsimme esimerkkinä edellä, niin siinä vanhempi eli korkein on sadojen luku ja pienin eli pienin on 10 tuhannesosan luku.

Mikä tahansa desimaaliluku voidaan jakaa erillisiksi numeroiksi, toisin sanoen esittää summana. Tämä toiminto suoritetaan samalla tavalla kuin luonnollisille luvuille.

Esimerkki 2

Yritetään laajentaa murtoluku 56, 0455 numeroiksi.

Me pystymme:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Jos muistamme summauksen ominaisuudet, voimme esittää tämän murto-osan muissa muodoissa, esimerkiksi summana 56 + 0, 0455 tai 56, 0055 + 0, 4 jne.

Mitä ovat desimaalit

Kaikki murtoluvut, joista puhuimme edellä, ovat desimaalilukuja. Tämä tarkoittaa, että desimaalipilkun jälkeisten numeroiden määrä on äärellinen. Otetaanpa määritelmä:

Määritelmä 1

Desimaalit ovat eräänlainen desimaali, jossa on rajallinen määrä numeroita pilkun jälkeen.

Esimerkkejä tällaisista jakeista voivat olla 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 jne.

Mikä tahansa näistä murtoluvuista voidaan muuntaa joko sekaluvuksi (jos niiden murto-osan arvo on eri kuin nolla) tai tavalliseksi murtoluvuksi (jos kokonaislukuosa on nolla). Olemme omistaneet erillisen materiaalin kuinka tämä tehdään. Otetaan tässä vain muutama esimerkki: esimerkiksi viimeinen desimaalimurtoluku 5 , 63 voidaan viedä muotoon 5 63 100 ja 0 , 2 vastaa 2 10:tä (tai mitä tahansa muuta sitä vastaavaa murtolukua, esim. 4 20 tai 1 5.)

Mutta päinvastainen prosessi, ts. tavallisen murtoluvun kirjoittaminen desimaalimuodossa ei välttämättä aina onnistu. Joten 5 13 ei voi korvata yhtä suurella murtoluvulla, jonka nimittäjä on 100, 10 jne., mikä tarkoittaa, että lopullinen desimaalimurto ei selviä siitä.

Päättömien desimaalilukujen päätyypit: jaksolliset ja ei-jaksolliset murtoluvut

Huomasimme edellä, että äärellisiä murtolukuja kutsutaan niin, koska niissä on äärellinen määrä numeroita desimaalipilkun jälkeen. Se voi kuitenkin hyvinkin olla ääretön, jolloin murtolukuja itseään kutsutaan myös äärettömäksi.

Määritelmä 2

Äärettömät desimaalit ovat niitä, joissa on ääretön määrä numeroita desimaalipilkun jälkeen.

On selvää, että tällaisia lukuja ei yksinkertaisesti voida kirjoittaa kokonaan, joten osoitamme vain osan niistä ja laitamme sitten ellipsin. Tämä merkki osoittaa desimaalien sarjan loputtoman jatkon. Esimerkkejä äärettömistä desimaaliluvuista ovat 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... . jne.

Tällaisen murto-osan "pyrstössä" ei voi olla vain näennäisesti satunnaisia numerosarjoja, vaan saman merkin tai merkkiryhmän jatkuva toisto. Murtolukuja, joissa on vuorottelu desimaalipilkun jälkeen, kutsutaan jaksollisiksi.

Määritelmä 3

Jaksolliset desimaalimurtoluvut ovat sellaisia äärettömiä desimaalilukuja, joissa yksi numero tai useiden numeroiden ryhmä toistetaan desimaalipilkun jälkeen. Toistuvaa osaa kutsutaan murto-osan jaksoksi.

Esimerkiksi murto-osalle 3, 444444 ... . jakso on numero 4 ja numerolla 76 134134134134 ... - ryhmä 134.

Mikä on merkkien vähimmäismäärä jaksottaisessa murtoluvussa? Jaksottaisille murtoluvuille riittää, että kirjoitetaan koko jakso kerran suluissa. Joten murto-osa on 3, 444444 ... . on oikein kirjoittaa 3, (4) ja 76, 134134134134 ... - 76, (134) .

Yleensä merkinnöillä, joissa on useita pisteitä suluissa, on täsmälleen sama merkitys: esimerkiksi jaksollinen murtoluku 0,677777 on sama kuin 0,6 (7) ja 0,6 (77) jne. Myös merkinnät, kuten 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) ja muut ovat sallittuja.

Virheiden välttämiseksi otamme käyttöön merkinnän yhdenmukaisuuden. Sovitaan, että kirjoitetaan vain yksi piste (lyhyin mahdollinen numerosarja), joka on lähimpänä desimaalipistettä, ja kirjoitetaan se sulkeisiin.

Toisin sanoen yllä olevalle murtoluvulle pidämme merkintää 0, 6 (7) pääasiallisena, ja esimerkiksi murto-osan 8, 9134343434 tapauksessa kirjoitamme 8, 91 (34) .

Jos tavallisen murtoluvun nimittäjä sisältää alkutekijöitä, jotka eivät ole yhtä suuria kuin 5 ja 2, niin desimaalilukumuodoksi muunnettaessa niistä saadaan äärettömiä murtolukuja.

Periaatteessa voimme kirjoittaa minkä tahansa äärellisen murtoluvun jaksolliseksi. Tätä varten meidän tarvitsee vain lisätä loputon määrä nollia oikealle. Miltä se näyttää levyllä? Oletetaan, että meillä on lopullinen murtoluku 45, 32. Jaksottaisessa muodossa se näyttää 45 , 32 (0) . Tämä toiminto on mahdollista, koska nollien lisääminen minkä tahansa desimaaliluvun oikealle puolelle antaa tuloksena murtoluvun, joka on yhtä suuri.

Erikseen kannattaa keskittyä jaksollisiin murtolukuihin, joiden jakso on 9, esimerkiksi 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ne ovat vaihtoehtoinen merkintä samanlaisille murtoluvuille, joiden jakso on 0, joten ne usein korvataan kirjoitettaessa murtoluvuilla, joissa on nollapiste. Samanaikaisesti seuraavan numeron arvoon lisätään yksi, ja (0) merkitään suluissa. Saatujen lukujen yhtäläisyys on helppo tarkistaa esittämällä ne tavallisina murtolukuina.

Esimerkiksi murto-osa 8, 31 (9) voidaan korvata vastaavalla murto-osalla 8, 32 (0) . Tai 4, (9) = 5, (0) = 5.

Äärettömät desimaaliluvut ovat rationaalilukuja. Toisin sanoen mikä tahansa jaksollinen murtoluku voidaan esittää tavallisena murtolukuna ja päinvastoin.

On myös murtolukuja, joissa ei ole äärettömästi toistuvaa sekvenssiä desimaalipilkun jälkeen. Tässä tapauksessa niitä kutsutaan ei-jaksollisiksi jakeiksi.

Määritelmä 4

Ei-jaksollisiksi desimaalimurtoiksi luetaan ne äärettömät desimaalimurtoluvut, jotka eivät sisällä pistettä desimaalipilkun jälkeen, ts. toistuva numeroryhmä.

Joskus ei-jaksolliset murtoluvut näyttävät hyvin samanlaisilta kuin jaksolliset. Esimerkiksi 9 , 03003000300003 ... ensi silmäyksellä näyttää olevan piste, mutta desimaalien yksityiskohtainen analyysi vahvistaa, että tämä on edelleen ei-jaksollinen murto-osa. Tällaisten numeroiden kanssa on oltava erittäin varovainen.

Ei-jaksolliset murtoluvut ovat irrationaalisia lukuja. Niitä ei muunneta tavallisiksi jakeiksi.

Perustoiminnot desimaalien kanssa

Seuraavat toiminnot voidaan suorittaa desimaaliluvuilla: vertailu, vähennys, yhteen-, jako- ja kertolasku. Analysoidaan jokainen niistä erikseen.

Desimaalien vertailu voidaan lyhentää alkuperäisiä desimaalilukuja vastaavien tavallisten murtolukujen vertailuun. Mutta äärettömiä ei-jaksollisia murtolukuja ei voida pelkistää tähän muotoon, ja desimaalimurtolukujen muuntaminen tavallisiksi on usein työlästä. Kuinka tehdä vertailutoiminto nopeasti, jos se on tehtävä ongelman ratkaisemisen aikana? On kätevää verrata desimaalilukuja numeroiden perusteella samalla tavalla kuin vertaamme luonnollisia lukuja. Omistamme erillisen artikkelin tälle menetelmälle.

Desimaaliluvun lisäämiseksi toiseen on kätevää käyttää sarakkeiden yhteenlaskumenetelmää, kuten luonnollisten lukujen kohdalla. Jaksottaisten desimaalilukujen lisäämiseksi sinun on ensin korvattava ne tavallisilla ja laskettava vakiojärjestelmän mukaisesti. Jos meidän on tehtävän ehtojen mukaan lisättävä loputtomasti ei-jaksollisia murtolukuja, ne on ensin pyöristettävä tiettyyn numeroon ja sitten lisättävä ne. Mitä pienempään numeroon pyöristetään, sitä suurempi on laskennan tarkkuus. Äärettömän murtoluvun vähentämiseen, kertomiseen ja jakamiseen tarvitaan myös alustava pyöristys.

Desimaalilukujen eron löytäminen on summauksen vastakohta. Itse asiassa vähennyksen avulla voimme löytää luvun, jonka summa vähennetyn murtoluvun kanssa antaa meille vähennetyn luvun. Puhumme tästä yksityiskohtaisemmin erillisessä artikkelissa.

Desimaalilukujen kertolasku tapahtuu samalla tavalla kuin luonnollisilla luvuilla. Myös sarakkeen laskentatapa sopii tähän. Pelistämme tämän toiminnon jaksollisilla murtoluvuilla taas tavallisten murtolukujen kertolaskuksi jo tutkittujen sääntöjen mukaisesti. Kuten muistamme, äärettömät murtoluvut on pyöristettävä ennen laskemista.

Desimaalien jakoprosessi on kertolaskuprosessin käänteinen. Tehtäviä ratkottaessa käytämme myös sarakelukuja.

Voit asettaa tarkan vastaavuuden desimaalipään ja koordinaattiakselin pisteen välille. Selvitetään kuinka merkitä akselille piste, joka vastaa tarkasti vaadittua desimaalilukua.

Olemme jo tutkineet, kuinka tavallisia murtolukuja vastaavia pisteitä muodostetaan, ja desimaalimurtoluvut voidaan pelkistää tähän muotoon. Esimerkiksi tavallinen murtoluku 14 10 on sama kuin 1 , 4 , joten sitä vastaava piste poistetaan origosta positiivisessa suunnassa täsmälleen saman matkan verran:

Voit tehdä ilman desimaalimurtoluvun korvaamista tavallisella ja ottaa perustaksi numeronlaajennusmenetelmän. Joten jos meidän täytyy merkitä piste, jonka koordinaatti on 15 , 4008 , niin esitämme tämän luvun ensin summana 15 + 0 , 4 + , 0008 . Aluksi laitamme sivuun 15 kokonaista yksikkösegmenttiä positiiviseen suuntaan origosta, sitten 4 kymmenesosaa yhdestä segmentistä ja sitten 8 kymmenen tuhannesosaa yhdestä segmentistä. Tuloksena saamme koordinaattipisteen, joka vastaa murtolukua 15, 4008.

Äärettömälle desimaaliluvulle on parempi käyttää tätä menetelmää, koska sen avulla voit lähestyä haluttua pistettä niin lähelle kuin haluat. Joissakin tapauksissa on mahdollista rakentaa tarkka vastaavuus äärettömästä murto-osasta koordinaattiakselille: esimerkiksi 2 = 1, 41421. . . , ja tämä murto-osa voidaan liittää koordinaattisäteen pisteeseen, joka on kaukana 0:sta neliön diagonaalin pituudella, jonka sivu on yhtä suuri kuin yksi yksikkösegmentti.

Jos akselilta ei löydy pistettä, vaan sitä vastaava desimaaliluku, tätä toimintoa kutsutaan janan desimaalimittaukseksi. Katsotaanpa, miten se tehdään oikein.

Oletetaan, että meidän on päästävä nollasta tiettyyn pisteeseen koordinaattiakselilla (tai päästä mahdollisimman lähelle, jos kyseessä on ääretön murto). Tätä varten asetamme vähitellen sivuun yksikkösegmentit koordinaattien origosta, kunnes saavutamme haluttuun pisteeseen. Kokonaisten segmenttien jälkeen mittaamme tarvittaessa kymmenesosia, sadasosia ja pienempiä osia, jotta vastaavuus on mahdollisimman tarkka. Tuloksena saimme desimaaliluvun, joka vastaa tiettyä pistettä koordinaattiakselilla.

Yllä annoimme kuvan pisteellä M. Katso uudelleen: päästäksesi tähän pisteeseen, sinun on mitattava yksi yksikkösegmentti nollasta ja neljä kymmenesosaa siitä, koska tämä piste vastaa desimaalimurtolukua 1, 4.

Jos emme voi lyödä pistettä desimaalimittausprosessissa, se tarkoittaa, että ääretön desimaaliluku vastaa sitä.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Yhteinen murtoluku (tai sekaluku), jonka nimittäjä on yksi ja sen jälkeen yksi tai useampi nolla (eli 10, 100, 1000 jne.):

voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa: ilman nimittäjää, erottamalla kokonaisluku- ja murto-osat toisistaan pilkulla (tässä tapauksessa oikean murtoluvun kokonaislukuosan uskotaan olevan 0). Ensin kirjoitetaan kokonaislukuosa, sitten pilkku ja sen jälkeen murto-osa.:

Tässä muodossa kirjoitettuja tavallisia murtolukuja (tai sekalukuja) kutsutaan desimaalit.

Desimaalien lukeminen ja kirjoittaminen

Desimaalimurtoluvut kirjoitetaan samojen sääntöjen mukaan, joilla luonnolliset luvut kirjoitetaan desimaalilukujärjestelmässä. Tämä tarkoittaa, että desimaalilukuina, kuten luonnollisissa luvuissa, jokainen numero ilmaisee yksiköitä, jotka ovat kymmenen kertaa suurempia kuin oikealla olevat viereiset yksiköt.

Harkitse seuraavaa merkintää:

Numero 8 tarkoittaa yksinkertaisia yksiköitä. Numero 3 tarkoittaa yksiköitä, jotka ovat 10 kertaa pienempiä kuin yksinkertaiset yksiköt, eli kymmenesosia. 4 tarkoittaa sadasosaa, 2 tarkoittaa tuhannesosaa jne.

Desimaalipilkun jälkeen oikealla olevia numeroita kutsutaan desimaalin tarkkuudella.

Desimaalimurtoluvut luetaan seuraavasti: ensin kutsutaan koko osa, sitten murto-osa. Lukeessaan kokonaislukuosaa sen tulee aina vastata kysymykseen: kuinka monta kokonaislukuyksikköä kokonaislukuosassa on? . Sana koko (tai kokonainen) lisätään vastaukseen kokonaisten yksiköiden lukumäärästä riippuen. Esimerkiksi yksi kokonaisluku, kaksi kokonaislukua, kolme kokonaislukua jne. Murto-osaa luettaessa kutsutaan osuuksien lukumäärää ja lopuksi lisätään niiden osuuksien nimet, joihin murto-osa päättyy:

3:1 lukee: kolme pistettä yksi kymmenesosa.

2,017 kuuluu näin: kaksi pistettä seitsemäntoista tuhannesosaa.

Ymmärtääksesi paremmin desimaalilukujen kirjoittamista ja lukemista koskevia sääntöjä, harkitse numerotaulukkoa ja siinä annettuja esimerkkejä numeroiden kirjoittamisesta:

Huomaa, että desimaalimurtoluvun desimaalipilkun jälkeen on yhtä monta numeroa kuin vastaavan tavallisen murtoluvun nimittäjässä on nollia: